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Ergebnis und Ereignis 07:17 min

Textversion des Videos

Transkript Ergebnis und Ereignis

Die gefährlichen Verbrecher Eagle und sein kleiner Bruder Quentin treffen sich zu einem Duell. Und womit ginge das besser als mit einer Partie ihres Lieblingsspiels. Es geht um alles. Keiner der Brüder will verlieren. Und während wir das Spiel verfolgen, klären wir den Unterschied zwischen Ergebnis und Ereignis. Die stadtbekannten Verbrecher vermuten, dass das Würfeln ein Zufallsversuch ist. Um die Vermutung zu überprüfen, schauen wir uns die Merkmale eines Zufallsversuchs noch einmal an. Zunächst einmal gilt für jeden Zufallsversuch, dass alle möglichen Ausgänge bekannt sind. Wir wissen, dass man eine Eins, eine Zwei, eine Drei, eine Vier, eine Fünf oder natürlich eine Sechs würfeln kann. Und sonst nichts! Somit sind uns alle möglichen Ausgänge bekannt. Wir wissen vorher allerdings nicht, welche Zahl wir tatsächlich würfeln werden. Also können wir den genauen Ausgang nicht vorhersehen. Ein weiteres Merkmal ist, dass Zufallsversuche beliebig oft wiederholt werden können. Auch dieses Merkmal gilt für das Würfeln. Man kann den Würfel mehrfach werfen und den Zufallsversuch somit beliebig oft wiederholen. Und schließlich müssen die Bedingungen bei einem Zufallsversuch immer gleich sein. Da wir immer denselben Würfel verwenden und wir den Ausgang auch nach unzähligen Malen würfeln nicht kennen, sind die Bedingungen immer gleich. Es kann also losgehen! Jede gewürfelte Zahl ist ein Ergebnis. Ein Ergebnis ist ein Ausgang eines Zufallsversuchs. Alle möglichen Ergebnisse beim Würfeln, also eins, zwei, drei, vier, fünf und sechs, werden in der Ergebnismenge Omega zusammengefasst. Wie läuft das Spiel denn eigentlich? Eagle ist an der Reihe und steht mit seiner Spielfigur direkt hinter zwei Figuren von Quentin. Mit einer Eins oder einer Zwei kann Eagle also eine Figur seines Bruders rauswerfen. Führen im Zufallsversuch mehrere Ergebnisse zur selben Situation, dann können sie zu einem Ereignis zusammengefasst werden. Hier führen die Eins und die Zwei zu dem Ereignis, dass Quentin eine Figur verliert. Ereignisse werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet. Für dieses Ereignis können wir zum Beispiel den Buchstaben V für Verlieren verwenden. Die Eins und auch die Zwei sind Teil der Ergebnismenge. Generell ist ein Ereignis eine Teilmenge der Ergebnismenge. Oder anders gesagt: Ein Ereignis ist eine Zusammenfassung von bestimmten Ergebnissen eines Zufallsversuchs. Welch ein Zufall Eagle würfelt tatsächlich eine Zwei. Aber Quentin hat noch eine Chance sich zu revanchieren würfelt er genau eine Eins, kann er sich bei seinem Bruder rächen. Nur mit diesem Ergebnis könnte er eine Figur von Eagle rauswerfen. Auch dieses einzelne Ergebnis können wir als Ereignis auffassen. Wir bezeichnen es mit R für Rache. Dieses Ereignis ist ein sogenanntes Elementarereignis. Ein solches Ereignis besteht nur aus einem Ergebnis. Auch ein einzelnes Ergebnis ist natürlich eine Teilmenge der Ergebnismenge. Das Spiel nähert sich seinem Ende. Beide haben nur noch eine Figur im Rennen. Quentin müsste eine Sieben würfeln, um mit einem Wurf zu gewinnen. Dieses Ereignis nennen wir S für Sieben. Schauen wir uns die Ergebnismenge noch einmal an. Wie wir sehen, ist die Sieben darin nicht enthalten. Weil es nicht möglich ist, eine Sieben zu würfeln, handelt es sich hier um ein unmögliches Ereignis. Es enthält kein Ergebnis der Ergebnismenge und keines der möglichen Ergebnisse führt zu dem Ereignis. Es entspricht damit der leeren Menge. Weil die leere Menge Teilmenge von jeder Menge ist, ist sie auch Teilmenge der Ergebnismenge. Eine Sieben zu würfeln ist also ein unmögliches Ereignis. Er wird aber sicher eine Zahl von eins bis sechs würfeln. In jedem Fall kann er also weiterlaufen. Dieses Ereignis bezeichnen wir mit W für weiter. Ein solches Ereignis bezeichnen wir als sicheres Ereignis. Sichere Ereignisse treten auf jeden Fall in einem Zufallsversuch ein. Bei ihnen enthält das Ereignis die gesamte Ereignismenge. Auch die gesamte Ergebnismenge ist Teilmenge von sich selbst. Und während es zum großen Showdown kommt, fassen wir zusammen. Bei einem Zufallsversuch unterscheiden wir zwischen Ergebnis und Ereignis. Das Ergebnis beschreibt lediglich einen Ausgang des Zufallsversuchs. Jedes Ergebnis ist somit auch Teil der Ergebnismenge, die alle möglichen Ausgänge des Zufallsversuchs enthält. Ein Ereignis wiederum ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Es ist eine Zusammenfassung von bestimmten Ergebnissen eines Zufallsversuchs. Enthält ein Ereignis nur ein Element der Ergebnismenge, handelt es sich um ein Elementarereignis. Enthält ein Ereignis kein Element der Ergebnismenge, handelt es sich um ein unmögliches Ereignis. Und enthält ein Ereignis alle Elemente der Ergebnismenge, handelt es sich um ein sicheres Ereignis. Doch was ist das? Eagle gewinnt! Mensch, Quentin, ärgere dich doch nicht. Doch worum haben Eagle und Quentin eigentlich gespielt? Offensichtlich darum, wer den superschönen neuen Strickpullover der Oma anziehen muss.

Ergebnis und Ereignis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ergebnis und Ereignis kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen.

    Tipps

    Die Ergebnismenge beim Würfeln lautet $\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$

    $E = \{1\}$ ist ein Beispiel für ein Elementarereignis.

    $U = \{\} = \emptyset$ ist ein Beispiel für ein unmögliches Ereignis.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    • „Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuches werden in der Ergebnismenge zusammengefasst.“
    • „Bestimmte Ergebnisse können zu einem Ereignis zusammengefasst werden.“
    • „Ein Ergebnis ist ein Ausgang eines Zufallsversuches.“

    Folgende Aussagen nicht korrekt:

    • „Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuches werden in der Ereignismenge zusammengefasst.“
    Da alle möglichen Ergebnisse in der Ergebnismenge zusammengefasst werden, ist dieses Aussage nicht korrekt.

    • „Führt kein Ergebnis der Ergebnismenge zu einem Ereignis, dann ist dieses Ereignis ein Elementarereignis.“
    Führt kein Ergebnis der Ergebnismenge zu einem Ereignis, dann ist dieses Ereignis ein unmögliches Ereignis. Ein Elementarereignis ist im Gegensatz dazu ein Ereignis, bei dem genau ein Ergebnis zu dem Ereignis führt.

    • „Ein unmögliches Ereignis ist ein Ereignis, bei dem alle möglichen Ergebnisse zu dem Ereignis führen.“
    Wie bereits oben erwähnt, führt bei einem unmöglichen Ereignis kein Ergebnis zu dem Ereignis. Führen hingegen alle möglichen Ergebnisse zu einem Ereignis, dann ist dieses ein sicheres Ereignis.

  • Gib mögliche Ereignisse an.

    Tipps

    Ein Ereignis ist ein Teilmenge der Ergebnismenge.

    Ein Ereignis ist eine Zusammenfassung mehrere Ergebnisse, die in der Ergebnismenge enthalten sind.

    Ist ein Ergebnis nicht Teil der Ergebnismenge, kann es zu keinem Ereignis führen.

    Lösung

    Richtig sind:

    • $E = \{1;2;3;4\}$ - Die $1$, $2$, $3$ und $4$ sind Teil der Ergebnismenge. Dieses Ereignis ist also möglich.
    • $E = \{6\}$ - Auch die $6$ ist in der Ergebnismenge enthalten und kann somit zu einem Ereignis führen. Sie ist sogar ein sogenanntes Elementarereignis.
    • $E = \{1;2;3;4;5;6\}$ - Das ist die gesamte Ergebnismenge. Sie ist natürlich auch Teilmenge von sich selbst und somit ist auch das ein mögliches Ereignis, genauer gesagt ein sicheres Ereignis.

    Nicht korrekt sind:

    • $E = \{0,2,4\}$ - Die $0$ ist nicht Teil der Ergebnismenge. Dieses Ereignis kann also nicht eintreten.
    • $E = \{7,8,9,10\}$ - Sowohl $7$, $8$, $9$ als auch die $10$ sind alle nicht in der Ergebnismenge. Somit ist auch das kein Ereignis, das eintreten kann.

  • Ergänze die fehlenden Begriffe.

    Tipps

    Die Ergebnismenge beim Würfeln sieht so aus: $\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$

    Ein anderes Wort für Ausgang ist Ergebnis.

    Lösung

    Das Würfeln ist ein Zufallsversuch. Für solche Zufallsversuche gelten bestimmte Bedingungen. Es müssen alle möglichen Ausgänge eines Zufallsversuches bekannt sein. Diese werden in der Ergebnismenge zusammengefasst.

    Der genaue Ausgang ist allerdings nicht vorhersehbar. Beim Würfeln weiß man nicht, welche Zahl man tatsächlich würfeln wird.

    Ein weiteres Merkmal eines Zufallsversuches ist, dass er beliebig oft wiederholt werden kann. Auch den Würfel kann man mehrmals werfen. Somit kann der Zufallsversuch wiederholt werden.

    Außerdem müssen bei einem Zufallsversuch immer die gleichen Bedingungen herrschen. In Bezug auf das Würfeln ist damit gemeint, dass wir nicht plötzlich einen anderen Würfel verwenden können. Die Bedingungen wären dann nämlich unterschiedlich.

    Den Ausgang eines Zufallsversuches nennt man Ergebnis. Mehrere und verschiedene Ausgänge können zu einem Ereignis zusammengefasst werden.

  • Ermittle die korrekten Aussagen.

    Tipps

    Mit zwei Würfeln ist es nicht möglich eine $1$ zu würfeln.

    Die Ergebnismenge bei zwei Würfeln enthält insgesamt $5$ Primzahlen.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    • „Nur genau ein Feld vorwärts zu gehen ist ein unmögliches Ereignis.“
    Begründung: Nur ein Feld vorwärts gehen würde bedeuten, dass eine $1$ gewürfelt wird. Dies ist mit zwei Würfeln allerdings nicht möglich. Die niedrigste Zahl, die gewürfelt werden kann, ist eine $2$.

    • „Das Ereignis „Eine Primzahl wird gewürfelt“ enthält beim Würfeln mit zwei Würfeln $2$ Elemente mehr als beim Würfeln mit nur einem Würfel.“
    Begründung: Mit einem Würfel kann man eine $2$, $3$ und $5$ würfeln. Mit zwei Würfeln kann man zusätzlich noch eine $7$ und eine $11$ würfeln. Das sind zwei Primzahlen mehr. Somit stimmt diese Aussage.

    • „Das Ergebnis beim Würfeln mit zwei Würfeln setzt sich aus den Ergebnissen von zwei Zufallsversuchen zusammen.“
    Begründung: Das Würfeln mit einem Würfel ist ein Zufallsversuch. Das Ergebnis beim Würfeln mit zwei Würfeln setzt sich aus zwei Würfeln zusammen. Jeder Würfelwurf ist ein Zufallsversuch und somit besteht das Ergebnis beim Würfeln mit zwei Würfeln aus zwei zusammengesetzten Zufallsversuchen. Man spricht hier auch von einen zweistufigen Zufallsversuch. Die Ergebnismenge setzt sich dann aus den addierten Augenzahlen zusammen.

    Folgende Aussagen falsch:

    • „Die Ergebnismenge $\Omega$ ändert sich nicht.“
    Begründung: Beim Würfeln mit zwei Würfeln kann auch eine $7$, $8$, $9$, $10$, $11$ oder auch eine $12$ gewürfelt werden. Dies sind alles mögliche Ergebnisse, die in der Ergebnismenge enthalten sind. Somit ändert sich die Ergebnismenge $\Omega$.

    • „Alle Ereignisse, die mit einem Würfel erzielt werden können, können auch mit zwei Würfeln erzielt werden.“
    Begründung: Mit einem Würfel gibt es zum Beispiel das Elementarereignis „Ein Feld vorwärts gehen“. Dieses Ereignis kann nur erzielt werden, indem genau eine $1$ gewürfelt wird. Mit zwei Würfeln ist das nicht möglich, da die niedrigste Zahl eine $2$ ist.

    • „Beim Würfeln mit zwei Würfeln enthält die Ergebnismenge $\Omega$ insgesamt $4$ Elemente mehr als beim Würfeln mit nur einem Würfel.“
    Begründung: Die Ergebnismenge sieht mit zwei Würfeln so aus: $\Omega = \{2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\}$. Mit einem Würfel sieht sie so aus: $\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$. Sie enthält also insgesamt fünf Elemente mehr.

  • Ordne die Mengen den passenden Ereignissen zu.

    Tipps

    Ereignissen kann auch eine Bedeutung zugewiesen werden.

    Zum Beispiel könnte man sagen, dass das Ereignis $Z = \{1;3;5\}$ bedeutet, dass eine ungerade Zahl gewürfelt wurde.

    Lösung
    • $S = \{5;6\}$ bedeutet, dass eine Zahl geworfen wurde, die größer als $4$ ist. Alle Zahlen in der Ereignismenge sind größer als $4$.
    • $G = \{7\} $ ist hingegen ein unmögliches Ereignis. Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Die $9$ ist allerdings nicht in der Ergebnismenge enthalten. Somit ist es unmöglich, dass dieses Ereignis eintritt.
    • $E = \{3\}$ enthält nur ein Element der Ergebnismenge. Also nur ein Ergebnis führt zu dem Ereignis. Deshalb ist dieses Ereignis ein Elementarereignis.
    • Ereignissen kann auch eine Bedeutung zugewiesen werden. Ist es beim Würfeln von Bedeutung, dass eine gerade Zahl geworfen wird, kommt nur $U = \{2;4;6\}$ als Ereignis in Frage. In diesem sind nur gerade Zahlen aus der Ergebnismenge enthalten.
    • $F = \{2;3;5\}$ beinhaltet nur die Primzahlen aus der Ergebnismenge. Insofern führen nur diese Zahlen zu dem Ereignis, dass Primzahlen gewürfelt werden.
  • Bestimme die Form der einzelnen Ereignisse.

    Tipps

    Überlege, aus welchen Ereignissen die Ergebnismengen der einzelnen Zufallsversuche bestehen.

    Lösung

    Alle vier abgebildeten Elemente sind Zufallsversuche:

    • Der Münzwurf
    • Das Drehen eines Glückrads
    • Das Würfeln eines Würfels
    • Das Ziehen von vier Ass-Spielkarten
    Zunächst sind die einzelnen Ergebnismengen zu bestimmen:

    • Münzwurf: $\Omega=\{\text{Sofa}; \text{Zahl}\}$
    • Glücksrad : $\Omega = \{\text{rot}; \text{blau}; \text{gelb}; \text{schwarz}\}$
    • Würfeln: $\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$
    • Ziehen von Spielkarten: $\Omega = \{\text{Pik-Ass; Herz-Ass; Kreuz-Ass; Karo-Ass}\}$
    Nachdem du die einzelnen Ergebnismengen aufgestellt hast, kannst du wie folgt zuordnen:

    Elementarereignis:

    • $G=\{\text{gelb}\}$
    Begründung: $G=\{\text{gelb} \}$ enthält ein einziges Ergebnis aus der Ergebnismenge vom Glücksrad.

    • $P = \{\text{Pik-Ass}\}$
    Begründung: $P = \{\text{Pik-Ass}\}$ enthält ein einziges Ergebnis aus der Ergebnismenge vom Ziehen der Spielkarten.

    • $F= \{3\}$
    Begründung: $F= \{3\}$ enthält ein einziges Ergebnis aus der Ergebnismenge vom Würfeln.

    unmögliches Ereignis:

    • $E = \{8\}$
    Begründung: $E = \{8\}$ ist keine Teilmenge der vorhandenen Ergebnismengen. Der Würfel beinhaltet nur die Zahlen von $1$ bis $6$, weshalb die $8$ in keinem der Zufallsversuche vorkommt und somit ein unmögliches Ereignis darstellt.

    • $D = \{\text{Pik-Dame}; \text{Pik-Bube}\}$
    Begründung: $D = \{\text{Pik-Dame}; \text{Pik-Bube}\}$ ist keine Teilmenge der vorhandenen Ergebnismengen. Das Ziehen der Karten beinhaltet nur vier Ass-Karten, weshalb die Pik-Dame und der Pik-Bube keine Teilmenge der Ergebnismenge darstellen. Demnach kommen sie in keinem der Zufallsversuche vor und stellen somit ein unmögliches Ereignis dar.

    • $B =\{\text{grau; weiss}\}$
    Begründung: $B =\{\text{grau; weiss}\}$ ist keine Teilmenge der vorhandenen Ergebnismengen. Das Glücksrad beinhaltet nur die Farben blau, gelb, rot und schwarz, weshalb grau und weiss nicht Teil der Ergebnismenge sind. Demnach kommen sie in keinem der Zufallsversuche vor und stellen somit ein unmögliches Ereignis dar.

    sicheres Ereignis:

    • $S = \{\text{Sofa}; \text{Zahl}\}$
    Begründung: $S = \{\text{Sofa}; \text{Zahl}\}$ ist identisch der Ergebnismenge des Zufallversuchs Münzwurf.

    • $A =\{\text{Ass}\}$
    Begründung: $A =\{\text{Ass}\}$ ist identisch der Ergebnismenge des Zufallversuchs Karten ziehen, denn bei einem regulären Skat-Kartenspiel gibt es genau vier Ass-Karten. Diese vier Ass-Karten sind in der Ergebnismenge aufgelistet.

    sonstiges Ereignis:

    • $R = \{\text{rote Karte}\}$
    Begründung: Die roten Karten sind in der Ergebnismenge des Kartenspieles enthalten. Da es sich jedoch um zwei rote Karten handelt, ist es kein Elementarereignis. Es gibt aber noch weitere Karten und zwar die schwarzen, weshalb es sich auch nicht um ein sicheres Ereignis handelt. Demnach kann $R= \{\text{rote Karte}\}$ dem sonstigen Ereignis zugeordnet werden.

    • $W= \{2;4;6\}$
    Begründung: $W= \{2;4;6\}$ ist eine Teilmenge der Ergebnismenge des Würfelwurfes. Daher kann es kein unmögliches Ereignis sein. $W$ umfasst jedoch nicht die komplette Ergebnismenge, weshalb es hier auch kein sicheres Ereignis ist. Da es mehr als ein Ergebnis enthält, kann es hier den sonstigen Ereignissen zugeordnet werden.