Zweistufige Zufallsexperimente mit/ohne Zurücklegen

In der Stochastik werden Zufallsexperimente betrachtet. Hier erfährst du, was ein Zufallsexperiment ist und insbesondere, was zweistufige Zufallsexperimente sind.

Was ist ein Zufallsexperiment?

Ein Zufallsexperiment ist ein spezielles Experiment, bei welchem der Ausgang nicht vorhersehbar ist.

Um dies besser zu verstehen, siehst du hier einige Beispiele für Zufallsexperimente:

  • das Würfeln mit einem Spielwürfel,
  • das Drehen eines Glücksrads,
  • das Ziehen aus einer Urne, in welcher sich Kugeln befinden,
  • ...

Wird ein Zufallsexperiment zweimal hintereinander durchgeführt, spricht man von einem zweistufigen Zufallsexperiment.

Du kannst zum Beispiel einen Würfel zweimal hintereinander würfeln und die in dem jeweiligen Wurf geworfenen Augenzahlen als geordnete Paare aufschreiben.

Zweimaliges Werfen eines Würfels

Spielwürfel.jpg

Wir schauen uns dieses Beispiel ein wenig genauer an: Wenn du die Augenzahlen als geordnete Paare in der Reihenfolge aufschreibst, in welcher sie geworfen wurden, erhältst du als Ergebnismenge folgende Menge:

$\Omega=\\{(1|1);...;(1|6);(2|1);...;(2|6);...;(6|1);...;(6|6)\\}$

Du siehst, es können auch Paare auftreten, in welchen beide Male die gleiche Zahl vorkommt. Dies liegt daran, dass unabhängig davon, welche Augenzahl im ersten Wurf geworfen wurde, jede der sechs Augenzahlen auch im zweiten Wurf geworfen werden kann.

Da die Ausgangssituation im zweiten Wurf die gleiche ist wie im ersten, spricht man von einem zweistufigen Zufallsexperiment mit Zurücklegen

Beim Würfeln mit einem Spielwürfel wird dies nicht ganz so deutlich wie bei sogenannten Urnenmodellen.

Urnenmodelle

Stell dir die folgende Situation vor: In einer Urne befinden sich zum Beispiel zehn Kugeln. Davon sind sechs Kugeln rot und die übrigen vier grün. Wenn die Kugeln nicht unterscheidbar sind, bis auf die Farbe, und du ohne Hinsehen eine Kugel aus der Urne ziehst, liegt ein Zufallsexperiment vor.

Möchtest du das Zufallsexperiment nochmals durchführen, hast du die folgenden Möglichkeiten:

  • Du legst nach dem ersten Zug die gezogene Kugel wieder zurück in die Urne: In diesem Fall spricht man von einem zweistufigen Zufallsversuch mit Zurücklegen.
  • Du legst die gezogene Kugel nicht zurück: In diesem Fall spricht man von einem zweistufigen Zufallsexperiment ohne Zurücklegen.

Worin liegt der Unterschied bei diesen beiden Zufallsexperimenten?

  • Bei solchen mit Zurücklegen, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nicht. Das bedeutet, dass sowohl im ersten Zug als auch im zweiten zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer roten Kugel bei $0,6$ liegt. Man spricht dabei auch von stochastischer Unabhängigkeit: Die Wahrscheinlichkeit im zweiten Durchgang ist unabhängig von dem Ausgang im ersten Durchgang.
  • Bei Experimenten ohne Zurücklegen ändern die Wahrscheinlichkeiten sich. Wir schauen uns noch einmal die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer roten Kugel an. Diese beträgt im ersten Zug wieder $0,6$. Danach befinden sich allerdings nur noch neun Kugeln, davon fünf rote, in der Urne. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer roten Kugel $\frac59\neq 0,6$. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit im zweiten Zug abhängig von dem Ausgang im ersten Zug.

Gemeinsam ist beiden dargestellten Fällen, dass das jeweilige Experiment mit Hilfe von Baumdiagrammen dargestellt werden kann. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten kannst du dann mit Hilfe der Pfadregeln berechnen.

Zweistufige gemischte Zufallsexperimente

Bei zweistufigen Zufallsexperimenten muss nicht unbedingt im ersten und zweiten Durchgang das gleiche Experiment durchgeführt werden. Es gibt auch zweistufige gemischte Zufallsexperimente. Hierfür schauen wir uns ein Beispiel an:

Paul würfelt mit einem Würfel. Je nachdem welche Augenzahl Paul würfelt, zieht Lotte aus einer von zwei verschiedenen Urnen:

  • Wenn Paul eine Zahl kleiner als $5$ würfelt, zieht Lotte aus einer Urne mit drei roten und zwei grünen Kugeln.
  • Würfelt Paul eine $5$ oder $6$, so zieht Lotte aus einer Urne mit zwei roten und sechs grünen Kugeln.

Nun schauen wir uns die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass Lotte eine rote Kugel zieht. Diese hängt sicher von der Augenzahl ab, die Paul würfelt:

In dem oberen der beiden Fälle gilt, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer roten Kugel $0,6$ beträgt. In dem unteren beträgt die Wahrscheinlichkeit allerdings nur $0,25$. Übrigens: Man spricht hier von bedingten Wahrscheinlichkeiten.