Zweistufige Zufallsversuche – Überblick

Zweistufige Zufallsversuche – Überblick Übung

• Benenne die Regeln zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Zeichne je ein Baumdiagramm für das Süßigkeiten-Ziehen mit und ohne Zurücklegen und zähle die Pfade.

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnest Du mit der Summenregel.

  Überlege, welche Wahrscheinlichkeiten die Ergebnisse „Schokolade“, „Erdbeerbonbon“ und „Lackritzschnecke“ bei der ersten und bei der zweiten Ziehung haben.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Jeder Typ Süßigkeit in der Dose hat in der ersten Stufe des Experiments dieselbe Wahrscheinlichkeit.“ Die Typen sind beim Ziehen nicht unterscheidbar und in jeweils gleicher Zahl vorhanden. Daher haben sie alle dieselbe Wahrscheinlichkeit.

  • „Beim Wechsel von Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge zum Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten der Pfade im Baumdiagramm nicht.“ Der Unterschied zwischen dem Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge und dem Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge ist nur, wie viele Pfade berücksichtigt werden können, was sich anschließend auf die Summenregel auswirkt. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade bleiben hingegen gleich.

  • „Die Summe der Wahrscheinlichkeiten mehrerer Pfade ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, das aus diesen Pfaden besteht.“ Dies ist die Aussage der Summenregel.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Beim Ziehen mit Zurücklegen können sich die Wahrscheinlichkeiten während der Ziehungen verändern.“ Auf jeder Stufe ist das Zufallsexperiment identisch. Daher können sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern.

  • „Besteht ein Ereignis aus einem Pfad, so ist seine Wahrscheinlichkeit die Summe der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.“ Die Produktregel besagt: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.

  • „Das Baumdiagramm eines Zufallsexperiments mit Zurücklegen hat weniger Pfade als das Baumdiagramm desselben Zufallsexperiments ohne Zurücklegen.“ Bei einem Zufallsexperiment ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten der Einzelergebnisse auf den verschiedenen Stufen. Das Baumdiagramm kannst du aber beibehalten. Manchmal kannst du es auch reduzieren, wenn z.B. ein Teilergebnis die Wahrscheinlichkeit $0$ bekommen hat. Dadurch wird die Anzahl der Pfade beim Ziehen ohne Zurücklegen kleiner als beim Ziehen mit Zurücklegen. In keinem Fall aber ist umgekehrt die Zahl der Pfade beim Ziehen mit Zurücklegen kleiner als beim Ziehen ohne Zurücklegen.

• Bestimme die Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Auf der ersten Stufe sind die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse gleich, und ihre Summe ist $1$.

  Hat ein Zufallsexperiment $5$ mögliche Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit, so beträgt diese $\frac{1}{5}$.

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse.

  Lösung

  Magda zieht nacheinander zwei Stück der Süßigkeiten aus der Dose. Jedes gezogene Stück darf sie sofort behalten. Es handelt sich hierbei um ein zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen.

  Ein Ergebnis des zweistufigen Zufallsversuchs ist das Paar der tatsächlich gezogenen Süßigkeiten, also beispielsweise: „Schokolade – Erdbeerbonbon“, „Erdbeerbonbon – Erdbeerbonbon“, „Lakritzschnecke – Erdbeerbonbon“ usw.. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des zweistufigen Zufallsexperiments ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten seiner Teilergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses „zweimal Erdbeerbonbon“ lässt sich daher wie folgt ermitteln:

  • Bei der ersten Ziehung haben alle Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit, da von jeder Sorte gleich viele Süßigkeiten in der Dose sind. Weil es drei Ergebnisse sind, beträgt ihre Wahrscheinlichkeit jeweils $\frac{1}{3}$.

  • Bei der zweiten Ziehung hängt die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses vom Ausgang der ersten Stufe des Zufallsexperiments ab, also von dem Ergebnis der ersten Ziehung. Zieht Magda zuerst ein Erdbeerbonbon, so ist in der zweiten Ziehung unter den $5$ verbliebenen Süßigkeiten nur noch ein Erdbeerbonbon in der Dose. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „Erdbeerbonbon“ bei der zweiten Ziehung $\frac{1}{5}$.

  Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für „zwei Erdeerbonbons“:

  $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$

  Ein Ereignis des Zufallsversuchs ist hingegen eine Menge aus Paaren von Ergebnissen der beiden Stufen des Zufallsexperiments. Das Ereignis „keine Lakritzschnecke“ besteht aus den $4$ Ergebnissen: „Erdbeerbonbon – Erdbeerbonbon“, „Erdbeerbonbon – Schokolade“, „Schokolade – Erdbeerbonbon“ und „Schokolade – Schokolade“. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass Magda „keine Lakritzschnecke“ zieht, kann sie berechnen, indem sie die Wahrscheinlichkeiten der $4$ Ergebnisse summiert.

  Das Ereignis „keine Lakritzschnecke“ hat die Wahrscheinlichkeit:

  $\frac{1}{15} +\frac{2}{15}+ \frac{2}{15} + \frac{1}{15} = \frac{2}{5}$

• Ermittle die Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Ermittle die Gesamtzahl aller Bonbons in der Dose. Aber Vorsicht: Diese ändert sich mit jeder Ziehung!

  Pro Stufe ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich $1$.

  Die Produktregel wird entlang eines Pfades angewandt.

  Lösung

  • Die erste Stufe des Zufallsexperiments entspricht dem linken Teil des Baumdiagramms. Die Summe der Wahrscheinlichkeit der drei Pfade muss $1$ sein. Die fehlende Wahrscheinlichkeit des Erdbeerbonbons ist also $\frac{2}{5}$, denn es gilt:

  $\frac{3}{10} + \frac{2}{5} + \frac{3}{10} = 1$.

  Außerdem sind bei Magdas erstem Griff in die Dose $8$ der $20$ Bonbons mit Erdbeergeschmack und:

  $\frac{8}{20} = \frac25$.

  • Der mittlere Teil des Baumdiagramms entspricht den möglichen Verläufen der zweiten Stufe des Zufallsexperiments abhängig vom Ausgang der ersten Stufe. Zieht Magda zuerst ein Stück Schokolade, so bleiben in der Dose $8$ Erdbeerbonbons und $6$ Lakritzschnecken, aber nur noch $5$ Stücken Schokolade. Die Wahrscheinlichkeit des Erdbeerbonbons auf der zweiten Stufe beträgt in diesem Fall $\frac{8}{19}$. Diesen Bruch kannst du im rechten Teil des Baumdiagramms auf dem zweiten Pfad von oben eintragen, der bei dem Erdbeerbonbon endet. Analog findest du die anderen Teilwahrscheinlichkeiten für die zweite Stufe. Die fehlenden betragen je zweimal $\frac6{19}$ und $\frac8{19}$.

  Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten längs des Pfades. Für den Pfad „Schokolade –Schokolade“ erhältst du so die Wahrscheinlichkeit:

  $\frac{3}{10} \cdot \frac{5}{19} = \frac{3}{38}$.

  Analog kannst du die anderen Wahrscheinlichkeiten der Pfade ausrechnen.

  Um zu kontrollieren, ob du alles richtig gemacht hast, kannst du am Ende alle Pfadwahrscheinlichkeiten ganz rechts addieren. Wenn $1$ rauskommt, hast du alles richtig gemacht.

• Bestimme die Wahrscheinlichkeit.

  Tipps

  Überlege, welche verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten bei zwei Würfeln auftreten und fasse sie zu den Ergebnissen „gleiche Augenzahlen“ und „verschiedene Augenzahlen“ zusammen.

  Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse $\bf G$ und $\bf V$ ist $1$.

  Um die Wahrscheinlichkeit von $\bf G$ zu bestimmen, musst du den Anteil gleicher Augenzahl-Paare an allen möglichen Kombinationen von Augenzahlen zweier nicht unterscheidbarer Würfel bestimmen.

  Lösung

  Das zweimalige Würfeln ist ein zweistufiges Zufallsexperiment. Da die gleichen beiden Würfel auf allen Stufen verwendet werden, kannst du es als Ziehen mit Zurücklegen beschreiben. Das Experiment hat in der hier beschriebenen Form zwei Ergebnisse: das Ergebnis $\bf G$ (gleiche Augenzahlen) und das Ergebnis $\bf V$ (verschiedene Augenzahlen). Die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ergebnisse sind aber verschieden. Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, musst du überlegen, welche möglichen Kombinationen von Augenzahlen zu dem Ergebnis beitragen.

  Beim einmaligen Würfeln treten $36$ mögliche Kombinationen der Augenzahlen auf: Jede der $6$ möglichen Augenzahlen des ersten Würfels kannst du mit jeder der $6$ möglichen Augenzahlen des zweiten Würfels kombinieren. Jede dieser Kombinationen hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{36}$. Unter den Kombinationen sind $6$ verschiedene Paare gleicher Augenzahlen (manche nennen gleiche Augenzahlen „Pasch“). Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $\bf G$ beträgt daher:

  $P({\bf G}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

  Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von $\bf G$ und $\bf V$ ist $1$, daher ist:

  $P({\bf V}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

  Das Baumdiagramm des zweistufigen Experiments besteht aus $2 \cdot 2 =4$ Pfaden, denn auf jeder Stufe besteht das Zufallsereignis aus $2$ Ergebnissen. Das Ereignis $\bf A$, bei zweimaligem Würfeln genau einmal gleiche Augenzahlen zu erzielen, besteht dann aus den zwei Pfaden $\bf G$-$\bf V$ und $\bf V$-$\bf G$. Die zwei Pfade haben jeweils dieselben Wahrscheinlichkeiten. Du kannst sie mit der Produktregel aus den Einzelwahrscheinlichkeiten längs eines Pfades (z.B. $\bf G$-$\bf V$) bestimmen.

  $P({\bf G}$-${\bf V}$-${\bf V}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$

  Nach der Summenregel ist die Wahrscheinlichkeit von $\bf A$ die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Pfade:

  $P(\bf{ A}) = \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

• Beschrifte das Baumdiagramm.

  Tipps

  Die Wahrscheinlichkeiten auf der linken Seite des Baumdiagramms müssen zusammengezählt $1$ ergeben.

  Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten längs des Pfades.

  Ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades $\frac{3}{10}$ und die Einzelwahrscheinlichkeit des ersten Teilstückes $\frac{1}{2}$, so muss die Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilstückes $\frac{3}{5}$ sein, denn $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$.

  Lösung

  Die erste Stufe des Zufallsexperiments entspricht dem linken Teil des Baumdiagramms. Die Summe der Wahrscheinlichkeit der drei Pfade muss $1$ sein. Die fehlende Wahrscheinlichkeit des Erdbeerbonbons ist also $\frac{1}{3}$, denn es gilt:

  $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$.

  Der mittlere Teil des Baumdiagramms entspricht den möglichen Verläufen der zweiten Stufe des Zufallsexperiments abhängig vom Ausgang der ersten Stufe. Zieht Magda zuerst ein Stück Schokolade, so bleiben in der Dose je zwei Erdbeerbonbons und Lakritzschnecken, aber nur noch ein Stück Schokolade. Die Wahrscheinlichkeit des Erdbeerbonbons auf der zweiten Stufe beträgt in diesem Fall $\frac{2}{5}$. Diesen Bruch kannst du im rechten Teil des Baumdiagramms auf dem zweiten Pfad von oben eintragen, der bei dem Erdbeerbonbon endet. Analog findest du die anderen Teilwahrscheinlichkeiten für die zweite Stufe. Sie betragen immer $\frac{1}{5}$ oder $\frac{2}{5}$.

  Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten längs des Pfades. Für den Pfad „Erdbeerbonbon –Schokolade“ erhältst du so die Wahrscheinlichkeit:

  $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$

  Analog kannst du die anderen Wahrscheinlichkeiten der Pfade ausrechnen.

• Analysiere die Situationen.

  Tipps

  Überlege, was bei den Zufallsexperimenten jeweils mit / ohne Zurücklegen bzw. mit / ohne Beachtung der Reihenfolge bedeutet.

  Lösung

  Folgende Beschreibungen sind richtig:

  Fahrradschloss: Die Auswahl einer Ziffer auf einem Ring ist eine Stufe des Zufallsexperiments. Da es vier Ringe sind, ist das Experiment vierstufig. Die Reihenfolge ist für die Zahlenkombination entscheidend. In einer Kombination können sich Ziffern wiederholen, daher handelt es sich um Ziehen mit Zurücklegen.

  Blumenstrauß: Jede Blumenart kann in dem Strauß mehrmals vorkommen, daher ist die Zusammenstellung des Straußes Ziehen mit Zurücklegen. Da sie die Blumen nicht zu einer Kette auffädelt, sondern zu einem Strauß bündelt, geschieht das Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge.

  Folgende Beschreibungen sind falsch:

  Blockflöte: Magda spielt zufällige Melodien aus elf Tönen. Da sie nur sieben verschiedene Töne spielen kann, müssen sich die Töne wiederholen können. Die Wahl der Töne entspricht daher dem Ziehen mit Zurücklegen. Für die Melodie ist die Reihenfolge entscheidend.

  Tapferes Schneiderlein: Hätte das Schneiderlein die sieben Fliegen nacheinander erlegt, wäre die Leistung weniger beeindruckend, aber immerhin ein siebenstufiges Zufallsexperiment. Sieben auf einen Streich dagegen ist der Ausgang eines einstufigen Experiments. Da einzelne Fliegen nicht unterscheidbar sind und erlegte Fliegen nicht wiederbelebt werden, ist es ein Experiment ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen. Und außerdem sind die Heldentaten des Tapferen Schneiderleins ein Märchen und nicht zur Nachahmung empfohlen.