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Ereignis und Gegenereignis – Einführung 06:18 min

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Transkript Ereignis und Gegenereignis – Einführung

Was wäre ein Zauberkünstler ohne einen Zauberhut? Gar nichts! Denkt sich jedenfalls Thomas. Sein neuer Hut von der Firma "Lux-HUT-riös" war teuer! Aber er soll es in sich haben! Ganze vier verschiedene Kaninchen kann man aus ihm hervorzaubern! Ein weißes, ein braun geflecktes, ein schwarz geflecktes und ein, äh, rosanes. Wenn man aber in den Hut hineingreift, weiß man nie so genau, welches Kaninchen man erwischt. Um die verschiedenen Möglichkeiten zu beschreiben, muss sich Thomas gut mit Ereignis und Gegenereignis auskennen. Denn Thomas vermutet, dass das Ziehen der Kaninchen ein Zufallsversuch ist. Schauen wir doch mal, ob hier die Merkmale eines Zufallsversuches erfüllt sind: Bei einem Zufallsversuch sind alle möglichen Ausgänge bekannt. Laut Bedienungsanleitung können vier Kaninchen herausgezogen werden. Nicht mehr und nicht weniger! Es sind genau die vier Kaninchen: weiß, braun gefleckt, schwarz gefleckt und, äh, rosa. Na, dann kennen wir hier alle möglichen Ausgänge! Der Ausgang eines Zufallsversuchs ist nicht vorhersehbar. Man kann nicht genau sagen, welches Kaninchen erwischt wird. Das ist nur vom Schicksal abhängig. Weil Thomas aber kein Hellseher ist, sondern Zauberer, kann er nicht vorhersagen, welches Kaninchen er ziehen wird. Ein Zufallsversuch kann außerdem beliebig oft wiederholt werden. Wenn man die Kaninchen nach jedem Ziehen immer ordentlich in den Hut zurücklegt, kann man auch jedes Mal von Neuem ziehen. Dann kann man den Versuch beliebig oft wiederholen. Bei einem Zufallsversuch sind die Bedingungen des Versuchs bei jeder Durchführung gleich. Ist das denn hier der Fall? Der Hut ist auf jeden Fall immer derselbe und bei jedem Zug sind stets dieselben vier Kaninchen vorhanden. Thomas weiß bei keiner Ziehung vorher, welches Kaninchen er erwischen wird. Dann sind die Bedingungen des Versuchs also jedes Mal gleich. Wie Thomas schon vermutet hat, handelt es sich hierbei also wirklich um einen Zufallsversuch. Die Ergebnismenge Omega eines Zufallsversuchs besteht aus allen möglichen Ausgängen. In unserem Fall sind das die vier verschiedenen Kaninchen: Weiß braun gefleckt, schwarz gefleckt und, äh rosa. Ein Ereignis ist nun eine Teilmenge dieser Ergebnismenge. Was das heißt, schauen wir uns an folgender Situation an: Thomas zieht ein geflecktes Kaninchen. Weil diese Situation aus den zwei Ergebnissen braun gefleckt und schwarz gefleckt besteht, ist sie ein Ereignis. Wir nennen dieses Ereignis F. Tritt dieses Ereignis nicht ein, dann tritt stattdessen das Ereignis Thomas zieht kein geflecktes Kaninchen ein. Dann zieht er eines der anderen Kaninchen aus dem Hut, also entweder das weiße oder das rosane. Dieses Ereignis - wir nennen es F quer – heißt dann das Gegenereignis zum Ereignis Thomas zieht ein geflecktes Kaninchen. Die Komplementärregel besagt dann: Die Ergebnisse von Ereignis und Gegenereignis bilden zusammen wieder die komplette Ergebnismenge. Oder: Die Vereinigung aus Ereignis und Gegenereignis ist die Ergebnismenge. Was ist aber mit folgendem Ereignis R: Thomas zieht das rosane Kaninchen? Weil dieses Ereignis nur ein einziges Ergebnis der Ergebnismenge umfasst, handelt es sich hier um ein Elementarereignis. Das Gegenereignis R quer lautet: Thomas zieht nicht das rosane Kaninchen. Dann zieht er eines der anderen drei Kaninchen. Und die bilden zusammen das Gegenereignis R quer. Das Ergebnis des Ereignisses R, also das rosane Kaninchen, und die Ergebnisse des Gegenereignisses R quer, also alle anderen Kaninchen bilden zusammen wieder die komplette Ergebnismenge. Die Komplementärregel ist also erfüllt. Übrigens: Hat man ein Gegenereignis, dann ist davon das Gegenereignis wieder das Ereignis selbst. Das Gegenereignis ist hier das weiße, das braun gefleckte und das schwarz gefleckte Kaninchen. Bilden wir dessen Gegenereignis, erhalten wir wieder das rosa Kaninchen also das ursprüngliche Ereignis. Wahrscheinlich ist es Thomas aber egal, welches Kaninchen er genau zieht. Sie sehen alle süß aus – besonders das rosane. Wenn das Ereignis K also lautet: Thomas zieht irgendein Kaninchen, dann umfasst es die gesamte Ergebnismenge. Es handelt sich somit um ein sicheres Ereignis – egal was Thomas zieht, das Ereignis tritt in jedem Fall ein. Das Gegenereignis K quer lautet: Thomas zieht kein Kaninchen. Weil man aus dem Hut aber nichts anderes als Kaninchen ziehen kann, ist das ein unmögliches Ereignis. Es enthält kein Ergebnis und entspricht daher der leeren Menge. Allgemein gilt: Das Gegenereignis zum sicheren Ereignis ist immer das unmögliche Ereignis und umgekehrt. Die Vereinigung aus K und K quer, also die Vereinigung der Ergebnismenge mit der leeren Menge, ist natürlich wieder die Ergebnismenge. Die Komplementärregel ist also auch hier erfüllt. Und während Thomas fleißig Kaninchen aus dem Hut zaubert, zaubern wir uns noch eine Zusammenfassung: Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge eines Zufallsversuchs. Das Gegenereignis zu einem Ereignis besteht aus allen Ergebnissen der Ergebnismenge, die nicht im Ereignis enthalten sind. Die Komplementärregel besagt, dass die Ergebnisse von Ereignis und Gegenereignis zusammen wieder die komplette Ergebnismenge bilden. Und Thomas? Der erkennt, welchen hohen Qualitätsstandard die teuren Hüte von "Lux-HUT-riös" wirklich haben: Sie ermöglichen sogar das Unmögliche!

1 Kommentar
  1. gut

    Von Bassam H., vor 5 Tagen

Ereignis und Gegenereignis – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ereignis und Gegenereignis – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere Zufallsexperimente und Gegenereignisse.

    Tipps

    Die Ergebnisse eines Zufallsexperiments sind die möglichen Ausgänge des Experiments.

    Ziehst du aus einer Urne mit einer roten, einer gelben und einer grünen Kugel eine Kugel zufällig heraus, so besteht das Gegenereignis zu der roten Kugel genau aus der gelben und der grünen Kugel.

    Bei einem Zufallsexperiment ist nicht zufällig, welche Ausgänge das Experiment haben kann, sondern welcher der möglichen Ausgänge tatsächlich eintritt.

    Lösung

    Das Ziehen der Kaninchen ist ein Zufallsexperiment, wenn es folgende Kriterien erfüllt:

    1. Alle möglichen Ausgänge des Experiments sind bekannt. Dies ist der Fall. Die möglichen Ausgänge sind die vier möglichen Kaninchen.
    2. Der Ausgang ist für Thomas nicht vorhersehbar. Da er kein Hellseher ist, weiß Thomas nie vorher, welches Kaninchen er ziehen wird.
    3. Thomas kann das Zufallsexperiment beliebig oft wiederholen. Wenn er jedes gezogene Kaninchen nach der Ziehung wieder in den Hut zurücklegt, kann er das Ziehen wiederholen.
    4. Die Versuchsbedingungen sind bei jeder Durchführung gleich. Der Hut ist immer derselbe, die Kaninchen auch.
    Die Menge aller möglichen Ausgänge des Zufallsversuches heißt Ergebnismenge und wird mit $\Omega$ bezeichnet. Jeder mögliche Ausgang des Zufallsexperiments heißt Ergebnis. Eine Menge von Ausgängen ist dann ein Ereignis.

    Das Gegenereignis zu einem Ereignis besteht genau aus allen Ergebnissen des Zufallsexperiments, die nicht zu dem Ereignis gehören. Bildet man von dem Gegenereignis $\overline E$ noch einmal das Gegenereignis, so erhält man wieder das ursprüngliche Ereignis. In Formeln bedeutet das:

    $\overline{\overline E} = E$.

    Die Komplementärregel besagt: Ein Ereignis $E$ eines Zufallsexperiments und sein Gegenereignis $\overline E$ ergeben zusammen die gesamte Ergebnismenge $\Omega$.

  • Bestimme die Gegenereignisse.

    Tipps

    Zu dem Gegenereignis $\overline E$ gehören genau alle anderen Ergebnisse als die von $E$.

    Das Gegenereignis eines einfarbig weißen Kaninchens besteht aus allen nicht einfarbig weißen Kaninchen.

    Ein Ereignis besteht aus Ergebnissen, aber Ergebnisse bestehen nicht aus Ereignissen.

    Lösung

    Für jedes Ereignis $E$ besteht das Gegenereignis $\overline E$ aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören. Enthält das Ereignis $F$ alle gefleckten Kaninchen, so enthält das Gegenereignis $\overline F$ also die nicht gefleckten, d.h. einfarbigen Kaninchen, und kein weiteres.

    Das Ereignis $R$ mit

    $R = \{\text{rosa Kaninchen}\}$.

    enthält nur ein einziges Ergebnis, nämlich das rosa Kaninchen. Man nennt $E$ daher ein Elementarereignis.

    Das Gegenereignis $\overline R$ besteht aus allen Kaninchen außer dem rosa Kaninchen. Zu $\overline R$ gehören also das weiße und die beiden gefleckten Kaninchen. Das Gegenereignis zu $\overline R$ besteht nun wiederum aus allen Ergebnissen, die nicht zu $\overline R$ selbst gehören: Das sind alle anderen Kaninchen als das weiße und die beiden gefleckten, also nur das rosa Kaninchen.

  • Gib die richtigen Aussagen über Ereignisse und Gegenereignisse an.

    Tipps

    Dass ein Ereignis unmöglich ist, bedeutet, dass keines seiner Ergebnisse eintreten kann.

    Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperiments ist ein Ergebnis, d.h., es kann bei der Durchführung des Experiments eintreten.

    Die Komplementärregel besagt, dass jedes Ergebnis, das nicht zu $\overline E$ gehört, in $E$ liegt.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Aus einem Ereignis $E$ und seinem Gegenereignis $\overline E$ erhält man die Ergebnismenge $\Omega$.“ Dies ist die Aussage der Komplementärregel.
    • „Das sichere Ereignis besteht aus allen Ergebnissen des Zufallsexperiments.“ Das sichere Ereignis tritt sicher ein; jeder Ausgang des Zufallsexperiments ist ein Ergebnis der Menge $\Omega$. Enthält das Ereignis $E$ jedes Ergebnis, so tritt $E$ sicher ein.
    • „Das unmögliche Ereignis tritt nie ein, denn jeder Ausgang des Zufallsexperiments hat ein Ergebnis.“ Jedes Element der Ergebnismenge ist ein möglicher Ausgang des Zufallsexperiments. Unmöglich ist nur, dass kein Ergebnis eintritt. Das unmögliche Ereignis enthält daher keine Ergebnisse.
    • „Das Gegenereignis von $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen von $E$.“ Das Gegenereignis von $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $\overline E$ gehören. Dies sind genau die Ergebnisse aus $E$.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Das Gegenereignis besteht aus allen Ereignissen, die nicht zu dem Ergebnis gehören.“ Ein Ereignis besteht aus Ergebnissen, aber kein Ergebnis besteht aus Ereignissen.
    • „Bei jedem Zufallsversuch gibt es genau ein Ergebnis, das zu einem Ereignis und seinem Gegenereignis gehört.“ Ein Ereignis und sein Gegenereignis haben nie ein Ergebnis gemeinsam.
    • „Das unmögliche Ereignis besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu dem Ereignis $E$ gehören.“ Die Aussage stimmt nur, wenn $E = \Omega$, also das sichere Ereignis ist. Andernfalls enthält $\overline E$ Ergebnisse, aber das unmögliche Ereignis enthält keine Ergebnisse. Daher kann das unmögliche Ereignis nicht $\overline E$ sein.
  • Prüfe die Aussagen.

    Tipps

    Das unmögliche Ereignis enthält keine Ergebnisse, denn jedes Ergebnis ist ein möglicher Ausgang des Zufallsexperiments.

    Überlege, wie viele mögliche Ereignisse ein Zufallsexperiment mit vier möglichen Ausgängen hat.

    Lösung

    Jedes Ereignis $E$ ist eine Teilmenge der Ergebnismenge $\Omega$. Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören. Die Komplementärregel besagt, jedes Ereignis und sein Gegenereignis $E$ ergeben zusammen die Ergebnismenge $\Omega$, d.h.

    $E \cup \overline E = \Omega$.

    Aus diesen Überlegungen erhältst du folgende Sätze:

    • „Ein Ereignis und sein Gegenereignis ... haben kein Ergebnis gemeinsam.“ Denn das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören.
    • „Das Gegenereignis von $\overline{\overline E}$ ... ist das Gegenereignis von $E$.“ Es gilt $\overline{\overline E} = E$, daher stimmen auch die Gegenereignisse der beiden Mengen überein.
    • „Das Zufallsexperiment der Ziehung eines von vier Kaninchen aus dem Zauberhut ... hat $16$ verschiedene Ereignisse.“ Dies sind zunächst die vier Elementarereignisse, bestehend aus je einem Kaninchen, sechs zweielementige Ereignisse und vier dreielementige Ereignisse (die Gegenereignisse der Elementarereignisse). Hinzu kommen noch das unmögliche und das sichere Ereignis. Zusammen sind es also $1+4+6+4+1 = 16$ Ereignisse.
    • „Ein Elementarereignis ... ist kein unmögliches Ereignis.“ Das unmögliche Ereignis ist die leere Menge, es besteht also aus keinem Ergebnis. Ein Elementarereignis besteht aber aus genau einem Ergebnis. Daher ist ein Elementarereignis niemals ein unmögliches Ereignis.
    • „Ein Ereignis mit allen Ergebnissen außer einem ... ist das Gegenereignis eines Elementarereignisses.“ Ein Elementarereignis besteht aus genau einem Element. Enthält ein Ereignis $E$ alle Ergebnisse außer einem, so ist $E$ das Gegenereignis des Elementarereignisses mit diesem einen Element.
  • Bestimme die Gegenereignisse.

    Tipps

    Das Gegenereignis enthält alle Ergebnisse, die nicht zu dem Ereignis selbst gehören.

    Das Gegenereignis $\bar E$ eines Ereignisses $E$ enthält nur Ergebnisse der Ergebnismenge $\Omega$.

    Für die Ergebnismenge $\Omega = \{11,12,13,14,15\}$ und das Ereignis $E = \{12,14\}$ besteht $\bar E$ aus den Ergebnissen $11$, $13$ und $15$.

    Lösung

    Die Definition besagt: Zu einer Ergebnismenge $\Omega$ und einem Ereignis $E \subset \Omega$ besteht das Gegenereignis $\bar E$ aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören.

    Bei der Bearbeitung der Aufgabe musst Du beachten, dass die Ergebnismengen verschieden sind. Zu $\bar E$ gehören jeweils nur die Ergebnisse aus der zugehörigen Ergebnismenge $\Omega$, die nicht in $E$ liegen.

    Für die hier angegebenen Ergebnismengen $\Omega$ und Ereignisse $E$ geben wir hier die Gegenereignisse an:

    • Das Gegenereignis zu dem Ereignis $E_1 \subset \Omega_1$ ist $\bar E_1 = \{3,5,11,13\}$.
    • Für das Ereignis $E_2 \subset \Omega_2$ ist das Gegenereignis $\bar E_2 = \{4,8,12,14\}$.
    • Das Gegenereignis zu $E_3 \subset \Omega_3$ ist $\bar E_3 = \{1,6,7\}$.
    • Zu dem Ereignis $E_4 \subset \Omega_4$ finden wir das Gegenereignis $\bar E4 = \{9,15,18\}$.
  • Erschließe die Gegenereignisse.

    Tipps

    Die Augensumme ist die Summe der gewürfelten Augen. Der kleinste mögliche Wert der Augensumme tritt ein, wenn du zwei Einsen würfelst.

    Das Ereignis $E = \{$ Augensumme $>5 \}$ besteht aus allen möglichen Ergebnissen, bei denen die Summe der gewürfelten Augenzahlen zwischen $2$ und $5$ liegt. Bei dem Gegenereignis liegt demnach die Augensumme zwischen $6$ und $12$.

    Lösung

    Das Gegenereignis $\overline E$ zu einem Ereignis $E$ besteht aus allen Elementen der Ergebnismenge $\Omega$, die nicht zu $E$ gehören. Die Augensumme zweier Würfel ist die Summe der gewürfelten Augenzahlen. Der kleinste mögliche Wert ist $2$. Er tritt ein, wenn beide Würfel eine Eins zeigen. Die größtmögliche Augensumme ist $12$, die eintritt, wenn du zwei Sechsen würfelst.

    Aus diesen Überlegungen erhältst du die folgenden Gegenereignisse:

    • Das Gegenereignis zu $E =\{$ Augensumme $\leq 6\}$ ist $\overline E =\{$ Augensumme $> 6\}$.
    • Für das Ereignis $E= \{$ Augensumme $ <6\}$ ist das Ggenereignis $\overline E = \{$ Augensumme $\geq 6 \}$.
    • Das Ereignis $E= \{$ Augensumme $ > 12\}$ ist unmöglich, denn die Augensumme von zwei Würfeln kann höchstens $12$ sein, aber nicht größer. Daher ist $\overline E = \Omega$ das sichere Ereignis.
    • Das Ereignis $E= \{$ eine Augenzahl kleiner als andere $\}$ besteht aus allen Ergebnissen mit zwei verschiedenen Würfelaugen. Daher ist $\overline E = \{$ beide Augenzahlen gleich $\}$.
    • Zu dem Ereignis $E = \{$ Augensumme $\geq 1\}$ gehört das Gegenereignis $\overline E = \emptyset$, denn die Augensumme ist stets $\geq 2$, also insbesondere $\geq 1$, so dass $E = \Omega$.