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Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Beispiele

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Steve Taube
Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Beispiele
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Beispiele

Kennst du bereits die Summenregel? Es ist einer der wichtigsten Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung und ich werde sie dir in diesem Video erklären. Sie lautet in etwa so: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das sich aus mehreren Ergebnissen zusammensetzt, ist gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten der Ergebnisse. Was kann man sich nun unter der Summenregel vorstellen? Wie wendet man die Summenregel für Wahrscheinlichkeiten an? Es werden dazu auch viele Beispiele vorgerechnet, um die Anwendung der Formel zu illustrieren. Viel Spaß beim Lernen!

Transkript Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Beispiele

Hallo! Das ist ein Glücksrad und in diesem Video geht es um die Summenregel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Was hat es mit dieser Summenregel auf sich? Diese Summenregel, die besagt etwas über eine Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die aus mehreren Ergebnissen zusammengesetzt sind. Ihr solltet also schon ein bisschen vertraut sein mit den Begriffen "Ergebnis" und "Ereignis", aber ich erkläre es jetzt auch noch mal kurz anhand unseres Beispiels mit dem Glücksrad. Was ist hier ein Ergebnis? Dazu muss ich noch mal kurz den Zufallsversuch erklären. Wir drehen also den Zeiger an dem Glücksrad und schauen dann, auf welcher Farbe er landet. Uns interessiert also nur die Farbe. Das heißt, es gibt 4 Ergebnisse, 4 Grundergebnisse, und das sind die folgenden: Ergebnis 1 soll sein: Der Zeiger bleibt auf blau stehen und die Wahrscheinlichkeit, dass das passiert sind, 2/12, denn wir haben 12 gleichgroße Sektoren und davon sind 2 blau. Ergebnis 2 soll sein: Der Zeiger landet auf grün. Die Wahrscheinlichkeit, dass das passiert ist, 5/12, denn die grüne Fläche nimmt 5 Sektoren von 12 ein. Das dritte Ergebnis soll dann sein, dass der Zeiger auf gelb stehen bleibt. Das hat die Wahrscheinlichkeit 1/12. Und das vierte Ergebnis ist: der Zeiger bleibt auf der roten Fläche stehen und dafür ist die Wahrscheinlichkeit 4/12. Jetzt kommen wir noch mal zu dem Begriff "Ereignis". Ein Ereignis ist im Prinzip jeder beliebige Versuchsausgang, den man bei dem Versuch erhalten kann. Zum Beispiel hier mal: Das Ereignis A soll sein: der Zeiger bleibt stehen auf blau oder rot. Wenn ich schon sage A soll sein blau oder rot, dann sehe ich schon, dass sich das genau aus den Ergebnissen E1 und E4 zusammensetzt, nämlich blau oder rot. Und so kann ich das dann auch in die Klammer schreiben. Und jetzt kommt das, was eigentlich die Summenregel besagt: Die Wahrscheinlichkeit, dass Ergebnis 1 oder Ergebnis 4 eintritt, ist gleich die Wahrscheinlichkeit, dass Ergebnis 1 eintritt plus die Wahrscheinlichkeit, dass Ergebnis 4 eintritt, also die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Das wäre dann hier also 2/12+4/12, und das sind zusammen 6/12. Und wenn wir jetzt mal nachzählen, wie viele Sektoren blau und rot zusammen einnehmen, dann sind es tatsächlich auch 6 und das macht ja auch Sinn, weil wenn der Zeiger auf blau oder rot landen darf, dann kommen ja alle 6 Felder infrage und deswegen addiert man die eben. jetzt schreiben wir die Summenregel mal allgemein auf: Wenn wir also ein Ereignis A haben, das sich aus den Ergebnissen E1, E2 und E3 beispielsweise zusammensetzt, dann ist die Wahrscheinlichkeit von A gleich der Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten, also Wahrscheinlichkeit von E1 plus Wahrscheinlichkeit von E2 plus Wahrscheinlichkeit von E3. Dazu machen wir jetzt noch mal ein Beispiel. Wir wollen wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Zeiger nicht auf grün stehen bleibt. Das Ereignis "nicht grün" bedeutet blau oder gelb oder rot, also Ergebnis 1 oder Ergebnis 3 oder Ergebnis 4. Das ist dann gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten, also Wahrscheinlichkeit von E1+Wahrscheinlichkeit von E3+ Wahrscheinlichkeit von E4. Und das sind dann: 2/12+1/12+4/12. Und das sind 7/12. So, dann zählen wir noch mal nach: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Passt genau. So, jetzt schauen wir uns noch mal ein anderes Beispiel an, mit einem anderen Zufallsversuch. Der Zufallsversuch besteht darin, diese Schachtel hier einfach auf das Whiteboard zu werfen. Was sollen jetzt die Ergebnisse sein? Es gibt einmal Ergebnis A, das heißt, die Schachtel landet auf einer der beiden großen Flächen, die Wahrscheinlichkeit dafür soll 22/30 sein. Also diese Seite oder die, die ich eben gezeigt habe. Ergebnis B soll sein, dass die Schachtel auf einer dieser länglichen Seitenflächen landet. Die Wahrscheinlichkeit dafür soll 7/30 sein. Und Ergebnis C soll sein, dass sie auf einer der kleinen Flächen landet. Die Wahrscheinlichkeit dafür soll 1/30 sein. Okay, dann sind wir so weit und können das mal ausprobieren. Wir brauchen also jetzt ein Ereignis. Das Ereignis soll sein, dass die Schachtel nicht auf einer der A-Seiten landet. Das heißt also, nicht auf dieser Seite, sondern hier auf einer dieser Seiten an den schmalen Rändern. Die Wahrscheinlichkeit von "nicht A" ist also die Wahrscheinlichkeit von B oder C, denn wenn es nicht auf A landet, dann landet es auf B oder C. Und die Summenregel sagt jetzt, dass wir das berechnen können durch: Wahrscheinlichkeit von B+Wahrscheinlichkeit von C. Die Wahrscheinlichkeit von B, da schauen wir noch mal nach, ist 7/30. Die Wahrscheinlichkeit von C=1/30. Und das macht zusammen 8/30. Und das kann man noch kürzen zu 4/15. Wenn wir jetzt noch mal schauen, dass die Wahrscheinlichkeit für die Seiten 22/30 war, dann sehen wir auch, dass das zusammen 1 ergibt. Also die 22 und die 8. Das heißt, wir haben auch richtig gerechnet, denn als Summe aller Ergebnisse kommt 1 heraus. Gut, dann fasse ich das jetzt noch mal zusammen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignissen, das sich aus mehreren Ergebnissen zusammensetzt, ist gleich der Summer der Einzelwahrscheinlichkeiten der Ergebnisse. Und ich will noch mal darauf hinweisen, dass sich das Ereignis wirklich aus Ergebnissen, also aus Grundergebnissen zusammensetzen muss, damit diese Regel gilt. Es gibt nämlich später andere Regeln, wenn sich Ereignisse anders zusammensetzen, aber dazu will ich jetzt nicht mehr sagen. Als Formel sieht das so aus: A=Ergebnis 1 oder Ergebnis 2 oder Ergebnis 3. Dann ist die Wahrscheinlichkeit von A gleich der Wahrscheinlichkeit von Ergebnis 1+Wahrscheinlichkeit von Ergebnis 2+Wahrscheinlichkeit von Ergebnis 3. Und noch mal der Hinweis: Wenn man also die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ergebnisse addiert, müssen nicht unbedingt alle sein, dann kann die Wahrscheinlichkeit höchstens 1 sein. Sie darf niemals größer als 1 sein. Alles klar! Dann verabschiede ich mich jetzt. Bis zum nächsten Video.

13 Kommentare

13 Kommentare
  1. Hallo Bachyen,

    vielen Dank für das tolle Feedback und viel Erfolg weiter auf der Plattform!

    Von Steve Taube, vor 9 Monaten
  2. Guten Abend,
    dieses Video ist sehr gelungen gestaltet und war sehr hilfreich, das Beste Video hier auf der Plattform!
    Danke für das gute Engagement!

    Von Bachyen, vor 9 Monaten
  3. Hallo Namam 77,

    das kannst du z.B. in dem Video oben sehen. Die Übersichtsseite zu Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten ist hier:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/wahrscheinlichkeitsrechnung-und-stochastik?list=1481037339614

    Wenn du dir ein Video angesehen hast, kannst du auch genau fragen, welche Stelle du nicht verstanden hast.

    Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor mehr als 4 Jahren
  4. wie rechnet man Wahrscheinlichkeiten

    Von Namam , vor mehr als 4 Jahren
  5. *dir

    Von Steve Taube, vor mehr als 5 Jahren
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Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Summenregel für Wahrscheinlichkeiten – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Summenregel für Wahrscheinlichkeiten an.

    Tipps

    In diesem Zufallsversuch kannst du die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse (und auch die der Ergebnisse) berechnen, indem du die Felder des Glücksrades zählst. Diese Anzahl dividierst du durch die Gesamtzahl der Felder.

    Beachte, dass entweder das eine oder das andere Ergebnis eintritt. Es ist nicht möglich, dass zwei verschiedene Ergebnisse gleichzeitig eintreten.

    Beachte für die Addition: Summand $+$ Summand $=$ Summe.

    Lösung

    Das Drehen des abgebildeten Pfeiles, welcher sich in der Mitte eines Glücksrades befindet, ist ein Zufallsexperiment. Die Ergebnisse dieses Zufallsexperimentes sind die Farben, auf welche der Pfeil zeigt. Die Ergebnisse werden zusammengefasst zu der Ergebnismenge.

    Ein Ereignis ist jeder beliebige Ausgang, den du bei diesem Zufallsexperiment erhalten kannst. Ein Ereignis ist also eine Teilmenge der Ergebnismenge.

    Schauen wir uns ein Beispiel für ein Ereignis an. $A$: Der Pfeil zeigt auf ein blaues oder rotes Feld.

    Es gilt also $A=E_1\cup E_4$. So erhältst du $P(A)=P\left(E_1\cup E_4\right)$. Nun kannst du die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse addieren und erhältst $P(A)=P\left(E_1\right)+P\left(E_4\right)=\frac2{12}+\frac4{12}=\frac6{12}=\frac12$.

    Dies ist die sogenannte Summenregel für Wahrscheinlichkeiten:

    Betrachte ein Ereignis $A$, welches sich aus den Ergebnissen $E_1$, $E_2$ sowie $E_3$ zusammensetzt. Du kannst die Wahrscheinlichkeit dann so berechnen: $P(A)=P\left(E_1\right)+P\left(E_2\right)+P\left(E_3\right)$.

    Zusammengefasst gilt: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das sich aus mehreren Ergebnissen zusammensetzt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse.

  • Beschreibe, wie du die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnen kannst.

    Tipps

    Hier siehst du die Summenregel. Sei $E=A\cup B$ mit den Ergebnissen $A$ und $B$. Dann gilt $P(E)=P(A)+P(B)$.

    In dem Ereignis „nicht $A$“ befinden sich alle Ergebnisse, welche nicht $A$ sind.

    Erst wenn du die Summenregeln verwendest, wird addiert.

    Lösung

    Es soll die Wahrscheinlichkeit $P(„\text{nicht } A“)$ berechnet werden. Du verwendest hierfür die Summenregel. Zunächst musst du also das Ereignis „nicht $A$“ als Vereinigung von Ergebnissen schreiben: „nicht $A$“$=B\cup C$.

    Damit ist $P(„\text{nicht } A“)=P(B\cup C)=P(B)+P(C)$. Die benötigten Wahrscheinlichkeiten kannst du der nebenstehenden Skizze entnehmen. Dies führt zu

    $P(„\text{nicht } A“)=\frac7{30}+\frac1{30}=\frac8{30}=\frac4{15}$.

    Es gilt übrigens $P(A)+P(„\text{nicht } A“)=1$ und damit $P(„\text{nicht } A“)=1-P(A)$.

  • Wende die Summenregel an, um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu berechnen.

    Tipps

    In $A$ befinden sich alle Ergebnisse, bei welchen der Pfeil nicht auf ein rotes Feld zeigt.

    Beachte $P\left(E_4\right)=\frac4{12}$ und damit $P(A)=1-\frac4{12}$.

    Du kannst zur Kontrolle auch alle nicht roten Felder zählen und diese Anzahl durch die Gesamtzahl der Felder auf dem Glücksrad dividieren.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeiten, ein entsprechend farbiges Feld zu drehen, erhältst du so: Du zählst die Anzahl der Felder mit dieser Farbe. Dann dividierst du dieses Anzahl durch $12$, die Gesamtzahl der Felder auf dem Glücksrad.

    So kommst du zu den Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse:

    • $E_1$: Der Pfeil zeigt auf ein blaues Feld, also $P\left(E_1\right)=\frac5{12}$.
    • $E_2$: Der Pfeil zeigt auf ein grünes Feld, also $P\left(E_2\right)=\frac1{12}$.
    • $E_3$: Der Pfeil zeigt auf ein gelbes Feld, also $P\left(E_3\right)=\frac2{12}$.
    • $E_4$: Der Pfeil zeigt auf ein rotes Feld, also $P\left(E_4\right)=\frac4{12}$.
    Das Ereignis $A$ ist die Vereinigung der Ergebnisse $E_1$, $E_2$ sowie $E_3$. Das bedeutet $A=E_1\cup E_2\cup E_3$.

    Damit ist $P(A)=P\left(E_1\cup E_2\cup E_3\right)$. Nun kannst du die Summenregel verwenden:

    $P(A)=P\left(E_1\right)+P\left(E_2\right)+P\left(E_3\right)=\frac5{12}+\frac1{12}+\frac2{12}=\frac8{12}=\frac23$.

    Diese Wahrscheinlichkeit erhältst du auch, wenn du alle nicht roten Felder zählst. Dies sind $8$ Felder. Dividiere die Anzahl durch $12$. Dies ist die Gesamtzahl der Felder. So erhältst du $P(A)=\frac8{12}=\frac23$.

  • Ermittle die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse sowie Ereignisse.

    Tipps

    Du darfst in dieser Aufgabe davon ausgehen, dass alle Hunde reinrassig sind. Es gibt also zum Beispiel keinen Beagle-Collie-Mischling.

    Verwende die Summenregel für Wahrscheinlichkeiten. Ist $E=A\cup B$, dann gilt $P(E)=P(A)+P(B)$. Dabei sind $A$ und $B$ Ergebnisse. In diesem Beispiel sind dies die verschiedenen Hunderassen.

    Du kannst diese Formel auch anwenden, wenn sich das Ereignis $E$ aus mehr als zwei Ergebnissen zusammensetzt.

    Es ist $P(C)=0,24$ die Wahrscheinlichkeit, einen Collie zu treffen.

    Ebenso kannst du $P(S)=0,08$ und $P(G)=0,32$ berechnen.

    Lösung

    Stelle dir den Wald als eine Urne vor, in der sich $25$ Hunde befinden. Davon sind $9$ Golden Retriever, $8$ Beagles, $2$ Schäferhunde und $6$ Collies. Paul zieht nun zufällig einen Hund aus dieser Urne.

    Dies entspricht dem zufälligen Treffen eines Hundes. Du kannst zunächst die Wahrscheinlichkeiten für jede der vier Hunderassen berechnen.

    • $P(G)=\frac9{25}=0,36$
    • $P(B)=\frac8{25}=0,32$
    • $P(S)=\frac2{25}=0,08$
    • $P(C)=\frac6{25}=0,24$
    Addiere doch einmal all diese Wahrscheinlichkeiten. Du erhältst dann $1$.

    Nun kann es losgehen. Du sollst die Wahrscheinlichkeiten von drei verschiedenen Ereignissen berechnen.

    Paul trifft keinen Beagle.

    • „nicht $B$“$=G\cup S\cup C$
    • Damit ist $P($„nicht $B$“$)=P(G)+P(S)+P(C)=0,36+0,08+0,24=0,68$.
    Paul trifft entweder einen Golden Retriever oder einen Schäferhund.

    Wieder verwendest du die Summenregel $P(G\text{ oder }S)=P(G)+P(S)=0,36+0,08=0,44$.

    Paul trifft entweder einen Golden Retriever, einen Beagle oder einen Collie.

    Dieses Mal rechnest du so: $P(G\text{ oder }B\text{ oder } C)=P(G)+P(B)+P(C)=0,36+0,32+0,24=0,92$.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ergebnisse.

    Tipps

    Auf dem Glücksrad befinden sich insgesamt $12$ Felder.

    Nimm einmal an, es wären $7$ der $12$ Felder rot. Dann erhältst du die folgende Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Pfeil auf ein rotes Feld zeigt: $P($ rot $)=\frac7{12}$.

    Du dividierst also die Anzahl der Felder in der gegebenen Farbe durch die Gesamtzahl der Felder.

    Lösung

    Um die Summenregel für Wahrscheinlichkeiten anzuwenden, musst du zunächst die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen berechnen. Bei dem gegebenen Zufallsexperiment sind die Ergebnisse gegeben durch:

    • $E_1$: Der Pfeil zeigt auf ein blaues Feld.
    • $E_2$: Der Pfeil zeigt auf ein grünes Feld.
    • $E_3$: Der Pfeil zeigt auf ein gelbes Feld.
    • $E_4$: Der Pfeil zeigt auf ein rotes Feld.
    Allgemein berechnest du die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ergebnis so: Du dividierst die Anzahl der Felder in der entsprechenden Farbe durch die Gesamtzahl $12$ aller Felder. So erhältst du

    • $P\left(E_1\right)=\frac5{12}$,
    • $P\left(E_2\right)=\frac1{12}$,
    • $P\left(E_3\right)=\frac2{12}$ und
    • $P\left(E_4\right)=\frac4{12}$.
    Übrigens: Wenn du all diese Wahrscheinlichkeiten addierst, erhältst du $1$.

  • Leite die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse her.

    Tipps

    Prüfe, ob die folgende Bedingung erfüllt ist: $P(A)+P(B)+P(C)=1$.

    Verwende $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Gleiches gilt analog bei den beiden anderen Verknüpfungen der Ergebnisse.

    Um diese Aufgabe zu lösen, kannst du ein Gleichungssystem aufstellen. Dabei sind die unbekannten Wahrscheinlichkeiten die drei gesuchten Größen. Die gegebenen Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse führen zu den drei Gleichungen.

    Es ist $P(A)=0,2$.

    Lösung

    Verwende die bekannten Wahrscheinlichkeiten. Dabei wendest du jedes Mal die Summenregel für Wahrscheinlichkeiten an.

    • $P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0,5$
    • $P(A\cup C)=P(A)+P(C)=0,7$
    • $P(B\cup C)=P(B)+P(C)=0,8$
    Subtrahiere von der oberen Gleichung die mittlere. Dies führt zu $P(B)-P(C)=-0,2$.

    Nun kannst du diese Gleichung und die untere Gleichung addieren. So erhältst du $2\cdot P(B)=0,6$. Schließlich dividierst du durch $2$. So kommst du zu $P(B)=0,3$.

    Damit gilt:

    • $P(A)+0,3=0,5$: Subtrahiere $0,3$. So kommst du zu $P(A)=0,2$.
    • $0,3+P(C)=0,8$: Wieder subtrahierst du $0,3$, um zu $P(C)=0,5$ zu gelangen.
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