Baumdiagramme und Pfadregel – Beispiele

Baumdiagramme und Pfadregel – Beispiele Übung

• Ergänze die Erklärung zu Baumdiagrammen sowie zur Pfadregel.

  Tipps

  Hier ist ein Baumdiagramm zu dem folgenden Zufallsexperiment zu sehen:

  Es wird aus einer Urne mit $5$ blauen und $3$ roten Kugeln zweimal ohne Zurücklegen gezogen.

  In dem obigen Baumdiagramm ist beispielhaft die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $(b,r)$ berechnet.

  Es gibt noch die Summenregel: Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet werden soll, werden die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu dem Ereignis gehören, addiert.

  Lösung

  Ein Baumdiagramm ist eine graphische Darstellung eines mehrstufigen Zufallsexperimentes, in der mehrere einstufige Zufallsexperimente nacheinander aufgezeigt werden.

  Einzelne Pfade führen zu den Ergebnissen des mehrstufigen Zufallsexperimentes. An den Pfaden stehen die Wahrscheinlichkeiten der einstufigen Zufallsexperimente.

  Die Wahrscheinlichkeiten werden nach der Pfadregel berechnet:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des mehrstufigen Zufallsexperimentes wird berechnet, indem man die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang der zugehörigen Pfade multipliziert.

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse.

  Tipps

  Hier ist das zugehörige Baumdiagramm zu sehen. Beachte, dass die Wahrscheinlichkeiten gleich bleiben.

  Schau dir den jeweiligen Pfad an, der zu einem Ergebnis führt.

  Um die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses zu berechnen, werden die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert.

  Zum Beispiel ist

  $P(r,b,b)=\frac14\cdot \frac34\cdot\frac34=\frac9{64}$.

  Lösung

  Hier ist das Baumdiagramm zu dem obigen Zufallsexperiment zu sehen: Da dies ein Experiment „mit Zurücklegen“ ist, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nicht. Diese sind

  • $P(r)=\frac14$ und
  • $P(b)=\frac34$.

  Diese Wahrscheinlichkeiten stehen entlang der Pfade, die zu den Ergebnissen führen. Wenn man diese Wahrscheinlichkeiten multipliziert, erhält man die Wahrscheinlichkeiten des Ergebnisses, zu dem der Pfad führt. Dies ist die Pfadregel.

  • $P(b,b,b)=\frac34\cdot \frac34\cdot \frac34=\frac{27}{64}$
  • $P(b,b,r)=\frac34\cdot \frac34\cdot \frac14=\frac{9}{64}$
  • $P(b,r,b)=\frac34\cdot \frac14\cdot \frac34=\frac{9}{64}$
  • $P(b,r,r)=\frac34\cdot \frac14\cdot \frac14=\frac{3}{64}$
  • $P(r,b,b)=\frac14\cdot \frac34\cdot \frac34=\frac{9}{64}$
  • $P(r,b,r)=\frac14\cdot \frac34\cdot \frac14=\frac{3}{64}$
  • $P(r,r,b)=\frac14\cdot \frac14\cdot \frac34=\frac{3}{64}$
  • $P(r,r,r)=\frac14\cdot \frac14\cdot \frac14=\frac{1}{64}$

• Gib die möglichen Ergebnisse sowie deren Wahrscheinlichkeiten an.

  Tipps

  Das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades ist gleich der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses am Ende dieses Pfades.

  Die erste Wahrscheinlichkeit gehört zu zwei Ergebnissen. Beide Eingaben sind korrekt.

  Betrachte die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

  Lösung

  Wie an dem Baumdiagramm zu erkennen ist, gibt es $8$ Ergebnisse, welche man zu der Ergebnismenge zusammenfassen kann:

  $\begin{align} \Omega = & \{(b,b,b);(b,b,r);(b,r,b);(b,r,r);\\ & (r,b,b);(r,b,r);(r,r,b);(r,r,r)\} \end{align}$

  Zu jedem dieser Ergebnisse erhält man die Wahrscheinlichkeit durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt:

  • $P(b,b,b)=\frac12\cdot \frac25\cdot \frac14=\frac1{20}$
  • $P(b,b,r)=\frac12\cdot \frac25\cdot \frac34=\frac3{20}$
  • $P(b,r,b)=\frac12\cdot \frac35\cdot \frac12=\frac3{20}$
  • $P(b,r,r)=\frac12\cdot \frac35\cdot \frac12=\frac3{20}$
  • $P(r,b,b)=\frac12\cdot \frac35\cdot \frac12=\frac3{20}$
  • $P(r,b,r)=\frac12\cdot \frac35\cdot \frac14=\frac3{20}$
  • $P(r,r,b)=\frac12\cdot \frac25\cdot \frac34=\frac3{20}$
  • $P(r,r,r)=\frac12\cdot \frac25\cdot \frac14=\frac1{20}$

• Entscheide, welches Baumdiagramm zu dem mehrstufigen Zufallsexperiment gehört.

  Tipps

  Da die Kugeln nicht zurückgelegt werden, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten.

  Damit kann ein Baumdiagramm direkt ausgeschlossen werden.

  Die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades, welcher zu einem Ergebnis führt, werden multipliziert.

  Dadurch erhält man die Wahrscheinlichkeit des betreffenden Ergebnisses.

  Die Pfadregel ist zweimal falsch angewendet worden.

  Lösung

  Die Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen einer blauen oder roten Kugel sind im ersten Zug gleich $P(r)=P(b)=0,5$.

  Da die Kugel nicht zurückgelegt wird, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von dem Ergebnis des ersten Zuges. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind in dem Baumdiagramm zu sehen.

  Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse ergeben sich durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.

  So ist

  • $P(b,b)=0,5\cdot 0,4=0,2$
  • $P(b,r)=0,5\cdot 0,6=0,3$
  • $P(r,b)=0,5\cdot 0,6=0,3$
  • $P(r,r)=0,5\cdot 0,4=0,2$

• Gib an, worauf du achten solltest, wenn du ein Baumdiagramm anfertigst.

  Tipps

  Wenn du aus dieser Urne zweimal ziehst und die Kugel jeweils wieder zurücklegst, sind $P(r)=P(b)=\frac12$.

  Wenn du aus dieser Urne zweimal ziehst und die Kugel nicht wieder zurücklegst, sind $P(r)=P(b)=\frac12$ beim ersten Zug. Im zweiten Zug gilt, zum Beispiel, wenn im ersten Zug eine rote Kugel gezogen wurde:

  • $P(r)=\frac25$ und
  • $P(b)=\frac35$.

  Hier siehst du ein Beispiel für die Pfadregel.

  Lösung

  Es sind ein paar Punkte beim Anfertigen eines Baumdiagrammes zu beachten:

  • Handelt es sich um ein Experiment mit oder ohne Zurücklegen? Bei Experimenten mit Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nicht. Bei Experimenten ohne Zurücklegen verändern sich die Wahrscheinlichkeiten nach der ersten Durchführung.
  • Ein großer Vorteil von Baumdiagrammen ist, dass man mit deren Hilfe sehr gut sicherstellen kann, alle Ergebnisse aufgeschrieben zu haben.
  • Jeder Pfad des Baumdiagrammes führt zu einem Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses wird nach der Pfadregel wie folgt berechnet: Es werden alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert.

• Wende die Pfadregel an, um die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse zu berechnen.

  Tipps

  Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der einzelnen Farben.

  Alle Wahrscheinlichkeiten haben drei Nachkommastellen.

  Es ist

  • $P(r)=P(g)=0,4$ und
  • $P(b)=0,2$.

  Zum Beispiel ist

  $P(g,b,g)=0,4\cdot0,2\cdot0,4=0,32$.

  Lösung

  Das Drehen eines Glücksrades ist ein Experiment mit Zurücklegen. Man kann dieses Experiment auch durch ein Urnenmodell nachstellen: In einer Urne befinden sich $2$ grüne, $2$ rote und $1$ blaue Kugel. Es wird dreimal mit Zurücklegen gezogen.

  Hier wäre es etwas aufwendig, den kompletten Baum zu zeichnen, da dieser $27$ Pfade hat, also $27=3^3$ verschiedene Ergebnisse.

  Auch ohne ein Baumdiagramm zu zeichnen, kann die Pfadregel angewendet werden. Damit ergibt sich

  • $P(r,r,r)=0,4\cdot 0,4\cdot 0,4=0,064$
  • $P(r,g,b)=0,4\cdot 0,4\cdot 0,2=0,032$
  • $P(b,b,r)=0,2\cdot 0,2\cdot 0,4=0,016$
  • $P(g,g,b)=0,4\cdot 0,4\cdot 0,2=0,032$