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Textaufgaben mit quadratischen Gleichungen

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Team Digital
Textaufgaben mit quadratischen Gleichungen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Textaufgaben mit quadratischen Gleichungen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Textaufgaben mithilfe von quadratischen Gleichungen zu lösen.

Zunächst lernst du, wie du eine quadratische Gleichung aufstellen kannst. Anschließend lernst du, wie du sie mithilfe verschiedener Methoden lösen kannst. Dazu zählen unter anderem die pq-Formel und die Mitternachtsformel. Abschließend lernst du, wie du die Lösung dann deuten kannst.

Lerne etwas über das Lösen quadratischer Gleichungen.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie quadratische Gleichung, pq-Formel und Mitternachtsformel.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine quadratische Gleichung ist.

Transkript Textaufgaben mit quadratischen Gleichungen

Tagein, Tagaus regiert der mächtige König Wallace von seinem Thron aus sein Königreich - nur an seinem Geburtstag geht er stets auf Reisen, um bedeutende Orte und Sehenswürdigkeiten seines Reiches zu besuchen. Dieses Jahr fällt ihm die Wahl besonders schwer, es gibt so viele interessante Reiseziele. Also beschließt er, eine der schönsten Burgen seines Reiches zu besuchen - zum x-ten Mal. Damit seine Schuhe nicht dreckig werden, müssen die Diener das Gebiet um die Burg mit Teppich abdecken. Aber welche Seitenlängen muss der Teppich haben? Das können wir mit einer quadratischen Gleichung herausfinden. Schauen wir uns eine Zeichnung des Schlosses an. Die Breite der mit Teppich abzudeckenden Fläche ist 9 Wallacesons länger als der Morgenspaziergang des Königs. Wir bezeichnen sie deswegen mit x + 9. Und die Höhe der Fläche ist x + 3. Was ein Wallaceson ist, fragst du? Ein König, der etwas auf sich hält, hat natürlich auch eine nach ihm benannte Längeneinheit. Die Gesamtfläche beträgt 72 Quadratwallacesons. Um den Dienern zu helfen, die Teppichmenge herauszubekommen, die sie benötigen, können wir eine Gleichung aufstellen und sie nach x auflösen. Zuerst multiplizieren wir die beiden Klammern aus. Dann subtrahieren wir auf beiden Seiten 72. Um diese quadratische Gleichung zu lösen, können wir die pq-Formel benutzen. Die Gleichung liegt nämlich in der sogenannten Normalform vor: bei der ist der Koeffizient des quadratischen Glieds 1. p und q entsprechen also 12 und minus 45. Wenn wir das in die pq-Formel einsetzen, vereinfachen und die Wurzel ziehen, dann finden wir die beiden Lösungen x1 gleich 3 und x2 gleich minus 15. Aber die pq-Formel ist nicht unser einziges Ass im Ärmel. Wir können auch mithilfe einer quadratischen Ergänzung nach x auflösen. Dazu machst du Folgendes: Du bringst die Konstante auf die andere Seite des Gleichheitszeichens. Dann teilst du den Koeffizienten des linearen Gliedes durch 2, was 6 ergibt, und quadrierst, wodurch du 36 erhältst. Das können wir mit der 1. Binomischen Formel vereinfachen und dann nach x auflösen, indem wir auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. X1 ist dann 3 und x2 ist -15. Setzen wir die x-Werte in die Gleichung ein, sodass die Diener den Teppich bestellen können. Wenn wir x1 = 3 einsetzen, erhalten wir eine Fläche von 12 Wallacesons mal 6 Wallacesons. Das ist echt ein großer Teppich. Und wenn wir x2 = -15 einsetzen, ist der Teppich -6 Wallacesons mal -12 Wallacesons groß. Eine Fläche kann aber keine negativen Seitenlängen haben. X2 = -15 ist demnach zwar eine Lösung der quadratischen Gleichung, es ist aber keine korrekte Lösung der Textaufgabe. Die richtige Lösung lautet also: x1 = 3. Unentschlossen wie immer beschließt der König in letzter Sekunde, doch lieber einen Ort zu besuchen, an dem er noch nie gewesen ist. Er möchte zu einem Dorf nahe der Grenze seines Reiches. Er ist neugierig, denn er hat von den seltsamen Bräuchen der Dorfbewohner gehört. Als der König ins Dorf kommt, scheinen die Bewohner ganz normal zu sein. Mit Apfelkörben in den Händen warten sie geduldig auf den Beginn seiner Rede. Zum Glück weiß der Knappe des Königs von dem ungewöhnlichen Brauch der Dörfler, Besucher zur Begrüßung mit Äpfeln zu bewerfen. Um seinen König zu schützen, muss der Knappe die Menge unter Kontrolle bringen. Aber wie? Der König wird seine Rede von einem 5 Meter hohen Podest aus halten. Das entspricht dem Punkt (0|5) auf dem Graphen. Die Flugbahn der Äpfel kann mit der Funktion f(x) [f von x] = -0,25x² + 2x + 5 beschrieben werden. Da es sich um eine quadratische Gleichung handelt, hat der Graph die Form einer Parabel. Wo müssen die Bewohner also stehen, damit sie den König mit ihren Äpfeln nicht erreichen können? Eine verzwickte Situation, aber was soll man machen? Man soll die Bräuche anderer Leute schließlich respektieren. Lösen wir diese Aufgabe graphisch. Dazu setzt du verschiedene Werte für x ein und berechnest die entsprechenden y-Werte. Dann zeichnest du die Punkte ein und zeichnest die Parabel. Wo der Graph die x-Achse schneidet, liegen mögliche Lösungen der Gleichung: Also bei x1 = -2 und bei x2 = 10. Der König ist sicher, wenn das Publikum 10 Meter vor dem Podest steht. Aber müssen wir wirklich erst eine Tabelle ausfüllen, um das herauszufinden? Wir können die Lösung auch mithilfe der "Mitternachtsformel" bestimmen. Die kennst du vielleicht als "abc-Formel". Vergleichen wir mit der allgemeinen Form einer quadratischen Gleichung, können wir die Werte für a, b und c in unserer Gleichung einfach ablesen. Du setzt einfach die Werte für a, b und c in die "Mitternachtsformel" ein und rechnest los. Zuerst vereinfachen wir unter der Wurzel sowie im Nenner. Dann fassen wir weiter zusammen, ziehen die Wurzel und die beiden Lösungen lauten wie zuvor x1 = -2 und x2 = 10. Wie erwartet versuchen die Dorfbewohner, den König mit Äpfeln willkommen zu heißen, aber dank der quadratischen Gleichungen kann der König seine Rede halten, ohne dass ihn auch nur ein einziger Apfel trifft.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Die schönste Region Deutschlands ist natürlich der Schwatzwald...
    Wer kennts nicht.

    Von Claudia Weisshaar, vor 11 Monaten
  2. loch nass

    Von Yiren Y., vor mehr als einem Jahr

Textaufgaben mit quadratischen Gleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Textaufgaben mit quadratischen Gleichungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die quadratische Gleichung auf und löse sie.

    Tipps

    Die Fläche eines Rechtecks entspricht dem Produkt seiner Kantenlängen.

    Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet:

    $x^2+px+q=0$

    Die $1.$ binomische Formel lautet:

    $(a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2$

    Sie gilt in beide Richtungen!

    Lösung

    Wir betrachten im Folgenden ein Rechteck, das von einem Teppich umschlossen werden soll. Folgende Angaben zum Rechteck sind uns bekannt:

    • Die Breite ist $9$ Wallacesons länger als der Morgenspaziergang des Königs.
    • Die Höhe ist $3$ Wallacesons länger als der Morgenspaziergang des Königs.
    • Die Rechteckfläche beträgt insgesamt $72$ Quadratwallacesons.
    Wenn wir annehmen, dass die Länge des Morgenspaziergangs mit der Variablen $x$ beschrieben wird, erhalten wir folgende Terme für die Länge und Breite des Rechtecks:
    • Breite: $x+9$
    • Höhe: $x+3$
    Da die Fläche eines Rechtecks dem Produkt seiner Kantenlängen entspricht, können wir nun folgende Gleichung für die Fläche aufstellen:

    $(x+9)\cdot (x+3)=72$

    Um diese mittels $pq$-Formel lösen zu können, müssen wir sie zunächst in die Normalform $x^2+px+q=0$ überführen:

    $\begin{array}{lllll} \\ & (x+9)\cdot (x+3) &=& 72 & \\ & x^2+3x+9x+27 &=& 72 & \\ & x^2+12x+27 &=& 72 & \vert -72 \\ & x^2+12x-45 &=& 0 & \\ \\ \end{array}$

    Um die Gleichung zu lösen, können wir zwei verschiedene Rechenwege durchführen.

    $1$. Weg: $pq$-Formel:

    Besitzt die Gleichung die Normalform, so kann folgende Formel angewendet werden:

    $x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 -q)}$

    Setzen wir unsere Werte ein, so erhalten wir folgende Gleichung:

    $x_{1,2}=-6 \pm \sqrt{(36 + 45)} $

    $\begin{array}{lllll} \\ & x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ & x_{1,2} &=& -\frac {12}2\pm\sqrt{\left(\frac {12}2\right)^2+45} \\ & x_{1,2} &=& -6\pm\sqrt{36+45} \\ & x_{1,2} &=& -6\pm\sqrt{81} \\ & x_{1,2} &=& -6\pm 9 \\ \\ & x_{1} &=& 3 \\ & x_{2} &=& -15 \\ \\ \end{array}$

    $2$. Weg: quadratische Ergänzung:

    Ein anderer Weg ist die Benutzung der quadratischen Ergänzung. Du bringst zuerst die Konstante deiner Gleichung in Normalform auf die andere Seite. Anschließend teilst du den Koeffizienten des linearen Gliedes durch $2$ und quadrierst ihn dann. So erhältst du:

    $x^2+12x +36= 45+36$

    Nun kannst du auf der linken Seite die $1.$ binomische Formel anwenden und auf der rechten Seite die Konstanten zusammenrechnen. So erhältst du:

    $(x+6)^2 =81$

    Durch das Wurzelziehen erhältst du dann zwei Werte für $x$.

    $\begin{array}{lllll} \\ & x^2+12x-45 &=& 0 & \vert +45 \\ & x^2+12x &=& 45 & \vert + (\frac{12}{2})^2 \\ & x^2+12x +36 &=& 45+36 & \vert 1. \text{bin. Formel}\\ & (x+6)^2 &=& 81 & \vert \sqrt{~} \\ & x+6 &=& \pm 9 &\vert -6 \\ &x_1 &=& 9 - 6 & \\ &x_1 &=& 3 & \\ &x_2 &=& -9 -6 & \\ &x_2 &=& -15 & \\ \\ \end{array}$

    Da eine Länge nicht negativ sein kann, ist die Lösung der Aufgabe $x=3$. Demnach umschließt der Teppich ein Rechteck mit den Kantenlängen $12$ und $6$ Wallacesons.

  • Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung hat folgende allgemeine Form:

    $ax^2+bx+c=0$ mit $a\neq 0$

    Du musst folgende Terme berechnen:

    $x_{1,2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot (-0,25)\cdot 5}}{2\cdot (-0,25)}$

    Lösung

    Wir betrachten nun folgende quadratische Gleichung:

    • $0 = -0,25x^2 + 2x + 5$
    Diese lösen wir mithilfe der Mitternachtsformel:

    • $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
    Die Größen $a$, $b$ und $c$ können wir direkt ablesen, da wir die allgemeine Form $ax^2+bx+c=0$ einer quadratischen Gleichung kennen. Es ist also:

    • $a=-0,25$ der Koeffizient des quadratischen Glieds
    • $b=2$ der Koeffizient des linearen Glieds
    • $c=5$ das absolute Glied
    Damit erhalten wir folgende Terme, mit denen wir die Lösungen $x_1$ und $x_2$ berechnen können:

    $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& \dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot (-0,25)\cdot 5}}{2\cdot (-0,25)} \\ & x_{1,2} &=& \dfrac{-2\pm\sqrt{4+5}}{-0,5} \\ & x_{1,2} &=& \dfrac{-2\pm\sqrt{9}}{-0,5} \\ \\ \end{array}$

    Damit erhalten wir folgende Lösungen:

    $\begin{array}{llllll} \\ & x_{1} &=& \dfrac{-2+3}{-0,5} &=& -2 \\ & x_{2} &=& \dfrac{-2-3}{-0,5} &=& 10 \end{array}$

  • Ermittle die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ sowie die Lösungen der quadratischen Gleichungen.

    Tipps

    Einige Gleichungen musst du zunächst mittels Äquivalenzumformungen in die allgemeine Form überführen, da du nur eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form mithilfe der Mitternachtsformel lösen kannst.

    Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet: $~ax^2+bx+c=0$

    Dabei gilt $a\neq 0$.

    Lösung

    Um die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ zu ermitteln, müssen alle Gleichungen in der allgemeinen Form vorliegen. Einige der gegebenen quadratischen Gleichungen müssen wir daher zunächst mittels Äquivalenzumformungen in die allgemeine Form überführen. Haben wir die Koeffizienten bestimmt, können wir mithilfe der Mitternachtsformel die Lösungen $x_1$ und $x_2$ bestimmen. Wir erhalten so folgende Rechnungen:

    1. Gleichung: $~x^2+4x-5=0$

    Diese Gleichung liegt bereits in der allgemeinen Form vor und somit können wir die Koeffizienten direkt ablesen:

    • $a=1$
    • $b=4$
    • $c=-5$
    Wir setzen diese Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein und erhalten:

    $\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &=& \dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1} \\ &=& \dfrac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2} \\ &=& \dfrac{-4\pm\sqrt{36}}{2} \\ &=& \dfrac{-4\pm 6}{2} \\ \\ x_1 &=& \dfrac{-4+ 6}{2} \\ &=& 1 \\ \\ x_2 &=& \dfrac{-4- 6}{2} \\ &=& -5 \end{array}$

    2. Gleichung: $~-4x^2+12x+9=-2x^2-5$

    Wir stellen diese Gleichung wie folgt um:

    $\begin{array}{llll} & -4x^2+12x+9 &=& -2x^2-5 & \vert +2x^2 \\ & -2x^2+12x+9=-5 & \vert +5 \\ & -2x^2+12x+14=0 & \end{array}$

    Wir erhalten also folgende Koeffizienten:

    • $a=-2$
    • $b=12$
    • $c=14$
    Wieder setzen wir die Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein und rechnen:

    $\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &=& \dfrac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot (-2)\cdot 14}}{2\cdot (-2)} \\ &=& \dfrac{-12\pm\sqrt{256}}{-4} \\ &=& \dfrac{-12\pm 16}{-4} \\ \\ x_1 &=& \dfrac{-12+ 16}{-4} \\ &=& -1 \\ \\ x_2 &=& \dfrac{-12- 16}{-4} \\ &=& 7 \end{array}$

    3. Gleichung: $~(x+2)^2=-x^2-8x-6$

    Wieder stellen wir die Gleichung zunächst um. Hierzu verwenden wir die zweite binomische Formel:

    $\begin{array}{llll} & (x+2)^2 &=& -x^2-8x-6 & \\ & x^2+4x+4 &=& -x^2-8x-6 & \vert +x^2 \\ & 2x^2+4x+4 &=& -8x-6 & \vert +8x \\ & 2x^2+12x+4 &=& -6 & \vert +6 \\ & 2x^2+12x+10 &=& 0 & \\ \end{array}$

    Wir erhalten also folgende Koeffizienten:

    • $a=2$
    • $b=12$
    • $c=10$
    Mit der Mitternachtsformel erhalten wir folgende Lösungen:

    $\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &=& \dfrac{-12\pm\sqrt{12^2-4\cdot 2\cdot 10}}{2\cdot 2} \\ &=& \dfrac{-12\pm\sqrt{64}}{4} \\ &=& \dfrac{-12\pm 8}{4} \\ \\ x_1 &=& \dfrac{-12+ 8}{4} \\ &=& -1 \\ \\ x_2 &=& \dfrac{-12- 8}{4} \\ &=& -5 \end{array}$

  • Bestimme die Koeffizienten $p$ und $q$ der Normalform sowie die Lösungen der quadratischen Gleichungen.

    Tipps

    Verwende die erste binomische Formel, um die quadratische Ergänzung durchzuführen:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

    Verwende die zweite binomische Formel, um die Klammern auszumultiplizieren:

    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

    Du kannst zwei Klammern wie folgt ausmultiplizieren:

    $(a+b)(c+d)=ac+bc+bc+bd$

    Nutze zum Berechnen der Lösungen die $pq$-Formel:

    • $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    Beispiel quadratische Ergänzung:

    $\begin{array}{llll} \\ & x^2-4x-12 &=& 0 & \vert +12 \\ & x^2\color{#669900}{-4}x &=& 12 & \vert + (\frac{\color{#669900}{-4}}{2})^2 \\ & x^2 - 4x \color{#669900}{+4} &=& 12 \color{#669900}{+4} & \vert 1.~ \text{bin. Formel} \\ &(x-2)^2 &=& 16 &\vert \sqrt{~} \\ & x -2 &=& \pm 4 & \vert +2 \\ & x_1 &=& 6 & \\ & x_2 &=& -2 &\\ \end{array}$

    Lösung

    Wir müssen die Gleichungen zunächst mittels Äquivalenzumformungen in die Normalform $x^2+px+q=0$ überführen, damit wir die Koeffizienten $p$ und $q$ ablesen können. Wir gehen also wie folgt vor:

    1. Gleichung: $~(x-3)^2=4x+20$

    Wir stellen die Gleichung um, indem wir zunächst die linke Seite mithilfe der 2. binomischen Formel ausmultiplizieren:

    $\begin{array}{llll} \\ & (x-3)^2 &=& 4x+20 & \\ & x^2-6x+9 &=& 4x+20 & \vert -4x \\ & x^2-10x+9 &=& 20 & \vert -20 \\ & x^2-10x-11 &=& 0 & \\ \\ \end{array}$

    $pq$-Formel:

    Damit ist $p=-10$ und $q=-11$. Setzen wir diese Koeffizienten in die $pq$-Formel ein, erhalten wir folgende Lösungen der quadratischen Gleichung:

    $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ & x_{1,2} &=& -\frac {10}2\pm\sqrt{\left(\frac {10}2\right)^2-(-11)} \\ & x_{1,2} &=& -5\pm\sqrt{25+11} \\ & x_{1,2} &=& -5\pm\sqrt{36} \\ & x_{1,2} &=& -5\pm 6 \\ \\ & x_1 &=& -5+6=1 \\ & x_2 &=& -5-6=-11 \\ \\ \end{array}$

    Quadratische Ergänzung:

    Wir betrachten die Gleichung in Normalform und können dann die quadratische Ergänzung durchführen.

    $\begin{array}{llll} \\ & x^2-10x-11 &=& 0 & \vert +11 \\ & x^2\color{#669900}{-10}x &=& 11 & \vert + (\frac{\color{#669900}{-10}}{2})^2 \\ & x^2 - 10x \color{#669900}{+25} &=& 11 \color{#669900}{+25} & \vert 1.~ \text{bin. Formel} \\ &(x+5)^2 &=& 36 &\vert \sqrt{~} \\ & x +5 &=& \pm 6 & \vert -5 \\ & x_1 &=& -11 & \\ & x_2 &=& 1 &\\ \end{array}$

    2. Gleichung: $~(2x-1)^2=2x^2+7$

    Wir stellen wieder die Gleichung zunächst um:

    $\begin{array}{llll} \\ & (2x-1)^2 &=& 2x^2+7 & \\ & 4x^2-4x+1 &=& 2x^2+7 & \vert -2x^2 \\ & 2x^2-4x+1 &=& 7 & \vert -7 \\ & 2x^2-4x-6 &=& 0 & \vert :2 \\ & x^2-2x-3 &=& 0 & \\ \\ \end{array}$

    $pq$-Formel:

    Für diese Gleichung erhalten wir $p=-2$ und $q=-3$. Damit können wir die $pq$-Formel wie folgt anwenden:

    $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ & x_{1,2} &=& -\frac {-2}2\pm\sqrt{\left(\frac {-2}2\right)^2-(-3)} \\ & x_{1,2} &=& 1\pm\sqrt{1+3} \\ & x_{1,2} &=& 1\pm\sqrt{4} \\ & x_{1,2} &=& 1\pm 2 \\ \\ & x_1 &=& 1+2=3 \\ & x_2 &=& 1-2=-1 \\ \\ \end{array}$

    Quadratische Ergänzung:

    Wir betrachten die Gleichung in Normalform und können dann die quadratische Ergänzung durchführen.

    $\begin{array}{llll} \\ & x^2-2x-3 &=& 0 & \vert +3 \\ & x^2\color{#669900}{-2}x &=& 3 & \vert + (\frac{\color{#669900}{-2}}{2})^2 \\ & x^2 - 2x \color{#669900}{+1} &=& 3 \color{#669900}{+1} & \vert 1.~ \text{bin. Formel} \\ &(x-1)^2 &=& 4 &\vert \sqrt{~} \\ & x -1 &=& \pm 2 & \vert +1 \\ & x_1 &=& 3 & \\ & x_2 &=& -1 &\\ \end{array}$

    3. Gleichung: $~(2x-1)(x+3)= -3x^2 +7$

    Die Rechnung sieht wie folgt aus:

    $\begin{array}{llll} \\ & (2x-1)(x+3) &=& -3x^2 +7 & \\ & 2x^2+6x-x-3 &=& -3x^2 +7 & \\ & 2x^2+5x-3 &=& -3x^2 +7 & \vert +3x \\ & 5x^2+5x-3 &=& 7 & \vert -7 \\ & 5x^2+5x-10 &=& 0 & \vert :5 \\ & x^2+x-2 &=& 0 & \\ \\ \end{array}$

    $pq$-Formel:

    Für diese Gleichung erhalten wir $p=1$ und $q=-2$ und damit folgt:

    $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 12\pm\sqrt{\left(\frac 12\right)^2-(-2)} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 12\pm\sqrt{\frac 14+2} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 12\pm\sqrt{\frac 14+\frac 84} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 12\pm\sqrt{\frac 94} \\ & x_{1,2} &=& -\frac 12\pm \frac 32 \\ \\ & x_1 &=& -\frac 12+\frac 32=1 \\ & x_2 &=& -\frac 12-\frac 32=-2 \end{array}$

    Quadratische Ergänzung:

    Wir betrachten die Gleichung in Normalform und können dann die quadratische Ergänzung durchführen.

    $\begin{array}{llll} \\ & x^2+x-2 &=& 0 & \vert +2 \\ & x^2+\color{#669900}{1}x &=& 2 & \vert + (\frac{\color{#669900}{1}}{2})^2 \\ & x^2 + x \color{#669900}{+0,25} &=& 2 \color{#669900}{+0,25} & \vert 1.~ \text{bin. Formel} \\ &(x+0,5)^2 &=& 2,25 &\vert \sqrt{~} \\ & x +0,5 &=& \pm 1,5 & \vert -0,5 \\ & x_1 &=& 1 & \\ & x_2 &=& -2 &\\ \end{array}$

  • Gib die $pq$- und Mitternachtsformel an.

    Tipps

    Die Lösungen der quadratischen Gleichung $0=x^2+12x-45$ kannst du mit folgendem Term berechnen:

    • $x_{1,2} = -\frac {12}2\pm\sqrt{\left(\frac {12}2\right)^2+45}$

    Die quadratische Gleichung $0=x^2+12x-45$ kannst du auch mit der Mitternachtsformel lösen. Hierbei gilt:

    • $a=1$
    • $b=12$
    • $c=-45$

    Lösung

    Quadratische Gleichungen kannst du in folgende Formen überführen, um sie dann mit der $pq$- oder Mitternachtsformel zu lösen:

    • Normalform: $x^2+px+q=0$
    • allgemeine Form: $ax^2+bx+c=0$ mit $a\neq 0$
    Liegt eine quadratische Gleichung in der Normalform vor, so eignet sich zum Lösen die $pq$-Formel. Diese lautet:
    • $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$
    Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form kannst du mit der Mitternachtsformel lösen. Diese lautet:
    • $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
    Du kannst auch für eine quadratische Gleichung in der Normalform die Mitternachtsformel anwenden. In diesem Fall wäre $a=1$:

    $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & &=& \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot 1\cdot c}}{2\cdot 1}\\ & &=& \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}\\ \\ \end{array}$

    Wir erkennen $b=p$ und $c=q$ und sehen, dass wir durch Umformen die $pq$-Formel erhalten:

    $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2}&=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}\\ & &=&\frac{-b}2 \pm\sqrt{\frac {b^2}{2^2}-\frac{4c}{2^2}}\\ & &=&\frac{-b}2 \pm\sqrt{\left( \frac b 2 \right)^2-c}\\ & &=&\frac{-p}2 \pm\sqrt{\left(\frac p 2 \right)^2-q}\\ \end{array}$

  • Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichungen.

    Tipps

    Du kannst die quadratischen Gleichungen mithilfe der Mitternachtsformel lösen:

    $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

    Setze hierzu $a$, $b$ und $c$ entsprechend ein.

    Manchmal eignet sich die $pq$-Formel zum Lösen der quadratischen Gleichung besser:

    • $x_{1,2} = -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
    Lösung

    Eine quadratische Gleichung kannst du mittels folgender Methoden lösen:

    • Mitternachtsformel
    • $pq$-Formel
    • quadratische Ergänzung
    Liegt die betrachtete quadratische Gleichung in der allgemeinen Form $ax^2+bx+c=0$ vor, so eignet sich zum Lösen die Mitternachtsformel. Die $pq$-Formel lässt sich auf die Normalform einer quadratischen Gleichung anwenden. Für die quadratische Ergänzung spielt es keine Rolle, in welcher Form die Gleichung vorliegt. Sie wird entsprechend umgestellt und ergänzt.

    1. Gleichung: $~-2x^2-3x+2=0$

    Diese quadratische Gleichung lösen wir nun, indem wir eine quadratische Ergänzung durchführen. Hierzu formen wir sie zunächst ein wenig um:

    $\begin{array}{lllll} & -2x^2-3x+2 &=& 0 & \vert :(-2) \\ & x^2+\frac 32x-1 &=& 0 &\vert +1 \\ & x^2+\frac 32x &=& 1 & \end{array}$

    Damit wir die linke Seite der Gleichung zu der ersten binomischen Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ zusammenfassen können, müssen wir die Gleichung um den Term $b^2$ ergänzen. Vergleichen wir zunächst den Term $a^2+2ab+b^2$ mit der linken Seite der Gleichung, so erkennen wir, dass $a^2=x^2$, also $a=x$ und $2ab=\frac 32x$ gilt. Damit muss also auch $2b=\frac 32$ gelten, sodass wir $\frac 32$ durch $2$ teilen müssen, um $b$ zu erhalten. Diese Zahl wird dann quadriert und auf beiden Seiten der Gleichung addiert:

    $\begin{array}{lllll} & x^2+\frac 32x+\color{#669900}{\left(\frac 3{4}\right)^2} &=& 1+ \color{#669900}{\left(\frac 3{4}\right)^2} & \\ & x^2+\frac 32x+\color{#669900}{\frac 9{16}} &=& 1+ \color{#669900}{\frac9{16}} & \\ & x^2+\frac 32x+\frac 9{16} &=& \frac {25}{16} & \\ & (x+\frac 34)^2 &=& \frac{25}{16} & \vert \sqrt{\quad} \\ & \sqrt{(x+\frac 34)^2} &=& \sqrt{\frac{25}{16}} & \\ & x_{1,2}+\frac 34 &=& \pm\frac 54 & -\frac 34 \\ & x_{1,2} &=& \pm\frac 54-\frac 34 & \\ \\ & x_1 &=& \frac 54-\frac 34=\frac 12 \\ & x_2 &=& -\frac 54-\frac 34=-2 \end{array}$

    2. Gleichung: $~\frac 14 x^2-5x+9=0$

    Diesmal nutzen wir die Mitternachtsformel. Wir setzen hierzu die Koeffizienten in die Mitternachtsformel ein und erhalten:

    $\begin{array}{lll} \\ x_{1,2} &=& \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x_{1,2} &=& \dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 0,25\cdot 9}}{2\cdot 0,25} \\ x_{1,2} &=& \dfrac{5\pm\sqrt{25-9}}{0,5} \\ x_{1,2} &=& \dfrac{5\pm\sqrt{16}}{0,5} \\ x_{1,2} &=& \dfrac{5\pm 4}{0,5} \\ \\ x_{1} &=& \dfrac{5+4}{0,5} = 18 \\ \\ x_{2} &=& \dfrac{5-4}{0,5} = 2 \\ \\ \end{array}$

    3. Gleichung: $~x^2+4x+\frac 74=0$

    Da hier vor dem quadratischen Glied eine $1$ steht, ist diese Gleichung in der Normalform $x^2+px+q=0$ gegeben, sodass wir direkt die $pq$-Formel anwenden können. Dabei ist $p=4$ der Koeffizient des linearen Glieds und $q=\frac 74$ das absolute Glied:

    $\begin{array}{llll} \\ & x_{1,2} &=& -\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ & x_{1,2} &=& -\frac {4}2\pm\sqrt{\left(\frac {4}2\right)^2-\frac 74} \\ & x_{1,2} &=& -2\pm\sqrt{4-\frac 74} \\ & x_{1,2} &=& -2\pm\sqrt{\frac {16}4-\frac 74} \\ & x_{1,2} &=& -2\pm\sqrt{\frac 94} \\ & x_{1,2} &=& -2\pm \frac 32 \\ \\ & x_1 &=& -2+\frac 32=-\frac 12 \\ & x_2 &=& -2-\frac 32=-\frac 72 \\ \\ \end{array}$

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