sofatutor 30 Tage
kostenlos ausprobieren

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Zweistufiges Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge 07:12 min

Textversion des Videos

Transkript Zweistufiges Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge

Im Zwergenreich Unfairien herrscht König Dyschronus mit eiserner Hand. Zu seiner Belustigung möchte er ein Turnier veranstalten. Dabei entscheidet das Los, welche 2 seiner 3 Ritter dieses Duell austragen werden. Wotan Weichkopf ist der älteste der drei Ritter und kein besonders spannender Kämpfer. Ganz anders Holm Hassmuth: schon beim Klang seines Namens erzittern seine Feinde, nur nicht Sören Schwarzbart. Holm und Sören sind seit ihrer Jugend Rivalen und nutzen jede Möglichkeit, ihre Fehde auszufechten. Dafür bietet dieses Turnier doch eine ideale Gelegenheit! Aber im Königreich Unfairien geht es nicht besonders fair zu. Für jeden Kämpfer wird ein Los in eine Urne geworfen. Danach wird zweimal gezogen und die gezogenen Namen notiert. Allerdings: derjenige Ritter, der zuerst gezogen wird, bekommt einen Bonus! Nur er darf beim Duell eine Rüstung tragen. König Dyschronus fände es auch furchtbar langweilig, wenn es beim Duell fair zuginge. Wie groß ist denn nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Sören und Holm gegeneinander antreten – und Sören dabei die Rüstung tragen darf? Weil zwei Namen gezogen werden und der zuerst gezogene einen Vorteil hat, handelt es sich hier um ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge. Schauen wir uns das Losverfahren also etwas genauer an. Aus den drei Namen in der Urne werden zwei per Zufall gezogen. Dabei merkt man sich, welcher Ritter zuerst gezogen wurde. Beim Ziehen mit Zurücklegen könnte jeder Ritter auch zweimal gezogen werden. Aber natürlich kann ein Ritter nicht gegen sich selbst antreten – das wäre sogar in Unfairien kein akzeptables Duell. Also handelt es sich insbesondere um ein Ziehen ohne Zurücklegen. Mehrstufige Zufallsexperimente beschreibt man am besten mit einem Baumdiagramm. Dabei zeichnest du für jedes mögliche Ergebnis eines Zuges von der Urne ausgehend einen Ast. Ans Ende kommt ein sogenannter Knoten– in den schreibst du das entsprechende Ergebnis. Wir haben im ersten Zug die drei Ritter Wotan, Holm und Sören. An die Äste notierst du die jeweilige Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses. Weil die drei Namen gleich wahrscheinlich sind, ist also jede dieser Wahrscheinlichkeiten gleich 'ein Drittel'. Ist ein Ritter im ersten Schritt gezogen worden, gibt es im zweiten Zug noch die Möglichkeit, einen der beiden anderen Ritter zu ziehen. Da es dann nur noch zwei Möglichkeiten gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit an jedem dieser Pfade deshalb 'einhalb'. Uns interessiert die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass zuerst Sören und dann Holm ausgelost werden. Dieses Ereignis entspricht diesem Pfad in dem Diagramm – es müssen Sören und Holm in der richtigen Reihenfolge entlang des Pfads auftauchen. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Pfad berechnen wir mit der ersten Pfadregel. Die besagt, dass wir alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren müssen. Also lautet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 'erst Sören, dann Holm', 'ein Drittel mal einhalb'. Das ergibt ein Sechstel, also etwa 16 Komma 7 Prozent. Gar nicht mal so wahrscheinlich! Wir könnten zum Beispiel auch ausrechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass Holm gegen irgendeinen der beiden anderen Ritter antreten muss – dabei aber keine Rüstung tragen darf. Die beiden Pfade, die zu diesem Ereignis gehören, sind dieser hier und dieser. Sie müssen immer mit Holm enden, aber wer sein Kontrahent wird, ist egal. Für jede einzelne dieser Paarungen lautet die Wahrscheinlichkeit mit der ersten Pfadregel ein Sechstel. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen wir dann mit der zweiten Pfadregel. Die erlaubt es uns, Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen zu berechnen, die aus mehreren Pfaden bestehen. Wir müssen dafür die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren.In unserem Fall also 'ein Sechstel' plus 'ein Sechstel', das ergibt 'ein Drittel'. Überlassen wir die Kämpfer also ihrem Schicksal und fassen zusammen. Ein zweistufiges Zufallsexperiment ist es beispielsweise, zweimal aus einer Urne zu ziehen, zweimal zu würfeln oder zwei Karten zu ziehen. Dabei solltest du dir immer überlegen, ob die einzelnen Möglichkeiten mehrmals eintreffen können: wie beim Würfeln. Oder eben nicht, wie zum Beispiel beim Kartenziehen. Beim Ziehen ohne Zurücklegen kann jedes Ergebnis nur einmal auftauchen. Als nächstes solltest du dich fragen, ob die Reihenfolge beim Ziehen eine Rolle spielt. Zum Beispiel könntest du in einer Urne drei verschiedenfarbige Kugeln haben und dich fragen, wie wahrscheinlich es ist, zuerst die gelbe und dann die rote Kugel zu ziehen. Man nennt das dann: Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge. Am besten kannst du solche Zufallsexperimente in einem Baumdiagramm darstellen. Dafür zeichnest du für jedes mögliche Ergebnis einen Knoten und verbindest die Knoten mit Ästen. An die Äste schreibst du die Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Knoten. Die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ereignisse berechnest du dann mit den beiden Pfadregeln. Die erste lautet: Das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades entspricht der Gesamtwahrscheinlichkeit des ganzen Pfades. Die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine gelbe und dann eine rote Kugel zu ziehen, ist also 'ein Drittel mal einhalb', also 'ein Sechstel'. Die zweite Pfadregel lautet: besteht das gesuchte Ereignis aus mehreren Pfaden in dem Diagramm, so addiert man die Pfadwahrscheinlichkeiten all dieser Pfade. Wenn uns zum Beispiel nur interessiert, dass die zuletzt gezogene Kugel blau war, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Pfade addieren. Die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade betragen jeweils 'ein Sechstel'. Und das Ergebnis wäre 'ein Sechstel plus ein Sechstel' also 'ein Drittel'. Nun aber zurück zum Turnier! Holm Hassmuth ist entrüstet! Er muss ohne Rüstung gegen seinen Erzfeind Sören Schwarzbart antreten! Das Duell beginnt! Oh... die schwere Rüstung hat Sören zu Fall gebracht! Wie unfair!

8 Kommentare
  1. haha super

    Von User1149710358, vor 20 Tagen
  2. schönes Video habe es gleich viel besser verstanden ; )

    Von Nadinella, vor 7 Monaten
  3. wo findet man die Lösungen der Arbeitsblätter?

    Von Nadine Reinhardt, vor 7 Monaten
  4. Gut da gestellt

    Von Gcavallo, vor 8 Monaten
  5. Sehr lustig und Mann kann es gut verstehen

    Von Ulrich Rittner, vor mehr als einem Jahr
Mehr Kommentare

Zweistufiges Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zweistufiges Zufallsexperiment mit Beachtung der Reihenfolge kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschrifte das Baumdiagramm.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades wird mit der ersten Pfadregel bestimmt.

    In der zweiten Pfadregel werden Einzelwahrscheinlichkeiten addiert, in der ersten Pfadregel nicht.

    Bei der ersten Ziehung hat jeder der drei Ritter dieselbe Wahrscheinlichkeit. Die Summe dieser drei Wahrscheinlichkeiten ist $1$.

    Lösung

    Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass Sören im Duell gegen Holm die Rüstung trägt, mit Hilfe der ersten Pfadregel: Im Baumdiagramm entspricht das Ereignis genau einem Pfad: zuerst Sören und dann Holm.

    Bei der ersten Ziehung mit drei Karten haben alle Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$. Bei der zweiten Ziehung mit nur noch zwei Karten im Topf haben alle Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$. Gemäß der ersten Pfadregel werden die Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades multipliziert.

    Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisse, dass Sören gegen Holm die Rüstung trägt, ist demnach:

    $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit für die ungünstige Duellsituation.

    Tipps

    Mit der zweiten Pfadregel wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus den Wahrscheinlichkeiten seiner Pfade berechnet.

    Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade werden nicht multipliziert.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehreren Pfaden ist größer als die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades.

    Lösung

    Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Holm wird als zweiter gezogen“ mit Hilfe der zweiten Pfadregel. Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten der Pfade eines Ereignisses addiert werden, um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu berechnen.

    Das Ereignis „Holm wird als zweiter gezogen“ besteht aus zwei Pfaden: der eine beginnt mit Sören, der andere mit Wotan, und beide enden mit Holm. Die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Pfades beträgt $\frac{1}{6}$. Damit ist die Wahrscheinlichkeit des aus zwei Pfaden bestehenden Ereignisses:

    $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.

  • Prüfe die Formulierung der Pfadregeln.

    Tipps

    Ein Pfad mit Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$.

    Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade eines Ereignisses addieren sich zu der Gesamtwahrscheinlichkeit des Ereignisses.

    Alle Pfade zusammengenommen ergeben das Ereignis aller möglichen Ausgänge des mehrstufigen Zufallsexperiments. Diese Wahrscheinlichkeit ist immer $1$.

    Lösung

    Falsch sind folgende Sätze:

    • „Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.“ Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades bestimmt man mit der ersten Pfadregel. Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades addiert werden.
    • „Ein Pfad aus drei Abschnitten, die jeweils die Wahrscheinlichkeit $0,2$ haben, hat die Wahrscheinlichkeit $0,6$.“ Nach der ersten Pfadregel hat ein solcher Pfad die Wahrscheinlichkeit $0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008$.
    • „Das Produkt der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade ist $1$.“ Die Wahrscheinlichkeiten jedes Pfades sind kleiner als $1$, daher ist das Produkt ebenfalls kleiner als $1$.
    Richtig sind folgende Sätze:

    • „Besteht ein Ereignis aus mehreren Pfaden, so ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade.“ Dies besagt genau die zweite Pfadregel.
    • „Die Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades werden multipliziert.“ Die ist die Aussage der ersten Pfadregel.
    • „Besteht ein Ereignis aus drei Pfaden, die jeweils die Wahrscheinlichkeit $0,2$ haben, so ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $0,6$.“ Hier wurde die zweite Pfadregel korrekt angewendet.
    • „Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade ist $1$.“ Die Summe aller Pfade entspricht dem Ereignis aller möglichen Ergebnisse des mehrstufigen Zufallsexperiments. Dieses Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit $1$.
  • Untersuche die Formulierungen der Pfadregeln.

    Tipps

    Die erste Pfadregel besagt: Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades werden multipliziert. Das Produkt ergibt die Wahrscheinlichkeit des Pfades.

    Die zweite Pfadregel bestimmt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehren Pfaden.

    Ein Pfad mit Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$.

    Lösung

    Die erste Pfadregel bestimmt die Wahrscheinlichkeit eines Pfades als das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades. Die zweite Pfadregel bestimmt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehreren Pfaden als die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade.

    Wir schreiben die korrekt zugeordneten Sätze auf:

    • „Ein Ereignis aus drei Pfaden der Wahrscheinlichkeit $0,1$ hat die Wahrscheinlichkeit $0,3$.“ Dies ist eine Anwendung der zweiten Pfadregel.
    • „Ein Pfad mit Wahrscheinlichkeiten $0,2$ und $0,5$ längs des Pfades hat die Wahrscheinlichkeit $0,1$.“ Hier wurde die erste Pfadregel verwendet.
    • „Das Ereignis aus allen Pfaden hat die Wahrscheinlichkeit $1$.“ Das Ereignis entspricht allen möglichen Ergebnissen des mehrstufigen Zufallsexperiments. Es hat daher die Wahrscheinlichkeit $1$.
    • „Ein Ereignis aus drei Pfaden der Wahrscheinlichkeiten $0,1$ und $0,2$ und $0,3$ hat eine Wahrscheinlichkeit $> 0,5$ und $<1$.“ Nach der zweiten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses $0,1 + 0,2 + 0,3 = 0,6$. Das ist größer als $0,5$ und kleiner als $1$.
    • „Ein Pfad mit Wahrscheinlichkeiten $0,1$ und $0,2$ und $0,3$ längs des Pfades hat eine Wahrscheinlichkeit kleiner als $0,1$.“ Nach der ersten Pfadregel beträgt die Wahrscheinlichkeit des Pfades $0,1 \cdot 0,2 \cdot 0,3 = 0,006$. Das ist kleiner als $0,1$.
  • Ergänze die Begriffe zu den Pfadregeln.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades mit Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{2}$ längs des Pfades ist $\frac{1}{6}$.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignis aus zwei Pfaden mit Pfadwahrscheinlichkeiten $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{3}$ ist $\frac{5}{6}$.

    Multipliziert man Wahrscheinlichkeiten, so ist das Ergebnis kleiner als die Einzelwahrscheinlichkeiten.

    Lösung

    Mit der ersten Pfadregel bestimmt man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades aus den Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades. Diese Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind kleiner als $1$, sie werden beim Multiplizieren daher kleiner. Somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit kleiner als die Einzelwahrscheinlichkeiten.

    Mit der zweiten Pfadregel dagegen bestimmt man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehreren Pfaden. Diese Wahrscheinlichkeiten werden addiert. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten sind größer als $0$, sie werden beim Addieren daher größer. Somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit größer als die Einzelwahrscheinlichkeiten.

  • Analysiere die Zufallsexperimente.

    Tipps

    Zeichne ein passendes Baumdiagramm und überlege, welche Pfade zu dem Ereignis gehören, dass Wotan an dem Duell teilnimmt.

    Prüfe am Baumdiagramm, bei welchen Pfaden bei der zweiten Ziehung Wotan bzw. Holm vorkommen.

    Finde alle Pfade im Baumdiagramm, die Wotan nicht enthalten, und addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade.

    Lösung

    Falsch sind folgende Sätze:

    • „Die Wahrscheinlichkeit, dass Wotan an dem Duell nicht teilnimmt, ist $\frac{1}{2}$.“ Es gibt zwei Pfade, in denen Wotan nicht vorkommt: der Pfad Sören-Holm und der Pfad Holm-Sören. Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$. Nach der zweiten Pfadregel beträgt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.
    • „Die Wahrscheinlichkeit für Wotan bei der zweiten Ziehung ist dieselbe wie die für Holm bei der ersten Ziehung.“ Bei der ersten Ziehung befinden sich $3$ Karten im Topf, jede wird mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$ gezogen. Bei der zweiten Ziehung sind nur noch $2$ Karten im Topf, die Wahrscheinlichkeit jeder Karte ist daher $\frac{1}{2}$.
    • „Die Wahrscheinlichkeit, dass Wotan an dem Duell nicht teilnimmt, ist kleiner als die Wahrscheinlichkeit, dass Sören eine Rüstung tragen darf.“ Es gibt zwei Pfade, in denen Wotan nicht vorkommt. Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$. Nach der zweiten Pfadregel beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Wotan nicht am Duell teilnimmt, $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$. Dass Sören die Rüstung bekommt, bedeutet, dass er bei der ersten Ziehung gezogen wird. Dieses Ereignis besteht ebenfalls aus zwei Pfaden, nämlich Sören-Holm und Sören-Wotan. Die Wahrscheinlichkeit ist daher ebenfalls $\frac{1}{3}$.
    Richtig sind dagegen folgende Sätze:

    • „Die Wahrscheinlichkeit, dass Holm als erster und Wotan nicht als zweiter gezogen wird, beträgt $\frac{1}{6}$.“ Das Ereignis besteht genau aus dem Pfad Holm-Sören. Der Pfad hat nach der ersten Pfadregel der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.
    • „Die Wahrscheinlichkeit, dass Holm und Wotan gezogen werden, egal in welcher Reihenfolge, ist $\frac{1}{3}$.“ Das Ereignis besteht aus den beiden Pfaden Wotan-Holm und Holm-Wotan. Nach der zweiten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\frac{1}{3}$.
    • „Die Wahrscheinlichkeit für Holm und Wotan bei der zweiten Ziehung ist nur dann dieselbe, wenn bei der ersten Ziehung Sören gezogen wird.“ Wird bei der ersten Ziehung Sören gezogen, so haben bei der zweiten Ziehung Holm und Wotan dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich $\frac{1}{2}$. Wird bei der ersten Ziehung Wotan gezogen, so hat bei der zweiten Ziehung Holm wieder die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$. Wotan dagegen ist nicht mehr im Lostopf und hat daher die Wahrscheinlichkeit $0$. Das analoge gilt mit vertauschten Rollen, wenn in der ersten Ziehung Holm gezogen wird.
    • „Die Wahrscheinlichkeit, dass Sören eine Rüstung tragen darf, ist dieselbe wie diejenige, dass Holm an dem Duell ohne Rüstung teilnimmt.“ Das Ereignis, dass Sören eine Rüstung trägt, besteht aus den beiden Pfaden Sören-Holm und Sören-Wotan. Das Ereignis, dass Holm ohne Rüstung teilnimmt, besteht aus den beiden Pfaden Sören-Holm und Wotan-Holm. Beide Ereignisse haben nach der zweiten Pfadregel die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$. Beachte aber: das Ereignis, dass Holm nicht die Rüstung bekommt, enthält zusätzlich die beiden Pfade Sören-Wotan und Wotan-Sören. Es besteht also aus vier Pfaden und hat daher die Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{3}$.