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Pfadregel und Summenregel

In dem Text geht es darum, wie man Baumdiagramme und Wahrscheinlichkeiten versteht. Es wird erklärt, wie man die Pfadregel und Summenregel auf Baumdiagramme anwendet, um Wahrscheinlichkeiten bei komplexen Zufallsexperimenten zu berechnen. Dabei lernt man wichtige Konzepte wie Elementarereignisse und Ereignisse kennen. Klingt spannend? Mehr dazu erfährst du im folgenden Text!

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Team Digital
Pfadregel und Summenregel
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Pfadregel und Summenregel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Pfadregel und Summenregel kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die Pfadregel und die Summenregel.

    Tipps

    Hier siehst du als Beispiel das Baumdiagramm eines zweifachen Münzwurfs.

    Der Begriff „Summenregel“ verrät dir, welche Rechenoperation hier angewendet wird.

    Lösung

    Wird ein Zufallsversuch mehrfach hintereinander ausgeführt, so nennen wir ihn mehrstufig.
    Mehrstufige Zufallsversuche können wir durch Baumdiagramme darstellen. Um die Wahrscheinlichkeiten von bestimmten Ereignissen zu ermitteln, können wir die Pfadregel und die Summenregel anwenden.

    Jeder Pfad in einem Baumdiagramm entspricht einem Ausgang des mehrstufigen Experiments. Die Wahrscheinlichkeit eines solchen Elementarereignisses erhalten wir nach der Pfadregel, indem wir alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren.

    Zu einem Ereignis können mehrere Ergebnisse gehören.
    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das mehrere Elementarereignisse umfasst, können wir mit der Summenregel bestimmen. Dazu addieren wir die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Lisa zwei unterschiedliche Teesorten zieht.

    Tipps

    Wähle zuerst alle Pfade aus, die zu dem Ergebnis „zwei verschiedene Teesorten“ führen.

    Wende dann die Pfadregel an:
    Die Pfadregel sagt aus, dass wir alle Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren, um die Wahrscheinlichkeit des entsprechenden Elementarereignisses zu berechnen.

    Lösung

    Es gibt zwei verschiedene mögliche Ergebnisse, bei denen Lisa zwei verschiedene Teesorten zieht:

    • Sie zieht zuerst Mango- und dann Kräutertee $(MK)$.
    • Sie zieht zuerst Kräuter- und dann Mangotee $(KM)$.

    Wir können die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ergebnisse berechnen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade entsprechend der Pfadregel multiplizieren:

    $P(MK) = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}$

    $P(KM) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}$

    Diese beiden Terme geben also Teilwahrscheinlichkeiten an, nicht aber die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „zwei verschiedene Teesorten“.

    Wir müssen die beiden Terme entsprechend der Summenregel addieren, um die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „zwei verschiedene Teesorten“ zu berechnen:

    $P(\text{unterschiedliche Teesorten}) = {\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}}$

    Dieser Term ist also richtig. Wir können die beiden Produkte noch berechnen und erhalten dann:

    $P(\text{unterschiedliche Teesorten}) = {\frac{3}{10} + \frac{3}{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

    Der Term $1 - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} $ entspricht der Wahrscheinlichkeit, höchstens einen Mangotee zu ziehen, und passt hier also nicht.

    Der Term $\frac{2}{5} + \frac{3}{4}$ entspringt weder der Pfadregel noch der Summenregel und ist daher falsch.

  • Stelle Terme für die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten auf.

    Tipps

    Suche dir für jedes Ereignis zunächst den oder die passenden Pfade.

    Wenn zu einem Ereignis mehrere Pfade gehören, dann musst du zum Schluss die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade entsprechend der Summenregel addieren.

    Lösung

    Zuerst suchen wir zu jedem Ereignis zuerst den oder die entsprechenden Pfade. Danach stellen wir den Term zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten entsprechend der Pfadregel und der Summenregel auf.

    Wir verwenden die folgenden Abkürzungen:

    • rot: $r$
    • blau: $b$

    Lea zieht erst eine rote und dann eine blaue Socke.
    Pfad: $rb$
    Anwendung der Pfadregel:
    $P(rb) = \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{4}{15}$

    Lea zieht zwei blaue Socken.
    Pfad: $bb$
    Anwendung der Pfadregel:
    $P(bb) = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{1}{3}$

    Lea zieht zwei gleichfarbige Socken.
    Pfade: $rr$ und $bb$
    Zuerst Anwendung der Pfadregel, dann der Summenregel:
    $P(rr, bb) =\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{7}{15}$

    Lea zieht mindestens eine rote Socke.
    Pfade: $rr$, $rb$ und $br$
    Zuerst Anwendung der Pfadregel, dann der Summenregel:
    $P(rr, rb, br) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9}+ \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{3}$

  • Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Merdan an genau einer Ampel warten muss.

    Tipps

    Überlege dir, welche Möglichkeiten es gibt, dass Merdan an genau einer Ampel warten muss: Es gehören zwei Ergebnisse dazu!

    Du kannst die Wahrscheinlichkeiten der beiden zugehörigen Pfade mit der Pfadregel berechnen und diese anschließend entsprechend der Summenregel addieren.

    Lösung

    Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit überlegen wir zuerst, welche Ergebnisse zu dem Ereignis „genau an einer Ampel warten“ gehören:

    • Merdan könnte an der ersten Ampel rot und an der zweiten grün haben: $(\text{R, G})$
    • Merdan könnte an der ersten Ampel grün haben und an der zweiten rot: $(\text{G, R})$

    Wir berechnen nun die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade entsprechend der Pfadregel:

    $P(\text{R, G}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}$
    $P(\text{G, R}) =\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}$

    Diese beiden Wahrscheinlichkeiten addieren wir jetzt entsprechend der Summenregel:

    $P(\text{genau einmal warten})= \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

  • Vervollständige das Baumdiagramm.

    Tipps

    Beispiel:

    Sind in einer Urne drei rote und zwei blaue Kugeln, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine rote Kugel zu ziehen, $\frac{3}{5}$. Denn es gibt insgesamt $5$ Kugeln, wovon $3$ rot sind.

    Achte darauf, dass in der zweiten Stufe nur noch vier Teebeutel in der Teebox sind, da Lisa dann einen schon herausgenommen hat.

    Lösung

    Wir betrachten das Baumdiagramm von links nach rechts:

    Es beginnt mit zwei Zweigen. Diese stehen für den ersten Zug von Lisa. Sie hat die beiden Möglichkeiten, entweder einen Beutel Mangotee oder einen Beutel Kräutertee zu ziehen:

    In der Box sind insgesamt $5$ Teebeutel. Davon sind $2$ Teebeutel Mangotee. Die Wahrscheinlichkeit für den Mangotee beträgt daher $\frac{2}{5}$.

    $3$ der $5$ Teebeutel sind Kräutertee. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt also $\frac{3}{5}$.

    Nun hat Lisa bereits einen Beutel aus der Box genommen. Es sind deshalb nur noch $4$ Teebeutel in der Box.

    Für den Fall, dass Lisa im ersten Zug einen Beutel Mangotee gezogen hat, sind jetzt noch $1$ Beutel Mangotee und $3$ Beutel Kräutertee in der Box. Die Wahrscheinlichkeit für Mangotee beträgt dann also $\frac{1}{4}$ und für Kräutertee $\frac{3}{4}$.

    Für den Fall, dass Lisa im ersten Zug einen Beutel Kräutertee gezogen hat, sind nun noch $2$ Beutel Mangotee und $2$ Beutel Kräutertee in der Box. Die Wahrscheinlichkeit für Mangotee beträgt dann also $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, ebenso für Kräutertee.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Karl mindestens eine blaue Kugel zieht.

    Tipps

    Es handelt sich hierbei um einen dreistufigen Zufallsversuch.

    Überlege dir zuerst, wie das Baumdiagramm zu diesem Versuch aussieht.

    Wähle alle Pfade aus, bei denen mindestens eine blaue Kugel vorkommt.

    Lösung

    Es handelt sich um einen dreistufigen Zufallsversuch. Wir erstellen das zugehörige Baumdiagramm und tragen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ein. Da es sich um das Ziehen ohne Zurücklegen handelt, müssen wir dabei beachten, dass nach dem ersten Zug nur noch $5$ und nach dem zweiten Zug nur noch $4$ Kugeln in der Schale sind.

    Zu dem Ereignis „mindestens eine blaue Kugel“ gehören die folgenden Ergebnisse: $bbb$, $bbr$, $brb$, $brr$, $rbb$, $rbr$ und $rrb$. Wollen wir die Pfadwahrscheinlichkeiten aller sieben Pfade berechnen und anschließend addieren, so ist dies sehr aufwändig. Wir können aber einen Trick anwenden:

    Es fällt auf, dass alle Ergebnisse enthalten sind außer das Ergebnis $rrr$, da drei rote Kugeln zu ziehen die einzige Möglichkeit ist, nicht mindestens eine blau Kugel zu erwischen.
    Weil die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten immer $1$ beträgt, können wir die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „mindestens eine blaue Kugel“ mit dem sogenannten Gegenereignis berechnen:

    $P(\text{mindestens einmal blau}) = 1 - P(rrr) = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{20} =\frac{19}{20} = 0,95 = 95~ \%$