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Quadratische Gleichungen und deren Formen

Quadratische Gleichungen kommen in der allgemeinen Form und in der Normalform vor.

Die quadratischen Gleichungen

Gleichungen werden als quadratische Gleichungen (Gleichungen $2$. Grades) bezeichnet, wenn sie genau eine Unbekannte (Variable) besitzen, deren höchste Potenz $2$ ist.

Demnach ist jede Gleichung eine quadratische Gleichung, die folgende Form besitzt:

$\begin{array}{llll} a \cdot x^{2}+b \cdot x+c=0 &&& a, b, c \in \mathbb{R}; ~ a \neq 0 \end{array} $

Der Koeffizient $a$ darf dabei nicht Null sein ($a \neq 0$). Bis auf diese Einschränkung können die Koeffizienten $a$,$b$ und $c$ alle beliebige Zahlen der Menge der reellen Zahlen ($a$, $b$, $c\ \in\ \mathbb{R}$) annehmen.

Formen der quadratischen Gleichungen

Allgemeine Form

Die quadratische Gleichung kann in der allgemeinen Form geschrieben werden:

$\begin{array}{lllll} a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0 && \text{für} && a \neq 0 \end{array}$

Beispiel:

$ 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 6 = 0 $

Im Beispiel $1$ sind die Koeffizienten $a=2$, $b=4$ und $c=6$. Da $a \neq 0$ ist, alle Koeffizienten aus der Menge der reellen Zahlen ($\mathbb{R}$) sind und die höchste Potenz der Variablen $x$ gleich $2$ ist, handelt es sich hierbei um eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form.

Normalform

Durch Umformung der allgemeinen Form kann die quadratische Gleichung auch in die Normalform gebracht werden. Dafür muss der Vorfaktor $a$ den Wert $1$ annehmen ($a=1$). Um dies zu erreichen, muss die quadratische Gleichung in der allgemeinen Form durch den Koeffizienten $a$ dividiert werden:

$\begin{array}{llll} a \cdot x^{2} + b \cdot x + c &=& 0 & \vert : a \\ \frac{a}{a} \cdot x^{2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} &=& \frac{0}{a} & \\ 1 \cdot x^{2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} &=& 0 & \end{array}$

Definiert man nun $\frac{b}{a} = p$ und $\frac{c}{a} = q$, so hat die quadratische Gleichung folgende Form:

$\begin{array}{llll} x^{2} + p \cdot x + q = 0 &&& p, q \in \mathbb{R} \end{array}$

Dies ist die Normalform der quadratischen Gleichung.

Beispiel:

$\begin{array}{llll} 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 6 &=& 0 & \vert : 2 \\ \frac{2}{2} \cdot x^{2} + \frac{4}{2} \cdot x + \frac{6}{2} &=& \frac{0}{2} & \\ x^{2} + 2 \cdot x + 3 &=& 0 & \end{array}$

Die quadratische Gleichung des Beispiels wurde durch Umformung in die Normalform gebracht, wobei $p=2$ und $q=3$ ist.

Übersicht der einzelnen Summanden

$\begin{array}{ccccccccl} a \cdot x^{2} &+& b \cdot x &+& c &=& 0 && \text{Allgemeine Form} \\ x^{2} &+& p \cdot x &+& q &=& 0 && \text{Normalform} \\ \underbrace{\hspace{0.5in}}_{\text{Quadratisches Glied}} &~& \underbrace{\hspace{0.5in}}_{\text{Lineares Glied}} &~& \underbrace{\hspace{0.5in}}_{\text{Absolutes Glied}} &~&~&~& \end{array}$

Eine quadratische Gleichung besteht aus höchstens drei Summanden, die zusammen Null ergeben. Der Summand $a \cdot x^{2}$ bzw. $x^{2}$ ist das quadratische Glied. Dieses ist notwendig, um eine Gleichung überhaupt als eine quadratische Gleichung bezeichnen zu können. Das lineare Glied ist der Summand $b \cdot x$ bzw. $p \cdot x$. Der letzte Summand der quadratischen Gleichung $c$ bzw. $q$ ist das absolute Glied. Es ist absolut unvariabel, da es keine Variable beinhaltet.

Lösungen einer quadratischen Gleichung

Ist die quadratische Gleichung in der allgemeinen Form gegeben und besteht aus dem quadratischen, dem linearen sowie dem absoluten Glied, kann die Lösung der quadratischen Gleichung mittels der Mitternachtsformel (oder $abc$-Formel) ermittelt werden.

$\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array}$

Die Anzahl der Lösungen ist durch den Term unterhalb der Wurzel bestimmt, nämlich durch die Diskriminante:

$\begin{array}{lll} D_{a,b,c} &=& b^{2} - 4 \cdot a \cdot c \end{array}$

1. Fall: Ergibt sich ein negativer Wert für $D_{a,b,c}$, also $D_{a,b,c} < 0$, so existiert keine Lösung für die quadratische Gleichung, da aus einem negativen Wert nicht die Wurzel gezogen werden kann.

2. Fall: Ist $D_{a,b,c} = 0$, so existiert genau eine Lösung für die quadratische Gleichung:

$\begin{array}{lll} x_{1} &=& x_{2} = \dfrac{-b}{2 \cdot a} \end{array}$

3. Fall: Ist die Diskriminante positiv, also $D_{a,b,c} > 0$, existieren zwei Lösungen für die quadratische Gleichung:

$\begin{array}{rcl} x_{1} &=& \dfrac{-b + \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \\ x_{2} &=& \dfrac{-b - \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \end{array}$

Normalform:

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lässt sich durch die Anwendung der $pq$-Formel lösen.

$\begin{array}{lll} x_{1,2} &=& - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \dfrac{p}{2} \right)^{2} - q} \end{array}$

Auch hier bestimmt der Term unterhalb der Wurzel die Anzahl der Lösungen:

$\begin{array}{lll} D_{p,q} &=&\left(\dfrac{p}{2} \right) ^{2} - q \end{array}$

1. Fall: Ist die Diskriminante negativ, also $D_{p,q} < 0$, gibt es keine Lösung.

2. Fall: Ist die Diskriminante gleich Null ($D_{p,q} = 0$), existiert genau eine Lösung:

$\begin{array}{lll} x_{1} &=& x\_{2} = - \dfrac{p}{2} \end{array}$

3. Fall: Bei einer positiven Diskriminante ($D_{p,q} > 0$) existieren zwei Lösungen:

$\begin{array}{lll} x_{1} &=& - \dfrac{p}{2} + \sqrt{ \left( \dfrac{p}{2} \right)^{2} - q} \\ x_{2} &=& - \dfrac{p}{2} - \sqrt{ \left( \dfrac{p}{2} \right)^{2} - q} \end{array}$

Spezialfälle

Reinquadratische Form

Besteht die Gleichung ohne ein lineares Glied, ist also $b = 0$ bzw. $p = 0$, so handelt es sich um die reinquadratische Form:

$\begin{array}{lll} a \cdot x^{2} + c &=& 0 \\ x^{2} + q &=& 0 \end{array}$

Hat die quadratische Gleichung die reinquadratische Form, so können durch einfache Umformungen die Lösungen ermittelt werden.

$\begin{array}{llll} x^{2} + q &=& 0 & \vert - q \\ x^{2} &=& - q & \vert \sqrt{\qquad } \\ \\ x_{1,2} &=& \pm \sqrt{- q} & \\ x_{1} &=& \sqrt{- q} & \\ x_{2} &=& - \sqrt{- q} & \end{array}$

1. Fall: Ist der Wert für $q$ größer als Null ($q > 0$), existiert keine Lösung der quadratischen Gleichung, da aus einer negativen Zahl nicht die Wurzel gezogen werden kann.

2. Fall: Ist $q = 0$, so existiert genau eine Lösung, wobei $x_1 = x_2 = 0$ ist.

3. Fall: Für alle $q$, die kleiner als Null sind ($q<0$), existieren zwei Lösungen der quadratischen Gleichung, da der Wert unterhalb der Wurzel dadurch wieder positiv wird. Die Lösungen sind dann $x_{1} = \sqrt{- q}$ und $x_{2}- \sqrt{- q} $.

Quadratische Gleichung ohne absolutes Glied

Besitzt die Gleichung kein absolutes Glied, ist also $c = 0$ bzw. $q = 0$, so handelt es sich um eine quadratische Gleichung ohne absolutes Glied:

$\begin{array}{lll} a \cdot x^{2} + b \cdot x &=& 0 \\ x^{2} + p \cdot x &=& 0 \end{array}$

Lösung einer quadratischen Gleichung ohne absolutes Glied: Die Lösungen einer quadratischen Gleichung ohne absolutes Glied können mithilfe vom Satz vom Nullprodukt ermittelt werden. Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

$\begin{array}{llll} x^{2} + p \cdot x &=& 0 & \vert x ~ \text{ausklammern} \\ x \cdot (x + p) &=& 0 & \\ x_1 &=& 0 & \\ x_2 &=& - p & \end{array}$

Durch das Ausklammern von $x$ und dem Satz des Nullprodukts zufolge, ist eine Lösung einer quadratischen Gleichung ohne absolutes Glied $x_1 = 0$. Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung ist $x_2= - p$.

1. Fall: Daraus folgt, dass für alle $p$ gleich Null nur die eine Lösung $x_1 = x_2 = 0$ existiert.

2. Fall: Falls $p$ ungleich Null ist ($p \neq 0$), existieren zwei Lösungen, wobei $x_1=0$ und $x_2 = -p$ ist.

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