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Zweistufige Zufallsexperimente mit/ohne Reihenfolge

Zweistufiges Zufallsexperiment, abzählende Kombinatorik, Ergebnisraum

Was ist ein zweistufiges Zufallsexperiment?

Was hat denn der Zufall mit der Mathematik zu tun? Auch wenn es dir zunächst unlogisch erscheint, im Bereich der Mathematik wird mit Wahrscheinlichkeiten gerechnet. Den Zufall untersucht man durch sogenannte Zufallsexperimente.

Betrachte zum Beispiel das Werfen eines Würfels. Du kannst die Augenzahl nicht vorhersehen, da es mehrere Möglichkeiten gibt. Notierst du dir die Augenzahl als Ergebnis, kannst du schon von einem Zufallsexperiment sprechen.

Das einmalige Werfen des Würfels und Notieren der gewürfelten Augenzahl nennt man einstufiges Zufallsexperiment, weil du nur das Ergebnis eines Wurfes betrachtest. Du kannst dieses Experiment nun beliebig oft wiederholen und es würde sich weiterhin um ein einstufiges Zufallsexperiment handeln.

Vielleicht kannst du dir schon denken, was ein zweistufiges Zufallsexperiment ist. Stell dir vor, du wirfst den Würfel zweimal hintereinander. Aus den beiden Augenzahlen machst du eine zweistellige Zahl. Das könnte z.B. die $65$ sein. Auch diesen Vorgang kannst du so oft wiederholen, wie du willst. Das Experiment ist zweistufig.

zwei Würfel

Nur wie kann man jetzt wissen, welche Augenzahl man würfelt? Das kannst du leider nie wissen. Du kannst dir aber überlegen, wie wahrscheinlich das Würfeln einer bestimmten Augenzahl ist:

Auf einem herkömmlichen Würfel befinden sich sechs verschiedene Augenzahlen. Das Fallen jeder Augenzahl ist gleich wahrscheinlich. Die Augenzahl $3$ ist also eine von sechs verschiedenen, gleich wahrscheinlichen Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, abgekürzt mit $P$, kann man als Bruch darstellen:

$P(\text{„Augenzahl ist drei“})=\dfrac{1}{6}$

Mit und ohne Beachtung der Reihenfolge

Würfelst du zweimal nacheinander, kann das Ergebnis unterschiedlich notiert werden. Du könntest entweder eine zweistellige Zahl daraus machen, oder die Augensumme berechnen. Wie du das Ergebnis eines Zufallsexperimentes notierst, musst du also festlegen.

Im ersten Fall ist die Reihenfolge wichtig, denn $65$ ist nicht das Gleiche wie $56$. Bei der Augensumme spielt die Reihenfolge hingegen keine Rolle. In der Mathematik spricht man von einem Zufallsexperiment mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge.

zweistufiges Zufallsexperiment

Du kannst bei manchen zweistufigen Zufallsexperimenten sogar unterscheiden, ob das Ergebnis aus der ersten Stufe in der zweiten Stufe wieder vorkommen kann. Beim zweimaligen Würfeln kann z.B. die Augenzahl $5$ zweimal hintereinander vorkommen. Ritter können sich aber nicht verdoppeln.

In der Mathematik spricht man dann von zweistufigen Zufallsexperimenten mit bzw. ohne Zurücklegen.

Ergebnisraum

Bei den vier Beispielen in der Tabelle kannst du dir nun überlegen, welche verschiedenen Ergebnisse jeweils möglich sind. Bei deinen Überlegungen können dir vielleicht Baumdiagramme helfen. Wenn du alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes aufschreibst, erhältst du dessen Ergebnisraum $\Omega$.

Beim zweimaligen Würfeln und Bilden einer Zahl erhältst du $36$ verschiedene Ergebnisse:

$\Omega=\lbrace 11; 12; 13; 14; 15; 16; 21; 22; ... ; 64; 65; 66\rbrace$

Beim zweimaligen Würfeln und Bilden der Augensumme erhältst du $11$ verschiedene Ergebnisse:

$\Omega = \lbrace 2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\rbrace$

Bei den Rittern sehen wir uns zunächst das Beispiel mit Beachtung der Reihenfolge an. Zur Auswahl stehen die Ritter Wotan Weichkopf ($\text{W}$), Holm Hassmut ($\text{H}$) und Sören Schwarzbart ($\text{S}$). Der Ergebnisraum, bei dem der erste Ritter jeweils mit Rüstung antritt, sieht wie folgt aus:

$\Omega = \lbrace (\text{W},\text{H}); (\text{H},\text{W}); (\text{W},\text{S}), (\text{S},\text{W}) ;(\text{H},\text{S}); (\text{S},\text{H})\rbrace$

Video: Zweistufiges Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge

Zuletzt das Beispiel, bei dem beide Ritter eine Rüstung tragen dürfen. Es ist dabei egal, ob zuerst Wotan und dann Holm oder umgekehrt gezogen wurde. Beide tragen eine Rüstung und sind zum Kampf ausgewählt worden. Es gibt nur drei wirklich verschiedene Kämpfe:

$\Omega = \lbrace (\text{W},\text{H}); (\text{W},\text{S}); (\text{S},\text{H})\rbrace$