Quadratische Funktionen – Übungen

1) Frage: Wie lautet die allgemeine Form einer quadratischen Funktion?
Antwort: $$f(x)=ax^2+bx+c$$

Erläuterung:

• Eine quadratische Funktion hat stets den höchsten Exponenten $2$, daher $ax^2$ als führenden Term.
• Der Term $bx$ und die Konstante $c$ können hinzugefügt werden, ohne den Grad der Funktion zu ändern.
• Falsch sind:
  • $f(x)=ax^3+bx+c$ (Grad $3$, kubisch statt quadratisch)
  • $f(x)=a(x-d)^2+e$ (Scheitelpunktform, nicht die „allgemeine Form“)
  • $f(x)=ax^2+bx^2+c$ (beide $x^2$-Terme würden sich zu $(a+b)x^2$ zusammenfassen)

2) Frage: Welcher Ausdruck beschreibt die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion?
Antwort: $$f(x)=a(x-d)^2+e$$

Erläuterung:

• In der Scheitelpunktform ist $d$ die $x$-Koordinate und $e$ die $y$-Koordinate des Scheitels.
• Die Form $a(x-d)^2+e$ zeigt direkt Lage und Streckung/Stauchung an.
• Falsch sind:
  • $f(x)=ax^2+bx+c$ (allgemeine Form, unklares Verschiebungsmaß)
  • $f(x)=a(x+d)^2-e$ (falsches Vorzeichen bei Verschiebungsparametern)
  • $f(x)=ax^2+cx+d$ (andere Bezeichnung, vertauschte Parameter, keine Scheitelpunktdarstellung)

3) Frage: Wie lautet der Scheitelpunkt der Funktion $f(x)=2(x-3)^2+5$?
Antwort: $$S(3\vert5)$$

Erläuterung:

• Aus $2(x-3)^2+5$ liest man direkt Scheitel $(d,e)=(3,5)$.
• Falsch sind:
  • $S(-3\vert5)$ (zeigt falsches Vorzeichen von $d$)
  • $S(5\vert2)$ (Parameter vertauscht)
  • $S(3\vert{-}5)$ (falsches Vorzeichen von $e$)

4) Frage: Wie berechnet man die Nullstellen einer quadratischen Funktion mit der Mitternachtsformel?
Antwort: $$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Erläuterung:

• Die klassische Formel stammt aus dem Lösen von $ax^2+bx+c=0$ durch quadratische Ergänzung.
• Falsch sind:
  • $x = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2+4ac}}{2a}$ (falsches Vorzeichen vor $4ac$ unter der Wurzel)
  • $x = \dfrac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$ (Term unter der Wurzel vertauscht)
  • $x = \dfrac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ (falsches Vorzeichen vor $b$ im Zähler)

5) Frage: Was bezeichnet die Diskriminante $D$ der Mitternachtsformel bei einer quadratischen Gleichung?
Antwort: $$D = b^2 - 4ac$$

Erläuterung:

• Die Diskriminante entscheidet über Art und Anzahl der Nullstellen.
• Falsch sind:
  • $D = b^2 + 4ac$ (kein Minus vor $4ac$)
  • $D = 2ac - b$ (falsche Kombination der Parameter)
  • $D = \dfrac{b^2}{4ac}$ (falsche Division)

6) Frage: Welche Aussage trifft zu, wenn die Diskriminante $D < 0$ ist?
Antwort: Die Funktion hat keine reellen Nullstellen.

Erläuterung:

• Ist $b^2-4ac<0$, so liegt unter der Wurzel ein negativer Wert → keine reellen Lösungen.
• Falsch sind:
  • „Die Funktion hat genau eine reelle Nullstelle.“ (gilt nur für $D=0$)
  • „Die Funktion hat zwei gleiche reelle Nullstellen.“ (ebenfalls nur für $D=0$)
  • „Die Funktion ist keine Parabel.“ (unabhängig von $D$ bleibt es eine Parabel)

Zunächst können wir für alle drei Graphen jeweils die Scheitelpunkte ablesen.

$f(x)$: $S_{f}(0\vert0)$
$g(x)$: $S_{g}(3\vert4)$
$h(x)$: $S_{h}(-2\vert{-}2)$

Damit können wir dann die Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform angeben, der Parameter $a$ ist uns allerdings noch nicht bekannt.

$f(x)=a(x+0)^2+0=ax^2$
$g(x)=a(x-3)^2+4$
$h(x)=a(x+2)^2-2$

Anschließend müssen wir den Parameter $a$ jeweils noch bestimmen. Dafür bietet es sich an, einen weiteren gut ablesbaren Punkt aus dem Graphen zu wählen, z. B. eine Nullstelle. Durch das Einsetzen der entsprechenden Werte können wir $a$ berechnen.

$f(x)=ax^2$ verläuft durch den Punkt $P_{f}(1\vert2)$.
$ \Rightarrow 2=a(1)^2$
$\Rightarrow a=2$

$g(x)=a(x-3)^2+4$ verläuft durch den Punkt $P_{g}(1\vert0)$.
$\Rightarrow 0=a(1-3)^2+4$
$\Rightarrow a=-1$

$h(x)=a(x+2)^2+2$ verläuft durch den Punkt $P_{h}(0\vert0)$.
$\Rightarrow 0=a(0+2)^2-2$
$\Rightarrow a=0{,}5$

Somit haben wir unsere drei Funktionsgleichungen vollständig bestimmt:

$f(x)=2x^2$
$g(x)=-(x-3)^2+4$
$h(x)=0{,}5(x+2)^2+2$

Lösung:

Wir setzen $f(x)$ gleich $0$:

$$0=x^2-6x+9$$

Diese quadratische Gleichung ist bereits in Normalform. Wir können daher die $pq$-Formel anwenden:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\dfrac{p}{2}\Bigr)^2 - q}\\[1em] &=&-\dfrac{-6}{2}\pm\sqrt{\dfrac{36}{4}-9}\\[1em] &=&3\pm\sqrt{9-9}\\[1em] &=&3\pm0=3 \end{array}$

Einzige Lösung: $x=3$.

Wir können die Probe durchführen, indem wir den entsprechenden Funktionswert berechnen:

$$f(3)=(3)^2-6(3)+9=9-18+9=0$$

Der Funktionsgraph hat bei $x=3$ eine Nullstelle.

Lösung:

Wir setzen $f(x)$ gleich $0$:

$0=x^2-5x+6$

Diese quadratische Gleichung ist bereits in Normalform. Wir können daher die $pq$-Formel anwenden:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\dfrac{p}{2}\Bigr)^2 - q}\\[1em] &=&-\dfrac{-5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-6}\\[1em] &=&\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-\dfrac{24}{4}}\\[1em] &=&\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\[1em] &=&\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{1}{2} \end{array}$

Wir haben zwei Lösungen: $x_1=3$ und $x_2=2$. An diesen Stellen hat der Funktionsgraph Nullstellen.

Lösung:

Wir setzen $f(x)$ gleich $0$:

$0=x^2+4x+7$

Diese quadratische Gleichung ist bereits in Normalform. Wir können daher die $pq$-Formel anwenden:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\dfrac{p}{2}\Bigr)^2 - q}\\[1em] &=&-\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\dfrac{16}{4}-7}\\[1em] &=&2\pm\sqrt{4-7}\\[1em] &=&2\pm\sqrt{-3} \end{array}$

Da wir nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen können, hat diese Gleichung keine reelle Lösung und die Funktion keine Nullstelle.

Lösung:

Wir setzen $f(x)$ gleich $0$:

$0=2x^2-8x+6$

Diese Funktion ist nicht in Normalform. Wir können hier die Mitternachtsformel anwenden (alternativ auf Normalform bringen und dann die pq-Formel anwenden). Hier ist $a=2$, $b=-8$ und $c=6$. Achte unbedingt auf die Vorzeichen. Du erhältst dann die folgenden Lösungen:

$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&\dfrac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^{2}-4\cdot2\cdot6}}{2\cdot2}\\ \\ &=&\dfrac{8\pm\sqrt{64-48}}{4}\\ \\ &=&\dfrac{8\pm\sqrt{16}}{4}\\ \\ x_1&=&\dfrac{8+4}{4}=\dfrac{12}{4}=3\\ \\ x_2&=&\dfrac{8-4}{4}=1 \end{array}$

Die Nullstellen der Funktion sind $x_1=3$ und $x_2=1$.

Lösung:

Wir setzen die Funktionsgleichung gleich $0$:

$$0=(x-2)^2-9$$

Hier bietet es sich an die Gleichung durch Umstellen zu lösen. Wir isolieren zunächst das Quadrat: $$ (x-2)^2=9 $$ Ziehen dann die Wurzel (mit $\pm$): $$ x-2=\pm3 $$ Und lösen nach $x$ auf: $$ x_1=2+3=5,\quad x_2=2-3=-1 $$

Die Funktion hat zwei Nullstellen bei $5$ und $-1$.

Lösung:

Wir setzen $f(x)$ gleich $0$: $$ 5x^2+20=0 $$

Wir versuchen nun, das $x^2$ zu isolieren: $$ 5x^2=-20\quad\Longrightarrow\quad x^2=-4 $$

Da $x^2$ nie negativ sein kann, existieren keine reellen Nullstellen.

Lösung:

Wir setzen $f(x)$ gleich $0$ und faktorisieren: $$ -x^2+4x=0\quad\Longrightarrow\quad -x(x-4)=0 $$

Setze jeden Faktor gleich null: $$ -x=0~\Rightarrow~ x=0,\qquad x-4=0~\Rightarrow~ x=4 $$

Die Funktion hat zwei Nullstellen bei $x_1 = 0$ und $x_2= 4$.

Lösung:

Wir setzen $f(x)$ gleich $0$ und wenden die Mitternachtsformel an:

$\begin{array}{rcl} D&=&(-1)^2 -4\cdot0{,}5\cdot(-2)=1+4=5 \\[6pt] \Rightarrow x_{1,2}&=&\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{1} \end{array}$

Damit sind die Nullstellen:
$$ x_1=1+\sqrt{5},\quad x_2=1-\sqrt{5} $$

Lösung:

Um die Scheitelpunkform zu bestimmen, müssen wir zuerst geschickt ergänzen, um anschließend eine binomische Formel anwenden zu können:

$$ \begin{array}{rcl} f(x) &=& x^2 + 6x + 5 \\[6pt] &=& \bigl(x^2 + 6x + 9\bigr) + 5 - 9 \\[6pt] &=& (x+3)^2 - 4 \end{array} $$

Scheitelpunktform:
$$\underline{\underline{f(x) = (x+3)^2 - 4}}$$

Scheitelpunkt: $S(-3 \vert -4)$

Lösung:

Um die Scheitelpunkform zu bestimmen, müssen wir zuerst geschickt ergänzen, um anschließend eine binomische Formel anwenden zu können:

$$ \begin{array}{rcl} f(x) &=& x^2 - 4x + 1 \\[6pt] &=& \bigl(x^2 - 4x + 4\bigr) + 1 - 4 \\[6pt] &=& (x-2)^2 - 3 \end{array} $$

Scheitelpunktform:
$$\underline{\underline{f(x) = (x-2)^2 - 3}}$$

Scheitelpunkt: $S(2 \vert -3)$

Lösung:

Um die Scheitelpunkform zu bestimmen, müssen wir zuerst geschickt ergänzen, um anschließend eine binomische Formel anwenden zu können:

$$ \begin{array}{rcl} f(x) &=& 2x^2 + 8x + 3 \\[6pt] &=& 2\bigl(x^2 + 4x\bigr) + 3 \\[6pt] &=& 2\bigl(x^2 + 4x + 4\bigr) + 3 - 8 \\[6pt] &=& 2(x+2)^2 - 5 \end{array} $$

Scheitelpunktform:
$$\underline{\underline{f(x) = 2(x+2)^2 - 5}}$$

Scheitelpunkt: $S(-2 \vert -5)$

Lösung:

Um die Scheitelpunkform zu bestimmen, müssen wir zuerst geschickt ergänzen, um anschließend eine binomische Formel anwenden zu können:

$$ \begin{array}{rcl} f(x) &=& -3x^2 + 12x - 5 \\[6pt] &=& -3\bigl(x^2 - 4x\bigr) - 5 \\[6pt] &=& -3\bigl(x^2 - 4x + 4\bigr) - 5 + 12 \\[6pt] &=& -3(x-2)^2 + 7 \end{array} $$

Scheitelpunktform:
$$\underline{\underline{f(x) = -3(x-2)^2 + 7}}$$

Scheitelpunkt: $S(2 \vert 7)$

Lösung:

Um die Scheitelpunkform zu bestimmen, müssen wir zuerst geschickt ergänzen, um anschließend eine binomische Formel anwenden zu können:

$$ \begin{array}{rcl} f(x) &=& 0{,}5x^2 - 2x + 1 \\[6pt] &=& 0{,}5\bigl(x^2 - 4x\bigr) + 1 \\[6pt] &=& 0{,}5\bigl(x^2 - 4x + 4\bigr) + 1 - 2 \\[6pt] &=& 0{,}5(x-2)^2 - 1 \end{array} $$

Scheitelpunktform:
$$\underline{\underline{f(x) = 0{,}5(x-2)^2 - 1}}$$

Scheitelpunkt: $S(2 \vert -1)$

Lösung:

Um die Scheitelpunkform zu bestimmen, müssen wir zuerst geschickt ergänzen, um anschließend eine binomische Formel anwenden zu können:

$$ \begin{array}{rcl} f(x) &=& 5x^2 - 20x + 15 \\[6pt] &=& 5\bigl(x^2 - 4x\bigr) + 15 \\[6pt] &=& 5\bigl(x^2 - 4x + 4\bigr) + 15 - 20 \\[6pt] &=& 5(x-2)^2 - 5 \end{array} $$

Scheitelpunktform:
$$\underline{\underline{f(x) = 5(x-2)^2 - 5}}$$

Scheitelpunkt: $S(2 \vert -5)$