Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Beispiele 08:05 min

Hallo! Das ist ein Glücksrad und in diesem Video geht es um die Summenregel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Was hat es mit dieser Summenregel auf sich? Diese Summenregel, die besagt etwas über eine Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die aus mehreren Ergebnissen zusammengesetzt sind. Ihr solltet also schon ein bisschen vertraut sein mit den Begriffen "Ergebnis" und "Ereignis", aber ich erkläre es jetzt auch noch mal kurz anhand unseres Beispiels mit dem Glücksrad. Was ist hier ein Ergebnis? Dazu muss ich noch mal kurz den Zufallsversuch erklären. Wir drehen also den Zeiger an dem Glücksrad und schauen dann, auf welcher Farbe er landet. Uns interessiert also nur die Farbe. Das heißt, es gibt 4 Ergebnisse, 4 Grundergebnisse, und das sind die folgenden: Ergebnis 1 soll sein: Der Zeiger bleibt auf blau stehen und die Wahrscheinlichkeit, dass das passiert sind, 2/12, denn wir haben 12 gleichgroße Sektoren und davon sind 2 blau. Ergebnis 2 soll sein: Der Zeiger landet auf grün. Die Wahrscheinlichkeit, dass das passiert ist, 5/12, denn die grüne Fläche nimmt 5 Sektoren von 12 ein. Das dritte Ergebnis soll dann sein, dass der Zeiger auf gelb stehen bleibt. Das hat die Wahrscheinlichkeit 1/12. Und das vierte Ergebnis ist: der Zeiger bleibt auf der roten Fläche stehen und dafür ist die Wahrscheinlichkeit 4/12. Jetzt kommen wir noch mal zu dem Begriff "Ereignis". Ein Ereignis ist im Prinzip jeder beliebige Versuchsausgang, den man bei dem Versuch erhalten kann. Zum Beispiel hier mal: Das Ereignis A soll sein: der Zeiger bleibt stehen auf blau oder rot. Wenn ich schon sage A soll sein blau oder rot, dann sehe ich schon, dass sich das genau aus den Ergebnissen E1 und E4 zusammensetzt, nämlich blau oder rot. Und so kann ich das dann auch in die Klammer schreiben. Und jetzt kommt das, was eigentlich die Summenregel besagt: Die Wahrscheinlichkeit, dass Ergebnis 1 oder Ergebnis 4 eintritt, ist gleich die Wahrscheinlichkeit, dass Ergebnis 1 eintritt plus die Wahrscheinlichkeit, dass Ergebnis 4 eintritt, also die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Das wäre dann hier also 2/12+4/12, und das sind zusammen 6/12. Und wenn wir jetzt mal nachzählen, wie viele Sektoren blau und rot zusammen einnehmen, dann sind es tatsächlich auch 6 und das macht ja auch Sinn, weil wenn der Zeiger auf blau oder rot landen darf, dann kommen ja alle 6 Felder infrage und deswegen addiert man die eben. jetzt schreiben wir die Summenregel mal allgemein auf: Wenn wir also ein Ereignis A haben, das sich aus den Ergebnissen E1, E2 und E3 beispielsweise zusammensetzt, dann ist die Wahrscheinlichkeit von A gleich der Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten, also Wahrscheinlichkeit von E1 plus Wahrscheinlichkeit von E2 plus Wahrscheinlichkeit von E3. Dazu machen wir jetzt noch mal ein Beispiel. Wir wollen wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zeiger nicht auf grün stehen bleibt. Das Ereignis "nicht grün" bedeutet blau oder gelb oder rot, also Ergebnis 1 oder Ergebnis 3 oder Ergebnis 4. Das ist dann gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten, also Wahrscheinlichkeit von E1+Wahrscheinlichkeit von E3+ Wahrscheinlichkeit von E4. Und das sind dann: 2/12+1/12+4/12. Und das sind 7/12. So, dann zählen wir noch mal nach: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Passt genau. So, jetzt schauen wir uns noch mal ein anderes Beispiel an, mit einem anderen Zufallsversuch. Der Zufallsversuch besteht darin, diese Schachtel hier einfach auf das Whiteboard zu werfen. Was sollen jetzt die Ergebnisse sein? Es gibt einmal Ergebnis A, das heißt, die Schachtel landet auf einer der beiden großen Flächen, die Wahrscheinlichkeit dafür soll 22/30 sein. Also diese Seite oder die, die ich eben gezeigt habe. Ergebnis B soll sein, dass die Schachtel auf einer dieser länglichen Seitenflächen landet. Die Wahrscheinlichkeit dafür soll 7/30 sein. Und Ergebnis C soll sein, dass sie auf einer der kleinen Flächen landet. Die Wahrscheinlichkeit dafür soll 1/30 sein. Okay, dann sind wir so weit und können das mal ausprobieren. Wir brauchen also jetzt ein Ereignis. Das Ereignis soll sein, dass die Schachtel nicht auf einer der A-Seiten landet. Das heißt also, nicht auf dieser Seite, sondern hier auf einer dieser Seiten an den schmalen Rändern. Die Wahrscheinlichkeit von "nicht A" ist also die Wahrscheinlichkeit von B oder C, denn wenn es nicht auf A landet, dann landet es auf B oder C. Und die Summenregel sagt jetzt, dass wir das berechnen können durch: Wahrscheinlichkeit von B+Wahrscheinlichkeit von C. Die Wahrscheinlichkeit von B, da schauen wir noch mal nach, ist 7/30. Die Wahrscheinlichkeit von C=1/30. Und das macht zusammen 8/30. Und das kann man noch kürzen zu 4/15. Wenn wir jetzt noch mal schauen, dass die Wahrscheinlichkeit für die Seiten 22/30 war, dann sehen wir auch, dass das zusammen 1 ergibt. Also die 22 und die 8. Das heißt, wir haben auch richtig gerechnet, denn als Summe aller Ergebnisse kommt 1 heraus. Gut, dann fasse ich das jetzt noch mal zusammen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignissen, das sich aus mehreren Ergebnissen zusammensetzt, ist gleich der Summer der Einzelwahrscheinlichkeiten der Ergebnisse. Und ich will noch mal darauf hinweisen, dass sich das Ereignis wirklich aus Ergebnissen, also aus Grundergebnissen zusammensetzen muss, damit diese Regel gilt. Es gibt nämlich später andere Regeln, wenn sich Ereignisse anders zusammensetzen, aber dazu will ich jetzt nicht mehr sagen. Als Formel sieht das so aus: A=Ergebnis 1 oder Ergebnis 2 oder Ergebnis 3. Dann ist die Wahrscheinlichkeit von A gleich der Wahrscheinlichkeit von Ergebnis 1+Wahrscheinlichkeit von Ergebnis 2+Wahrscheinlichkeit von Ergebnis 3. Und noch mal der Hinweis: Wenn man also die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ergebnisse addiert, müssen nicht unbedingt alle sein, dann kann die Wahrscheinlichkeit höchstens 1 sein. Sie darf niemals größer als 1 sein. Alles klar! Dann verabschiede ich mich jetzt. Bis zum nächsten Video.