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Zweistufige Zufallsversuche – Definition 05:38 min

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Transkript Zweistufige Zufallsversuche – Definition

Das ist Flopsy. Sein neuestes Kunststück ist das Jonglieren von Bällen. Dazu holt er die bunten Bälle aus seiner Tasche. Erst den roten und dann den grünen. Doch Moment mal! Gestern hat er doch erst den roten und dann den blauen Ball gezogen. Flopsy fragt sich, warum er nicht immer den grünen Ball als zweites zieht. Dazu beschäftigen wir uns mit zweistufigen Zufallsversuchen. Zufallsversuche können immer in das sogenannte Urnenmodell übertragen werden. Ob wir Bälle aus einer Tasche oder Kugeln aus einer Urne ziehen, ist aber eigentlich egal. Aber ist das Ziehen der bunten Kugeln aus einer Urne überhaupt ein Zufallsversuch? Schauen wir uns dazu noch einmal die Merkmale eines Zufallsversuches an. Bei einem Zufallsversuch sind uns alle möglichen Ausgänge bekannt. Wir wissen, dass wir entweder die rote die blaue oder die grüne Kugel ziehen werden. Wir kennen also alle möglichen Ausgänge. Wir wissen aber nicht, welche Kugel wir ziehen werden. Der tatsächliche Ausgang des Zufallsversuches ist für uns also nicht vorhersehbar. Legen wir die Kugeln nach jedem Ziehen in die Urne wieder zurück, könnten wir den Versuch auch beliebig oft wiederholen. Verwenden wir immer die gleichen Kugeln, herrschen außerdem immer gleiche Bedingungen. Das Ziehen von Kugeln aus einer Urne ist also ein Zufallsversuch. Doch was ist ein zweistufiger Zufallsversuch? Ein Zufallsversuch kann auch aus mehreren Teilvorgängen bestehen. Besteht der Zufallsversuch aus genau zwei Teilvorgängen, handelt es sich somit um einen zweistufigen Zufallsversuch. Das zweimalige Ziehen von Kugeln aus einer Urne kann man deshalb als zweistufigen Zufallsversuch auffassen. Diesen Vorgang können wir in einem Baumdiagramm beschreiben. Dabei zeichnen wir für jedes mögliche Ergebnis des ersten Schrittes von der Urne ausgehend einen Ast. An das Ende von jedem Ast kommt ein Knoten für jedes dieser Teilergebnisse. Im ersten Schritt können wir eine rote eine grüne oder eine blaue Kugel ziehen. Ist eine Kugel im ersten Schritt gezogen worden, gibt es im zweiten Schritt nur noch die Möglichkeit, eine der beiden übrigen Kugeln zu ziehen. Ausgehend vom ersten Schritt, zeichnen wir wieder für jedes mögliche Ergebnis im zweiten Schritt einen Ast. Diese Teilergebnisse kommen wieder an das Ende der Äste. Das gesamte Ergebnis eines Zuges besteht somit aus zwei Teilergebnissen. In diesem Fall ist ein Ergebnis ein Paar von zwei farbigen Kugeln. Unsere Ergebnismenge Omega sieht dann so aus. Sie beinhaltet alle möglichen Ergebnisse dieses zweistufigen Zufallsversuches, also alle Paarungen von unterschiedlich gefärbten Kugeln. Wir sehen: Bei einem zweistufigen Zufallsversuch besteht das Ergebnis aus zwei Teilergebnissen. Dennoch kann man jedes Teilergebnis für sich schon als das Ergebnis eines einstufigen Zufallsversuchs auffassen. Oder anders gesagt: Zwei hintereinander ausgeführte einstufige Zufallsversuche ergeben einen zweistufigen Zufallsversuch. Doch wie würde sich unser Baumdiagramm ändern, wenn wir noch eine rote, ein grüne und eine blaue Kugel in die Urne legen würden? Im ersten Schritt können wir wieder eine der drei Farben ziehen. Doch was bleibt im zweiten Schritt übrig? Da wir jede Kugel zweimal in der Urne haben, ist es möglich, dieselbe Farbe zweimal hintereinander zu ziehen. Im zweiten Schritt haben wir also wieder jeweils drei Möglichkeiten. Wir erhalten diese Ergebnisse. Unsere Ergebnismenge Omega sieht dann so aus. Sie enthält entsprechend drei Ergebnisse mehr als die Ergebnismenge des vorherigen Versuches. Dabei handelt es sich um die drei Ergebnisse, die wir erhalten können, wenn wir zweimal hintereinander dieselbe Farbe ziehen. Wir wissen nun, dass ein zweistufiger Zufallsversuch aus zwei Schritten besteht. Diese Teilschritte können aber auch unabhängig voneinander sein. Zum Beispiel können wir im ersten Schritt wieder Kugeln aus einer Urne ziehen und im zweiten Schritt eine Münze werfen. Je nachdem, was wir werfen, ergänzen wir unser Baumdiagramm dann mit Sofa oder Zahl. Die beiden Teilschritte müssen also nichts miteinander zu tun haben, solange sie für sich genommen die Merkmale eines Zufallsversuches erfüllen. Da das Ziehen von Kugeln aus einer Urne und der Münzwurf jeweils ein Zufallsversuch sind, bilden sie zusammengefasst einen zweistufigen Zufallsversuch. Fassen wir das kurz zusammen: Ein zweistufiger Zufallsversuch ist ein Zufallsversuch, der aus zwei Teilvorgängen besteht. Die Teilvorgänge selbst können dabei unabhängige Zufallsversuche sein. Das Ergebnis eines zweistufigen Zufallsversuches besteht aus ZWEI Teilergebnissen. Dabei können die Teilergebnisse selbst als Ergebnis eines einstufigen Zufallsversuches aufgefasst werden. Außerdem sind zweistufige Zufallsversuche über Baumdiagramme darstellbar. Jetzt, wo Flopsy alles über zweistufige Zufallsversuche weiß, kann er sich endlich auf seinen Auftritt konzentrieren. Da muss er wohl noch etwas üben.

Zweistufige Zufallsversuche – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zweistufige Zufallsversuche – Definition kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Zufallsexperimenten.

    Tipps

    Ein Zufallsversuch ist ein Experiment, mit dem man die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens zufälliger Ereignisse bestimmen möchte.

    Das Ziehen von Kugeln aus einer Urne wird oft zur Veranschaulichung der Eigenschaften von Zufallsversuchen herangezogen.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Bei Zufallsversuchen sind nicht alle möglichen Ausgänge bekannt.“

    • In einem Zufallsversuch müssen alle möglichen Ausgänge bekannt sein. Andernfalls ist es per Definition kein Zufallsversuch.
    „Die Teilergebnisse eines zweistufigen Zufallsversuchs sind immer voneinander abhängig.“

    • Weder die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Teilergebnisse eines zwei-oder mehrstufigen Zufallsversuchs, noch die einzelnen Zufallsversuche selbst müssen voneinander abhängig sein. Du kannst aus zwei unterschiedlichen Zufallsversuchen (z.B. das Werfen einer Münze und das Ziehen von Kugeln aus einer Urne) ein zweistufiges Zufallsexperiment konstruieren.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Der Ausgang eines Zufallsversuchs kann nicht vorhergesagt werden.“

    • Das ist eine Eigenschaft von Zufallsversuchen.
    „Das Ziehen von Kugeln aus einer Urne ist ein Zufallsversuch.“

    • Dieser Zufallsversuch wird oft zur Veranschaulichung der Eigenschaften von Zufallsversuchen herangezogen.
    „Ein zweistufiger Zufallsversuch besteht aus zwei einzelnen hintereinander durchgeführten Zufallsversuchen.“

  • Beschreibe diesen zweistufigen Zufallsversuch.

    Tipps

    Baumdiagramme eignen sich gut zur Veranschaulichung der verschiedenen Möglichkeiten eines Zufallsexperiments.

    Nach der ersten Ziehung befinden sich nur noch zwei Kugeln in Flopsis Tasche.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Beim Ziehen von zwei Bällen aus Flopsis Tasche handelt es sich um einen zweistufigen Zufallsversuch. Diesen stellt er in einem Baumdiagramm dar. Bei jedem der zwei Züge zeichnet er für jede mögliche Kugel einen Ast. Beim ersten Zug gibt es drei verschiedene Kugeln.“

    • Baumdiagramme eignen sich gut zur Veranschaulichung der verschiedenen Möglichkeiten eines Zufallsexperiments. Bei der ersten Ziehung gibt es noch drei Möglichkeiten, denn er hat drei verschiedene Kugeln in seiner Tasche.
    „Auch beim zweiten Zug zeichnet er für jede mögliche Kugel einen Ast ins Baumdiagramm. Jetzt gibt es noch zwei Kugeln zur Auswahl.“

    • In der zweiten Stufe gibt es nur noch zwei Kugeln zur Auswahl. Eine Kugel wurde schon im ersten Durchgang gezogen. Deshalb gibt es nur noch je zwei Äste im Baumdiagramm.
    „Alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments stellt er in der Ergebnismenge $\Omega$ dar.“

    • Die Ergebnismenge $\Omega$ enthält hier alle Paarungen von unterschiedlich farbigen Kugeln.
  • Ermittle, ob es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment handelt.

    Tipps

    Jeder zweistufige Zufallsversuch muss unter anderem folgende Eigenschaften haben:

    • Die möglichen Ergebnisse müssen vorher bekannt sein.
    • Die Ereignisse dürfen nicht vorhersehbar sein.
    • Er muss aus zwei einzelnen Zufallsexperimenten bestehen.
    Lösung

    Jeder zweistufige Zufallsversuch muss unter anderem folgende Eigenschaften haben:

    • Die möglichen Ergebnisse müssen vorher bekannt sein.
    • Die Ereignisse dürfen nicht vorhersehbar sein.
    • Er muss aus zwei einzelnen Zufallsexperimenten bestehen.
    Bei folgenden Aussagen handelt es sich um keine Zufallsexperimente:

    „Siegfrieds Klassenlehrer teilt seine Klasse in zwei Gruppen ein. Die Gruppenzugehörigkeit entscheidet sich anhand der Körpergröße. Diese zwei Gruppen werden anschließend nochmal in verschiedene Gruppen eingeteilt. Dabei entscheidet die Augenfarbe. Siegfried möchte wissen, in welche Gruppen er eingeteilt wird. Er ist $1,80$ Meter groß und hat braune Augen.“

    • Da Siegfried vorher über den Ausgang des Experiments Bescheid weiß, handelt es sich nicht um ein Zufallsexperiment.
    „Ryan zieht drei Kugeln aus einer Urne und überprüft deren Farbe. Nach jedem Zug legt er die Kugel zurück in die Urne.“

    • Hierbei handelt es sich um ein dreistufiges Zufallsexperiment.
    „Luisa zieht von der Stadt auf das Land und fragt sich, wie das Leben dort wohl ist.“

    • Das ist kein Zufallsexperiment, da die möglichen Ergebnisse nicht genau bekannt sind. Alles mögliche könnte am neuen Wohnort passieren.
    Folgende Aussagen beschreiben Zufallsexperimente:

    „Clara wirft eine Münze zweimal hintereinander und beobachtet, ob sie auf Kopf oder Zahl landet.“

    „Tony konstruiert ein Experiment aus einem einmaligen Münzwurf und dem einmaligen Ziehen von Dinosaurierfiguren aus einem Sack. Er weiß genau, wie viele Dinosaurier zur Auswahl stehen.“

    • Diese Experimente erfüllen die Voraussetzungen für Zufallsexperimente.
  • Entscheide, um welches Zufallsexperiment es sich handelt.

    Tipps

    Die Baumdiagramme kannst du zuordnen, indem du dir überlegst, welche Möglichkeiten es in den einzelnen Durchgängen gibt die verschiedenen Kugeln zu ziehen.

    Sind drei verschiedene Kugeln in der Urne, gibt es in der ersten Stufe drei verschiedene Möglichkeiten. Bei der zweiten Ziehung musst du dir überlegen, welche Kugeln jetzt noch in der Urne sind.

    Lösung

    Die Baumdiagramme kannst du zuordnen, indem du dir überlegst, welche Möglichkeiten es in den einzelnen Durchgängen gibt die verschiedenen Kugeln zu ziehen.

    • Bei jeweils einer roten, einer blauen und einer grünen Kugel gibt es in der ersten Stufe drei verschiedene Möglichkeiten. Bei der zweiten Stufen gibt es jeweils nur noch zwei Möglichkeiten. Denn egal welche Kugel im ersten Durchgang gezogen wurde, sind im zweiten Durchgang nur noch zwei unterschiedliche Kugeln übrig.
    • Bei zwei blauen, drei grünen und einer rote Kugel gibt es im ersten Durchgang wieder drei Möglichkeiten. Wurde jetzt allerdings in der ersten Runde eine rote Kugel gezogen, kann diese nicht erneut gezogen werden. Deshalb gibt es hier nur noch zwei verschiedene Möglichkeiten. Wurde im ersten Durchgang jedoch eine blaue oder eine grüne Kugel gezogen, so gibt es im zweiten Durchgang wieder drei verschiedene Möglichkeiten.
    • Bei einer blauen, zwei grünen und zwei roten Kugeln gibt es im ersten Durchgang wieder drei Möglichkeiten. Wurde jetzt allerdings in der ersten Runde eine blaue Kugel gezogen, kann diese nicht erneut gezogen werden. Deshalb gibt es hier nur noch zwei verschiedene Möglichkeiten. Wurde im ersten Durchgang jedoch eine rote oder eine grüne Kugel gezogen, so gibt es im zweiten Durchgang wieder drei verschiedene Möglichkeiten.
    • Bei den zwei grünen und zwei roten Kugeln gibt es in beiden Durchgängen je zwei Möglichkeiten.
  • Gib die Ergebnismenge eines zweistufigen Zufallsversuchs an.

    Tipps

    Um die zu den Ästen gehörigen Ergebnisse anzugeben, musst du überprüfen, welche Ergebnisse an jeder Stufe des Baumes stehen.

    Die Farbe, die zuerst gezogen wird, wird auch zuerst genannt.

    Lösung

    Um die zu den Ästen gehörigen Ergebnisse anzugeben, musst du überprüfen, welche Ergebnisse an jeder Stufe des Baumes stehen. Die Farbe, die zuerst gezogen wird, wird auch zuerst genannt. Damit erhältst du das hier abgebildete Baumdiagramm.

  • Erschließe die Wahrscheinlichkeiten von Zufallsexperimenten.

    Tipps

    Überlege dir zuerst, wie viele mögliche Ergebnisse es insgesamt gibt. Teile anschließend die Anzahl der zu deinem Ereignis gehörenden Ergebnisse durch die Gesamtanzahl.

    Lösung

    Folgende Wahrscheinlichkeitszuordnungen sind falsch:

    „Familie Meyer entscheidet, wer diese Woche das Klo putzen muss. Dazu ziehen sie Streichhölzer. Es gibt drei lange und ein kürzeres Streichholz. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer das kürzere Streichholz zieht, ist $\frac{1}{3}$.“

    • Hier gibt es insgesamt $4$ mögliche Ereignisse ($3$ lange plus $1$ kurzes Streichholz). Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass einer das Kürzere zieht, gleich $\frac{1}{4}$.
    „Bei einer Lotterie wird eine der Zahlen von $1$ bis $49$ gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die $3$ gezogen wird, ist $\frac{3}{49}$.“

    • Bei dieser Lotterie gibt es $49$ verschiedene Möglichkeiten, von denen genau eine gezogen wird. Also ist die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{49}$.
    Folgende Wahrscheinlichkeiten sind korrekt:

    „In einer Urne liegen zwei rote und drei blaue Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel gezogen wird, ist $\frac{2}{5}$.“

    • Hier gibt es insgesamt $5$ Möglichkeiten ($2$ rote plus $3$ blaue Kugeln), von denen zwei zum Ereignis gehören ($2$ rote Kugeln).
    „Beim Tischfußball ist der Einwurf des Balls entscheidend. Er rollt nach dem Einwurf mal auf die eine Seite und mal auf die andere Seite. Die Wahrscheinlichkeit, dass er auf einer der beiden Seiten landet, ist $\frac{1}{2}$.“

    • Hier gibt es zwei Möglichkeiten ($2$ Seiten), von denen genau eine zutrifft.
    „Rachid wirft einen Würfel. Er sagt, die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu werfen, ist $\frac{1}{2}$.“

    • Hier gibt es insgesamt $6$ Möglichkeiten (die Zahlen von $1$ bis $6$), von denen $3$ zutreffen ($2$, $4$, $6$). Diese Wahrscheinlichkeit kannst du kürzen zu: $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$