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Mehrstufige Zufallsexperimente

Mehrstufige Zufallsexperimente, wie zum Beispiel das dreimalige Würfeln mit einem Würfel, können mit Hilfe von Baumdiagrammen dargestellt werden.

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Was ist ein Zufallsexperiment?

Unter einem Zufallsexperiment versteht man in der Mathematik ein Experiment, das bei gleicher Durchführung zu verschiedenen, nicht vorhersehbaren Ergebnissen führt. Die Menge der möglichen Ergebnisse ist allerdings bekannt. Zum Beispiel ist das Werfen einer Münze ein Zufallsexperiment.

Zweistufiges Zufallsexperiment

Wenn du eine Münze hochwirfst, kann sie entweder mit „Kopf“ oder „Zahl“ oben liegen bleiben (wir vernachlässigen hier die Möglichkeit, dass die Münze auf der Kante liegen bleiben kann). Wenn du die Münze ein zweites Mal wirfst, spricht man von einem zweistufigen Zufallsexperiment. Die Ergebnisse dieses zweistufigen Zufallsexperimentes sind Paare, die aus „Kopf“ und „Zahl“ bestehen. Die Ergebnismenge $\Omega$ (Omega) sieht dann so aus:

$\Omega=\{(\text{Kopf}|\text{Kopf});\,(\text{Kopf}|\text{Zahl});\,(\text{Zahl}|\text{Kopf});\,(\text{Zahl}|\text{Zahl})\}$

Zwei- und auch mehrstufige Zufallsexperimente können mit Hilfe eines Baumdiagrammes dargestellt werden. Hier siehst du ein Baumdiagramm für das dreimalige Werfen einer Münze. Dabei steht „K“ für „Kopf“ und „Z“ für „Zahl“. Dies ist ein dreistufiges Zufallsexperiment.

1192_baumdiagramm.jpg

Wenn du oben beginnend einen Pfad „entlang gehst“, kommst du zum Beispiel über „K“, „K“ und noch einmal „K“ zu dem Ergebnis $(\text{K}|\text{K}|\text{K})$.

An jedem Ast sind die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten des entsprechenden Ergebnis angegeben.

Die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen eines mehrstufigen Zufallsexperimentes berechnest du mit der 1. Pfadregel (auch Produktregel genannt): Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhältst du mit der 2. Pfadregel (auch Summenregel genannt): Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die sich in diesem Ereignis befinden.

Übrigens: Du kannst ein Baumdiagramm auch von links nach rechts zeichnen.

Das Urnenmodell

Du kannst dir zwei-, drei- oder allgemein mehrstufige Zufallsexperimente immer als Urnenmodell vorstellen. Dabei stellst du dir vor:

In einer Urne befinden sich $n$ Kugeln, die je nach Anwendung verschiedene Farben haben.

Diese Kugeln kannst du nun aus der Urne ziehen. Dabei musst du darauf achten, ob du die gezogene Kugel jeweils zurücklegst oder nicht.

Mit oder ohne Zurücklegen

Diese Unterscheidung hat Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten ab der zweiten Stufe. Wir unterschieden zwischen zweistufigen Zufallsexperimenten mit und ohne Zurücklegen.

Ebenso ist es wichtig, ob die Reihenfolge, in welcher die Kugel gezogen werden, von Bedeutung ist oder nicht. Hier unterscheidet man zweistufige Zufallsexperimente mit oder ohne Reihenfolge.

Diese Überlegungen lassen sich auf drei- und mehrstufige Zufallsexperimente übertragen.

Mögliche Anwendungsaufgaben sind das Werfen mit zwei Würfeln für ein zweistufiges Zufallsexperiment. Ein Beispiel für ein dreistufiges Zufallsexperiment ist das Ziehen von drei Losen aus einer Lostrommel.

Anwendung des Modells

Das (mehrmalige) Würfeln mit einem Spielwürfel oder das (mehrmalige) Werfen eine Münze sind Beispiele für Modelle mit Zurücklegen. Das Ziehen von Losen aus einer Lostrommel ist ein Beispiel für ein Modell ohne Zurücklegen. Bereits gezogene Lose werden normalerweise nicht wieder in die Lostrommel geworfen.

Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ergebnissen. Das für uns interessante Ergebnis (laut Fragestellung) bezeichnet man häufig als Treffer.

Eine Bernoulli-Kette ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment, in dem in jeder Stufe ein Bernoulli-Experiment durchgeführt wird. Die Bernoulli-Experimente der einzelnen Stufen müssen unabhängig voneinander sein. Das hat zur Folge, dass sich die Wahrscheinlichkeiten in den einzelnen Stufen nicht ändern. Die Anzahl der Stufen wird als Länge der Bernoulli-Kette bezeichnet.

Die Formel, die du zum Berechnen benötigst, kannst du auch nutzen, um Mindestwahrscheinlichkeiten zu ermitteln.