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Absolute und relative Häufigkeit – Überblick 05:56 min

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Transkript Absolute und relative Häufigkeit – Überblick

Viele kennen das Problem, man mag Rosinen nur bedingt und in Nussmischungen gibt es immer viel zu viele davon. Wir betrachten eine Packung eines Dreierpackt mit je 80 Gramm Inhalt und eine Familienpackungen mit 240 Gramm Inhalt, beide beinhalten Erdnüsse, Mandeln und Rosinen. Hmm... Es ergibt sich für beide Angebote doch dasselbe Gewicht. önnen sich die Angebote trotzdem in ihrer Zusammensetzung unterscheiden? m diese Frage zu beantworten, nutzen wir die absolute und relative Häufigkeit. afür betrachten wir jeweils den Inhalt einer kleinen Packung und den der großen Packung. Zunächst zählen wir alle Rosinen, die in den jeweiligen Nussmischungen enthalten sind. Wir erhalten für die kleine Packung eine Anzahl von 8 und für die Familienpackung eine Anzahl von 20 Rosinen, diese Anzahlen sind die jeweiligen absoluten Häufigkeiten. Die absolute Häufigkeit eines Objektes ist also gleich der Anzahl des jeweiligen Objektes in der Grundmenge, also in der gesamten Menge. In der kleinen Packung ist die Gesamtzahl von Nüsse und Rosinen 40, während es in der Familienpackung 120 sind. Können wir die absoluten Häufigkeiten nun direkt miteinander vergleichen? Nein, um zu bestimmen, in welcher Packung der ANTEIL an Rosinen größer ist, brauchen wir die jeweiligen relativen Häufigkeiten. Die relative Häufigkeit beschreibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Grundmenge und sie ist somit der Quotient aus der absoluten Häufigkeit und der Grundmenge. Zur Bestimmung der relativen Häufigkeiten teilen wir also 8 durch 40 beziehungsweise 20 durch 120. Somit erhalten wir für die kleine Packung eine relative Häufigkeit von acht Vierzigsteln. Die Familienpackung hat einen Rosinenanteil von zwanzig Hundertzwanzigsteln. Diese beiden Brüche können wir noch kürzen zu einem Fünftel beziehungsweise einem Sechstel. Um einen besseren Eindruck über die jeweiligen Anteile zu bekommen, können wir diese Brüche auch in Prozent angeben. Wir erhalten so 20 beziehungsweise 16 Komma Periode 6 Prozent. Diese Angaben können wir auch in Dezimalzahlen ausdrücken, also 0,2 beziehungsweise 0,16 Periode 6 — das sind kurz 0 Komma 1 Periode 6. Welches Angebot sollte man wählen, wenn man nicht so viele Rosinen mag? Die Familienpackung hat einen geringeren Rosinenanteil und ist dementsprechend besser geeignet. Statt der Rosinen können wir aber auch den Anteil der Nüsse in den Nussmischungen betrachten. Hierzu notieren wir uns die absoluten Häufigkeiten der Mandeln und die absoulute Häufigkeit der Erdnüsse. Wir zählen 12 Erdnüsse und 20 Mandeln in der kleinen Nussmischung beziehungsweise 36 Erdnüsse und 64 Mandeln in der Familienpackung. Unsere Grundmengen sind weiterhin die Gesamtzahlen in den jeweiligen Packungen, also 40 beziehungsweise 120. Da wir hier nicht den Anteil der jeweiligen Nussart, sondern der Nüsse generell betrachten möchten, können wir die absoluten Häufigkeiten der Erdnüsse und Mandeln addieren. Die Summe der absoluten Häufigkeiten nennt man auch die kumulierte absolute Häufigkeit, oder auch die aufsummierte absolute Häufigkeit. Unsere kumulierten absoluten Häufigkeiten sind 12 + 20, also 32 beziehungsweise 36 + 64, also 100. Um die beiden Anteile der Nüsse besser vergleichen zu können, bietet sich wieder die relative Häufigkeit an. Wir teilen also wieder die absoluten Häufigkeiten, diesmal aber die kumulierte absoluten Häufigkeiten, durch die dazugehörigen Grundmengen. Dadurch erhalten wir kumulierte relative Häufigkeiten, also aufsummierte relative Häufigkeiten. Für die kleine Nussmischung beträgt diese 32 Vierzigstel und für die große Packung 100 Hundertzwanzigsteln. Gekürzt ergibt das 2 Fünftel beziehungsweise 5 Sechstel Auch diese Brüche können wir in Prozent angeben, wir erhalten 80 beziehungsweise 83 Komma Periode 3 Prozent. Oder als Dezimalzahl ausgedrückt, 0,8 bzw. 0,83 Periode 3; kurz 0 Komma 8 Periode 3. Auch hier kann man sehen, dass sich die Familienpackung anbietet, wenn man möglichst wenige Rosinen, also möglichst viele Nüsse haben möchte. Fassen wir das Gelernte noch zusammen. Die absolute Häufigkeit eines Objektes entspricht der Anzahl dieses Objektes in der Grundmenge. Die absolute Häufigkeit ist stets eine ganze Zahl, die größer oder gleich Null und kleiner oder gleich der Grundmenge ist. Die relative Häufigkeit eines Objektes erhalten wir, indem wir die absolute Häufigkeit dieses Objektes durch die jeweilige Grundmenge teilen. Die relative Häufigkeit ist also gleichbedeutend mit dem Anteil eines Objektes in Bezug auf die Grundmenge. Die relative Häufigkeit ist stets eine Zahl zwischen Null und Eins. Sie kann als Bruch, Dezimalzahl oder in Prozent angegeben werden. Durch Aufsummieren von absoluten Häufigkeiten, beispielsweise wenn wir mehrere verschiedene Objekte in einer Grundmenge betrachten, erhalten wir die kumulierte absolute Häufigkeit. Man spricht auch von der aufsummierten absoluten Anzahl oder Häufigkeit. Merke dir: Die kumulierte absolute Häufigkeit aller Objekte, in unserem Beispiel aller Nüsse und Rosinen, entspricht der Grundmenge. Die kumulierte relative Häufigkeit erhalten wir, in dem wir das Verhältnis von der kumulierten absoluten Häufigkeit und der Grundmenge bilden. Die kumulierte relative Häufigkeit aller Objekte, also der Anteil aller Objekte an der Grundmenge, ist gleich Eins. Nun können wir endlich unsere Nussmischung genießen. Ach herrje... Was ist denn da los? Wir sind scheinbar nicht die einzigen, die Rosinen nur bedingt mögen.

11 Kommentare
  1. Die Stimme des Sprechers ist leider extrem monoton. Jedoch ist das Video gut verständlich.

    Von R.J., vor 16 Tagen
  2. Vielen Dank für euer positives Feedback. Es freut uns zu hören, dass euch das Video so gut gefällt. Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor 2 Monaten
  3. Sehr gutes Video und das Thema auch sehr übersichtlich erklärt! :)

    Von Richard B., vor 2 Monaten
  4. OK

    Von Michaela Heyn, vor 3 Monaten
  5. voll Gut gemacht

    Von Mads V., vor 6 Monaten
  1. Gut erklärt

    Von Itslearning Nutzer 2535 35350, vor 7 Monaten
  2. Hallo A Volberg,
    vielen Dank für den Hinweis. Der Fehler wurde korrigiert.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 7 Monaten
  3. In der Übung steht and Nüssen...aber das heißt die Gesamtmenge an Nüssen

    Von A Volberg, vor 7 Monaten
  4. ziemlich langweilig aber man hat es verstanden

    Von Deleted User 772649, vor 7 Monaten
  5. Super video und alles toll dargestellt!

    Von Tamboga, vor 8 Monaten
  6. WOW! Das Video ist super erklärt hab es jetzt verstanden. Jetzt hab ich Hunger...

    Von Leo B., vor 10 Monaten
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Absolute und relative Häufigkeit – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Absolute und relative Häufigkeit – Überblick kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Häufigkeiten.

    Tipps

    Relative Häufigkeiten dienen zum besseren Vergleich von absoluten Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen.

    Das Verb "kumulieren" bedeutet "ansammeln" oder "anhäufen".

    Absolute Häufigkeiten kann man so berechnen.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Mit absoluten Häufigkeiten lassen sich Mengenverhältnisse immer problemlos vergleichen.
    Wenn absolute Häufigkeiten auf unterschiedlichen Grundmengen basieren, ist ein Vergleich schwierig. Relative Häufigkeiten dienen zum besseren Vergleich von absoluten Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen. Hier teilst du durch die jeweilige Grundmenge, dieser Faktor wird also herausgerechnet.

    • Aus kumulierten Häufigkeiten kann man keine relativen Häufigkeiten bilden.
    Auch aus kumulierten Häufigkeiten kannst du relative Häufigkeiten bilden. Dabei teilst du die kumulierte absolute Häufigkeit durch die Grundmenge.

    Diese Aussagen sind richtig:

    • Eine relative Häufigkeit berechnet man aus der absoluten Häufigkeit und der Grundmenge.
    Eine relative Häufigkeit erhält man, indem man die relative Häufigkeit durch die Grundmenge teilt.

    • Kumulierte Häufigkeiten sind aufsummierte Häufigkeiten.
    Das Verb "kumulieren" bedeutet "ansammeln" oder "anhäufen". Für kumulierte Häufigkeiten summierst du verschiedene absolute Häufigkeiten auf und teilst sie gegebenenfalls durch die Grundmenge.

    • Basieren zwei absolute Häufigkeiten auf der gleichen Grundmenge, kann man sie zum Vergleich verwenden.
    Relative Häufigkeiten verwendet man hauptsächlich, wenn man Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen vergleichen will. Deshalb ist es bei gleichen Grundmengen nicht unbedingt notwendig, die relative Häufigkeit zu bestimmen. Sie hilft aber trotzdem bei der Übersichtlichkeit des Vergleichs.

  • Bestimme die Art der Häufigkeit.

    Tipps

    Absolute Häufigkeiten geben die Anzahl zählbarer Objekten an.

    Relative Häufigkeiten dienen zum besseren Vergleich von absoluten Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen.

    Bei kumulierten Häufigkeiten wird etwas zusammengezählt.

    Lösung

    Die Beispiele für Häufigkeiten werden wie folgt zugeordnet:

    Absolute Häufigkeit:
    „In einer Nussmischung befinden sich $8$ Rosinen.“
    Hier wird nur eine Anzahl wiedergegeben, das ist also eine absolute Häufigkeit.

    Relative Häufigkeit:
    „In einer Nussmischung mit insgesamt $120$ Teilen befinden sich $20$ Rosinen, das ergibt einen Anteil von $\frac{1}{6}$.“
    Hier wird der Anteil an Rosinen an einer Grundgesamtheit angegeben, das ist eine relative Häufigkeit.

    Kumulierte absolute Häufigkeit:
    „In einer Nussmischung befinden sich $12$ Erdnüsse und $20$ Mandeln, insgesamt $32$ Nüsse.“
    Hier werden zwei Anzahlen an Nüssen zusammengezählt, also kumuliert.

    Kumulierte relative Häufigkeit:
    „Der Anteil von insgesamt $32$ Nüssen verschiedener Art an einer Nussmischung von $40$ Teilen beträgt $\frac{4}{5}$.“
    Um den Anteil der Nüsse zu bestimmen, mussten verschiedene Nüsse zusammengezählt und durch die Grundmenge geteilt werden. Es handelt sich also um eine kumulierte relative Häufigkeit.

  • Bestimme die relativen Häufigkeiten.

    Tipps

    Um von der relativen auf die absolute Häufigkeit zurückzurechnen, musst du die Formel für die Berechnung der relativen Häufigkeit umstellen.

    Möchte man den Anteil über beide befragten Gruppen bestimmen, muss man die absoluten Häufigkeiten und die Grundmenge kumulieren.

    Hast du eine relative Häufigkeit und die Grundmenge gegeben, kannst du auf die absoluten Häufigkeiten zurückrechnen, indem du die Formel umstellt und die Werte einsetzt. Das Umstellen funktioniert so:

    $\begin{array}{llll} \text{relative Häufigkeit}&=& \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}} & \vert \cdot \text{Grundmenge} \\ \text{absolute Häufigkeit}&=&\text{relative Häufigkeit} \cdot \text{Grundmenge} \\ \end{array}$

    Lösung

    Folgendes wird richtig eingesetzt:

    „In Berlin wurden $138$ Menschen befragt. Die kumulierten Häufigkeiten der Antworten sind:

    • Hummus: $63$
    • Marmelade: $54$
    • Senf: $21$“
    Die relativen Häufigkeiten kannst du wie gewohnt berechnen, indem du die absolute Häufigkeit durch die Grundmenge teilst.

    $\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}=\frac{63}{138}\approx0,46$

    „Die relativen Häufigkeiten betragen damit:

    • Hummus: $0,46$
    • Marmelade: $0,39$
    • Senf: $0,15$“
    „In Karlsruhe wurden hingegen insgesamt $60$ Menschen befragt. Die relativen Häufigkeiten der Antworten betragen:

    • Hummus: $0,57$
    • Marmelade: $0,20$
    • Senf: $0,23$“
    Du kannst auf die absoluten Häufigkeiten zurückrechnen, indem du die Formel umstellst und die Werte einsetzt.

    $\begin{array}{llll} \text{relative Häufigkeit}&=& \frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}} & \vert \cdot \text{Grundmenge} \\ \text{absolute Häufigkeit}&=&\text{relative Häufigkeit} \cdot \text{Grundmenge} \\ \end{array}$

    „Diese betragen dann:

    • Hummus: $34$
    • Marmelade: $12$
    • Senf: $14$
    Die Forscher möchten allerdings hauptsächlich herausfinden, wie viele Menschen keine süßen Brotaufstriche mögen. Deshalb berechnen sie die kumulierten absoluten Häufigkeiten von Hummus und Senf in beiden Städten. Diese betragen:

    • In Berlin: $84$
    • In Karlsruhe: $48$“
    Du berechnest die kumulierte absolute Häufigkeit, indem du die absoluten Häufigkeiten von Hummus und Senf addierst.

    „Mit den kumulierten relativen Häufigkeiten können die Forscher bestimmen, welcher Anteil an Menschen keine süßen Brotaufstriche mag. Diese Häufigkeiten betragen in den beiden Städten:

    • In Berlin: $0,61$
    • In Karlsruhe: $0,80$“
    Du bestimmst die kumulierte relative Häufigkeit, indem du die kumulierte absolute Häufigkeit durch die Grundmenge teilst.

    „Die Forscher möchten jetzt noch feststellen, welcher Anteil an allen befragten Menschen gerne Marmelade isst. Dazu berechnen sie die kumulierte relative Häufigkeit aller Befragten. Hier ergibt sich: $0,33$.“

    Diesen Wert bestimmst du, indem du die absoluten Häufigkeiten von Marmelade in beiden Städten addierst und durch die Summe der Grundmengen teilst:

    $\frac{54+12}{138+60}\approx0,33$

  • Beschreibe die Berechnung von Häufigkeiten.

    Tipps

    Absolute Häufigkeiten geben die Anzahl von zählbaren Objekten an.

    Relative Häufigkeiten dienen zum besseren Vergleich von absoluten Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen.

    Lösung

    Der Lückentext vervollständigt sich so:

    • Um die Anzahl von Rosinen in einer Nussmischung zu bestimmen, kannst du sie einfach zählen. In einer kleinen Packung befinden sich $8$ und in einer großen $20$ Rosinen. Die absolute Häufigkeit der Rosinen der kleinen Packung beträgt also $8$ und die der großen Packung $20$.
    Absolute Häufigkeiten geben die Anzahl von zählbaren Objekten an.

    • Die Gesamtmenge an Nüssen und Rosinen beträgt $40$ in der kleinen und $120$ in der großen Packung. Diese Größe nennt man auch Grundmenge. Damit lässt sich die relative Häufigkeit bestimmen:
    • Mit der relativen Häufigkeit lassen sich absolute Häufigkeiten mit unterschiedlicher Grundmenge besser vergleichen. Die relative Häufigkeit von Rosinen in der kleinen Packung beträgt:
    $\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}=\frac{8}{40}=\frac{1}{5}$

    • Die relative Häufigkeit von Rosinen in der großen Packung beträgt:
    $\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$

    • Du kannst aber auch die Häufigkeiten der Nüsse bestimmen. In der kleinen Packung der Nussmischung befinden sich $12$ Erdnüsse und $20$ Mandeln. Um die Häufigkeit der Nüsse in der Packung zu berechnen, verwendest du kumulierte Häufigkeiten.
    • Diese summieren die einzelnen Werte auf. Die kumulierte absolute Häufigkeit der Nüsse in der Packung beträgt $32$. Auch hier lässt sich eine relative Häufigkeit bestimmen, indem du die absolute Häufigkeit durch die Grundmenge teilst. Die kumulierte relative Häufigkeit der Nüsse in der kleinen Packung beträgt also:
    $\text{kumulierte relative Häufigkeit}=\frac{\text{kumulierte absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}=\frac{32}{40}=\frac{4}{5}$

  • Bestimme die relativen Häufigkeiten.

    Tipps

    Um Häufigkeiten verschiedener Grundmengen zu vergleichen, musst du relative Häufigkeiten berechnen.

    Manchmal ist es nicht offensichtlich, welcher von zwei Brüchen größer ist. In solchen Fällen solltest du die zwei Brüche auf den gleichen Nenner bringen und die Zähler vergleichen, oder die Brüche in Dezimalzahlen umwandeln.

    Lösung

    Um die Anteile in die richtige Reihenfolge vom kleinsten bis zum größten Anteil zu bringen, musst du die relativen Häufigkeiten ausrechnen. Für den ersten Anteil geht das wie folgt:

    $\text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Grundmenge}}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}\approx 0,14$.

    Die anderen Anteile kannst du analog berechnen. Damit ergibt sich die Reihenfolge der Anteile zu:

    Die Nussmischung enthält $3$ Mandeln, bei insgesamt $21$ Nüssen.

    • Relative Häufigkeit: $\frac{1}{7}\approx 0,14$
    Die Nussmischung enthält $5$ Rosinen, bei einer Grundmenge von $25$.

    • Relative Häufigkeit: $\frac{1}{5}= 0,2$
    Die Nussmischung enthält $10$ Rosinen, bei einer Grundmenge von $30$.

    • Relative Häufigkeit: $\frac{1}{3}\approx 0,33$
    Die Nussmischung enthält $12$ Erdnüsse, bei insgesamt $21$ Nüssen.

    • Relative Häufigkeit: $\frac{4}{7}\approx 0,57$
    Die Nussmischung enthält $15$ Erdnüssse, bei einer Grundmenge von $25$.

    • Relative Häufigkeit: $\frac{3}{5}=0,6$
    Die Nussmischung enthält $20$ Mandeln, bei einer Grundmenge von $30$.

    • Relative Häufigkeit: $\frac{2}{3}\approx 0,67$
  • Bestimme die Art der Häufigkeit.

    Tipps

    Absolute Häufigkeiten geben die Anzahl zählbarer Objekten an.

    Relative Häufigkeiten dienen zum besseren Vergleich absoluter Häufigkeiten unterschiedlicher Grundmengen.

    Lösung

    Die Aussagen können wie folgt zugeordnet werden:

    Absolute Häufigkeit:

    • Es gibt $3$ blaue.
    • $2$ sind gelb.
    • Es gibt $4$ rote.
    Hier wird nur eine Anzahl der Bälle angegeben, das ist also eine absolute Häufigkeit.

    Relative Häufigkeit:

    • $\frac{1}{5}$ sind gelb.
    • $4$ von $10$ sind rot.
    • $30~\%$ sind blau.
    • $10~\%$ sind grün.
    Hier wird der Anteil von Bällen an einer Grundgesamtheit angegeben, das ist eine relative Häufigkeit.

    Kumulierte absolute Häufigkeit:

    • $5$ sind rot oder grün.
    • $6$ sind rot oder gelb.
    Hier werden zwei Anzahlen von Bällen zusammengezählt, also kumuliert.