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Zweistufige Zufallsversuche – Definition 05:38 min

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Transkript Zweistufige Zufallsversuche – Definition

Das ist Flopsy. Sein neuestes Kunststück ist das Jonglieren von Bällen. Dazu holt er die bunten Bälle aus seiner Tasche. Erst den roten und dann den grünen. Doch Moment mal! Gestern hat er doch erst den roten und dann den blauen Ball gezogen. Flopsy fragt sich, warum er nicht immer den grünen Ball als zweites zieht. Dazu beschäftigen wir uns mit zweistufigen Zufallsversuchen. Zufallsversuche können immer in das sogenannte Urnenmodell übertragen werden. Ob wir Bälle aus einer Tasche oder Kugeln aus einer Urne ziehen, ist aber eigentlich egal. Aber ist das Ziehen der bunten Kugeln aus einer Urne überhaupt ein Zufallsversuch? Schauen wir uns dazu noch einmal die Merkmale eines Zufallsversuches an. Bei einem Zufallsversuch sind uns alle möglichen Ausgänge bekannt. Wir wissen, dass wir entweder die rote die blaue oder die grüne Kugel ziehen werden. Wir kennen also alle möglichen Ausgänge. Wir wissen aber nicht, welche Kugel wir ziehen werden. Der tatsächliche Ausgang des Zufallsversuches ist für uns also nicht vorhersehbar. Legen wir die Kugeln nach jedem Ziehen in die Urne wieder zurück, könnten wir den Versuch auch beliebig oft wiederholen. Verwenden wir immer die gleichen Kugeln, herrschen außerdem immer gleiche Bedingungen. Das Ziehen von Kugeln aus einer Urne ist also ein Zufallsversuch. Doch was ist ein zweistufiger Zufallsversuch? Ein Zufallsversuch kann auch aus mehreren Teilvorgängen bestehen. Besteht der Zufallsversuch aus genau zwei Teilvorgängen, handelt es sich somit um einen zweistufigen Zufallsversuch. Das zweimalige Ziehen von Kugeln aus einer Urne kann man deshalb als zweistufigen Zufallsversuch auffassen. Diesen Vorgang können wir in einem Baumdiagramm beschreiben. Dabei zeichnen wir für jedes mögliche Ergebnis des ersten Schrittes von der Urne ausgehend einen Ast. An das Ende von jedem Ast kommt ein Knoten für jedes dieser Teilergebnisse. Im ersten Schritt können wir eine rote eine grüne oder eine blaue Kugel ziehen. Ist eine Kugel im ersten Schritt gezogen worden, gibt es im zweiten Schritt nur noch die Möglichkeit, eine der beiden übrigen Kugeln zu ziehen. Ausgehend vom ersten Schritt, zeichnen wir wieder für jedes mögliche Ergebnis im zweiten Schritt einen Ast. Diese Teilergebnisse kommen wieder an das Ende der Äste. Das gesamte Ergebnis eines Zuges besteht somit aus zwei Teilergebnissen. In diesem Fall ist ein Ergebnis ein Paar von zwei farbigen Kugeln. Unsere Ergebnismenge Omega sieht dann so aus. Sie beinhaltet alle möglichen Ergebnisse dieses zweistufigen Zufallsversuches, also alle Paarungen von unterschiedlich gefärbten Kugeln. Wir sehen: Bei einem zweistufigen Zufallsversuch besteht das Ergebnis aus zwei Teilergebnissen. Dennoch kann man jedes Teilergebnis für sich schon als das Ergebnis eines einstufigen Zufallsversuchs auffassen. Oder anders gesagt: Zwei hintereinander ausgeführte einstufige Zufallsversuche ergeben einen zweistufigen Zufallsversuch. Doch wie würde sich unser Baumdiagramm ändern, wenn wir noch eine rote, ein grüne und eine blaue Kugel in die Urne legen würden? Im ersten Schritt können wir wieder eine der drei Farben ziehen. Doch was bleibt im zweiten Schritt übrig? Da wir jede Kugel zweimal in der Urne haben, ist es möglich, dieselbe Farbe zweimal hintereinander zu ziehen. Im zweiten Schritt haben wir also wieder jeweils drei Möglichkeiten. Wir erhalten diese Ergebnisse. Unsere Ergebnismenge Omega sieht dann so aus. Sie enthält entsprechend drei Ergebnisse mehr als die Ergebnismenge des vorherigen Versuches. Dabei handelt es sich um die drei Ergebnisse, die wir erhalten können, wenn wir zweimal hintereinander dieselbe Farbe ziehen. Wir wissen nun, dass ein zweistufiger Zufallsversuch aus zwei Schritten besteht. Diese Teilschritte können aber auch unabhängig voneinander sein. Zum Beispiel können wir im ersten Schritt wieder Kugeln aus einer Urne ziehen und im zweiten Schritt eine Münze werfen. Je nachdem, was wir werfen, ergänzen wir unser Baumdiagramm dann mit Sofa oder Zahl. Die beiden Teilschritte müssen also nichts miteinander zu tun haben, solange sie für sich genommen die Merkmale eines Zufallsversuches erfüllen. Da das Ziehen von Kugeln aus einer Urne und der Münzwurf jeweils ein Zufallsversuch sind, bilden sie zusammengefasst einen zweistufigen Zufallsversuch. Fassen wir das kurz zusammen: Ein zweistufiger Zufallsversuch ist ein Zufallsversuch, der aus zwei Teilvorgängen besteht. Die Teilvorgänge selbst können dabei unabhängige Zufallsversuche sein. Das Ergebnis eines zweistufigen Zufallsversuches besteht aus ZWEI Teilergebnissen. Dabei können die Teilergebnisse selbst als Ergebnis eines einstufigen Zufallsversuches aufgefasst werden. Außerdem sind zweistufige Zufallsversuche über Baumdiagramme darstellbar. Jetzt, wo Flopsy alles über zweistufige Zufallsversuche weiß, kann er sich endlich auf seinen Auftritt konzentrieren. Da muss er wohl noch etwas üben.