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Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Beachtung der Reihenfolge – ohne Zurücklegen 05:42 min

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Transkript Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Beachtung der Reihenfolge – ohne Zurücklegen

König Synchronus herrscht über das schöne Königreich Fairien, einer Welt der Zwerge. Synchronus ist begnadeter Tänzer und lockt seine Untertanen immer wieder auf das Tanzparkett. Im Zwergenreich Fairien soll ein Dance-Off der besten Tänzer veranstaltet werden. Für das Turnier stehen die 3 besten Tänzer zur Auswahl. Per Los soll bestimmt werden, welche beiden Tänzer gegeneinander antreten. Die Reihenfolge der Ziehung ist dabei nicht wichtig, denn es geht nur darum, welche Tänzer gezogen werden. Stell dir vor, die Reihenfolge wäre wichtig: Dann würde es einen Unterschied machen, welcher der beiden Kontrahenten zuerst gezogen wird. Das wäre unfair und würde ganz und gar nicht zum Königreich Fairien passen. Zu den drei Tänzern gehört auch Holger Heimlich, aber die absoluten Publikumslieblinge sind Bert Blaubart und Lasse Liebmuth. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau Bert und Lasse in einem geradezu epischen Duell ihr Können beweisen dürfen? Die Auswahl per Los stellt ein Zufallsexperiment dar. Weil zweimal gezogen wird, die Reihenfolge aber nicht wichtig ist, handelt es sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment ohne Beachtung der Reihenfolge. Schauen wir uns das Losverfahren genauer an. Für jeden Zwerg wird jeweils ein Los in die Urne gelegt. Nacheinander werden dann zwei Lose wieder aus der Urne gezogen. Jeder Zwerg kann nur einmal gezogen werden, weil er ja nicht gegen sich selbst antreten kann. Dieser Vorgang ist also ein Ziehen ohne Zurücklegen. Um nun den Ablauf zu untersuchen, erstellen wir ein passendes Schaubild: Mehrstufige Zufallsexperimente lassen sich gut mit Hilfe von Baumdiagrammen darstellen. Sie zeigen jede Stufe des Experiments als neue Verzweigung und für jede Möglichkeit wird ein eigener Ast gezeichnet. Für das erste Los gibt es drei Möglichkeiten. Das gezogene Los wird nicht zurückgelegt, deshalb gibt es in der nächsten Stufe jeweils nur zwei Möglichkeiten. In die Knoten schreibst du die möglichen Ergebnisse, im ersten Schritt also die drei Zwerge. An die Äste schreibst du die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Beim ersten Zug ist jede der drei Möglichkeiten gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit ist daher für jeden der Tänzer gleich 'ein Drittel'. Beim zweiten Zug hat sich der Inhalt der Urne geändert: Weil nur noch die beiden übrigen Tänzer zur Auswahl stehen, sind die Wahrscheinlichkeiten nun jeweils 50% oder 'ein Halb'. Zurück zum Losverfahren: Unsere Frage war, mit welcher Wahrscheinlichkeit gerade Bert Blaubart und Lasse Liebmuth gegeneinander antreten. Im Baumdiagramm interessieren uns deshalb alle Pfade, in denen Bert und Lasse vorkommen - das sind diese beiden. Beide Pfade führen zum gesuchten Ereignis, weil die Reihenfolge der Ziehung unwichtig ist. Die Wahrscheinlichkeit für den einen Fall erst Lasse, dann Bert berechnen wir mit der 1. Pfadregel als Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades. Das Ergebnis ist dann 'ein Drittel' mal 'einhalb', also ein Sechstel. Genauso berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für den anderen Fall erst Bert, dann Lasse wieder 'ein Drittel' mal 'ein Halb' also 'ein Sechstel'. Beide Pfade gehören zum untersuchten Ereignis, deshalb müssen wir jetzt noch die zweite Pfadregel anwenden. Nach dieser Pfadregel bilden wir die SUMME der berechneten Wahrscheinlichkeiten. Also addieren wir die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade mit Lasse und Bert und finden so die Antwort auf unsere Frage: Die Wahrscheinlichkeit, dass Lasse und Bert gegeneinander antreten, beträgt 'ein Sechstel' plus 'ein Sechstel', also 'ein Drittel'. Wir fassen zusammen: Ein zweistufiges Zufallsexperiment ist es beispielsweise, zweimal aus einer Urne zu ziehen zweimal eine Münze zu werfen oder hier zwei Karten zu ziehen. Dabei solltest du dir immer überlegen, ob die einzelnen Möglichkeiten mehrmals eintreffen können, wie beim Münzwurf. Oder eben nicht, wie zum Beispiel beim Kartenziehen. Es könnten auch drei verschiedenfarbige Kugeln in einer Urne liegen, und wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass eine gelbe und eine rote gezogen werden. Mit einem Baumdiagramm kann ein mehrstufiges Zufallsexperiment dargestellt werden: Für jede Stufe wird eine neue Verzweigung gezeichnet, für jede Möglichkeit ein eigener Ast. Wenn ein Ergebnis mehrmals auftreten kann, handelt sich um Ziehen mit Zurücklegen die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades ändern sich dann nicht. Kann ein Ergebnis nicht mehrmals auftreten, handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Dann ändern sich wie in unserem Beispiel die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades. Und wenn in einem zweistufigen Zufallsexperiment die Reihenfolge der Ziehung keine Rolle spielt, gehören mehrere Pfade zum gesuchten Ereignis. Mithilfe dieser Pfade lässt sich dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen. Das Ereignis "gelbe Kugel und rote Kugel werden gezogen" besteht also aus diesen beiden Pfaden. Nach der ersten Pfadregel multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades - da kommt hier jeweils ein Sechstel heraus. Und mit der zweiten Pfadregel addieren wir die beiden Pfadwahrscheinlichkeiten dann noch. Also ist die Wahrscheinlichkeit, hier eine gelbe und eine rote Kugel zu ziehen, ein Drittel. Wie bei unserem Zwergenduell! Und tatsächlich kommt es zum epischen Dance-Off zwischen Lasse Liebmuth und Bert Blaubart. Die zwei begnadeten Tänzer stehen bereit und… Uhh, was sind das für abgefahrene Moves. Ähm, nun ja, Zwerge können einfach nicht tanzen.

1 Kommentar
  1. Ein richtig tolles Video! :)
    Ich finde es immer voll toll, dass das Team Digital immer eine kleine Geschichte zum Veranschaulichen benutzen. So macht das lernen noch viel mehr Spaß! :)

    Von Pink Fluffy Unicorn Dancing On Rainbow, vor 7 Monaten

Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Beachtung der Reihenfolge – ohne Zurücklegen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Beachtung der Reihenfolge – ohne Zurücklegen kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne die korrekten Aussagen zu Zufallsexperimenten ohne Beachtung der Reihenfolge.

    Tipps

    Werden bei Betrachtung des Urnenmodells die Kugeln nach der Ziehung in die Urne zurückgelegt, sind bei jeder Ziehung die gleiche Anzahl an Kugeln in der Urne.

    Sind die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse eines Zufallsexperiments in jeder Stufe gleich, handelt es sich um ein Experiment mit Zurücklegen.

    Es muss immer zwei Kontrahenten in einem Dance-Off geben. Man kann ja nicht gegen sich selbst antreten. Das muss beim Auslosen berücksichtigt werden.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Legt man nach jedem Ziehen einer Kugel aus einer Urne die Kugel wieder zurück, verändert sich die Wahrscheinlichkeit eine bestimme Kugel zu ziehen bei jedem Durchgang.“

    • Da die Kugel wieder zurückgelegt wird, sind bei jeder Ziehung die gleiche Anzahl Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit ist also immer gleich.
    „Das mehrmalige Werfen einer Münze entspricht einem Zufallsexperiment ohne Zurücklegen.“

    • Beim Werfen einer Münze ist die Wahrscheinlichkeit bei jedem Wurf gleich. Das entspricht einem Zufallsexperiment mit Zurücklegen.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Bei der Darstellung mehrstufiger Zufallsexperimente sind Baumdiagramme hilfreich.“

    • Mit dem Baumdiagramm kannst du mehrstufige Zufallsexperimente übersichtlich darstellen. Deshalb ist es in der Regel sehr hilfreich.
    „Wird beim Auslosen der Kontrahenten eines Dance-Offs die Reihenfolge nicht beachtet, dann ist es unerheblich für den Wettkampf, welcher der Tänzer zuerst und welcher zuletzt gezogen wird.“

    • Wird die Reihenfolge beim Auslosen nicht beachtet, dann ist es unerheblich, ob ein Kontrahent zuerst oder zuletzt gezogen wurde. Im Wettbewerb treten sie als gleichwertige Kontrahenten gegeneinander an. In diesem Sinne ist das Auslosen dann also fair. Wäre die Reihenfolge wichtig, dann könnte man auch im Wettkampf unterscheiden, ob ein Kontrahent zuerst oder zuletzt gezogen worden wäre. Das hieße aber, die Kontrahenten wären nicht gleichwertig aufgestellt und einer hätte einen Vorteil. Dann wäre der Wettkampf also unfair.
    „Das Auslosen von Kontrahenten eines Dance-Offs ist ein Zufallsexperiment ohne Zurücklegen.“

    • Da Kontrahenten eines Dance-Offs nicht gegen sich selbst antreten, können beim Auslosen die Teilnehmer, die zuerst gezogen werden nicht mehr in der zweiten Stufe der Ziehung vorkommen.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Baumdiagrammen.

    Tipps

    Betrachtet man die Anzahl der Kugeln in einem Urnenmodell, so gilt:

    Ist die Anzahl der Kugeln in der Urne in jeder Stufe gleich, verändern sich die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse zwischen den Stufen nicht.

    Hier abgebildet ist ein Baumdiagramm für ein zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Die erste Pfadregel besagt, dass man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades durch Addition der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades bestimmt.“

    • Gemäß der ersten Pfadregel musst du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren, um die Wahrscheinlichkeit des Pfades zu bestimmen.
    „Wahrscheinlichkeiten schreibt man in die Knoten des Baumdiagramms.“

    • In Baumdiagrammen werden die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Diagramms notiert. Dies dient der Übersichtlichkeit.
    Diese Aussagen sind korrekt:

    „In einem Zufallsexperiment ohne Zurücklegen verändert sich die Wahrscheinlichkeit der möglichen Ergebnisse in jeder Stufe.“

    • Betrachten wir das Urnenmodell: Da die Kugeln nicht wieder zurückgelegt werden, sind bei jeder Ziehung eine unterschiedliche Anzahl Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeiten der Möglichkeiten sind also in jeder Stufe ebenfalls unterschiedlich.
    „Für jede Möglichkeit des Experiments wird ein eigener Ast im Baumdiagramm gezeichnet.“

    • Jeder mögliche Ausgang des Zufallsversuchs wird Ergebnis genannt und zu jedem Ergebnis wird ein eigener Ast im Baumdiagramm gezeichnet.
    „Mit der zweiten Pfadregel bestimmt man die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die aus mehreren Pfaden bestehen.“

    • Wenn ein Ereignis aus mehreren Ergebnissen besteht, tragen mehrere Pfade zur Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bei. Die zweite Pfadregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addiert werden.
  • Ergänze die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

    Tipps

    In dem Pfad, in dem zuerst Lasse gezogen wird, kommt der entsprechende Buchstabe „L“ auch zuerst in der Bezeichnung der Wahrscheinlichkeit vor.

    Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das aus mehreren Pfaden besteht, zu bestimmen, musst du die zweite Pfadregel verwenden.

    Das Baumdiagramm des Zufallsexperiments sieht so aus.

    Lösung

    Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

    „Das Ereignis, in dem Lasse und Bernd gegeneinander antreten können, enthält zwei Pfade. Die Pfade unterscheiden sich in der Reihenfolge der Ziehung. Die Wahrscheinlichkeit des Pfades, in dem zuerst Lasse und anschließend Bernd gezogen wird, kannst du auch so schreiben: $P(\text{L},\text{B})$. Du berechnest sie durch:

    $P(\text{L},\text{B})= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$.“

    • Die Wahrscheinlichkeiten entsprechen einem Zufallsexperiment ohne Zurücklegen. Da Kontrahenten eines Dance-Offs nicht gegen sich selbst antreten können, können beim Auslosen die Teilnehmer, die zuerst gezogen werden, nicht mehr in der zweiten Stufe der Ziehung vorkommen.
    „Hier wurde die erste Pfadregel verwendet. Diese besagt, dass du die Wahrscheinlichkeit eines Pfades durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades bestimmen kannst. Die Wahrscheinlichkeit des zweiten Pfades, bei dem zuerst Bernd und dann Lasse gezogen wird, wird mit $P(\text{B},\text{L})$ bezeichnet. Um sie zu bestimmen, verwendest du die erste Pfadregel.“

    • Da in diesem Pfad Bernd vor Lasse gezogen wird, kommt "B" in der Bezeichnung dieser Wahrscheinlichkeit zuerst vor.
    „$P(\text{B},\text{L})= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$.

    (...) Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass Bernd und Lasse gezogen werden, kannst du mit der zweiten Pfadregel bestimmen. Diese besagt, dass du die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu einem Ereignis gehören, addieren musst, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu bestimmen.

    $P(\text{B und L})=P(\text{B},\text{L})+P(\text{L},\text{B})= \frac{1}{6} + \frac{1}{6} =\frac{1}{3}$.“

  • Wende dein Wissen zu Zufallsexperimenten an.

    Tipps

    Das Gegenereignisses $\bar{A}$ enthält alle Pfade, die nicht in $A$ enthalten sind.

    Lösung

    Diese Aussage ist falsch:

    „Die Wahrscheinlichkeit beim viermaligen Werfen einer Münze vier Mal "Kopf" zu erhalten beträgt: $P(\text{4 mal Kopf})=\frac{1}{8}$.“

    • Die Wahrscheinlichkeit beträgt:$P(\text{4 mal Kopf})=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}.$
    Diese Aussagen sind korrekt:

    „Da sich die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse eines Zufallsexperiments zu $1$ addieren, kann man auch die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A$ bestimmen, indem man die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\bar{A}$ von $1$ abzieht.“

    • Das Gegenereignis $\bar{A}$ enthält alle Pfade, die nicht in $A$ enthalten sind. Diese Rechenweise erspart Rechenarbeit, wenn die Mehrzahl der Pfade zum Ereignis $A$ gehören.
    „Ein Wissenschaftler sendet eine Million Elektronen nacheinander durch einen Doppelspalt, wobei die Elektronen zufällig durch eine der beiden Öffnungen fliegen. Er zählt die Anzahl der Elektronen, die einen der beiden Spalte durchqueren. Das ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge.“

    • Die Wahrscheinlichkeit für jedes Elektron ist immer $\frac{1}{2}$. Deshalb ist es ein Experiment mit Zurücklegen. Da nur die Anzahl der Elektronen gezählt wird, ist die Reihenfolge nicht von Bedeutung.
    „Der Fußballtorhüter Waldemar springt beim Elfmeterschießen entweder nach links oder rechts, oder er bleibt in der Mitte stehen. Außerdem führt er nie zweimal hintereinander die gleiche Aktion durch. Ein Elfmeterschütze kann also den zweiten Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit von $50~\%$ verwandeln.“

    • Bei der zweiten Stufe des Zufallsexperiments sind nur noch zwei Optionen übrig. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Optionen sind gleich. Ist der Schütze sich bewusst, in welche Ecke Waldemar vorher gesprungen ist, kann er mit einer Wahrscheinlichkeit von $50~\%$ treffen.
    „In einem Zufallsexperiment ohne Zurücklegen verändert sich die Wahrscheinlichkeit der möglichen Ergebnisse in jeder Stufe.“

    • Betrachten wir dafür ein Urnenmodell: Da die Kugeln nicht wieder zurückgelegt werden, sind bei jeder Ziehung eine unterschiedliche Anzahl Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse sind also in jeder Stufe ebenfalls unterschiedlich.
  • Ermittle die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.

    Tipps

    Hier abgebildet ist das Baumdiagramm dieses Zufallsexperiments. Alle Ereignisse, die nicht Laura oder Walter betreffen, wurden weggelassen.

    Mit der ersten Pfadregel bestimmst du die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades. Dazu multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten.

    Mit der zweiten Pfadregel kannst du die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die aus mehreren Pfaden bestehen, bestimmen. Dazu addierst du die Wahrscheinlichkeiten aller zutreffenden Pfade.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses kannst du so berechnen:

    „Es gibt zwei mögliche Pfade für dieses Ereignis. Es könnte zuerst Walter und anschließend Luisa gezogen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt:

    $P(\text{W},\text{L})=\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$“

    • Die Wahrscheinlichkeit, dass Walter im ersten Zug gezogen wird, beträgt $\frac{2}{5}$, da er zwei Lose besitzt und insgesamt $5$ Lose existieren. Im zweiten Zug sind nur noch $4$ Lose vorhanden, deshalb ist die Wahrscheinlichkeit, dass Luisa jetzt gezogen wird, $\frac{1}{4}$.
    „Die Wahrscheinlichkeit des anderen Pfades beträgt:

    $P(\text{L},\text{W})=\frac{1}{5} \cdot$ $\frac{2}{4}=\frac{1}{10}$.“

    • Die Wahrscheinlichkeit, dass Luisa im ersten Zug gezogen wird, beträgt $\frac{1}{5}$, da sie ein Los besitzt und insgesamt $5$ Lose existieren. Im zweiten Zug sind nur noch $4$ Lose vorhanden, deshalb ist die Wahrscheinlichkeit, dass Walter gezogen wird, $\frac{2}{4}$.
    „Die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnest du durch Addition der beiden Pfade.

    $P(\text{Luisa und Walter})=P(\text{L},\text{W})+P(\text{W},\text{L})=\frac{1}{5}$“

    • Mit der zweiten Pfadregel kannst du die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die aus mehreren Pfaden bestehen, bestimmen. Dazu addierst du die Wahrscheinlichkeiten aller zutreffenden Pfade.
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.

    Tipps

    Die erste Pfadregel besagt, dass man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades bestimmt.

    Dies ist ein Teil des dazugehörigen Baumdiagramms.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeiten kannst du mit den beiden Pfadregeln bestimmen. Die erste Pfadregel besagt, dass man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades bestimmt. Mit der zweiten Pfadregel kannst du die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die aus mehreren Pfaden bestehen, bestimmen. Dazu addierst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade. Zum Beispiel ergibt sich für:

    • $P(\text{G und B}) = P(\text{G},\text{B})+ P(\text{B},\text{G})= \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}.$
    Die anderen Wahrscheinlichkeiten berechnen sich analog zu:

    • $P(\text{G und R})=\frac{3}{7}$,
    • $P(\text{R und B})=\frac{1}{7}$,
    • $P(\text{2 R})=\frac{3}{14}$.
    Für dieses letzte Ereignis existiert nur ein Pfad im Baumdiagramm. Die Kugeln sind nämlich untereinander nicht zu unterscheiden. Das heißt, das es egal ist, welche der roten Kugeln zuerst gezogen wird. Nur bei unterscheidbaren Kugeln (also Kugeln, die eine unterschiedliche Farbe haben) musst du die Reihenfolge beachten.