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Baumdiagramme – Einführung 06:15 min

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Transkript Baumdiagramme – Einführung

Johnny Black steht vor einer schweren Entscheidung. Sollte er beim nächsten großen Coup mitmachen? Er ist gefährlich, aber auch einträglich. Mh! Möge die Münze entscheiden! Bevor Johnny sich aber ganz auf sein Glück verlässt, erstellt er ein paar Baumdiagramme. Mit denen kann er mehrstufige Zufallsversuche übersichtlich darstellen. Die Unternehmung ist wirklich sehr gefährlich. Deshalb will Johnny die Münze dreimal werfen und nur wenn dabei dreimal Zahl oben liegt, will er das als gutes Omen deuten. Insgesamt gibt es acht mögliche Ergebnisse dieses Zufallsversuchs. Aber wie kommt man darauf? Betrachten wir mal die einzelnen Würfe. Im ersten Wurf kann das Ergebnis Sofa oder Zahl lauten. Wenn im ersten Wurf Sofa oben lag, kann im zweiten Wurf wieder Sofa oder Zahl oben liegen. Und auch wenn im ersten Wurf Zahl oben lag, kann im zweiten Wurf Sofa oder Zahl herauskommen. Beim dritten Wurf ist es genauso: Egal, was vorher geworfen wurde, nun kann entweder Sofa oder Zahl oben liegen. Das entstandene Diagramm nennt man Baumdiagramm, weil es durch seine Verzweigungen ein bisschen aussieht wie ein Baum, der auf der Seite liegt. Jeweils untereinander stehen die möglichen Ausgänge der einzelnen Stufen des Zufallsversuchs. Weil Johnny dreimal werfen möchte, handelt es sich um einen dreistufigen Zufallsversuch. Jedes Teilergebnis setzt voraus, dass die vorhergehenden Teilergebnisse genauso eingetreten sind. Nur die nachfolgenden Teilergebnisse sind dann noch offen. Die Verbindungen der einzelnen Teilergebnisse heißen Äste. An jeden Ast kann man die Wahrscheinlichkeit des folgenden Teilergebnisses schreiben, also PS für die Wahrscheinlichkeit Sofa zu werfen und PZ für die Wahrscheinlichkeit Zahl zu werfen. Die Wahrscheinlichkeit beim einfachen Münzwurf beträgt immer ein Halb. Deshalb schreiben wir ein Halb auch an jeden Ast des Baumdiagramms. So hat man also nicht nur eine übersichtliche Darstellung des Zufallsversuchs, sondern auch über die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Teilergebnisse. Durchläuft man den Zufallsversuch vom Anfangspunkt entlang dreier Äste bis zur letzten Stufe erhält man einen Pfad. Insgesamt haben wir hier also 8 Pfade. Jeder Pfad steht für einen konkreten Ausgang des dreistufigen Zufallsversuchs. So erhalten wir Sofa, Sofa, Sofa, Sofa, Sofa, Zahl und so weiter. Genau die Kombinationen, die wir zuvor gesehen haben. Dreimal Zahl zu werfen, ist also nicht sehr wahrscheinlich. Es gibt nur einen Pfad, der dieses Ergebnis wiedergibt, aber sieben andere. Weil die Wahrscheinlichkeiten in jeder Stufe dieselben sind, sind auch die Wahrscheinlichkeiten aller Gesamtergebnisse gleich. Wir haben hier 8 mögliche Ausgänge, also lautet die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis ein Achtel. Für Johnny's Ereignis 'dreimal Zahl' beträgt die Wahrscheinlichkeit also auch ein Achtel. Ein Baumdiagramm stellt aber nicht jeden möglichen Zufallsversuch übersichtlich dar. Beim Würfeln wird es schnell kompliziert. Schon das einmalige Würfeln hat 6 mögliche Ergebnisse. Beim zweimaligen Würfeln sieht das Baumdiagramm sehr unübersichtlich aus. Meistens braucht man aber gar nicht alle Informationen. Bei vielen Brettspielen geht es bspw. darum, eine 6 zu würfeln. Die anderen Ausgänge können dann zum Ergebnis 'Nicht 6' zusammengefasst werden. Na, so sieht das Baumdiagramm doch schon sehr viel übersichtlicher aus! Auch hier können wir an die Äste die einzelnen Wahrscheinlichkeiten schreiben. Ein Sechstel bei 6 und 5 Sechstel bei 'Nicht 6'. Weil die Wahrscheinlichkeiten der Teilergebnisse jetzt aber unterschiedlich sind, können wir die Wahrscheinlichkeiten der Gesamtergebnisse nicht so einfach angeben. Das Baumdiagramm hilft uns aber auch hier: Indem wir die Wahrscheinlichkeiten entlang der einzelnen Pfade multiplizieren, erhalten wir die Wahrscheinlichkeit der entsprechenden Gesamtergebnisse. Und während Johnny Black das Schicksal herausfordert, fassen wir zusammen: Mit Hilfe eines Baumdiagramms kann man einen mehrstufigen Zufallsversuch übersichtlich darstellen. Jeweils untereinander stehen die Ausgänge der einzelnen Stufen. Die Verbindungen zwischen den einzelnen Teilergebnissen heißen Äste. Durchläuft man den Zufallsversuch vom Anfangspunkt entlang zusammenhängender Äste bis zur letzten Stufe, erhält man einen Pfad. Jeder Pfad steht für einen möglichen Ausgang des gesamten, mehrstufigen Zufallsversuchs. Bei komplexen Zufallsversuchen sieht das Baumdiagramm schnell unübersichtlich aus. Dann kannst Du es aber oft vereinfachen, wenn du verschiedene Ergebnisse zusammenfasst. An die Äste des Baumdiagramms kannst du die Wahrscheinlichkeiten schreiben. Wenn du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizierst, erhältst du die Wahrscheinlichkeit des zugehörigen Gesamtergebnisses. Zweimal hat Johnny jetzt schon Zahl geworfen. Noch ein letzter Wurf. Ah, das war dann wohl kein gutes Omen!

2 Kommentare

  1. 😊

    Von Yiren Y., vor 2 Monaten
  2. 😊

    Von Klauskonopka, vor 3 Monaten

Baumdiagramme – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Baumdiagramme – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe das Rechnen mit Baumdiagrammen.

    Tipps

    Die Anzahl der Stufen eines Baumdiagramms entspricht der Anzahl der Stufen des Zufallsversuchs.

    Bei jedem Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses $\frac{1}{2}$.

    Die Anzahl der Äste auf der ersten Stufe des Baumdiagramms entspricht der Anzahl der Ergebnisse des einmaligen Münzwurfes.

    Lösung

    Ein Baumdiagramm veranschaulicht einen mehrstufigen Zufallsversuch. Jeder Ast des Baumdiagramms stellt ein Ergebnis einer Stufe dar. Ein Pfad im Baumdiagramm repräsentiert ein Gesamtergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs. Die Wahrscheinlichkeit eines Gesamtergebnisses, also eines Pfades, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten aller Äste längs des Pfades. Beim Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit jedes der beiden Ergebnisse $\frac{1}{2}$. Das gilt auch auf jeder einzelnen Stufe des mehrstufigen Zufallsversuchs, der im mehrmaligen Münzwurf besteht.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.“
    • „Wirft man eine Münze dreimal, so hat bei jedem einzelnen Wurf jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$.“
    • „Bei dreimaligem Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses „keine Zahl“ genauso groß wie die des Ergebnisses „kein Bild“.“
    • „Wirft man eine Münze dreimal, so hat jedes Ergebnis des dreistufigen Zufallsversuchs die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}$.“
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Ein dreistufiges Zufallsexperiment mit je zwei Ergebnissen auf jeder Stufe hat $2 \cdot 3 = 6$ Ergebnisse.“ Auf jeder neuen Stufe multipliziert sich die Zahl der Ergebnisse der neuen Stufe mit der Zahl aller Ergebnisse der vorigen Stufen. Jeder Münzwurf hat zwei Ergebnisse. Wirfst du eine Münze dreimal, so musst du die Anzahl der Ergebnisse eines Münzwurfs dreimal mit sich selbst multiplizieren und erhältst so $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$ Ergebnisse.
    • „Die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Münzwurf das Ergebnis „dreimal Zahl“ zu erhalten, ist $\frac{1}{9}$.“ Die Wahrscheinlichkeit des Gesamtergebnisses, das aus „dreimal Zahl“ besteht, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse „Zahl“ der einzelnen Stufen. Jedes Ergebnis „Zahl“ einer Stufe hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$, daher ist die Wahrscheinlichkeit des Gesamtergebnisses „dreimal Zahl“ $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
    • „Das Baumdiagramm für einen dreimaligen Münzwurf hat auf der ersten Stufe genau drei Äste, weil es ein dreistufiges Zufallsexperiment beschreibt.“ Die Anzahl der Äste auf der ersten Stufe ist die Anzahl der Ergebnisse des einstufigen Zufallsversuchs, nicht die Anzahl der Stufen. Beim Münzwurf ist die Anzahl der Ergebnisse zwei, da eine Münze genau zwei Seiten hat.
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Jedes Ergebnis des einmaligen Würfelwurfs hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

    Das Ergebnis, bei zweimaligem Würfeln zweimal eine $6$ zu würfeln, hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{36}$.

    Lösung

    In dem Baumdiagramm im Bild sind die einzelnen Ergebnisse jedes Würfelns zu den beiden Ereignissen „eine $6$“ und „keine $6$“ zusammengefasst. Jede einzelne Augenzahl eines Würfelwurfs hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich $\frac{1}{6}$. Die Ergebnisse der Augenzahlen $1$, $2$, $3$, $4$ und $5$ ergeben zusammen das Ereignis „keine $6$“. Dessen Wahrscheinlichkeit ist daher $\frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} =\frac{5}{6}$.

    Im Baumdiagramm siehst du links den ersten Würfelwurf mit den beiden möglichen Ausgängen „eine $6$“ und „keine $6$“. Auf jeden der beiden möglichen Ausgänge folgen zwei mögliche Ausgänge des zweiten Würfelwurfes, nämlich wieder „eine $6$“ und „keine $6$“. Jeder Ast, der zu dem Ausgang „eine $6$“ gehört, trägt die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$, jeder Ausgang „keine $6$“ die Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{6}$.

    Die Gesamtergebnisse des zweimaligen Würfelwurfes werden durch die Pfade des Baumdiagramms repräsentiert. Die Wahrscheinlichkeit eines Gesamtergebnisses, also eines Pfades, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades. Daher hat der Pfad mit den Ausgängen „keine $6$“ und „keine $6$“ die Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$. Jeder Pfad mit „eine $6$“ und „keine $6$“ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{36}$. Der Pfad, auf dem zweimal „eine $6$“ vorkommt, hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

    Zur Probe kannst du noch die Wahrscheinlichkeiten aller Gesamtergebnisse addieren: $\frac{25}{36} + \frac{5}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{36} = \frac{36}{36} = 1$. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade eines Baumdiagramms muss nämlich immer $1$ ergeben.

  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Bei einem Baumdiagramm zum zweimaligen Würfeln mit den Ergebnissen „eine $6$“ und „keine $6$“ tragen die Äste die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{6}$ und $\frac{5}{6}$, das Gesamtergebnis „genau eine $6$“ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{36}$.

    Auf jeder Stufe ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die aus derselben Verzweigung hervorgehen, $1$.

    Jeder Pfad des Baumdiagramms repräsentiert ein Gesamtergebnis des Zufallsversuchs.

    Lösung

    Mit einem Baumdiagramm kannst du die Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsversuchs übersichtlich darstellen. Jede Stufe des Baumdiagramms entspricht einer Stufe des Zufallsversuchs. Die Äste der ersten Stufe entsprechen den Ergebnissen der ersten Stufe des Zufallsversuchs. Jeder Ast verzweigt sich beim Übergang zur nächsten Stufe des Zufallsversuchs. Die Anzahl der neuen Äste, die aus einer Verzweigung hervorgehen, entspricht der Anzahl der Ergebnisse der nächsten Stufe des Zufallsversuchs.

    Jedes Ergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs wird durch einen Pfad im Baumdiagramm dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, also aller Pfade, ist $1$. Ebenso ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die aus einer Verzweigung hervorgehen, stets $1$. Denn diese Äste entsprechen den Ergebnissen einer Stufe des Zufallsversuchs.

    So findest du folgende Sätze:

    • Die Anzahl der Äste auf der letzten Stufe eines Baumdiagramms... ist die Anzahl der Gesamtergebnisse des mehrstufigen Zufallsversuches.
    • Die Anzahl der Verzweigungen auf jeder Stufe eines Baumdiagramms... ist die Anzahl der Ergebnisse dieser Stufe des Zufallsversuchs.
    • Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades... ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.
    • Die Wahrscheinlichkeit eines Astes... addiert sich mit den Wahrscheinlichkeiten der anderen Äste, die aus derselben Verzweigung hervorgehen, zu $1$.
    • Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade eines Baumdiagramms... ist $1$.
  • Erschließe, bei welchen Darstellungen es sich um korrekte Baumdiagramme handelt.

    Tipps

    Das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades im Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit, die rechts neben dem Ende des Pfades steht.

    Die Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einer Verzweigung ausgehen, addieren sich zu $1$.

    Manchmal erfordert eine Aufgabenstellung nicht das komplette Baumdiagramm. In solch einem Fall, zeichnet man nur den Teil des Baumdiagramms, der für das Lösen der Aufgabe nötig ist. So ein Baumdiagramm heißt reduziertes Baumdiagramm.

    Lösung

    Bei einem Baumdiagramm stellen die Äste, die aus einer Verzweigung hervorgehen, die Ergebnisse eines Zufallsversuchs dar. Die Äste der ersten Stufe (ganz links im Baumdiagramm) entsprechen den Ergebnissen der ersten Stufe eines mehrstufigen Zufallsversuchs. Jeder Pfad stellt ein Gesamtergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs dar.

    Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die aus einer Verzweigung hervorgehen, ist stets $1$. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten aller Äste dieses Pfades. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade eines Baumdiagramms ist ebenfalls $1$.

    In den Bildern sind einige Wahrscheinlichkeiten inkonsistent. Entweder stimmt die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Äste aus einer Verzweigung nicht, oder das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Äste stimmt nicht mit der Wahrscheinlichkeit des Pfades überein.

    Folgende Bilder sind falsch bezeichnet:

    • Ein einstufiges Baumdiagramm trägt die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{4}$ an den Ästen. Aber $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12} \neq 1$.
    • Auf einem Bild siehst du von einem Baumdiagramm die erste Stufe mit den Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{3}$. Die zweite Stufe des Baumdiagramms trägt die analogen Bezeichnungen. Sie Gesamtergebnisse tragen die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{4}$ bzw. $\frac{1}{5}$ (jeweils zweimal). Die Summe der Wahrscheinlichkeiten jeder einzelnen Stufe ist falsch, denn $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq 1$. Außerdem sind die Wahrscheinlichkeiten der Pfade nicht das Produkt der Wahrscheinlichkeiten ihrer Äste, denn $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \neq \frac{1}{5}$.
    • Auf einem Bild siehst du einen Pfad aus einem Baumdiagramm mit den Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{6}$ und $\frac{1}{6}$ an den Ästen. Die Wahrscheinlichkeit des Pfades ist mit $\frac{2}{6}$ bezeichnet, die ist aber nicht dasselbe wie $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$.
  • Beschrifte das Diagramm.

    Tipps

    Das Diagramm im Bild sieht aus wie ein auf der Seite liegender Baum, darum heißt es...

    Ein Ereignis ist aus mehreren Ergebnissen zusammengesetzt.

    Ein Ergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs wird durch einen Pfad im Baumdiagramm dargestellt.

    Lösung

    Das Diagramm im Bild nennt man Baumdiagramm, weil es ein wenig wie ein auf der Seite liegender Baum aussieht. Jede Stufe von Verzweigungen stellt eine Stufe des Zufallsversuchs dar. Die einzelnen Striche, die die Verzweigungspunkte miteinander verbinden, heißen Äste des Baumdiagramms. Ein Weg, der auf jeder Stufe einen Ast enthält und von der Wurzel links bis zur Krone rechts führt, heißt Pfad des Baumdiagramms. Jeder Pfad repräsentiert ein Ergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs.

  • Prüfe die Aussagen.

    Tipps

    Bei einem mehrstufigen Zufallsversuchs ist die Anzahl der Gesamtergebnisse das Produkt der Anzahlen der Ergebnisse der einzelnen Stufen.

    Lösung

    Ein Baumdiagramm stellt einen mehrstufigen Zufallsversuch dar. Jeder Stufe des Zufallsversuchs entspricht eine Stufe des Baumdiagramms. Jeder Ast des Baumdiagramms entspricht einem Ergebnis einer Stufe des Zufallsversuchs. Jeder Pfad entspricht einem Gesamtergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einer Verzweigung ausgehen, ist $1$. Das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Äste eines Pfades ist die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades stets kleiner als jede Wahrscheinlichkeit eines Astes dieses Pfades. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade ist $1$. Die Anzahl der Pfade ist das Produkt der Anzahlen der Ergebnisse aller einzelnen Stufen des Zufallsversuchs.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Äste einer Stufe eines Baumdiagramms ist die Anzahl der Äste der vorhergehenden Stufe.“ An jeder Verzweigung addieren sich die Wahrscheinlichkeiten der neuen Äste zu $1$. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Äste einer Stufe ist daher die Anzahl der Äste der vorhergehenden Stufe.
    • „Die Anzahl der Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments ist das Produkt der Ergebnisanzahlen der einzelnen Stufen.“ Mit jeder neuen Stufe multipliziert sich die Anzahl der Gesamtergebnisse der vorhergehenden Stufe um den Faktor der Anzahl der Ergebnisse der neuen Stufe. Hat der Zufallsversuch auf jeder Stufe $2$ Ergebnisse, so ist die Anzahl der Gesamtergebnisse auf der ersten Stufe $2$, auf der zweiten Stufe $2 \cdot 2 = 4$, auf der dritten Stufe $4 \cdot 2 = 8$ usw.
    • „Die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Pfades ist kleiner als die Einzelwahrscheinlichkeiten längs des Pfades, wenn jede Einzelwahrscheinlichkeit größer $0$ und kleiner $1$ ist.“ Jede Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses liegt zwischen $0$ und $1$. Das Produkt zweier solcher Zahlen ist kleiner als jeder der Faktoren.
    • „Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Anzahl aller Pfade durch die Anzahl der Äste einer Verzweigung teilbar.“ Die Anzahl aller Pfade ist dasselbe wie die Anzahl der Gesamtergebnisse des Zufallsversuchs. Die Anzahl der Äste an einer Verzweigung ist die Anzahl der Ergebnisse einer Stufe des Zufallsversuchs. Diese Anzahl der Gesamtergebnisse ist daher das Produkt der Anzahlen der Ergebnisse der einzelnen Stufen. Sie ist deswegen durch die Anzahl der Äste einer Verzweigung teilbar.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Auf jeder Stufe eines Baumdiagramms nimmt die Anzahl der Äste um die Anzahl der Ergebnisse dieser Stufe zu.“ Stattdessen wird die Anzahl der Äste der vorigen Stufe jeweils mit der Anzahl der neuen Stufe multipliziert.
    • „Es gibt ein mehrstufiges Zufallsexperiment mit mehr als einer Stufe und $7$ Ergebnissen.“ Die Anzahl der Gesamtergebnisse ist das Produkt der Anzahlen der Ergebnisse aller einzelnen Stufen. $7$ ist aber nicht das Produkt anderer Zahlen, sondern eine Primzahl.
    • „Die Wahrscheinlichkeiten eines Pfades eines Zufallsexperiments ist der Kehrwert der Anzahl aller Pfade.“ Hat bei einem Zufallsexperiment jeder Pfad dieselbe Wahrscheinlichkeit, so stimmt die Aussage. Fasst man aber z. B. das Würfeln zu den beiden Ergebnissen „eine $6$“ und „keine $6$“ zusammen, so haben diese Äste jeweils die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{6}$ und $\frac{5}{6}$. Verschiedene Pfade im Baumdiagramm haben daher im Allgemeinen verschiedene Wahrscheinlichkeiten.