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Textaufgaben mit quadratischen Gleichungen

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Team Digital
Textaufgaben mit quadratischen Gleichungen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Textaufgaben mit quadratischen Gleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Textaufgaben mit quadratischen Gleichungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die quadratische Gleichung auf und löse sie.

    Tipps

    Die Fläche eines Rechtecks entspricht dem Produkt seiner Kantenlängen.

    Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet:

    $x^2+px+q=0$

    Die $1.$ binomische Formel lautet:

    $(a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2$

    Sie gilt in beide Richtungen!

    Lösung

    Wir betrachten im Folgenden ein Rechteck, das von einem Teppich umschlossen werden soll. Folgende Angaben zum Rechteck sind uns bekannt:

    • Die Breite ist $9$ Wallacesons länger als der Morgenspaziergang des Königs.
    • Die Höhe ist $3$ Wallacesons länger als der Morgenspaziergang des Königs.
    • Die Rechteckfläche beträgt insgesamt $72$ Quadratwallacesons.
    Wenn wir annehmen, dass die Länge des Morgenspaziergangs mit der Variablen $x$ beschrieben wird, erhalten wir folgende Terme für die Länge und die Breite des Rechtecks:

    • Breite: $x+9$
    • Höhe: $x+3$
    Da die Fläche eines Rechtecks dem Produkt seiner Kantenlängen entspricht, können wir nun folgende Gleichung für die Fläche aufstellen:

    $(x+9)\cdot (x+3)=72$

    Um diese mittels $pq$-Formel lösen zu können, müssen wir sie zunächst in die Normalform $x^2+px+q=0$ überführen:

    $\begin{array}{lllll} \\ & (x+9)\cdot (x+3) &=& 72 & \\ & x^2+3x+9x+27 &=& 72 & \\ & x^2+12x+27 &=& 72 & \vert -72 \\ & x^2+12x-45 &=& 0 & \\ \\ \end{array}$

    Um die Gleichung zu lösen, können wir zwei verschiedene Rechenwege durchführen:

    $1$. Weg: $pq$-Formel:

    Besitzt die Gleichung die Normalform, so kann folgende Formel angewendet werden:

    $x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 -q)}$

    Setzen wir unsere Werte ein, erhalten wir folgende Gleichung:

    $x_{1,2}=-6 \pm \sqrt{(36 + 45)} $

    $\begin{array}{lllll} \\ & x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ & x_{1,2} &=& -\frac {12}2\pm\sqrt{\left(\frac {12}2\right)^2+45} \\ & x_{1,2} &=& -6\pm\sqrt{36+45} \\ & x_{1,2} &=& -6\pm\sqrt{81} \\ & x_{1,2} &=& -6\pm 9 \\ \\ & x_{1} &=& 3 \\ & x_{2} &=& -15 \\ \\ \end{array}$

    $2$. Weg: quadratische Ergänzung:

    Ein anderer Weg ist die Benutzung der quadratischen Ergänzung: Du bringst zuerst die Konstante deiner Gleichung in Normalform auf die andere Seite. Anschließend teilst du den Koeffizienten des linearen Gliedes durch $2$ und quadrierst ihn dann. So erhältst du:

    $x^2+12x +36= 45+36$

    Nun kannst du auf der linken Seite die $1.$ binomische Formel anwenden und auf der rechten Seite die Konstanten zusammenrechnen. So erhältst du:

    $(x+6)^2 =81$

    Durch das Wurzelziehen erhältst du schließlich zwei Werte für $x$.

    $\begin{array}{lllll} \\ & x^2+12x-45 &=& 0 & \vert +45 \\ & x^2+12x &=& 45 & \vert + (\frac{12}{2})^2 \\ & x^2+12x +36 &=& 45+36 & \vert 1. \text{bin. Formel}\\ & (x+6)^2 &=& 81 & \vert \sqrt{~} \\ & x+6 &=& \pm 9 &\vert -6 \\ &x_1 &=& 9 - 6 & \\ &x_1 &=& 3 & \\ &x_2 &=& -9 -6 & \\ &x_2 &=& -15 & \\ \\ \end{array}$

    Da eine Länge nicht negativ sein kann, ist die Lösung der Aufgabe $x=3$. Demnach umschließt der Teppich ein Rechteck mit den Kantenlängen $12$ und $6$ Wallacesons.

  • Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung hat folgende allgemeine Form:

    $ax^2+bx+c=0$ mit $a\neq 0$

    Du musst folgende Terme berechnen:

    $x_{1,2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot (-0,25)\cdot 5}}{2\cdot (-0,25)}$

    Lösung

    Wir betrachten nun folgende quadratische Gleichung:

    • $0 = -0,25x^2 + 2x + 5$
    Diese lösen wir mithilfe der Mitternachtsformel:

    • $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
    Die Größen $a$, $b$ und $c$ können wir direkt ablesen, da wir die allgemeine Form $ax^2+bx+c=0$ einer quadratischen Gleichung kennen. Es ist also:

    • $a=-0,25$ der Koeffizient des quadratischen Glieds
    • $b=2$ der Koeffizient des linearen Glieds
    • $c=5$ das absolute Glied
    Damit erhalten wir folgende Terme, mit denen wir die Lösungen $x_1$ und $x_2$ berechnen können:

    $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& \dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot (-0,25)\cdot 5}}{2\cdot (-0,25)} \\ & x_{1,2} &=& \dfrac{-2\pm\sqrt{4+5}}{-0,5} \\ & x_{1,2} &=& \dfrac{-2\pm\sqrt{9}}{-0,5} \\ \\ \end{array}$

    Damit erhalten wir folgende Lösungen:

    $\begin{array}{llllll} \\ & x_{1} &=& \dfrac{-2+3}{-0,5} &=& -2 \\ & x_{2} &=& \dfrac{-2-3}{-0,5} &=& 10 \end{array}$

  • Ermittle die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ sowie die Lösungen der quadratischen Gleichungen.

    Tipps

    Einige Gleichungen musst du zunächst mittels Äquivalenzumformungen in die allgemeine Form überführen, da du nur eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form mithilfe der Mitternachtsformel lösen kannst.

    Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet: $~ax^2+bx+c=0$

    Dabei gilt $a\neq 0$.

    Lösung

    Um die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ zu ermitteln, müssen alle Gleichungen in der allgemeinen Form vorliegen. Einige der gegebenen quadratischen Gleichungen müssen wir daher zunächst mittels Äquivalenzumformungen in die allgemeine Form überführen. Haben wir die Koeffizienten bestimmt, können wir mithilfe der Mitternachtsformel die Lösungen $x_1$ und $x_2$ bestimmen. Wir erhalten so folgende Rechnungen:

    1. Gleichung: $~x^2+4x-5=0$

    Diese Gleichung liegt bereits in der allgemeinen Form vor und somit können wir die Koeffizienten direkt ablesen:

    • $a=1$
    • $b=4$
    • $c=-5$
    Wir setzen diese Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein und erhalten:

    $\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &=& \dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1} \\ &=& \dfrac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2} \\ &=& \dfrac{-4\pm\sqrt{36}}{2} \\ &=& \dfrac{-4\pm 6}{2} \\ \\ x_1 &=& \dfrac{-4+ 6}{2} \\ &=& 1 \\ \\ x_2 &=& \dfrac{-4- 6}{2} \\ &=& -5 \end{array}$

    2. Gleichung: $~-4x^2+12x+9=-2x^2-5$

    Wir stellen diese Gleichung wie folgt um:

    $\begin{array}{llll} & -4x^2+12x+9 &=& -2x^2-5 & \vert +2x^2 \\ & -2x^2+12x+9=-5 & \vert +5 \\ & -2x^2+12x+14=0 & \end{array}$

    Wir erhalten also folgende Koeffizienten:

    • $a=-2$
    • $b=12$
    • $c=14$
    Wieder setzen wir die Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein und rechnen:

    $\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &=& \dfrac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot (-2)\cdot 14}}{2\cdot (-2)} \\ &=& \dfrac{-12\pm\sqrt{256}}{-4} \\ &=& \dfrac{-12\pm 16}{-4} \\ \\ x_1 &=& \dfrac{-12+ 16}{-4} \\ &=& -1 \\ \\ x_2 &=& \dfrac{-12- 16}{-4} \\ &=& 7 \end{array}$

    3. Gleichung: $~(x+2)^2=-x^2-8x-6$

    Erneut stellen wir die Gleichung zunächst um. Hierzu verwenden wir die $2.$ binomische Formel:

    $\begin{array}{llll} & (x+2)^2 &=& -x^2-8x-6 & \\ & x^2+4x+4 &=& -x^2-8x-6 & \vert +x^2 \\ & 2x^2+4x+4 &=& -8x-6 & \vert +8x \\ & 2x^2+12x+4 &=& -6 & \vert +6 \\ & 2x^2+12x+10 &=& 0 & \\ \end{array}$

    Wir erhalten also folgende Koeffizienten:

    • $a=2$
    • $b=12$
    • $c=10$
    Mit der Mitternachtsformel erhalten wir folgende Lösungen:

    $\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &=& \dfrac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot 2\cdot 10}}{2\cdot 2} \\ &=& \dfrac{-12\pm\sqrt{64}}{4} \\ &=& \dfrac{-12\pm 8}{4} \\ \\ x_1 &=& \dfrac{-12+ 8}{4} \\ &=& -1 \\ \\ x_2 &=& \dfrac{-12- 8}{4} \\ &=& -5 \end{array}$

  • Bestimme die Koeffizienten $p$ und $q$ der Normalform sowie die Lösungen der quadratischen Gleichungen.

    Tipps

    Verwende die erste binomische Formel, um die quadratische Ergänzung durchzuführen:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

    Verwende die zweite binomische Formel, um die Klammern auszumultiplizieren:

    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

    Du kannst zwei Klammern wie folgt ausmultiplizieren:

    $(a+b)(c+d)=ac+bc+bc+bd$

    Nutze zum Berechnen der Lösungen die $pq$-Formel:

    • $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    Beispiel quadratische Ergänzung:

    $\begin{array}{llll} \\ & x^2-4x-12 &=& 0 & \vert +12 \\ & x^2\color{#669900}{-4}x &=& 12 & \vert + (\frac{\color{#669900}{-4}}{2})^2 \\ & x^2 - 4x \color{#669900}{+4} &=& 12 \color{#669900}{+4} & \vert 1.~ \text{bin. Formel} \\ &(x-2)^2 &=& 16 &\vert \sqrt{~} \\ & x -2 &=& \pm 4 & \vert +2 \\ & x_1 &=& 6 & \\ & x_2 &=& -2 &\\ \end{array}$

    Lösung

    Wir müssen die Gleichungen zunächst mittels Äquivalenzumformungen in die Normalform $x^2+px+q=0$ überführen, damit wir die Koeffizienten $p$ und $q$ ablesen können. Wir gehen also wie folgt vor:

    1. Gleichung: $~(x-3)^2=4x+20$

    Wir stellen die Gleichung um, indem wir zunächst die linke Seite mithilfe der $2.$ binomischen Formel ausmultiplizieren:

    $\begin{array}{llll} \\ & (x-3)^2 &=& 4x+20 & \\ & x^2-6x+9 &=& 4x+20 & \vert -4x \\ & x^2-10x+9 &=& 20 & \vert -20 \\ & x^2-10x-11 &=& 0 & \\ \\ \end{array}$

    $pq$-Formel:

    Damit ist $p=-10$ und $q=-11$. Setzen wir diese Koeffizienten in die $pq$-Formel ein, erhalten wir folgende Lösungen der quadratischen Gleichung:

    $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ & x_{1,2} &=& -\frac {-10}2\pm\sqrt{\left(\frac {-10}2\right)^2-(-11)} \\ & x_{1,2} &=& 5\pm\sqrt{25+11} \\ & x_{1,2} &=& 5\pm\sqrt{36} \\ & x_{1,2} &=& 5\pm 6 \\ \\ & x_1 &=& 5+6=11 \\ & x_2 &=& 5-6=-1 \\ \\ \end{array}$

    Quadratische Ergänzung:

    Wir betrachten die Gleichung in Normalform und können dann die quadratische Ergänzung durchführen.

    $\begin{array}{llll} \\ & x^2-10x-11 &=& 0 & \vert +11 \\ & x^2\color{#669900}{-10}x &=& 11 & \vert + (\frac{\color{#669900}{-10}}{2})^2 \\ & x^2 - 10x \color{#669900}{+25} &=& 11 \color{#669900}{+25} & \vert 1.~ \text{bin. Formel} \\ &(x-5)^2 &=& 36 &\vert \sqrt{~} \\ & x -5 &=& \pm 6 & \vert +5 \\ & x_1 &=& 11 & \\ & x_2 &=& -1 &\\ \end{array}$

    2. Gleichung: $~(2x-1)^2=2x^2+7$

    Wir stellen wieder die Gleichung zunächst um:

    $\begin{array}{llll} \\ & (2x-1)^2 &=& 2x^2+7 & \\ & 4x^2-4x+1 &=& 2x^2+7 & \vert -2x^2 \\ & 2x^2-4x+1 &=& 7 & \vert -7 \\ & 2x^2-4x-6 &=& 0 & \vert :2 \\ & x^2-2x-3 &=& 0 & \\ \\ \end{array}$

    $pq$-Formel:

    Für diese Gleichung erhalten wir $p=-2$ und $q=-3$. Damit können wir die $pq$-Formel wie folgt anwenden:

    $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ & x_{1,2} &=& -\frac {-2}2\pm\sqrt{\left(\frac {-2}2\right)^2-(-3)} \\ & x_{1,2} &=& 1\pm\sqrt{1+3} \\ & x_{1,2} &=& 1\pm\sqrt{4} \\ & x_{1,2} &=& 1\pm 2 \\ \\ & x_1 &=& 1+2=3 \\ & x_2 &=& 1-2=-1 \\ \\ \end{array}$

    Quadratische Ergänzung:

    Wir betrachten die Gleichung in Normalform und können dann die quadratische Ergänzung durchführen.

    $\begin{array}{llll} \\ & x^2-2x-3 &=& 0 & \vert +3 \\ & x^2\color{#669900}{-2}x &=& 3 & \vert + (\frac{\color{#669900}{-2}}{2})^2 \\ & x^2 - 2x \color{#669900}{+1} &=& 3 \color{#669900}{+1} & \vert 1.~ \text{bin. Formel} \\ &(x-1)^2 &=& 4 &\vert \sqrt{~} \\ & x -1 &=& \pm 2 & \vert +1 \\ & x_1 &=& 3 & \\ & x_2 &=& -1 &\\ \end{array}$

    3. Gleichung: $~(2x-1)(x+3)= -3x^2 +7$

    Die Rechnung sieht wie folgt aus:

    $\begin{array}{llll} \\ & (2x-1)(x+3) &=& -3x^2 +7 & \\ & 2x^2+6x-x-3 &=& -3x^2 +7 & \\ & 2x^2+5x-3 &=& -3x^2 +7 & \vert +3x \\ & 5x^2+5x-3 &=& 7 & \vert -7 \\ & 5x^2+5x-10 &=& 0 & \vert :5 \\ & x^2+x-2 &=& 0 & \\ \\ \end{array}$

    $pq$-Formel:

    Für diese Gleichung erhalten wir $p=1$ und $q=-2$ und damit folgt:

    $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 12\pm\sqrt{\left(\frac 12\right)^2-(-2)} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 12\pm\sqrt{\frac 14+2} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 12\pm\sqrt{\frac 14+\frac 84} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 12\pm\sqrt{\frac 94} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 12\pm \frac 32 \\ \\ & x_1 &=& -\frac 12+\frac 32=1 \\ & x_2 &=& -\frac 12-\frac 32=-2 \end{array}$

    Quadratische Ergänzung:

    Wir betrachten die Gleichung in Normalform und können dann die quadratische Ergänzung durchführen.

    $\begin{array}{llll} \\ & x^2+x-2 &=& 0 & \vert +2 \\ & x^2+\color{#669900}{1}x &=& 2 & \vert + (\frac{\color{#669900}{1}}{2})^2 \\ & x^2 + x \color{#669900}{+0,25} &=& 2 \color{#669900}{+0,25} & \vert 1.~ \text{bin. Formel} \\ &(x+0,5)^2 &=& 2,25 &\vert \sqrt{~} \\ & x +0,5 &=& \pm 1,5 & \vert -0,5 \\ & x_1 &=& 1 & \\ & x_2 &=& -2 &\\ \end{array}$

  • Gib die $pq$-Formel und die Mitternachtsformel an.

    Tipps

    Die Lösungen der quadratischen Gleichung $0=x^2+12x-45$ kannst du mit folgendem Term berechnen:

    • $x_{1,2} = -\frac {12}2\pm\sqrt{\left(\frac {12}2\right)^2+45}$

    Die quadratische Gleichung $0=x^2+12x-45$ kannst du auch mit der Mitternachtsformel lösen. Hierbei gilt:

    • $a=1$
    • $b=12$
    • $c=-45$

    Lösung

    Quadratische Gleichungen kannst du in folgende Formen überführen, um sie dann mit der $pq$-Formel oder der Mitternachtsformel zu lösen:

    • Normalform: $x^2+px+q=0$
    • allgemeine Form: $ax^2+bx+c=0$ mit $a\neq 0$

    Liegt eine quadratische Gleichung in der Normalform vor, so eignet sich zum Lösen die $pq$-Formel. Diese lautet:

    • $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$
    Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kannst du mit der Mitternachtsformel lösen. Diese lautet:
    • $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
    Du kannst auch für eine quadratische Gleichung in der Normalform die Mitternachtsformel anwenden. In diesem Fall wäre $a=1$:

    $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & &=& \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot 1\cdot c}}{2\cdot 1}\\ & &=& \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}\\ \\ \end{array}$

    Wir erkennen $b=p$ und $c=q$ und sehen, dass wir durch Umformen die $pq$-Formel erhalten:

    $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2}&=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}\\ & &=&\frac{-b}2 \pm\sqrt{\frac {b^2}{2^2}-\frac{4c}{2^2}}\\ & &=&\frac{-b}2 \pm\sqrt{\left( \frac b 2 \right)^2-c}\\ & &=&\frac{-p}2 \pm\sqrt{\left(\frac p 2 \right)^2-q}\\ \end{array}$

  • Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichungen.

    Tipps

    Du kannst die quadratischen Gleichungen mithilfe der Mitternachtsformel lösen:

    $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

    Setze hierzu $a$, $b$ und $c$ entsprechend ein.

    Manchmal eignet sich die $pq$-Formel zum Lösen der quadratischen Gleichung besser:

    • $x_{1,2} = -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$
    Lösung

    Eine quadratische Gleichung kannst du mittels folgender Methoden lösen:

    • Mitternachtsformel
    • $pq$-Formel
    • quadratische Ergänzung
    Liegt die betrachtete quadratische Gleichung in der allgemeinen Form $ax^2+bx+c=0$ vor, so eignet sich zum Lösen die Mitternachtsformel. Die $pq$-Formel lässt sich auf die Normalform einer quadratischen Gleichung anwenden. Für die quadratische Ergänzung spielt es keine Rolle, in welcher Form die Gleichung vorliegt. Sie wird entsprechend umgestellt und ergänzt.

    1. Gleichung: $~-2x^2-3x+2=0$

    Diese quadratische Gleichung lösen wir, indem wir eine quadratische Ergänzung durchführen. Hierzu formen wir sie zunächst ein wenig um:

    $\begin{array}{lllll} & -2x^2-3x+2 &=& 0 & \vert :(-2) \\ & x^2+\frac 32x-1 &=& 0 &\vert +1 \\ & x^2+\frac 32x &=& 1 & \end{array}$

    Damit wir die linke Seite der Gleichung zu der ersten binomischen Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ zusammenfassen können, müssen wir die Gleichung um den Term $b^2$ ergänzen. Vergleichen wir zunächst den Term $a^2+2ab+b^2$ mit der linken Seite der Gleichung, erkennen wir, dass $a^2=x^2$, also $a=x$ und $2ab=\frac 32x$, gilt. Damit muss auch $2b=\frac 32$ gelten, sodass wir $\frac 32$ durch $2$ teilen müssen, um $b$ zu erhalten. Diese Zahl wird dann quadriert und auf beiden Seiten der Gleichung addiert:

    $\begin{array}{lllll} & x^2+\frac 32x+\color{#669900}{\left(\frac 3{4}\right)^2} &=& 1+ \color{#669900}{\left(\frac 3{4}\right)^2} & \\ & x^2+\frac 32x+\color{#669900}{\frac 9{16}} &=& 1+ \color{#669900}{\frac9{16}} & \\ & x^2+\frac 32x+\frac 9{16} &=& \frac {25}{16} & \\ & (x+\frac 34)^2 &=& \frac{25}{16} & \vert \sqrt{\quad} \\ & \sqrt{(x+\frac 34)^2} &=& \sqrt{\frac{25}{16}} & \\ & x_{1,2}+\frac 34 &=& \pm\frac 54 & -\frac 34 \\ & x_{1,2} &=& \pm\frac 54-\frac 34 & \\ \\ & x_1 &=& \frac 54-\frac 34=\frac 12 \\ & x_2 &=& -\frac 54-\frac 34=-2 \end{array}$

    2. Gleichung: $~\frac 14 x^2-5x+9=0$

    Diesmal nutzen wir die Mitternachtsformel. Wir setzen dafür die Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein und erhalten:

    $\begin{array}{lll} \\ x_{1,2} &=& \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x_{1,2} &=& \dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 0,25\cdot 9}}{2\cdot 0,25} \\ x_{1,2} &=& \dfrac{5\pm\sqrt{25-9}}{0,5} \\ x_{1,2} &=& \dfrac{5\pm\sqrt{16}}{0,5} \\ x_{1,2} &=& \dfrac{5\pm 4}{0,5} \\ \\ x_{1} &=& \dfrac{5+4}{0,5} = 18 \\ \\ x_{2} &=& \dfrac{5-4}{0,5} = 2 \\ \\ \end{array}$

    3. Gleichung: $~x^2+4x+\frac 74=0$

    Da hier vor dem quadratischen Glied eine $1$ steht, ist diese Gleichung in der Normalform $x^2+px+q=0$ gegeben, sodass wir direkt die $pq$-Formel anwenden können. Dabei ist $p=4$ der Koeffizient des linearen Glieds und $q=\frac 74$ das absolute Glied:

    $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ & x_{1,2} &=& -\frac {4}2\pm\sqrt{\left(\frac {4}2\right)^2-\frac 74} \\ & x_{1,2} &=& -2\pm\sqrt{4-\frac 74} \\ & x_{1,2} &=& -2\pm\sqrt{\frac {16}4-\frac 74} \\ & x_{1,2} &=& -2\pm\sqrt{\frac 94} \\ & x_{1,2} &=& -2\pm \frac 32 \\ \\ & x_1 &=& -2+\frac 32=-\frac 12 \\ & x_2 &=& -2-\frac 32=-\frac 72 \\ \\ \end{array}$

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