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Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen

Nullstellen bei quadratischen Funktionen sind die Punkte, an denen der Funktionswert den Wert Null annimmt. Mithilfe verschiedener Formen wie der allgemeinen Form, der Normalform oder der Scheitelpunktform können die Nullstellen mathematisch bestimmt werden. Die Anzahl der Nullstellen einer Funktion hängt von ihrer Form ab. Interessiert? Diese und weitere Informationen findest du im folgenden Text!

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Team Digital
Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, in welcher Form die jeweilige Funktion vorliegt und wie du ihre Nullstellen berechnen kannst.

    Tipps

    Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung setzt sich wie folgt zusammen:

    $f(x)=\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches Glied}}+\underbrace{bx}_{\text{lineares Glied}}+\underbrace{c}_{\text{absolutes Glied}}$

    In der Normalform einer quadratischen Funktion ist der Vorfaktor des quadratischen Gliedes gleich $1$.

    Die Diskriminante der Mitternachtsformel lautet $b^2-4ac$.

    Lösung

    Im Folgenden schauen wir uns einige Formen quadratischer Funktionen an. Zudem betrachten wir, wie wir die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Abhängigkeit von ihrer Form berechnen können.

    Allgemeine Form

    Die quadratische Funktion $f(x)=-2x^2+4x+6$ liegt in der allgemeinen Form $f(x)=ax^2+bx+c$ vor.

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form berechnen wir mit der Mitternachtsformel. Diese lautet:

    $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

    Normalform

    Die quadratische Funktion $f(x)=x^2-2x-3$ liegt in der Normalform $f(x)=x^2+px+q$ vor.

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Normalform berechnen wir mit der $pq$-Formel. Diese lautet:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    Scheitelpunktform

    Die quadratische Funktion $f(x)=2(x-3)^2-8$ liegt in der Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ vor.

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform berechnen wir wie folgt:

    $x_{1,2}=d\pm\sqrt{-\frac ea}$

    Ohne absolutes Glied

    Die quadratische Funktion $f(x)=2x^2-12x$ liegt in der Form ohne absolutes Glied $f(x)=ax^2+bx$ vor.

    Für die Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion ohne absolutes Glied klammern wir die Variable $x$ aus und nutzen den Satz vom Nullprodukt. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Die Nullstellen lauten dann:

    $x_1=0$ und $x_2=-\frac ba$

    Faktorisierte Form

    Die quadratische Funktion $f(x)=(10-x)(x+1)$ liegt in der faktorisierten Form $f(x)=(x-a)(x-b)$ vor.

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion dieser Form lauten:

    $x_1=a$ und $x_2=b$

  • Berechne die Nullstellen der gegebenen quadratischen Funktionen.

    Tipps

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form kannst du mithilfe der Mitternachtsformel bestimmen. Diese lautet:

    $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in faktorisierter Form $f(x)=(x-a)(x-b)$ lauten:

    $x_1=a$ und $x_2=b$

    Wenn eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied $f(x)=ax^2+bx$ vorliegt, kannst du die Variable $x$ ausklammern. Die Lösungen der Gleichung $x(ax+b)=0$ lauten dann:

    $x_1=0$ und $x_2=-\frac ba$

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ kannst du mithilfe folgender Formel berechnen:

    $x_{1,2}=d\pm\sqrt{-\frac ea}$

    Lösung

    Im Folgenden berechnen wir gemeinsam die Nullstellen der gegebenen quadratischen Funktionen.

    Nullstellen der Funktion $f$

    Bei der Funktionsgleichung $f(x)=2x^2-12x$ handelt es sich um eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied.

    Wenn eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied $f(x)=ax^2+bx$ vorliegt, können wir die Variable $x$ ausklammern. Die Nullstellen erhalten wir dann mithilfe des Satzes vom Nullprodukt. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.

    Es folgt für die Berechnung der Nullstellen:

    $ \begin{array}{lll} f(x) &=& 0 \\ 2x^2-12x &=& 0 \\ x(2x-12) &=& 0 \end{array} $

    Das Produkt $x(2x-12)$ ist dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Demnach erhalten wir folgende Lösungen:

    $ \begin{array}{llll} x_1 &=& 0 & \\ \\ 2x_2-12 &=& 0 & \vert +12 \\ 2x_2 &=& 12 & \vert :2 \\ x_2 &=& 6 & \end{array} $

    Nullstellen der Funktion $g$

    Bei der Funktionsgleichung $g(x)=2(x-3)^2-8$ handelt es sich um eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform.

    Wenn eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ vorliegt, können wir die Nullstellen mithilfe dieser Formel berechnen:

    $x_{1,2}=d\pm\sqrt{-\frac ea}$

    Für die Funktionsgleichung $g(x)$ erhalten wir dann:

    $ \begin{array}{lll} x_{1,2} &=& 3\pm\sqrt{-\frac {-8}2} \\ x_{1,2} &=& 3\pm\sqrt{4} \\ x_{1,2} &=& 3\pm 2 \\ \\ x_1 &=& 5 \\ x_2 &=& 1 \end{array} $

    Nullstellen der Funktion $h$

    Bei der Funktionsgleichung $h(x)=-2x^2+4x+6$ handelt es sich um eine quadratische Funktion in allgemeiner Form.

    Wenn eine quadratische Funktion in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ vorliegt, können wir die Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel berechnen:

    $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

    Für die Funktionsgleichung $h(x)$ erhalten wir dann:

    $ \begin{array}{lll} x_{1,2} &=& \frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot (-2)\cdot 6}}{2\cdot (-2)} \\ x_{1,2} &=& \frac{-4\pm\sqrt{16+48}}{-4} \\ x_{1,2} &=& \frac{-4\pm\sqrt{64}}{-4} \\ x_{1,2} &=& \frac{-4\pm 8}{-4} \\ \\ x_1 &=& -1 \\ x_2 &=& 3 \end{array} $

    Nullstellen der Funktion $k$

    Bei der Funktionsgleichung $k(x)=(10-x)(x+1)$ handelt es sich um eine quadratische Funktion in faktorisierter Form.

    Um die Gleichung $(10-x)(x+1)=0$ zu lösen, nutzen wir den Satz vom Nullprodukt. Demnach muss entweder $10-x_1=0$ oder $x_2+1=0$ gelten. So erhalten wir folgende Nullstellen für die Funktionsgleichung $h(x)$:

    $ \begin{array}{llll} 10-x_1 &=& 0 & \vert +x_1 \\ 10 &=& x_1 & \\ \\ x_2+1 &=& 0 & \vert -1 \\ x_2 &=& -1 & \end{array} $

  • Ermittle die Anzahl der Nullstellen der gegebenen quadratischen Funktionen.

    Tipps

    Die Nullstellen einer quadratischen Form in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ lauten:

    $x_{1,2}=d\pm\sqrt{-\frac ea}$

    Dabei ist der Ausdruck $-\frac ea$ die Diskriminante $D$.

    Für die Diskriminante $D$ gelten folgende Zusammenhänge:

    • $D>0$: zwei Nullstellen
    • $D=0$: eine Nullstelle
    • $D<0$: keine Nullstelle

    Die Diskriminante für eine quadratische Funktion in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ lautet:

    $b^2-4ac$

    Die Diskriminante für eine quadratische Funktion in Normalform $f(x)=x^2+px+q$ lautet:

    $\left(\frac p2\right)^2-q$

    Lösung

    Um die Anzahl der Nullstellen der gegebenen Funktionsgleichungen zu bestimmen, betrachten wir deren Diskriminanten. Da hier drei unterschiedliche Formen der quadratischen Funktion vorliegen, verwenden wir unterschiedliche Beziehungen für die jeweiligen Diskriminanten:

    • Die Diskriminante $D$ für eine quadratische Funktion in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ lautet $~b^2-4ac$.
    • Die Diskriminante $D$ für eine quadratische Funktion in Normalform $f(x)=x^2+px+q$ lautet $~\left(\frac p2\right)^2-q$.
    • Die Diskriminante $D$ für eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ lautet $~-\frac ea$.

    Für die Diskriminante $D$ gelten folgende Zusammenhänge:

    • $D>0$: zwei Nullstellen
    • $D=0$: eine Nullstelle
    • $D<0$: keine Nullstelle
    Demnach erhalten wir die folgenden Anzahlen für die Nullstellen:

    Beispiel 1: $~f(x)=-2x^2+4x+8$

    $D=b^2-4ac=4^2-4\cdot (-2)\cdot 8=16+64=80>0$

    Diese Funktion besitzt somit zwei Nullstellen.

    Beispiel 2: $~g(x)=x^2+6x+9$

    $D=\left(\frac p2\right)^2-q=\left(\frac 62\right)^2-9=9-9=0$

    Diese Funktion besitzt somit eine Nullstelle.

    Beispiel 3: $~h(x)=-2(x-2)^2+8$

    $D=-\frac ea=-\frac 8{-2}=4>0$

    Diese Funktion besitzt somit zwei Nullstellen.

    Beispiel 4: $~k(x)=2x^2+2x+1$

    $D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 2\cdot 1=4-8=-4<0$

    Diese Funktion besitzt somit keine Nullstelle.

  • Ordne den Funktionsgleichungen die zugehörige Parabel zu.

    Tipps

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ kannst du mithilfe der Mitternachtsformel bestimmen. Diese lautet:

    $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in faktorisierter Form $f(x)=(x-a)(x-b)$ lauten:

    $x_1=a$ und $x_2=b$

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ kannst du mithilfe folgender Formel berechnen:

    $x_{1,2}=d\pm\sqrt{-\frac ea}$

    Lösung

    Um den Parabeln die jeweiligen Funktionsgleichungen zuordnen zu können, berechnen wir im Folgenden deren Nullstellen:

    Beispiel 1: $~f(x)=-0,5x^2+x-1$

    Da diese quadratische Funktion in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ vorliegt, nutzen wir für die Berechnung der Nullstellen die Mitternachtsformel:

    $ \begin{array}{lll} x_{1,2} &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x_{1,2} &=& \frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot (-0,5)\cdot (-1)}}{2\cdot (-0,5)} \\ x_{1,2} &=& \frac{-1\pm\sqrt{-1}}{-1} \end{array} $

    Weil der Ausdruck unter der Wurzel, also die Diskriminante, negativ ist, besitzt die Funktion keine Nullstelle. Es gibt nur eine Parabel in Timos Skizze, die keine Nullstelle besitzt. Sie ist grün eingezeichnet. Somit können wir die grüne Parabel dieser Funktionsgleichung zuordnen.

    Beispiel 2: $~g(x)=-(x-2)^2+4$

    Da diese quadratische Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ vorliegt, nutzen wir für die Berechnung der Nullstellen folgende Formel:

    $ \begin{array}{lll} x_{1,2} &=& d\pm\sqrt{-\frac ea} \\ x_{1,2} &=& 2\pm\sqrt{-\frac 4{-1}} \\ x_{1,2} &=& 2\pm 2 \\ \\ x_1 &=& 4 \\ x_2 &=& 0 \end{array} $

    Die Funktion hat ihre Nullstellen in $x_1=4$ und $x_2=0$. Somit können wir die rote Parabel dieser Funktionsgleichung zuordnen.

    Beispiel 3: $~h(x)=x^2+4x-5$

    Da diese quadratische Funktion in Normalform $f(x)=x^2+px+q$ vorliegt, nutzen wir für die Berechnung der Nullstellen die $pq$-Formel:

    $ \begin{array}{lll} x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ x_{1,2} &=& -\frac 42\pm\sqrt{\left(\frac 42\right)^2+5} \\ x_{1,2} &=& -2\pm\sqrt{9} \\ x_{1,2} &=& -2\pm 3 \\ \\ x_1 &=& 1 \\ x_2 &=& -5 \end{array} $

    Die Funktion hat ihre Nullstellen in $x_1=1$ und $x_2=-5$. Somit können wir die lila Parabel dieser Funktionsgleichung zuordnen.

    Beispiel 4: $~k(x)= (x+3)(x-3)$

    Da diese quadratische Funktion in der faktorisierten Form $f(x)=(x-a)(x-b)$ vorliegt, nutzen wir für die Berechnung der Nullstellen den Satz vom Nullprodukt:

    $ \begin{array}{llll} x_1+3 &=& 0 & \vert -3 \\ x_1 &=& -3 & \\ \\ x_2-3 &=& 0 & \vert +3\\ x_2 &=& 3 & \end{array} $

    Die Funktion hat ihre Nullstellen in $x_1=-3$ und $x_2=3$. Somit können wir die gelbe Parabel dieser Funktionsgleichung zuordnen.

  • Bestimme, wie viele Nullstellen die gegebenen Funktionen besitzen.

    Tipps

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form $f(x)=a^2+bx+c$ berechnest du mithilfe der Mitternachtsformel:

    $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

    Bei dieser Aufgabe musst du die Nullstellen nicht unbedingt berechnen. Es reicht, wenn du die Diskriminante untersuchst. So findest du heraus, wie viele Nullstellen die Funktion besitzt.

    Für die Diskriminante $D=b^2-4ac$ gilt:

    • $D>0$: zwei Nullstellen
    • $D=0$: eine Nullstelle
    • $D<0$: keine Nullstelle
    Lösung

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form berechnen wir mithilfe der Mitternachtsformel:

    $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

    Da wir allerdings nur die Anzahl der Nullstellen suchen, reicht es, die Diskriminante zu betrachten.
    Für die Diskriminante $D=b^2-4ac$ gilt:

    • $D>0$: zwei Nullstellen
    • $D=0$: eine Nullstelle
    • $D<0$: keine Nullstelle
    Also berechnen wir nur den Ausdruck unter der Wurzel.

    Beispiel 1: $f(x)=2x^2-4x+1$

    $D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 1=16-8=8>0$

    Somit hat diese Funktion zwei Nullstellen.

    Beispiel 2: $f(x)=2x^2-4x+3$

    $D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 3=16-24=-8<0$

    Somit hat diese Funktion keine Nullstelle.

    Beispiel 3: $f(x)=2x^2-4x+2$

    $D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 2=16-16=0$

    Somit hat diese Funktion eine Nullstelle.

  • Prüfe die Aussagen zu quadratischen Funktionen bezüglich ihrer Richtigkeit.

    Tipps

    Eine quadratische Funktion kann in unterschiedlichen Formen vorliegen. Einige lauten wie folgt:

    • allgemeine Form: $f(x)=ax^2+bx+c$
    • Normalform: $f(x)=x^2+px+q$
    • Scheitelpunktform: $f(x)=a(x-d)^2+e$

    Eine quadratische Funktion in allgemeiner Form setzt sich wie folgt zusammen:

    $f(x)=\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches Glied}}+\underbrace{bx}_{\text{lineares Glied}}+\underbrace{c}_{\text{absolutes Glied}}$

    Die faktorisierte Form einer quadratischen Funktion lautet allgemein:

    $f(x)=(x-a)(x-b)$

    Lösung

    Eine quadratische Funktion kann in den folgenden Formen vorliegen:

    • allgemeine Form: $f(x)=ax^2+bx+c$
    • Normalform: $f(x)=x^2+px+q$
    • Scheitelpunktform: $f(x)=a(x-d)^2+e$
    • Form ohne absolutes Glied: $f(x)=ax^2+bx$
    • faktorisierte Form: $f(x)=(x-a)(x-b)$
    Dabei setzt sich die allgemeine Form wie folgt zusammen:

    $f(x)=\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches Glied}}+\underbrace{bx}_{\text{lineares Glied}}+\underbrace{c}_{\text{absolutes Glied}}$

    • Quadratische Funktionen, die entweder in der allgemeinen Form oder in der Normalform oder in der Scheitelpunktform vorliegen, können keine, eine oder zwei Nullstellen haben.
    • Eine quadratische Funktion in faktorisierter Form besitzt mindestens eine Nullstelle.
    • Eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied hat mindestens eine Nullstelle bei $x=0$.
    • Ist der Koeffizient des linearen Gliedes gleich null, so besitzt eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied beide Nullstellen bei $x=0$. Damit haben solche Funktionen nur eine Nullstelle. Es folgt für eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied mit $b=0$ die Funktion $f(x)=ax^2$, welche die Nullstelle $x=0$ besitzt.