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Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung

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Die Autor/-innen
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Annalenaz Sofatutor
Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung

In diesem Video zeige ich dir die Pfadregel des Baumdiagramms. Nach einer kurzen Wiederholung der Baumdiagramme wirst du anhand von Alltagsbeispielen die Pfadregel kennenlernen. Zwei Alltagsbeispiele erklären dir die Anwendungen genauer. Ich zeige dir, wie du mit der Pfadregel Wahrscheinlichkeiten eines Ergebnisses berechnen kannst. Eine kurze Zusammenfassung wird dir den nötigen Durchblick verschaffen. Viel Spaß dabei!

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Sehr gut erklärt danke

    Von Svenja Pataki, vor 5 Monaten
  2. Ich finde es gut,das du übungen gemacht hast :)

    Von Ali Ucar, vor mehr als 4 Jahren
  3. so geil !!!

    Von T Gloss, vor mehr als 5 Jahren
  4. Sehr schön erklärt. Kurzweilig und anschaulich, so muss es sein! Danke sehr.

    Von Bine123, vor mehr als 5 Jahren
  5. du hast das super erklärt danke :D

    Von Halima Hassan, vor etwa 7 Jahren

Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Baumdiagramme und Pfadregel – Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Pfadregel bei Baumdiagrammen.

    Tipps

    Wenn von zehn Personen sechs weiblich sind, also $60~\%$, und von diesen nochmals ein Drittel blonde Haare haben, wie viele sind das? Drück dies in Prozent aus und überprüfe die verschiedenen Möglichkeiten für die Pfadregel.

    Lösung

    Die Pfadregel bei Baumdiagrammen besagt:

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des mehrstufigen Zufallsexperiments wird berechnet, indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang der zugehörigen Pfade multipliziert.

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit zuerst ein Heidelbeer- und dann ein Erdbeerbonbon zu ziehen.

    Tipps

    Dies ist ein Zufallsexperiment ohne Zurücklegen. Die Heidelbeerbonbons sind blau und die Erdbeerbonbons sind rot. Welches Ergebnis ist gesucht?

    Verwende die Pfadregel:

    Entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt, werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.

    Runde das Prozentergebnis auf eine ganze Zahl auf.

    Lösung

    Das Ergebnis lautet $(b, r)$. Nun kann mit der Pfadregel die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses berechnet werden, indem die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert werden.

    Dies ist in dem nebenstehenden Bild zu erkennen.

    Es gilt also $P(b,r)=\frac58\cdot \frac37=\frac{15}{56}\approx 27~\%$.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse.

    Tipps

    Erstelle dir ein passendes Baumdiagramm.

    Es handelt sich hier um ein Zufallsexperiment mit Zurücklegen.

    Es wird unterschieden zwischen $(g,r)$ und $(r,g)$.

    Die Wahrscheinlichkeit, grün zu würfeln, beträgt $\frac46=\frac23$.

    Lösung

    Man könnte sich die verschiedenen Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten mit einem Baumdiagramm klarer machen.

    Es geht auch aber ohne ein Baumdiagramm:

    • Es gibt vier verschiedene Ergebnisse:
    • Es könnte $(g,g)$, $(g,r)$, $(r,g)$ oder $(r,r)$ gezogen werden.
    • Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit der Pfadregel als Produkt der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Experimente berechnen. Hierfür benötigt man $P(g)=\frac46=\frac23$ sowie $P( r)=\frac26=\frac13$:
    • $P(g,g)=\frac46 \cdot \frac46=\frac49=44,\bar4~\%$,
    • $P(g,r)=\frac46 \cdot \frac26=\frac29=22,\bar2~\%$,
    • $P(r,g)=\frac26 \cdot \frac46=\frac29=22,\bar2~\%$ und
    • $P(r,r)=\frac26 \cdot \frac26=\frac19=11,\bar1~\%$.

  • Ermittle die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme $8$ zu erzielen.

    Tipps

    Es handelt sich hier um ein Experiment mit Zurücklegen.

    Mache dir zunächst klar, welches Ergebnis zu der Augenzahl $8$ führt.

    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine $4$ zu würfeln?

    Lösung

    Das einzige Ergebnis, welches zu der Augensumme $8$ führt, ist das Paar $(4,4)$. Die Wahrscheinlichkeit eine $4$ zu würfeln, beträgt $\frac14$. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis $(4,4)$ mit der Pfadregel

    $P(4,4)=\frac14\cdot \frac14=\frac1{16}=0,0625=6,25~\%$.

    Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme $8$ zu erzielen, beträgt $6,25~\%$.

  • Beschreibe die Bedeutung eines Baumdiagramms.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeiten beim einmaligen Werfen eines Würfels sind für jede Augenzahl gleich, nämlich $\frac16$. Aber wie können die Wahrscheinlichkeiten berechnet werden, wenn

    • mit zwei Würfeln gespielt wird oder
    • ein Würfel mehrmals geworfen wird?

    Aus einer Urne mit vier roten und sechs blauen Kugeln werden zwei Kugeln gezogen. Wie können die verschiedenen Ergebnisse dargestellt werden?

    Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsexperimentes.

    Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ergebnisraumes.

    Lösung

    Ein Baumdiagramm ist eine graphische Darstellung eines mehrstufigen Zufallsexperimentes, in der mehrere einstufige Zufallsexperimente nacheinander aufgezeigt werden.

    Es kann zwischen Zufallsexperimenten mit und ohne Zurücklegen unterschieden werden.

    Ein Pfad führt zu einem Ergebnis des Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Experimente werden an die entsprechenden Pfade geschrieben.

  • Leite her, wie viele Schüler sich an der Schule befinden.

    Tipps

    Nach der Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit für einen frühstückenden Schüler: $55~\% \cdot 20~\%=11~\%$.

    Die $11~\%$ entsprechen $132$.

    Häufig werden in Aufgabenstellungen Anteile an einer Gesamtmenge als Beispiele für Wahrscheinlichkeiten verwendet.

    Lösung

    Sei $n$ die unbekannte Anzahl an Schülern an der Schule, so sind

    • $55~\%\cdot n$ die Anzahl der Schüler und
    • $55~\%\cdot 20~\%\cdot n$ die Anzahl der Schüler, die frühstücken.
    Diese $55~\% \cdot 20~\%$ ergeben sich nach der Pfadregel als Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.

    Dies führt zu der Gleichung:

    $55~\%\cdot 20~\%\cdot n=132$. Dies ist äquivalent zu $0,11\cdot n=132$. Durch Division durch $0,11$ erhält man $n=1200$.

    Es befinden sich also insgesamt $1200$ Schüler an der Schule.

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