Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Baumdiagramme – Einführung

Ein Baumdiagramm wird verwendet, um Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsversuchen darzustellen. Erfahre, wie man ein Baumdiagramm erstellt und die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ergebniskombinationen berechnet. Interessiert? Erfahre hier mehr über Baumdiagramme und ihre Anwendung!

Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bereit für eine echte Prüfung?

Das Baumdiagramm Quiz besiegt 60% der Teilnehmer! Kannst du es schaffen?

Quiz starten
Bewertung

Ø 4.0 / 290 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Baumdiagramme – Einführung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung zum Video Baumdiagramme – Einführung

Wie kann Johnny Black seine Gewinnwahrscheinlichkeit beim Münzwurf berechnen? Dazu braucht er ein Baumdiagramm!

Was ein Baumdiagramm ist, erfährst du in diesem Video. Du lernst, wie man ein Baumdiagramm zeichnet und wie man es benutzt, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Außerdem erfährst du natürlich, wie es Johnny Black ergeht.

Du kannst dein neues Wissen gleich im Anschluss mit den ergänzenden Übungen testen.

Grundlagen zum Thema Baumdiagramme – Einführung

Baumdiagramm – Definition

Wirfst du auch gern mal eine Münze, um eine Entscheidung zu treffen? Johnny Black jedenfalls macht das sehr oft. Er wirft gleich dreimal – nur wenn dreimal Zahl oben liegt, kann er sich zu einer Entscheidung durchringen.
Bei diesem Zufallsversuch gibt es insgesamt acht mögliche Ergebnisse. Woher wissen wir das? Das wird klar, wenn wir ein Baumdiagramm zeichnen. Aber was ist ein Baumdiagramm und wie zeichnet man es?

Ein Baumdiagramm ist ein Schema, mit dem alle Ergebnisse eines Zufallsversuchs dargestellt werden können. Es werden für jeden möglichen Ausgang Abzweigungen gezeichnet – das sind die Äste.
Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch folgen für jede Stufe noch weitere Verästelungen. Von Stufe zu Stufe aneinandergereihte Äste, die zu einem einzigen Endergebnis führen, bilden zusammen einen Pfad.

So zeigt ein Baumdiagramm beispielsweise alle möglichen Kombinationen von Kopf und Zahl auf, die bei Johnnys dreimaligem Münzwurf auftreten können. Dabei handelt es sich um ein dreistufiges Zufallsexperiment:

  • In der ersten Stufe, also beim ersten Münzwurf, gibt es zwei Möglichkeiten: Kopf oder Zahl. Das sind unsere ersten zwei Äste.
  • Von jedem dieser beiden Äste gehen nun in der zweiten Stufe wiederum zwei Äste aus, denn beim zweiten Münzwurf kann wieder entweder Kopf oder Zahl herauskommen – unabhängig davon, was vorher kam.
  • In der dritten Stufe haben wir dann insgesamt acht weitere Äste und damit auch acht verschiedene Endergebnisse – das sind die Pfade des Baumdiagramms.

Wenn der Zufallsversuch noch um weitere Stufen wächst, verästelt sich das Diagramm immer weiter – wie ein Baum eben – deshalb heißt es Baumdiagramm.

Baumdiagramm – Funktion

Mit einem Baumdiagramm können wir zum einen die verschiedenen Möglichkeiten bzw. Kombinationen schnell erkennen, zum anderen können wir auch die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis leicht ausrechnen.
Ein Pfad, also ein Weg vom Start bis zu einem der Enden des Baumdiagramms, steht für ein Endergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs. Wir können die möglichen Kombinationen rechts neben jedes Endergebnis schreiben, indem wir den Pfad bis zu diesem Punkt durchlaufen. So steht beispielsweise die Kombination $ZZZ$ für das Endergebnis dreimal Zahl. Das schreiben wir ans Ende des Pfades, bei dem wir dreimal, also in jeder Stufe, zum Ergebnis Zahl abgezweigt sind.

Die Wahrscheinlichkeit, mit der das Endergebnis eines Pfads eintritt, können wir berechnen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Äste, die wir entlang laufen, miteinander multiplizieren.

Beim Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Ast gleich, nämlich gleich $\frac{1}{2}$ für jeweils Kopf bzw. Sofa $\left( S \right)$ oder Zahl $\left( Z \right)$. Deswegen ist am Ende auch jeder Pfad gleich wahrscheinlich: Die Wahrscheinlichkeit für jedes Endergebnis beträgt $\frac{1}{8}$ bei drei Münzwürfen. Das siehst du im folgenden Baumdiagramm, in dem wir einmal alle Pfade des dreifachen Münzwurfs aufgezeichnet haben:

Baumdiagramm beim Münzwurf

Die Wahrscheinlichkeit für jeden beliebigen Pfad beträgt $\frac{1}{8}$, denn es gilt immer:

$P(???) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$

Das gilt natürlich auch für die Wahrscheinlichkeit $P(ZZZ)$ für dreimal Zahl, die uns und Johnny Black besonders interessiert:

$P(ZZZ) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$

Den zugehörigen Pfad haben wir in folgender Abbildung einmal gesondert markiert:

Baumdiagramm beim Münzwurf für dreimal Zahl

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Endergebnisse (und damit aller Pfade) des Baumdiagramms beträgt stets $1$ (bzw. $100\,\%$).

Entsprechend muss die Wahrscheinlichkeit dafür, dass irgendein anderes Endergebnis als $ZZZ$ eintritt, $ \frac{7}{8}$ betragen. Das sehen wir auch, wenn wir die anderen sieben Pfade addieren:

$P(SSS) + P(SSZ) + P(SZS) + P(SZZ) + P(ZSS) + P(ZSZ) + P(ZZS) =$
$\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = 7 \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$

Das können wir auch über das Gegenereignis $\overline{P(ZZZ)}$ berechnen:

$\overline{P(ZZZ)} = 1 - P(ZZZ) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$

Baumdiagramm erstellen

Gehen wir nochmal genauer darauf ein, wie wir das Baumdiagramm im Fall von Johnnys dreimaligem Münzwurf erstellt haben:

  • Eine Münze hat zwei Seiten: Kopf (bzw. in unserem Fall Sofa) und Zahl. Das kürzen wir mit $S$ und $Z$ ab.
  • Beim ersten Wurf gibt es zwei Möglichkeiten: $S$ oder $Z$. Zu diesen beiden möglichen Ergebnisses ziehen wir die Äste der ersten Stufe unseres mehrstufigen Zufallsexperiments.
  • Ausgehend von den beiden Ergebnissen der ersten Stufe ziehen wir wieder jeweils zwei Äste zu den möglichen Ergebnissen $S$ bzw. $Z$ der zweiten Stufe, also des zweiten Münzwurfs. Damit haben wir nun vier Pfade mit den Ergebnissen $SS$, $SZ$, $ZS$ und $ZZ$.
  • In der dritten Stufe kommen zu jedem Pfad zwei weitere Äste hinzu. Nach dem dritten Münzwurf gibt es also acht Pfade bzw. acht Endergebnisse: $SSS$, $SSZ$, $SZS$, $SZZ$, $ZSS$, $ZSZ$, $ZZS$ und $ZZZ$.
  • An die einzelnen Äste schreiben wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse der jeweiligen Stufe. Da sich die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl beim wiederholten Münzwurf nicht ändert (und für beide Ergebnisse gleich ist), steht in diesem Fall überall die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$.
  • Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade schreiben wir ans Ende des jeweiligen Pfades. Im Fall des Münzwurfs haben alle Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit $\left( \frac{1}{8} \right)$, da Kopf und Zahl immer mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten und sich die Wahrscheinlichkeit eines Pfades aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der jeweils zugehörigen Äste ergibt $\left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \right)$.

Prinzipiell kann zu jedem Zufallsexperiment ein Baumdiagramm erstellt werden, solange alle möglichen Ausgänge bekannt sind. Bei Zufallsexperimenten, bei denen ein einzelner Versuch mehr als zwei mögliche Ausgänge hat, kann das allerdings recht schnell kompliziert und unübersichtlich werden.

Baumdiagramm – Zufallsexperimente

Allgemein dienen Baumdiagramme dazu, mehrstufige Zufallsversuche (Zufallsexperimente) darzustellen. Das ist vor allem dann praktisch, wenn ein einzelnes Zufallsexperiment genau zwei Ausgänge hat, zum Beispiel Kopf oder Zahl bei einem einzelnen Münzwurf.
Auch das Ziehen von Kugeln aus einer Urne ist ein typisches Beispiel – insbesondere dann, wenn es nur zwei Sorten von Kugeln gibt (z. B. rot und blau) und wenn mit Zurücklegen gezogen wird. Wenn wir beispielsweise zweimal mit Zurücklegen ziehen, haben wir ein zweistufiges Zufallsexperiment, das wir folgendermaßen darstellen können:

Baumdiagramm beim Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne

In diesem Fall sind genauso viele rote $\left(r \right)$ wie blaue $\left(b \right)$ Kugeln in der Urne, deshalb sind die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ergebnisse $r$ und $b$ wieder jeweils gleich $\frac{1}{2}$, wie beim Münzwurf.

  • In der ersten Stufe führt jeweils ein Ast zu den Ergebnissen rot $\left(r \right)$ und blau $\left(b \right)$.
  • In der zweiten Stufe zweigt jeder Ast noch einmal zu den Ergebnissen rot $\left(r \right)$ und blau $\left(b \right)$ ab.
  • An jeden Ast schreiben wir die Wahrscheinlichkeit, mit der das jeweilige Ergebnis $r$ oder $b$ eintritt, also jeweils $\frac{1}{2}$.
  • Nach zwei Versuchen gibt es insgesamt vier Pfade. Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Pfad (also ein bestimmtes Endergebnis eintritt), beträgt jeweils $\frac{1}{4}$, denn es gilt:

$P(r,r) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2\,\cdot\,2} = \dfrac{1}{4}$

$P(r,b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2\,\cdot\,2} = \dfrac{1}{4}$

$P(b,r) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2\,\cdot\,2} = \dfrac{1}{4}$

$P(b,b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2\,\cdot\,2} = \dfrac{1}{4}$

Die vier möglichen Endergebnisse sind also: $\left(r,r \right)$, $\left(r,b \right)$, $\left(b,r \right)$ und $\left(b,b \right)$.
Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich von Ergebnis zu Ergebnis nicht, da die gezogene Kugel nach dem Ziehen immer wieder zurückgelegt wird und damit stets genauso viele rote wie blaue Kugeln in der Urne bleiben.

Beim Ziehen aus einer Urne mit mehr als zwei verschiedenen Sorten von Kugeln (oder auch beim Würfeln, wenn wir jede der sechs Augenzahlen als einzelne Ereignisse betrachten), gibt es natürlich mehr als nur zwei Ergebnisse pro Zufallsexperiment. Auch in solchen Fällen ist es möglich, alle Ergebnisse in einem Baumdiagramm darzustellen, allerdings wird das dann schnell recht unübersichtlich.
Betrachten wir beispielsweise das Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel, dann gibt es für den ersten Wurf sechs Möglichkeiten. Nach jedem der sechs Ergebnisse gibt es dann wieder sechs Möglichkeiten, also schon $36$ Kombinationen für den zweiten Wurf. Beim dritten Wurf wären es dann bereits $6^3$, also $216$ mögliche Endergebnisse. Wir kommen in solch einem Fall also schon mit wenigen Stufen zu sehr vielen Pfaden.

Dennoch gibt es beim Würfeln Fälle, für die ein Baumdiagramm sinnvoll und übersichtlich ist. Nämlich dann, wenn wir nur zwischen zwei verschiedenen Ergebnissen unterscheiden, z. B. gerade Zahl und ungerade Zahl oder Sechs und Nicht‑Sechs.

Im Fall von Sechs und Nicht‑Sechs ist zu beachten, dass diese beiden Ergebnisse nicht mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten:

  • Die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln, beträgt genau $\frac{1}{6}$, da nur eine von sechs Zahlen auf dem Würfel eine Sechs ist.
  • Die Wahrscheinlichkeit, keine Sechs zu würfeln, beträgt $\frac{5}{6}$, da fünf von sechs Zahlen auf dem Würfel keine Sechs sind.

Damit haben die beiden Äste eines einzelnen Versuch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten. Das führt dazu, dass auch die Pfade, also die Endergebnisse, mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten auftreten. Das sehen wir, wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Äste miteinander multiplizieren. Mithilfe der folgenden Abbildung können wir die Wahrscheinlichkeiten der Pfade berechnen.

Baumdiagramm Erklärung, Würfel

$P(\bar{6},\bar{6}) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{5\,\cdot\,5}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{25}{36}$

$P(\bar{6},6) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{5\,\cdot\,1}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{5}{36}$

$P(6,\bar{6}) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{1\,\cdot\,5}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{5}{36}$

$P(6,6) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{1}{36}$

Beachte: Es kann sein, dass uns beispielsweise das Ergebnis genau einmal eine Sechs interessiert. In diesem Fall ist es egal, ob wir die eine Sechs beim ersten oder beim zweiten Würfelwurf erzielen. Demnach führt sowohl der zweite als auch der dritte Pfad zum gewünschten Ergebnis.
Die Wahrscheinlichkeit für genau eine Sechs ergibt sich folglich aus der Summe des zweiten und dritten Pfades:

$P(\text{genau eine}~6) = P(\bar{6},6) + P(6,\bar{6}) = \dfrac{5}{36} + \dfrac{5}{36} = \dfrac{10}{36}$

Baumdiagramm – Pfadregel

Für das Rechnen mit den Wahrscheinlichkeiten der Äste und Pfade eines Baumdiagramms gibt es ein paar Rechenregeln, die wir hier unter dem Stichwort Pfadregel zusammenfassen.

Baumdiagramm – Produktregel

Die wichtigste Pfadregel ist die sogenannte Produktregel, auch Pfadmultiplikationsregel oder 1. Pfadregel genannt. Durch siekönnen die Wahrscheinlichkeiten der Endergebnisse eines Baumdiagramms berechnet werden.

Die Produktregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Endergebnisses berechnet wird, indem die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse entlang des entsprechenden Pfades multipliziert werden.

Wir haben diese Regel bei unserem dreimaligen Münzwurf schon angewendet, als wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses dreimal Zahl hintereinander berechnet haben:

$P(ZZZ) = P(Z_1) \cdot P(Z_2) \cdot P(Z_3) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$

Die Produktregel gilt auch, wenn wir die Wahrscheinlichkeit bei nur zwei Münzwürfen berechnen wollen:

$P(ZZ) = P(Z_1) \cdot P(Z_2) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

In diesem Fall ist uns das Ergebnis des dritten Münzwurfs egal.

Auch bei Baumdiagrammen, bei denen nicht alle Äste bzw. Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, ist die Produktregel anwendbar. Das haben wir auch schon gesehen – bei unserem Beispiel mit dem Würfeln einer Sechs oder Nicht‑Sechs bei drei Würfen:

$P(\bar{6},\bar{6}) = P(\bar{6}) \cdot P(\bar{6}) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{5\,\cdot\,5}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{25}{36}$

$P(\bar{6},6) = P(\bar{6}) \cdot P(6) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{5\,\cdot\,1}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{5}{36}$

$P(6,\bar{6}) = P(6) \cdot P(\bar{6}) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{1\,\cdot\,5}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{5}{36}$

$P(6,6) = P(6) \cdot P(6) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{1}{36}$

Mit der Produktregel wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass ein bestimmtes Ergebnis und ein bestimmtes Folgeergebnis eintritt (oder mehrere). Aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten ergibt sich dann die Gesamtwahrscheinlichkeit des Endergebnisses.

Baumdiagramm – Summenregel

Manchmal werden mehrere Endergebnisse zu einem Ereignis zusammengefasst. Beim Würfeln haben wir beispielsweise schon gesehen, dass sich das Ereignis genau einmal eine Sechs bei zwei Würfelwürfen aus den Endergebnissen $\left( 6,\bar{6} \right)$ und $\left( \bar{6},6 \right)$ zusammensetzt. Es kann also erst eine Sechs kommen und dann etwas anderes – oder umgekehrt.
Um die Gesamtwahrscheinlichkeit des Ereignisses genau einmal eine Sechs zu berechnen, wenden wir die Summenregel an. Diese wird auch Pfadadditionsregel oder 2. Pfadregel genannt.

Die Summenregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zu diesem Ereignis gehörenden Pfade des Baumdiagramms ist.

Für unser Beispiel genau einmal eine Sechs bei zwei Würfelwürfen gilt demnach:

$P(\text{genau eine}~6) = P(\bar{6},6) + P(6,\bar{6}) = \dfrac{5}{36} + \dfrac{5}{36} = \dfrac{10}{36}$

Und auch den Münzwurf können wir so noch einmal genauer betrachten:
Wir hatten oben festgestellt, dass die Wahrscheinlichkeit für zweimal Zahl bei den ersten beiden Würfen genau $\frac{1}{4}$ beträgt, wobei wir den dritten Münzwurf einfach nicht beachtet hatten.
Aber betrachten wir nun wieder alle drei Münzwürfe und bzw. acht Pfade:

$P(SSS) = \dfrac{1}{8} \qquad \qquad P(SSZ) = \dfrac{1}{8}$

$P(SZS) = \dfrac{1}{8} \qquad \qquad P(SZZ) = \dfrac{1}{8}$

$P(ZSS) = \dfrac{1}{8} \qquad \qquad P(ZSZ) = \dfrac{1}{8}$

$P(ZZS) = \dfrac{1}{8} \qquad \qquad P(ZZZ) = \dfrac{1}{8}$

Die letzten beiden Ergebnisse $\left(ZZS \right)$ und $\left(ZZZ \right)$ erfüllen die Bedingung des Ereignisses zweimal Zahl bei den ersten beiden Würfen. Diese beiden müssen wir also laut der Summenregel addieren, wenn wir die Gesamtwahrscheinlichkeit des entsprechenden Ereignisses bei drei Münzwürfen berechnen wollen:

$P(\text{bei den ersten beiden Würfen Zahl}) = P(ZZS) + P(ZZZ) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$

Sowohl die Produktregel als auch die Summenregel führen uns also hier zum richtigen Ergebnis.

Die Summenregel zeigt außerdem, dass die Summe aller Pfade die Wahrscheinlichkeit $1$ ergibt. In unserem Beispiel gilt:

$P(SSS) + P(SSZ) + P(SZS) + P(SZZ) + P(ZSS) + P(ZSZ) + P(ZZS) + P(ZZZ) =$
$\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$

Dieser Zusammenhang gilt für jedes Baumdiagramm.
Wenn wir Produktregel und Summenregel kombinieren, sehen wir außerdem, dass auch für die zweite Stufe des mehrstufigen Zufallsexperimentes gilt, dass alle Pfade (bis zu dieser Stufe) zusammen die Wahrscheinlichkeit $1$ ergeben:

$P(SS) + P(SZ) + P(ZS) + P(ZZ) =$
$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$

Mit der Summenregel wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass ein bestimmtes, aus mehreren Ergebnissen zusammengesetztes Ereignis eintritt. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass entweder das eine oder das andere Ergebnis eintritt. Aus der Summe der beiden (oder mehreren) Wahrscheinlichkeiten ergibt sich dann die Gesamtwahrscheinlichkeit des Ereignisses.

Baumdiagramm – Aufgaben

Gehen wir nun noch einmal anhand einer Beispielaufgabe durch, wie man ein Baumdiagramm erstellt und die Pfadregeln anwendet:

Aus einer Urne mit zwei roten und zwei blauen Kugeln wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine rote Kugel gezogen wird?

Hier haben wir ein zweistufiges Zufallsexperiment mit jeweils zwei möglichen Ausgängen – rot $\left( r \right)$ und blau $\left( r \right)$ – allerdings diesmal ohne Zurücklegen. Wir können trotz dieser kleinen Schwierigkeit ein Baumdiagramm aufstellen, wenn wir alles sauber durchdenken:

  • Beim ersten Ziehen sind genauso viele rote wie blaue Kugeln in der Urne, also beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, eine der beiden Farben zu ziehen, jeweils $\frac{1}{2}$.
  • Beim zweiten Ziehen sind nur noch drei Kugeln in der Urne. Welche das sind, hängt davon ab, welche Kugel wir zuvor gezogen haben.
  • Haben wir zuerst eine rote Kugel gezogen, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, nun noch die zweite rote Kugel zu ziehen, $\frac{1}{3}$. Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine der beiden verbleibenden blauen Kugeln zu ziehen, beträgt hingegen $\frac{2}{3}$.
  • Haben wir zuerst eine blaue Kugel gezogen, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, nun eine der beiden roten Kugeln zu ziehen, $\frac{2}{3}$. Die Wahrscheinlichkeit dafür,
    die verbleibende zweite blaue Kugel zu ziehen, beträgt hingegen $\frac{1}{3}$.

Damit können wir folgendes Baumdiagramm skizzieren:

Baumdiagramm beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne

Hier sind auch bereits die Wahrscheinlichkeiten der vier Pfade notiert. Diese können wir mit der Produktregel berechnen:

$P(r,r) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2\,\cdot\,3} = \dfrac{1}{6}$

$P(r,b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1\,\cdot\,2}{2\,\cdot\,3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

$P(b,r) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1\,\cdot\,2}{2\,\cdot\,3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

$P(b,b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2\,\cdot\,3} = \dfrac{1}{6}$

Nun können wir die Frage beantworten. Wir sehen im Baumdiagramm zwei Möglichkeiten, bei denen genau eine rote Kugel gezogen wird. Das sind die beiden mittleren Pfade. Gemäß der Summenregel müssen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Pfade addieren, um die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Ereignis genau eine rote Kugel zu erhalten:

$P(\text{genau einmal}~r) = P(r,b) + P(b,r) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, beim zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen aus der gegebenen Urne genau eine rote Kugel zu ziehen, beträgt also genau $\frac{2}{3}$.

Wahrscheinlichkeiten berechnen

Auch in der folgenden Beispielaufgabe geht es darum, eine bestimmte Wahrscheinlichkeit mithilfe eines Baumdiagramms zu berechnen. Versuch es doch selbst einmal und schau dir dann die Lösung an!

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wirft Paul beim Würfeln mindestens einmal eine $6$, wenn er nur zweimal würfelt?

Zusammenfassung – Baumdiagramm

  • Ein Baumdiagramm wird bei mehrstufigen Zufallsexperimenten genutzt, um alle möglichen Ergebnisse mit ihren Wahrscheinlichkeiten bildlich darzustellen.
  • Mithilfe der 1. Pfadregel, der Produktregel, kann die Wahrscheinlichkeit eines Pfads berechnet werden, der sich aus mehreren aufeinanderfolgenden Ästen des Baumdiagramms zusammensetzt.
  • Mithilfe der 2. Pfadregel, der Summenregel, können die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnet werden, die sich aus den Ergebnissen mehrerer Pfade zusammensetzen.
  • Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade eines Baumdiagramms ergibt immer $1$. Um diese Pfadwahrscheinlichkeiten zu erhalten, müssen die Wahrscheinlichkeiten der zum jeweiligen Pfad gehörigen Äste multipliziert werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Baumdiagramm

Was ist ein Baumdiagramm?
Was berechnet man mit dem Baumdiagramm?
Wie funktioniert ein Baumdiagramm?
Wie zeichnet man ein Baumdiagramm?
Woher kommt der Name Baumdiagramm?
Was ist die Produktregel beim Baumdiagramm?
Teste dein Wissen zum Thema Baumdiagramm!

1.215.161 Schülerinnen und Schüler haben bereits unsere Übungen absolviert. Direktes Feedback, klare Fortschritte: Finde jetzt heraus, wo du stehst!

Vorschaubild einer Übung

Transkript Baumdiagramme – Einführung

Johnny Black steht vor einer schweren Entscheidung. Sollte er beim nächsten großen Coup mitmachen? Er ist gefährlich, aber auch einträglich. Mh! Möge die Münze entscheiden! Bevor Johnny sich aber ganz auf sein Glück verlässt, erstellt er ein paar Baumdiagramme. Mit denen kann er mehrstufige Zufallsversuche übersichtlich darstellen. Die Unternehmung ist wirklich sehr gefährlich. Deshalb will Johnny die Münze dreimal werfen und nur wenn dabei dreimal Zahl oben liegt, will er das als gutes Omen deuten. Insgesamt gibt es acht mögliche Ergebnisse dieses Zufallsversuchs. Aber wie kommt man darauf? Betrachten wir mal die einzelnen Würfe. Im ersten Wurf kann das Ergebnis Sofa oder Zahl lauten. Wenn im ersten Wurf Sofa oben lag, kann im zweiten Wurf wieder Sofa oder Zahl oben liegen. Und auch wenn im ersten Wurf Zahl oben lag, kann im zweiten Wurf Sofa oder Zahl herauskommen. Beim dritten Wurf ist es genauso: Egal, was vorher geworfen wurde, nun kann entweder Sofa oder Zahl oben liegen. Das entstandene Diagramm nennt man Baumdiagramm, weil es durch seine Verzweigungen ein bisschen aussieht wie ein Baum, der auf der Seite liegt. Jeweils untereinander stehen die möglichen Ausgänge der einzelnen Stufen des Zufallsversuchs. Weil Johnny dreimal werfen möchte, handelt es sich um einen dreistufigen Zufallsversuch. Jedes Teilergebnis setzt voraus, dass die vorhergehenden Teilergebnisse genauso eingetreten sind. Nur die nachfolgenden Teilergebnisse sind dann noch offen. Die Verbindungen der einzelnen Teilergebnisse heißen Äste. An jeden Ast kann man die Wahrscheinlichkeit des folgenden Teilergebnisses schreiben, also PS für die Wahrscheinlichkeit Sofa zu werfen und PZ für die Wahrscheinlichkeit Zahl zu werfen. Die Wahrscheinlichkeit beim einfachen Münzwurf beträgt immer ein Halb. Deshalb schreiben wir ein Halb auch an jeden Ast des Baumdiagramms. So hat man also nicht nur eine übersichtliche Darstellung des Zufallsversuchs, sondern auch über die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Teilergebnisse. Durchläuft man den Zufallsversuch vom Anfangspunkt entlang dreier Äste bis zur letzten Stufe erhält man einen Pfad. Insgesamt haben wir hier also 8 Pfade. Jeder Pfad steht für einen konkreten Ausgang des dreistufigen Zufallsversuchs. So erhalten wir Sofa, Sofa, Sofa, Sofa, Sofa, Zahl und so weiter. Genau die Kombinationen, die wir zuvor gesehen haben. Dreimal Zahl zu werfen, ist also nicht sehr wahrscheinlich. Es gibt nur einen Pfad, der dieses Ergebnis wiedergibt, aber sieben andere. Weil die Wahrscheinlichkeiten in jeder Stufe dieselben sind, sind auch die Wahrscheinlichkeiten aller Gesamtergebnisse gleich. Wir haben hier 8 mögliche Ausgänge, also lautet die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis ein Achtel. Für Johnny's Ereignis 'dreimal Zahl' beträgt die Wahrscheinlichkeit also auch ein Achtel. Ein Baumdiagramm stellt aber nicht jeden möglichen Zufallsversuch übersichtlich dar. Beim Würfeln wird es schnell kompliziert. Schon das einmalige Würfeln hat 6 mögliche Ergebnisse. Beim zweimaligen Würfeln sieht das Baumdiagramm sehr unübersichtlich aus. Meistens braucht man aber gar nicht alle Informationen. Bei vielen Brettspielen geht es bspw. darum, eine 6 zu würfeln. Die anderen Ausgänge können dann zum Ergebnis 'Nicht 6' zusammengefasst werden. Na, so sieht das Baumdiagramm doch schon sehr viel übersichtlicher aus! Auch hier können wir an die Äste die einzelnen Wahrscheinlichkeiten schreiben. Ein Sechstel bei 6 und 5 Sechstel bei 'Nicht 6'. Weil die Wahrscheinlichkeiten der Teilergebnisse jetzt aber unterschiedlich sind, können wir die Wahrscheinlichkeiten der Gesamtergebnisse nicht so einfach angeben. Das Baumdiagramm hilft uns aber auch hier: Indem wir die Wahrscheinlichkeiten entlang der einzelnen Pfade multiplizieren, erhalten wir die Wahrscheinlichkeit der entsprechenden Gesamtergebnisse. Und während Johnny Black das Schicksal herausfordert, fassen wir zusammen: Mit Hilfe eines Baumdiagramms kann man einen mehrstufigen Zufallsversuch übersichtlich darstellen. Jeweils untereinander stehen die Ausgänge der einzelnen Stufen. Die Verbindungen zwischen den einzelnen Teilergebnissen heißen Äste. Durchläuft man den Zufallsversuch vom Anfangspunkt entlang zusammenhängender Äste bis zur letzten Stufe, erhält man einen Pfad. Jeder Pfad steht für einen möglichen Ausgang des gesamten, mehrstufigen Zufallsversuchs. Bei komplexen Zufallsversuchen sieht das Baumdiagramm schnell unübersichtlich aus. Dann kannst Du es aber oft vereinfachen, wenn du verschiedene Ergebnisse zusammenfasst. An die Äste des Baumdiagramms kannst du die Wahrscheinlichkeiten schreiben. Wenn du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizierst, erhältst du die Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Gesamtergebnisses. Zweimal hat Johnny jetzt schon Zahl geworfen. Noch ein letzter Wurf. Ah, das war dann wohl kein gutes Omen!

45 Kommentare
45 Kommentare
  1. Tooll😃

    Von Mia Adem, vor 5 Monaten
  2. diese video hilft mir zu diese lektion verstehen

    Von Malay Singh, vor 8 Monaten
  3. Die filme sind cool aber die Aufgaben könnten besser sein

    Von Lennox & Eva , vor 8 Monaten
  4. Ist cool

    Von Pia, vor 8 Monaten
  5. coollolol

    Von Nico, vor 9 Monaten
Mehr Kommentare

Baumdiagramme – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Baumdiagramme – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Rechnen mit Baumdiagrammen.

    Tipps

    Die Anzahl der Stufen eines Baumdiagramms entspricht der Anzahl der Stufen des Zufallsversuchs.

    Bei jedem Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses $\frac{1}{2}$.

    Die Anzahl der Äste auf der ersten Stufe des Baumdiagramms entspricht der Anzahl der Ergebnisse des einmaligen Münzwurfes.

    Lösung

    Ein Baumdiagramm veranschaulicht einen mehrstufigen Zufallsversuch. Jeder Ast des Baumdiagramms stellt ein Ergebnis einer Stufe dar. Ein Pfad im Baumdiagramm repräsentiert ein Gesamtergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs. Die Wahrscheinlichkeit eines Gesamtergebnisses, also eines Pfades, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten aller Äste längs des Pfades. Beim Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit jedes der beiden Ergebnisse $\frac{1}{2}$. Das gilt auch auf jeder einzelnen Stufe des mehrstufigen Zufallsversuchs, der im mehrmaligen Münzwurf besteht.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.“
    • „Wirft man eine Münze dreimal, so hat bei jedem einzelnen Wurf jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$.“
    • „Bei dreimaligem Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses „keine Zahl“ genauso groß wie die des Ergebnisses „kein Bild“.“
    • „Wirft man eine Münze dreimal, so hat jedes Ergebnis des dreistufigen Zufallsversuchs die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}$.“
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Ein dreistufiges Zufallsexperiment mit je zwei Ergebnissen auf jeder Stufe hat $2 \cdot 3 = 6$ Ergebnisse.“ Auf jeder neuen Stufe multipliziert sich die Zahl der Ergebnisse der neuen Stufe mit der Zahl aller Ergebnisse der vorigen Stufen. Jeder Münzwurf hat zwei Ergebnisse. Wirfst du eine Münze dreimal, so musst du die Anzahl der Ergebnisse eines Münzwurfs dreimal mit sich selbst multiplizieren und erhältst so $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$ Ergebnisse.
    • „Die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Münzwurf das Ergebnis „dreimal Zahl“ zu erhalten, ist $\frac{1}{9}$.“ Die Wahrscheinlichkeit des Gesamtergebnisses, das aus „dreimal Zahl“ besteht, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse „Zahl“ der einzelnen Stufen. Jedes Ergebnis „Zahl“ einer Stufe hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$, daher ist die Wahrscheinlichkeit des Gesamtergebnisses „dreimal Zahl“ $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
    • „Das Baumdiagramm für einen dreimaligen Münzwurf hat auf der ersten Stufe genau drei Äste, weil es ein dreistufiges Zufallsexperiment beschreibt.“ Die Anzahl der Äste auf der ersten Stufe ist die Anzahl der Ergebnisse des einstufigen Zufallsversuchs, nicht die Anzahl der Stufen. Beim Münzwurf ist die Anzahl der Ergebnisse zwei, da eine Münze genau zwei Seiten hat.
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Jedes Ergebnis des einmaligen Würfelwurfs hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

    Das Ergebnis, bei zweimaligem Würfeln zweimal eine $6$ zu würfeln, hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{36}$.

    Lösung

    In dem Baumdiagramm im Bild sind die einzelnen Ergebnisse jedes Würfelns zu den beiden Ereignissen „eine $6$“ und „keine $6$“ zusammengefasst. Jede einzelne Augenzahl eines Würfelwurfs hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich $\frac{1}{6}$. Die Ergebnisse der Augenzahlen $1$, $2$, $3$, $4$ und $5$ ergeben zusammen das Ereignis „keine $6$“. Dessen Wahrscheinlichkeit ist daher $\frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} =\frac{5}{6}$.

    Im Baumdiagramm siehst du links den ersten Würfelwurf mit den beiden möglichen Ausgängen „eine $6$“ und „keine $6$“. Auf jeden der beiden möglichen Ausgänge folgen zwei mögliche Ausgänge des zweiten Würfelwurfes, nämlich wieder „eine $6$“ und „keine $6$“. Jeder Ast, der zu dem Ausgang „eine $6$“ gehört, trägt die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$, jeder Ausgang „keine $6$“ die Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{6}$.

    Die Gesamtergebnisse des zweimaligen Würfelwurfes werden durch die Pfade des Baumdiagramms repräsentiert. Die Wahrscheinlichkeit eines Gesamtergebnisses, also eines Pfades, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades. Daher hat der Pfad mit den Ausgängen „keine $6$“ und „keine $6$“ die Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$. Jeder Pfad mit „eine $6$“ und „keine $6$“ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{36}$. Der Pfad, auf dem zweimal „eine $6$“ vorkommt, hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

    Zur Probe kannst du noch die Wahrscheinlichkeiten aller Gesamtergebnisse addieren: $\frac{25}{36} + \frac{5}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{36} = \frac{36}{36} = 1$. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade eines Baumdiagramms muss nämlich immer $1$ ergeben.

  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Bei einem Baumdiagramm zum zweimaligen Würfeln mit den Ergebnissen „eine $6$“ und „keine $6$“ tragen die Äste die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{6}$ und $\frac{5}{6}$, das Gesamtergebnis „genau eine $6$“ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{36}$.

    Auf jeder Stufe ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die aus derselben Verzweigung hervorgehen, $1$.

    Jeder Pfad des Baumdiagramms repräsentiert ein Gesamtergebnis des Zufallsversuchs.

    Lösung

    Mit einem Baumdiagramm kannst du die Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsversuchs übersichtlich darstellen. Jede Stufe des Baumdiagramms entspricht einer Stufe des Zufallsversuchs. Die Äste der ersten Stufe entsprechen den Ergebnissen der ersten Stufe des Zufallsversuchs. Jeder Ast verzweigt sich beim Übergang zur nächsten Stufe des Zufallsversuchs. Die Anzahl der neuen Äste, die aus einer Verzweigung hervorgehen, entspricht der Anzahl der Ergebnisse der nächsten Stufe des Zufallsversuchs.

    Jedes Ergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs wird durch einen Pfad im Baumdiagramm dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, also aller Pfade, ist $1$. Ebenso ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die aus einer Verzweigung hervorgehen, stets $1$. Denn diese Äste entsprechen den Ergebnissen einer Stufe des Zufallsversuchs.

    So findest du folgende Sätze:

    • Die Anzahl der Äste auf der letzten Stufe eines Baumdiagramms... ist die Anzahl der Gesamtergebnisse des mehrstufigen Zufallsversuches.
    • Die Anzahl der Verzweigungen auf jeder Stufe eines Baumdiagramms... ist die Anzahl der Ergebnisse dieser Stufe des Zufallsversuchs.
    • Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades... ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.
    • Die Wahrscheinlichkeit eines Astes... addiert sich mit den Wahrscheinlichkeiten der anderen Äste, die aus derselben Verzweigung hervorgehen, zu $1$.
    • Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade eines Baumdiagramms... ist $1$.
  • Erschließe, bei welchen Darstellungen es sich um korrekte Baumdiagramme handelt.

    Tipps

    Das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades im Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit, die rechts neben dem Ende des Pfades steht.

    Die Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einer Verzweigung ausgehen, addieren sich zu $1$.

    Manchmal erfordert eine Aufgabenstellung nicht das komplette Baumdiagramm. In solch einem Fall, zeichnet man nur den Teil des Baumdiagramms, der für das Lösen der Aufgabe nötig ist. So ein Baumdiagramm heißt reduziertes Baumdiagramm.

    Lösung

    Bei einem Baumdiagramm stellen die Äste, die aus einer Verzweigung hervorgehen, die Ergebnisse eines Zufallsversuchs dar. Die Äste der ersten Stufe (ganz links im Baumdiagramm) entsprechen den Ergebnissen der ersten Stufe eines mehrstufigen Zufallsversuchs. Jeder Pfad stellt ein Gesamtergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs dar.

    Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die aus einer Verzweigung hervorgehen, ist stets $1$. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten aller Äste dieses Pfades. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade eines Baumdiagramms ist ebenfalls $1$.

    In den Bildern sind einige Wahrscheinlichkeiten inkonsistent. Entweder stimmt die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Äste aus einer Verzweigung nicht, oder das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Äste stimmt nicht mit der Wahrscheinlichkeit des Pfades überein.

    Folgende Bilder sind falsch bezeichnet:

    • Ein einstufiges Baumdiagramm trägt die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{4}$ an den Ästen. Aber $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12} \neq 1$.
    • Auf einem Bild siehst du von einem Baumdiagramm die erste Stufe mit den Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{3}$. Die zweite Stufe des Baumdiagramms trägt die analogen Bezeichnungen. Die Gesamtergebnisse tragen die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{4}$ bzw. $\frac{1}{5}$ (jeweils zweimal). Die Summe der Wahrscheinlichkeiten jeder einzelnen Stufe ist falsch, denn $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq 1$. Außerdem sind die Wahrscheinlichkeiten der Pfade nicht das Produkt der Wahrscheinlichkeiten ihrer Äste, denn $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \neq \frac{1}{5}$.
    • Auf einem Bild siehst du einen Pfad aus einem Baumdiagramm mit den Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{6}$ an den Ästen. Die Wahrscheinlichkeit des Pfades ist mit $\frac{2}{6}$ bezeichnet, die ist aber nicht dasselbe wie $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$.
  • Beschrifte das Diagramm.

    Tipps

    Das Diagramm im Bild sieht aus wie ein auf der Seite liegender Baum, darum heißt es...

    Ein Ereignis ist aus mehreren Ergebnissen zusammengesetzt.

    Ein Ergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs wird durch einen Pfad im Baumdiagramm dargestellt.

    Lösung

    Das Diagramm im Bild nennt man Baumdiagramm, weil es ein wenig wie ein auf der Seite liegender Baum aussieht. Jede Stufe von Verzweigungen stellt eine Stufe des Zufallsversuchs dar. Die einzelnen Striche, die die Verzweigungspunkte miteinander verbinden, heißen Äste des Baumdiagramms. Ein Weg, der auf jeder Stufe einen Ast enthält und von der Wurzel links bis zur Krone rechts führt, heißt Pfad des Baumdiagramms. Jeder Pfad repräsentiert ein Ergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs.

  • Prüfe die Aussagen.

    Tipps

    Bei einem mehrstufigen Zufallsversuchs ist die Anzahl der Gesamtergebnisse das Produkt der Anzahlen der Ergebnisse der einzelnen Stufen.

    Lösung

    Ein Baumdiagramm stellt einen mehrstufigen Zufallsversuch dar. Jeder Stufe des Zufallsversuchs entspricht eine Stufe des Baumdiagramms. Jeder Ast des Baumdiagramms entspricht einem Ergebnis einer Stufe des Zufallsversuchs. Jeder Pfad entspricht einem Gesamtergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einer Verzweigung ausgehen, ist $1$. Das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Äste eines Pfades ist die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades stets kleiner als jede Wahrscheinlichkeit eines Astes dieses Pfades. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade ist $1$. Die Anzahl der Pfade ist das Produkt der Anzahlen der Ergebnisse aller einzelnen Stufen des Zufallsversuchs.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste einer Stufe eines Baumdiagramms ist die Anzahl der Äste der vorhergehenden Stufe.“ An jeder Verzweigung addieren sich die Wahrscheinlichkeiten der neuen Äste zu $1$. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Äste einer Stufe ist daher die Anzahl der Äste der vorhergehenden Stufe.
    • „Die Anzahl der Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments ist das Produkt der Ergebnisanzahlen der einzelnen Stufen.“ Mit jeder neuen Stufe multipliziert sich die Anzahl der Gesamtergebnisse der vorhergehenden Stufe um den Faktor der Anzahl der Ergebnisse der neuen Stufe. Hat der Zufallsversuch auf jeder Stufe $2$ Ergebnisse, so ist die Anzahl der Gesamtergebnisse auf der ersten Stufe $2$, auf der zweiten Stufe $2 \cdot 2 = 4$, auf der dritten Stufe $4 \cdot 2 = 8$ usw.
    • „Die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Pfades ist kleiner als die Einzelwahrscheinlichkeiten längs des Pfades, wenn jede Einzelwahrscheinlichkeit größer $0$ und kleiner $1$ ist.“ Jede Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses liegt zwischen $0$ und $1$. Das Produkt zweier solcher Zahlen ist kleiner als jeder der Faktoren.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Auf jeder Stufe eines Baumdiagramms nimmt die Anzahl der Äste um die Anzahl der Ergebnisse dieser Stufe zu.“ Stattdessen wird die Anzahl der Äste der vorigen Stufe jeweils mit der Anzahl der neuen Stufe multipliziert.
    • „Die Wahrscheinlichkeiten eines Pfades eines Zufallsexperiments ist der Kehrwert der Anzahl aller Pfade.“ Hat bei einem Zufallsexperiment jeder Pfad dieselbe Wahrscheinlichkeit, so stimmt die Aussage. Fasst man aber z. B. das Würfeln zu den beiden Ergebnissen „eine $6$“ und „keine $6$“ zusammen, so haben diese Äste jeweils die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{6}$ und $\frac{5}{6}$. Verschiedene Pfade im Baumdiagramm haben daher im Allgemeinen verschiedene Wahrscheinlichkeiten.
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

8.392

sofaheld-Level

6.601

vorgefertigte
Vokabeln

7.945

Lernvideos

37.087

Übungen

34.333

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrkräften

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden