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Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen 11:12 min

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Transkript Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen

Fridolin der Pinguin sitzt auf seiner Scholle. Er möchte auch lernen, so toll zu springen und zu tauchen wie seine Freunde. Weil er sich nicht traut, einfach ins Wasser zu hüpfen, will er die Bewegungen erstmal genau analysieren. Und dazu wird er die Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen. Hier springt der majestätische Delfin. Der Sprung verläuft entlang einer Parabel! Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion. Zu dieser Parabel ist dies die zugehörige Funktionsgleichung. Diese Parabel ist nach unten geöffnet, und ihren höchsten Punkt nennt man Scheitelpunkt. Wo der Graph die x-Achse schneidet, liegen die Nullstellen der Funktion. Das sind diejenigen x-Werte, für die der Funktionswert, also f von x, gleich 0 ist. Hier gibt es 2 Nullstellen, das muss aber nicht immer so sein — dazu später mehr. Schauen wir uns die Funktionsgleichung genauer an. Sie liegt in der allgemeinen Form vor — die sieht ganz allgemein SO aus. a, b und c sind dabei beliebige Zahlen, jedoch darf a nicht 0 sein. Bei uns sind a, b und c minus 2, 4 und 6. Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form berechnest du mit der Mitternachtsformel: x eins zwei ist gleich minus b plus/minus Wurzel aus b Quadrat minus vier a c und das Ganze durch zwei a. Du setzt die Zahlen aus der Funktionsgleichung in die Formel ein, vereinfachst und fasst zusammen. In der Formel gibt es ein plus/minus. Die entsprechenden Terme musst du getrennt ausrechnen. Mit dem plus findest du: x 1 ist gleich minus 1. Und mit dem minus: x 2 ist gleich 3. Also sind die beiden Nullstellen bei minus 1 und drei. Vielleicht kennst du quadratische Funktionen vor allem in der Normalform. Hier ist der Vorfaktor, oder auch Koeffizient genannt, von x Quadrat gleich 1. Und meistens nennt man diese Koeffizienten p und q. Wie die Mitternachtsformel bei der allgemeinen Form gibt es für die Normalform die pq-Formel. Und genau wie bei der Mitternachtsformel gibt es mit dem plus/minus zwei mögliche Lösungen. Es muss aber nicht immer zwei Nullstellen geben. Wie viele Nullstellen eine quadratische Funktion besitzt, kannst du mit der Diskriminante bestimmen. Die ist der Ausdruck unter der Wurzel in der Mitternachtsformel oder der pq-Formel. Zur Berechnung der Nullstellen diese Funktion,die in allgemeiner Form vorliegt nutzen wir die Mitternachtsformel und die entsprechende Diskriminante. Die Diskriminante ist dann dieser Ausdruck. Daran, dass die Diskriminante größer ist als 0, erkennst du, dass die Funktion 2 Nullstellen hat – da wir in der Mitternachtsformel einmal diesen Wert addieren und einmal subtrahieren. Bei dieser Funktion ist das anders. Ihre Diskriminante ist gleich 0 und daraus kannst du folgern, dass die Funktion nur eine Nullstelle hat – die beiden Terme mit plus und minus der Wurzel sind dann beide gleich. Und bei dieser Funktion sehen wir, nach Einsetzen der Werte für a, b und c, dass die Diskriminante sogar kleiner als 0 ist! Da die Diskriminante der Ausdruck unter der Wurzel ist, bemerkst du schon das Problem. Aus negativen Zahlen kann man keine Wurzeln ziehen! Und deshalb hat eine quadratische Funktion mit negativer Diskriminante gar keine Nullstellen – das sieht man auch an ihrem Graphen. Nun aber zurück zu Fridolins tollenden Freunden. Fridolin staunt: der schwere Wal kann so elegant tauchen? Er schwimmt entlang einer Parabel mit dieser Funktionsgleichung. Wie funktioniert dieser Tauchgang genau? Wir suchen wieder die Nullstellen dieser Funktion. Wir könnten versuchen, die Klammer aufzulösen und die Mitternachtsformel benutzen um die Nullstellen zu finden. Aber schau mal: die Funktion liegt in Scheitelpunktform vor. Die sieht im Allgemeinen so aus und du kannst aus ihr direkt den Scheitelpunkt ablesen: er liegt bei 3, minus 8. Bei nach oben geöffneten Parabeln ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Parabel. Um die Nullstellen einer in Scheitelpunktform gegebenen quadratischen Funktion auszurechnen, musst du nur umstellen und die Lösungsformel sieht SO aus. In die setzen wir die Werte von a, d und e ein und finden als Nullstellen 1 und 5. Die Anzahl der Nullstellen hängt wieder vom Term unter der Wurzel ab. Wenn er größer ist als 0, gibt es 2 Nullstellen; ist er gleich 0, gibt es eine; und ist er kleiner als 0, hat die Funktion gar keine Nullstellen. Große Sprünge macht das Walross nicht — es plumpst einfach ins Wasser. Aber dort macht es einen gekonnten Tauchgang. Der verläuft entlang dieser Parabel, zu der diese Funktionsgleichung gehört. Fridolin sucht wieder die Nullstellen. Bei dieser Form ist ein x in allen Termen enthalten. Man nennt diese Form "ohne absolutes Glied" und schreibt sie allgemein so. Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion ohne absolutes Glied zu bestimmen, kannst du zunächst ein x ausklammern. Dann kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden — ein Produkt ist gleich 0 genau dann, wenn mindestens einer seiner Faktoren 0 ist. Also ist eine Nullstelle automatisch bei x gleich 0. Für die andere musst du die Klammer gleich 0 setzen und nach x auflösen. Und die zweite Nullstelle ist bei minus b durch a. Wenn wir unsere Zahlen einsetzen, finden wir eine Nullstelle bei 0 und die andere bei 6. Wenn in der Form ohne absolutes Glied b gleich 0 ist, gibt es nur die eine Nullstelle bei 0. Bei keinem Meeresbewohner sehen die Sprünge so leicht aus wie bei dem Thunfisch. Er springt entlang einer Parabel, die dieser Funktionsgleichung gehorcht. Was sind die Nullstellen dieser Parabel? Die Form dieser quadratischen Funktion ist besonders einfach: sie ist vollständig faktorisiert, also in Faktoren aufgespalten, hier in die beiden Faktoren in den Klammern. Allgemein schreibt man eine faktorisierte quadratische Funktion SO. Weil ein Produkt 0 ist, wenn einer der Faktoren 0 ist, kannst du nach einer kleinen Umformung die Nullstellen der quadratischen Funktion in dieser Form einfach ablesen. In unserem Fall liegt die erste Nullstelle bei x 1 gleich 10. Für die zweite müssen wir uns vorstellen, dass in der Klammer x minus "minus 1" steht. Und dann können wir die zweite Nullstelle x 2 gleich minus 1 auch ablesen. Tauchen wir also in die Zusammenfassung ein: Wenn du die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen sollst, sieh dir zuerst genau an, in welcher Form die Funktion gegeben ist. Die allgemeine Form sieht so aus. Denk daran, dass a nicht 0 ist, b und c aber alle beliebigen Zahlen sein dürfen. Du kannst auch jede quadratische Funktion auf allgemeine Form bringen. Die Nullstellen rechnest du mit der Mitternachtsformel aus. Denk immer daran, dass du manchmal 2, eine oder gar keine Nullstellen findest. Mit der Diskriminante kannst du das schnell herausfinden. In der Normalform sieht eine quadratische Funktion SO aus. Es können alle quadratischen Funktionen auch auf Normalform gebracht werden. Um die Nullstellen auszurechnen, benutzt du die pq-Formel. Auch bei ihr gibt es eine Diskriminante, die dir die Anzahl der Nullstellen angibt. Wenn die Gleichung in der Scheitelpunktform gegeben ist, kannst du direkt den Scheitelpunkt ablesen. Die Nullstellen berechnest du mit dieser Formel und wie viele es gibt, mit dem Ausdruck unter der Wurzel. Bei diesen Formen kann es vorkommen, dass die Funktion gar keine Nullstelle besitzt. Wenn die Funktion ohne absolutes Glied gegeben ist, sieht das anders aus. Hier kannst du ein x ausklammern, und deshalb liegt eine Nullstelle bei Funktionen mit dieser Form immer bei x gleich 0. Die andere liegt bei minus b durch a — wenn aber b gleich 0 ist, sind beide Nullstellen bei x gleich 0. Am schnellsten findest du die Nullstellen bei Funktionen, die in faktorisierten Form vorliegen. Die kannst du einfach ablesen als x 1 gleich a und x 2 gleich b. Achte dabei aber auf die Vorzeichen! Und wenn a und b gleich sind, gibt es nur eine Nullstelle. Fridolin hat die Sprungbewegungen und Tauchformen der anderen Meeresbewohner verstanden. Jetzt will er es selbst ausprobieren. Du schaffst es, Fridolin! Das sind aber viele Nullstellen!

10 Kommentare
  1. oh wie süß

    Von Yiren Y., vor 19 Tagen
  2. Hallo Beehoney, danke für dein positives Feedback! Das freut uns sehr. Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Albrecht Kröner, vor etwa einem Monat
  3. Meine Güte! Ich wünschte, dass es noch mehr von euren Videos gäbe. Nicht nur einfach erklärt, sondern auch schön anzusehen. – Weiter so.

    Von Beehoney1, vor etwa einem Monat
  4. Interaktive Aufgaben sind immer wieder ein Genuß.
    Jedoch finde ich es sehr umständlich, dabei auch noch einen Schreibblock benutzen zu müssen. Besser wäre eine Anordnung, in der verschiedene Zahlen, Vorzeichen, Symbole etc. verschoben bzw. eingegeben können.

    Von Itslearning Nutzer 2535 1139687, vor 3 Monaten
  5. Hallo, bei den AB zum Ausdrucken ist einiges ineinander geraten- vielleicht kann man da noch einmal nachformatieren. Danke

    Von Alena von H., vor 3 Monaten
  1. Eigentlich hab ich das noch nicht gelernt, aber ich hab alles ohne gigantus problemus verstanden.
    Nice Digitalteam!
    der pinguin war ultra süß

    Von Yiren Y., vor 3 Monaten
  2. Hallo Dennis Noelte,
    ich nehme an, deine Frage zielt darauf ab, ob die Funktion f(x)=-2x^2+4x+6 tatsächlich die abgebildete Funktion darstellt, da ihr Scheitelpunkt beim Wert y=8 liegt.
    Das stimmt auch, dennoch gibt das +6 in der Funktionsvorschrift an, in welchem Punkt die y-Achse geschnitten wird. In diesem Fall im Punkt (0|6). Dass der Scheitelpunkt bei y=8 liegt, ergibt sich aus der restlichen Funktionsvorschrift.
    Ich hoffe, dass ich damit deine Frage beantworten konnte. Ansonsten kannst du dich auch gerne an unseren Fachchat wenden, der von Montag bis Freitag von 17-19 Uhr für dich da ist.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 8 Monaten
  3. Müsste es nicht +8 sein und nicht +6?
    Es hat mir trotzdem sehr gut geholfen

    Von Dennis Noelte, vor 8 Monaten
  4. der pinguïn war einfach zu süß

    Von Thindsingh2001, vor 11 Monaten
  5. machtweiterso

    Von Am204, vor etwa einem Jahr
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Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, in welcher Form die jeweilige Funktion vorliegt und wie du ihre Nullstellen berechnen kannst.

    Tipps

    Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung setzt sich wie folgt zusammen:

    $f(x)=\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches Glied}}+\underbrace{bx}_{\text{lineares Glied}}+\underbrace{c}_{\text{absolutes Glied}}$.

    In der Normalform einer quadratischen Funktion ist der Vorfaktor des quadratischen Gliedes gleich $1$.

    Die Diskriminante der Mitternachtsformel lautet $b^2-4ac$.

    Lösung

    Im Folgenden schauen wir uns einige Formen quadratischer Funktionen an. Zudem betrachten wir, wie wir die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Abhängigkeit von ihrer Form berechnen können.

    Allgemeine Form

    Die quadratische Funktion $f(x)=-2x^2+4x+6$ liegt in der allgemeinen Form $f(x)=ax^2+bx+c$ vor.

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form berechnen wir mit der Mitternachtsformel. Diese lautet:

    • $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
    Normalform

    Die quadratische Funktion $f(x)=x^2-2x-3$ liegt in der Normalform $f(x)=x^2+px+q$ vor.

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Normalform berechnen wir mit der $pq$-Formel. Diese lautet:

    • $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
    Scheitelpunktform

    Die quadratische Funktion $f(x)=2(x-3)^2-8$ liegt in der Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ vor.

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform berechnen wir wie folgt:

    • $x_{1,2}=d\pm\sqrt{-\frac ea}$.
    Ohne absolutes Glied

    Die quadratische Funktion $f(x)=2x^2-12x$ liegt in der Form ohne absolutes Glied $f(x)=ax^2+bx$ vor.

    Für die Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion ohne absolutes Glied klammern wir die Variable $x$ aus und nutzen den Satz vom Nullprodukt. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Die Nullstellen lauten dann:

    • $x_1=0$ und
    • $x_2=-\frac ba$.
    Faktorisierte Form

    Die quadratische Funktion $f(x)=(10-x)(x+1)$ liegt in der faktorisierten Form $f(x)=(x-a)(x-b)$ vor.

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion dieser Form lauten:

    • $x_1=a$ und
    • $x_2=b$.

  • Bestimme, wie viele Nullstellen die gegebenen Funktionen besitzen.

    Tipps

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form $f(x)=a^2+bx+c$ berechnest du mit Hilfe der Mitternachtsformel:

    • $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
    Bei dieser Aufgabe musst du die Nullstellen nicht unbedingt berechnen. Es reicht, wenn du die Diskriminante untersuchst. So findest du heraus, wie viele Nullstellen die Funktion besitzt.

    Für die Diskriminante $D=b^2-4ac$ gilt:

    • $D>0:$ zwei Nullstellen,
    • $D=0:$ eine Nullstelle,
    • $D<0:$ keine Nullstellen.

    Lösung

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form berechnen wir mit Hilfe der Mitternachtsformel:

    • $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
    Da wir allerdings nur die Anzahl der Nullstellen suchen, reicht es, die Diskriminante zu betrachten. Für die Diskriminante $D=b^2-4ac$ gilt:
    • $D>0:$ zwei Nullstellen,
    • $D=0:$ eine Nullstelle,
    • $D<0:$ keine Nullstellen.
    Also berechnen wir nur den Ausdruck unter der Wurzel.

    Beispiel 1: $f(x)=2x^2-4x+1$

    • $D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 1=16-8=8>0$
    Somit hat diese Funktion zwei Nullstellen.

    Beispiel 2: $f(x)=2x^2-4x+3$

    • $D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 3=16-24=-8<0$
    Somit hat diese Funktion keine Nullstellen.

    Beispiel 3: $f(x)=2x^2-4x+2$

    • $D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 2=16-16=0$
    Somit hat diese Funktion eine Nullstelle.

  • Berechne die Nullstellen der gegebenen quadratischen Funktionen.

    Tipps

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form kannst du mit Hilfe der Mitternachtsformel bestimmen. Diese lautet:

    • $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in faktorisierter Form $f(x)=(x-a)(x-b)$ lauten:

    • $x_1=a$ und
    • $x_2=b$.

    Wenn eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied $f(x)=ax^2+bx$ vorliegt, kannst du die Variable $x$ ausklammern. Die Lösungen der Gleichung $x(ax+b)=0$ lauten dann:

    • $x_1=0$ und
    • $x_2=-\frac ba$.

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ kannst du mit Hilfe folgender Formel berechnen:

    $x_{1,2}=d\pm\sqrt{-\frac ea}$.

    Lösung

    Im Folgenden berechnen wir gemeinsam die Nullstellen der gegebenen quadratischen Funktionen.

    Nullstellen der Funktion $f$

    Bei der Funktionsgleichung $f(x)=2x^2-12x$ handelt es sich um eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied.

    Wenn eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied $f(x)=ax^2+bx$ vorliegt, können wir die Variable $x$ ausklammern. Die Nullstellen erhalten wir dann mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Es folgt für die Berechnung der Nullstellen:

    $ \begin{array}{lll} f(x) &=& 0 \\ 2x^2-12x &=& 0 \\ x(2x-12) &=& 0 \end{array} $

    Das Produkt $x(2x-12)$ ist dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Demnach erhalten wir folgende Lösungen:

    $ \begin{array}{llll} x_1 &=& 0 & \\ \\ 2x_2-12 &=& 0 & \vert +12 \\ 2x_2 &=& 12 & \vert :2 \\ x_2 &=& 6 & \end{array} $

    Nullstellen der Funktion $g$

    Bei der Funktionsgleichung $g(x)=2(x-3)^2-8$ handelt es sich um eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform.

    Wenn eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ vorliegt, können wir die Nullstellen mit Hilfe folgender Formel berechnen:

    $x_{1,2}=d\pm\sqrt{-\frac ea}$.

    Für die Funktionsgleichung $g(x)$ erhalten wir dann

    $ \begin{array}{lll} x_{1,2} &=& 3\pm\sqrt{-\frac {-8}2} \\ x_{1,2} &=& 3\pm\sqrt{4} \\ x_{1,2} &=& 3\pm 2 \\ \\ x_1 &=& 5 \\ x_2 &=& 1 \end{array} $

    Nullstellen der Funktion $h$

    Bei der Funktionsgleichung $h(x)=-2x^2+4x+6$ handelt es sich um eine quadratische Funktion in allgemeiner Form.

    Wenn eine quadratische Funktion in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ vorliegt, können wir die Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel berechnen:

    $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

    Für die Funktionsgleichung $h(x)$ erhalten wir dann

    $ \begin{array}{lll} x_{1,2} &=& \frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot (-2)\cdot 6}}{2\cdot (-2)} \\ x_{1,2} &=& \frac{-4\pm\sqrt{16+48}}{-4} \\ x_{1,2} &=& \frac{-4\pm\sqrt{64}}{-4} \\ x_{1,2} &=& \frac{-4\pm 8}{-4} \\ \\ x_1 &=& -1 \\ x_2 &=& 3 \end{array} $

    Nullstellen der Funktion $k$

    Bei der Funktionsgleichung $k(x)=(10-x)(x+1)$ handelt es sich um eine quadratische Funktion in faktorisierter Form.

    Um die Gleichung $(10-x)(x+1)=0$ zu lösen, nutzen wir den Satz vom Nullprodukt. Demnach muss entweder $10-x_1=0$ oder $x_2+1=0$ gelten. So erhalten wir folgende Nullstellen für die Funktionsgleichung $h(x)$:

    $ \begin{array}{llll} 10-x_1 &=& 0 & \vert +x_1 \\ 10 &=& x_1 & \\ \\ x_2+1 &=& 0 & \vert -1 \\ x_2 &=& -1 & \end{array} $

  • Prüfe die Aussagen zu quadratischen Funktionen bezüglich ihrer Richtigkeit.

    Tipps

    Eine quadratische Funktion kann in unterschiedlichen Formen vorliegen. Einige lauten wie folgt:

    • allgemeine Form $f(x)=ax^2+bx+c$,
    • Normalform $f(x)=x^2+px+q$ und
    • Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$.

    Eine quadratische Funktion in allgemeiner Form setzt sich wie folgt zusammen:

    $f(x)=\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches Glied}}+\underbrace{bx}_{\text{lineares Glied}}+\underbrace{c}_{\text{absolutes Glied}}$.

    Die faktorisierte Form einer quadratischen Funktion lautet allgemein:

    • $f(x)=(x-a)(x-b)$.

    Lösung

    Eine quadratische Funktion kann in den folgenden Formen vorliegen:

    • allgemeine Form $f(x)=ax^2+bx+c$,
    • Normalform $f(x)=x^2+px+q$,
    • Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$,
    • Form ohne absolutes Glied $f(x)=ax^2+bx$ und
    • faktorisierte Form $f(x)=(x-a)(x-b)$.
    Dabei setzt sich die allgemeine Form wie folgt zusammen:

    $f(x)=\underbrace{ax^2}_{\text{quadratisches Glied}}+\underbrace{bx}_{\text{lineares Glied}}+\underbrace{c}_{\text{absolutes Glied}}$

    • Quadratische Funktionen, die entweder in der allgemeinen Form oder in der Normalform oder in der Scheitelpunktform vorliegen, können keine, eine oder zwei Nullstellen besitzen.
    • Eine quadratische Funktion in faktorisierter Form besitzt mindestens eine Nullstelle.
    • Eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied besitzt mindestens eine Nullstelle bei $x=0$.
    • Ist der Koeffizient des linearen Gliedes gleich null, so besitzt eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied beide Nullstellen bei $x=0$. Damit haben solche Funktionen nur eine Nullstelle. Es folgt für eine quadratische Funktion ohne absolutes Glied mit $b=0$ die Funktion $f(x)=ax^2$, welche die Nullstelle $x=0$ besitzt.
  • Ermittle die Anzahl der Nullstellen der gegebenen quadratischen Funktionen.

    Tipps

    Die Nullstellen einer quadratischen Form in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ lauten:

    • $x_{1,2}=d\pm\sqrt{-\frac ea}$.
    Dabei ist der Ausdruck $-\frac ea$ die Diskriminante $D$.

    Für die Diskriminante $D$ gelten folgende Zusammenhänge:

    • $D>0:$ zwei Nullstellen,
    • $D=0:$ eine Nullstelle,
    • $D<0:$ keine Nullstellen.

    Die Diskriminante für eine quadratische Funktion in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ lautet:

    • $b^2-4ac$.
    Die Diskriminante für eine quadratische Funktion in Normalform $f(x)=x^2+px+q$ lautet:

    • $\left(\frac p2\right)^2-q$.
    Lösung

    Um die Anzahl der Nullstellen der gegebenen Funktionsgleichungen zu bestimmen, betrachten wir deren Diskriminanten. Da hier drei unterschiedliche Formen der quadratischen Funktion vorliegen, verwenden wir unterschiedliche Beziehungen für die jeweiligen Diskriminanten.

    • Die Diskriminante $D$ für eine quadratische Funktion in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ lautet: $~b^2-4ac$.
    • Die Diskriminante $D$ für eine quadratische Funktion in Normalform $f(x)=x^2+px+q$ lautet: $~\left(\frac p2\right)^2-q$.
    • Die Diskriminante $D$ für eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ lautet: $~-\frac ea$.
    Für die Diskriminante $D$ gelten folgende Zusammenhänge:
    • $D>0:$ zwei Nullstellen,
    • $D=0:$ eine Nullstelle,
    • $D<0:$ keine Nullstellen.
    Demnach erhalten wir die folgenden Anzahlen für die Nullstellen.

    Beispiel 1: $~f(x)=-2x^2+4x+8$

    $D=b^2-4ac=4^2-4\cdot (-2)\cdot 8=16+64=80>0$

    Diese Funktion besitzt somit zwei Nullstellen.

    Beispiel 2: $~g(x)=x^2+6x+9$

    $D=\left(\frac p2\right)^2-q=\left(\frac 62\right)^2-9=9-9=0$

    Diese Funktion besitzt somit eine Nullstelle.

    Beispiel 3: $~h(x)=-2(x-2)+8$

    $D=-\frac ea=-\frac 8{-2}=4>0$

    Diese Funktion besitzt somit zwei Nullstellen.

    Beispiel 4: $~k(x)=2x^2+2x+1$

    $D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 2\cdot 1=4-8=-4<0$

    Diese Funktion besitzt somit keine Nullstellen.

  • Ordne den Funktionsgleichungen die zugehörige Parabel zu.

    Tipps

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ kannst du mit Hilfe der Mitternachtsformel bestimmen. Diese lautet:

    • $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in faktorisierter Form $f(x)=(x-a)(x-b)$ lauten:

    • $x_1=a$ und
    • $x_2=b$.

    Die Nullstellen einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ kannst du mit Hilfe folgender Formel berechnen:

    $x_{1,2}=d\pm\sqrt{-\frac ea}$.

    Lösung

    Um den Parabeln die jeweiligen Funktionsgleichungen zuordnen zu können, berechnen wir im Folgenden deren Nullstellen. Wir erhalten folgende Nullstellen:

    Beispiel 1: $~f(x)=-0,5x^2+x-1$

    Da diese quadratische Funktion in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ vorliegt, nutzen wir für die Berechnung der Nullstellen die Mitternachtsformel. Wir erhalten:

    $ \begin{array}{lll} x_{1,2} &=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x_{1,2} &=& \frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot (-0,5)\cdot (-1)}}{2\cdot (-0,5)} \\ x_{1,2} &=& \frac{-1\pm\sqrt{-1}}{-1} \end{array} $

    Da der Ausdruck unter der Wurzel, also die Diskriminante, negativ ist, besitzt diese Funktion keine Nullstellen. Es gibt nur eine Parabel in Timos Skizze, die keine Nullstellen besitzt. Sie ist grün eingezeichnet. Somit können wir die grüne Parabel dieser Funktionsgleichung zuordnen.

    Beispiel 2: $~g(x)=-(x-2)^2+4$

    Da diese quadratische Funktion in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ vorliegt, nutzen wir für die Berechnung der Nullstellen folgende Formel:

    $ \begin{array}{lll} x_{1,2} &=& d\pm\sqrt{-\frac ea} \\ x_{1,2} &=& 2\pm\sqrt{-\frac 4{-1}} \\ x_{1,2} &=& 2\pm 2 \\ \\ x_1 &=& 4 \\ x_2 &=& 0 \end{array} $

    Diese Funktion hat ihre Nullstellen in $x_1=4$ und $x_2=0$. Somit können wir die rote Parabel dieser Funktionsgleichung zuordnen.

    Beispiel 3: $~h(x)=x^2+4x-5$

    Da diese quadratische Funktion in Normalform $f(x)=x^2+px+q$ vorliegt, nutzen wir für die Berechnung der Nullstellen die $pq$-Formel. Wir erhalten:

    $ \begin{array}{lll} x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ x_{1,2} &=& -\frac 42\pm\sqrt{\left(\frac 42\right)^2+5} \\ x_{1,2} &=& -2\pm\sqrt{9} \\ x_{1,2} &=& -2\pm 3 \\ \\ x_1 &=& 1 \\ x_2 &=& -5 \end{array} $

    Diese Funktion hat ihre Nullstellen in $x_1=1$ und $x_2=-5$. Somit können wir die lila Parabel dieser Funktionsgleichung zuordnen.

    Beispiel 4: $~k(x)= (x+3)(x-3)$

    Da diese quadratische Funktion in der faktorisierten Form $f(x)=(x-a)(x-b)$ vorliegt, nutzen wir für die Berechnung der Nullstellen den Satz vom Nullprodukt. Wir erhalten:

    $ \begin{array}{llll} x_1+3 &=& 0 & \vert -3 \\ x_1 &=& -3 & \\ \\ x_2-3 &=& 0 & \vert +3\\ x_2 &=& 3 & \end{array} $

    Diese Funktion hat ihre Nullstellen in $x_1=-3$ und $x_2=3$. Somit können wir die gelbe Parabel dieser Funktionsgleichung zuordnen.