Mehrstufige Zufallsexperimente
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Grundlagen zum Thema Mehrstufige Zufallsexperimente
Einführung: mehrstufige Zufallsexperimente
Sicherlich hast du schon einmal an einem Glücksrad gedreht. Manchmal kann man dabei sogar Dinge gewinnen! Wenn du mehrmals an einem Glücksrad drehst und die Kombination der Ergebnisse für einen Gewinn entscheidend ist, so spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment oder einem mehrstufigen Zufallsversuch. Was das Glücksrad mit mehrstufigen Zufallsversuchen zu tun hat, wirst du später in diesem Text und am Ende des Videos erfahren.
Zufallsexperimente
Bei einem Zufallsexperiment sind alle möglichen Ausgänge bekannt. Außerdem ist der Versuch beliebig oft unter den gleichen Bedingungen wiederholbar.
Der Münzwurf ist ein Beispiel für ein Zufallsexperiment. Die möglichen Ausgänge sind Kopf ($K$) und Zahl ($Z$). Wir können daher die Ergebnismenge wie folgt notieren:
$E=\lbrace K; Z \rbrace$
Definition eines mehrstufigen Zufallsexperiments
Wir kennen nun Zufallsexperimente. Aber was ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment?
Wenn wir einen Zufallsversuch mehrfach durchführen und die Ergebnismengen der einzelnen Versuche zusammenfassen, so sprechen wir von einem mehrstufigen Zufallsexperiment.
Aufgaben zu mehrstufigen Zufallsexperimenten enthalten häufig das Formulieren der Ergebnismenge. Wir schauen uns dazu nun einige Beispiele an.
Beispiele zu mehrstufigen Zufallsexperimenten
Zweistufige Zufallsexperimente
Wenn wir eine Münze zweimal hintereinander werfen, so können wir die Ergebnismenge dieses zweistufigen Zufallsexperiments wie folgt aufschreiben:
$E=\lbrace (K;K); (K;Z); (Z;K); (Z;Z) \rbrace$
Die Ergebnismenge des zweistufigen Zufallsversuchs besteht aus Paaren. Es handelt sich hierbei um geordnete Paare, denn das Ergebnis $(K;Z)$ unterscheidet sich vom Ergebnis $(Z;K)$.
Wir können auch das zweifache Werfen eines Würfels als zweistufiges Zufallsexperiment auffassen. Die Ergebnismenge enthält dann $6\cdot 6=36$ Paare. Dabei kann jedes der sechs möglichen Ergebnisse des ersten Wurfs mit jedem der sechs möglichen Ergebnisse des zweiten Wurfs kombiniert werden.
Dreistufige Zufallsexperimente
Wenn wir eine Münze dreimal hintereinander werfen, so können wir die Ergebnismenge dieses dreistufigen Zufallsexperiments wie folgt aufschreiben:
$E=\lbrace (K;K;K); (K;K;Z); (K;Z;K); (Z;K;K); (Z;Z;K);$$ (Z;K;Z); (K;Z;Z;); (Z;Z;Z) \rbrace$
Die Ergebnismenge des dreistufigen Zufallsversuchs besteht aus sogenannten Tripeln. Auch hierbei ist die Reihenfolge zu beachten.
Wir können auch das dreifache Werfen eines Würfels als dreistufiges Zufallsexperiment auffassen. Die Ergebnismenge enthält dann $6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$ Tripel.
Zusammenfassung: mehrstufige Zufallsexperimente
Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste über die mehrstufigen Zufallsexperimente zusammen:
- Bei einem Zufallsexperiment sind alle möglichen Ausgänge bekannt und der Versuch ist beliebig oft wiederholbar.
- Wenn wir einen Zufallsversuch mehrmals durchführen und die Ergebnismengen der einzelnen Versuche zusammenfassen, so sprechen wir von einem mehrstufigen Zufallsexperiment.
- Wenn wir z. B. eine Münze zweimal hintereinander werfen, so können wir die Ergebnismenge dieses zweistufigen Zufallsexperiments wie folgt aufschreiben:
$E=\lbrace (K;K); (K;Z); (Z;K); (Z;Z) \rbrace$
Wenn du dies ausreichend geübt hast, kannst du lernen, wie man mehrstufige Zufallsexperimente durch ein Baumdiagramm veranschaulichen kann. Dann lernst du auch Wahrscheinlichkeitsrechnung zu mehrstufigen Zufallsexperimenten, indem du die Pfadregel und die Produktregel zu mehrstufigen Zufallsexperimenten kennenlernst.
Hier bei sofatutor findest du auch Arbeitsblätter und interaktive Übungen zum Thema mehrstufige Zufallsexperimente.
Häufig gestellte Fragen zum Thema mehrstufige Zufallsexperimente
Transkript Mehrstufige Zufallsexperimente
Der Münzwurf! Es ist der Klassiker unter den Zufallsversuchen. Nervenkitzel garantiert! Das ist dir nicht spannend genug? Naja, wie wär's dann mit einem MEHRFACHEN Münzwurf? Spaß beiseite, lass uns mal anschauen, was es mit "mehrstufigen Zufallsexperimenten" auf sich hat. Ganz kurz nochmal: Was ist überhaupt ein Zufallsexperiment? Damit wir von einem Zufallsexperiment, auch Zufallsversuch genannt, sprechen können, müssen folgende Eigenschaften gegeben sein: Alle möglichen Ergebnisse müssen vorab bekannt sein, das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden und es ist unter den gleichen Bedingungen wiederholbar. All diese Bedingungen erfüllt der Münzwurf! Wenn wir ein Zufallsexperiment, wie eben den Münzwurf, jetzt nicht nur einmal, sondern mehrmals hintereinander ausführen, wird aus dem einstufigen ein MEHRSTUFIGES Zufallsexperiment. Beim einmaligen Werfen einer Münze, erhalten wir entweder Kopf oder Zahl. Das ist dann auch schon unsere Ergebnismenge, die ALLE möglichen Ergebnisse umfasst – in diesem Fall eben nur zwei – und meist mit dem griechischen Buchstaben "Groß-Omega" abgekürzt wird. Wenn wir die Münze jetzt nochmal werfen, haben wir für den zweiten Wurf die gleiche Ergebnismenge! Was heißt das dann für die Ergebnismenge vom ZWEIfachen Münzwurf? Nun ja, wir müssen die möglichen Ergebnisse beider Ergebnismengen einfach kombinieren. Es gibt also die möglichen Ergebnisse "erst Kopf und dann nochmal Kopf", "Kopf und Zahl",.. "erst Zahl, dann Kopf" und "zweimal Zahl". Wir haben beim zweifachen Münzwurf also schon VIER mögliche Ergebnisse, zwischen denen wir unterscheiden. Jedes einzelne Ergebnis setzt sich jeweils aus zwei Ergebnissen der Einzeldurchführungen zusammen. Wir sprechen daher bei den Ergebnissen auch von "Tupeln". "Tupel" bedeutet in diesem Zusammenhang einfach, dass es sich um geordnete Paare handelt. Wir betrachten grundsätzlich also auch die REIHENFOLGE der Paare und unterscheiden das Ergebnis "Kopf, Zahl" von dem Ergebnis "Zahl, Kopf". Ein Mehrstufiges Zufallsexperiment kann aber natürlich auch aus mehr als nur zwei Versuchsdurchführungen bestehen. Wenn wir die Münze ein drittes Mal werfen, und die beiden möglichen Ergebnisse des dritten Wurfes mit den vier Ergebnissen des zweifachen Münzwurfes kombinieren, erhalten wir für den dreifachen Münzwurf schon ACHT mögliche Ergebnisse. Diese Ergebnisse setzen sich jetzt aus drei Einzelergebnissen zusammen – wir sprechen von "Dreier-Tupeln" oder auch von "Tripeln". Die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ergebnis liegt dann auch nicht mehr bei ein Halb beziehungsweise fünfzig Prozent, so wie es noch beim einmaligen Münzwurf war, sondern bei einem Achtel. Alle möglichen Ergebnisse sind nach wie vor so wahrscheinlich wie die anderen, aber da es jetzt nicht nur zwei, sondern acht gibt, ist jedes einzelne deutlich unwahrscheinlicher. Wenn wir genau hinschauen, sehen wir, dass sich einige Ergebnisse nur in der Reihenfolge unterscheiden. So gibt es zum Beispiel drei Ergebnisse, bei denen zweimal Kopf fällt. Diese Ergebnisse können dann zum Beispiel zu dem Ereignis "E: zweimal Kopf" zusammengefasst werden. Die Wahrscheinlichkeit von so einem Ereignis ist dann gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse. Es fällt außerdem auf, dass sich die Anzahl an Ergebnissen pro zusätzlicher Durchführung des Zufallsexperimentes verdoppelt hat. Das liegt daran, dass es beim Münzwurf pro Durchführung ZWEI Ergebnisse gibt. Aber das ist längst nicht bei jedem Zufallsexperiment so! Wenn wir zum Beispiel das Würfeln mit einem klassischen Spielwürfel betrachten, sieht das schon ganz anders aus! Bei einer Versuchsdurchführung haben wir dann SECHS mögliche Ergebnisse! Und wenn wir dann aus unserem einstufigen Zufallsexperiment ein zweistufiges Zufallsexperiment machen, verdoppelt sich die Anzahl der Ergebnisse nicht einfach. Da jedes Ergebnis aus dem ersten Wurf mit jedem Ergebnis aus dem zweiten Wurf kombiniert werden kann, haben wir beim zweifachen Würfeln schon sechs mal sechs, also SECHSUNDDREIẞIG verschiedene Ergebnisse! Würfeln wir anschließend nochmal, multiplizieren wir die Anzahl an Ergebnissen wieder mit sechs und landen insgesamt bei zweihundertsechzehn! Wie du siehst, bekommt man es da sehr schnell mit großen Zahlen zu tun! Wir fassen nochmal zusammen, was du dir zu "mehrstufigen Zufallsexperimenten" grundsätzlich merken solltest. Wenn wir Zufallsexperimente mehrmals ausführen, sprechen wir von MEHRSTUFIGEN Zufallsexperimenten. Mit jeder zusätzlichen Versuchsdurchführung wird die entsprechende Ergebnismenge größer, da grundsätzlich alle Ergebnisse einer Durchführung mit den möglichen Ergebnissen der anderen Durchführungen kombiniert werden können. Die Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperimentes sind dann n-Tupel, die sich aus n Einzelergebnissen der jeweiligen Durchführungen zusammensetzen. Wie du bei mehrstufigen Zufallsexperimenten dann ganz konkret Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst und wie dir dabei sogenannte "Baumdiagramme" helfen, siehst du in den weiteren Videos zu diesem Thema! Für den Moment lassen wir es aber erstmal gut sein. Am Ende muss sich ja auch nicht immer alles nur um Ergebnisse drehen!
Mehrstufige Zufallsexperimente Übung
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Beschreibe die Ergebnismenge beim mehrfachen Münzwurf.
TippsDie Ergebnismenge beim zweifachen Münzwurf beinhaltet Tupel, das sind geordnete Paare.
$(Z, Z, Z,K)$ ist ein Element einer Ergebnismenge eines vierstufigen Zufallsexperimentes.
LösungDer Münzwurf ist ein Zufallsexperiment, für das gilt:
- alle möglichen Ergebnisse sind bekannt
- das Ergebnis lässt sich nicht vorhersagen
- das Experiment ist unter den gleichen Bedingungen wiederholbar
Die möglichen Ergebnisse beim Münzwurf sind Kopf $(K)$ und Zahl $(Z)$. Die Ergebnismenge des einfachen Münzwurfes schreiben wir dann wie folgt:
$\Omega =\{K, Z\}$Wir können dieses Experiment einmal oder mehrfach durchführen. Wiederholen wir es mehrfach, so sprechen wir vom mehrstufigen Zufallsexperiment. Jede Wiederholung des Experimentes entspricht dann einer Stufe.
Wird die Münze zweimal geworfen, so lautet die Ergebnismenge des zweistufigen Zufallsexperimentes:
$\Omega = \{ (K, Z), (Z, Z), (K, K), (Z, K) \}$
Die Ergebnismenge beinhaltet in diesem Fall sogenannte Tupel, die wir in Klammern setzten.Wird die Münze dreimal geworfen, so lautet die Ergebnismenge des dreistufigen Zufallsexperimentes:
$\Omega = \{ (Z, Z, Z), (Z, Z, K), (Z, K, Z), (K, Z, Z), (K, K, Z), (K, Z, K), (Z, K, K), (K, K, K)\}$
Die Ergebnismenge besteht in diesem Fall aus sogenannten Tripeln. -
Gib an, welche Aussagen zu mehrstufigen Zufallsexperimenten richtig sind.
Tipps$(3,4)$ ist ein Tupel.
LösungWir sprechen in der Mathematik von einem Zufallsexperiment, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
- Alle möglichen Ergebnisse sind bekannt.
- Das Ergebnis lässt sich nicht vorhersagen.
- Das Experiment ist unter den gleichen Bedingungen wiederholbar.
Die Aussage „Bei einem Zufallsexperiment sind alle möglichen Ergebnisse bekannt.“ ist also richtig.Der Münzwurf ist ein Beispiel eines solchen Zufallsexperiments. Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments werden in der sogenannten Ergebnismenge $\Omega$ zusammengefasst. Die möglichen Ergebnisse beim Münzwurf sind Kopf $(K)$ und Zahl $(Z)$. Die Ergebnismenge des einfachen Münzwurfes lautet dann wie folgt:
$\Omega =\{(K, Z)\}$Die Aussage „Die Ergebnismenge gibt das eingetretene Ergebnis an.“ ist falsch, denn die Ergebnismenge $\Omega$ beinhaltet alle möglichen Ergebnisse, nicht nur das eingetretene Ergebnis.
Wiederholen wir ein Zufallsexperiment mehrfach, so sprechen wir vom mehrstufigen Zufallsexperiment. Wird die Münze beispielsweise zweimal geworfen, so enthält die Ergebnismenge geordnete Paare mit dem Ausgang des ersten und zweiten Wurfs, sogenannte Tupel.
Die Aussage „Ein Tupel ist ein geordnetes Paar.“ ist richtig.
Beim zweifachen Münzwurf ist ein mögliches Tupel $(K, Z)$. Es unterscheidet sich von dem Tupel $(Z, K)$.
Die Aussage „In der Ergebnismenge eines mehrstufigen Zufallsexperimentes berücksichtigen wir nicht die Reihenfolge der Einzelergebnisse.“ ist demnach falsch. Es wird sehr wohl zwischen Tupeln mit verschiedener Reihenfolge unterschieden.
Wird die Münze dreimal geworfen, so beinhaltet die Ergebnismenge sogenannte Tripel.
Die Aussage „Die Ergebnismenge eines dreistufigen Zufallsexperimentes beinhaltet Tripel.“ ist also richtig.
„Je höher die Anzahl der Stufen eines mehrstufigen Zufallsexperimentes sind, umso mehr Elemente sind in der Ergebnismenge enthalten.“ Diese Aussage ist ebenfalls richtig, da jeder Ausgang in der neuen Stufe mit allen Möglichkeiten der vorherigen Stufe kombiniert werden kann.
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Untersuche das mehrfache Ziehen aus einem Kartenspiel.
TippsUm die Anzahl der Tupel in der Ergebnismenge zu bestimmen, musst du jedes mögliche Ergebnis des ersten Zuges mit jedem möglichen Ergebnis des zweiten Zuges kombinieren.
Ist die Reihenfolge der gezogenen Karten nicht relevant, so können Ergebnisse zusammengefasst werden. Beispielsweise sind Karo-Kreuz und Kreuz-Karo dasselbe Ergebnis, wenn die Reihenfolge nicht mehr berücksichtigt wird.
LösungDas Ziehen einer Karte aus dem Stapel ist ein Zufallsexperiment, bei dem es $4$ mögliche Ausgänge gibt, nämlich Karo, Herz, Kreuz und Pik.
Wird das Zufallsexperiment zweimal hintereinander ausgeführt, so sind in der Ergebnismenge $16$ Tupel enthalten. Dabei müssen wir jeden der möglichen Ausgänge mit einem anderem Ausgang kombinieren. Das entspricht dann $4 \cdot 4=16$ geordneten Paaren, welche wir Tupel nennen.
$\Omega = \lbrace~$(Karo, Karo), (Karo, Herz), (Karo, Kreuz), (Karo, Pik), (Herz, Karo), (Herz, Herz), (Herz, Kreuz), (Herz, Pik), (Kreuz, Karo), (Kreuz, Herz), (Kreuz, Kreuz), (Kreuz, Pik), (Pik, Karo), (Pik, Herz), (Pik, Kreuz), (Pik, Pik)$~\rbrace$Ist die Reihenfolge der gezogenen Karten nicht relevant, so können Ergebnisse zusammengefasst werden. Beispielsweise sind Karo-Kreuz und Kreuz-Karo dasselbe Ergebnis, wenn die Reihenfolge nicht mehr berücksichtigt wird. Wir fassen die $12$ Tupel aus je zwei verschiedenen Karten zu $6$ Kombinationen ohne Reihenfolge zusammen:
Karo-Herz, Karo-Kreuz, Karo-Pik, Herz-Kreuz, Herz-Pik und Kreuz-Pik.
Hinzu kommen die vier Kombinationen mit zwei gleichen Karten:
Karo-Karo, Herz-Herz, Kreuz-Kreuz und Pik-Pik.
In diesem Fall unterscheiden wir also noch $10$ mögliche Ergebnisse.Wird das Zufallsexperiment dreimal hintereinander wiederholt, so sind in der Ergebnismenge $4 \cdot 4 \cdot 4 =64$ Tripel enthalten.
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Bestimme die Ergebnismenge beim wiederholten Drehen des Glücksrades.
TippsIn der Ergebnismenge dürfen nur die Farben auftauchen, die auch auf dem Glücksrad vorkommen.
LösungDas mehrfache Drehen eines Glücksrades ist ein Beispiel eines mehrstufigen Zufallsexperimentes. Um die Ergebnismenge eines solchen mehrstufigen Zufallsexperimentes zu ermitteln, müssen wir die möglichen Ergebnisse des einfachen Zufallsexperimentes (einmaliges Drehen des Glücksrades) miteinander kombinieren.
Wir betrachten die beschriebenen Experimente:
Ein Glücksrad mit den Farben rot, blau und gelb wird zweimal hintereinander gedreht.
Wir müssen die beiden Ergebnismengen $\Omega_1 = \{r,b,g \}$ und $\Omega_2 = \{r,b,g \}$ miteinander kombinieren. Dabei müssen wir die Reihenfolge beachten, denn es ist ein Unterschied, ob zuerst rot und dann gelb: $(r,g)$ oder zuerst gelb und dann rot: $(g,r)$ getroffen wurde. Es ergibt sich die folgende Ergebnismenge:
$\Omega = \{ (g,g), (g,r), (g,b), (r,r), (r,g), (r,b), (b,b), (b,r), (b,g) \}$Ein Glücksrad mit den Farben rot und blau wird zweimal hintereinander gedreht.
Wir müssen die beiden Ergebnismengen $\Omega_1 = \{r,b \}$ und $\Omega_2 = \{r,b \}$ miteinander kombinieren. Wir beachten wieder die Reihenfolge und erhalten die folgende Ergebnismenge mit $4$ Tupeln:
$\Omega = \{ (r,b), (b,r), (b,b), (r,r) \}$Ein Glücksrad mit den Farben rot und blau wird dreimal hintereinander gedreht.
Wir müssen drei gleiche Ergebnismengen $\Omega_1 = \{r,b \}$, $\Omega_2 = \{r,b \}$ und $\Omega_3 = \{r,b \}$ miteinander kombinieren. Dabei entstehen Tripel, da es sich um ein dreistufiges Zufallsexperiment handelt:
$\Omega = \{ (r,r,r), (r,r,b), (r,b,r), (b,r,r), (b,b,r), (b,r,b), (r,b,b), (b,b,b) \}$Ein Glücksrad mit den Farben rot und gelb wird dreimal hintereinander gedreht.
Wir bilden die Ergebnismenge wie oben, nur mit der Farbe gelb anstatt blau. Das heißt, wir kombinieren wieder drei Ergebnismengen $\Omega_1 = \{r,g \}$, $\Omega_2 = \{r,g \}$ und $\Omega_3 = \{r,g \}$ miteinander:
$\Omega = \{ (r,r,r), (r,r,g), (r,g,r), (g,r,r), (g,g,r), (g,r,g), (r,g,g), (g,g,g) \}$ -
Nenne zweistufige Zufallsexperimente.
TippsStelle dir die Zufallsexperimente in ihrer zeitlichen Abfolge vor. Du kannst die einzelnen Stufen immer nacheinander durchführen.
Beispiel:
Werden drei Münzen geworfen, so handelt es sich um ein dreistufiges Zufallsexperiment.
LösungEin Zufallsexperiment können wir einmal oder mehrfach durchführen. Wiederholen wir es mehrfach, so sprechen wir vom mehrstufigen Zufallsexperiment. Jede Wiederholung des Experimentes entspricht dann einer Stufe.
Wir betrachten damit die gegebenen Experimente:
Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen.
Das Experiment wird zweimal durchgeführt, es ist also zweistufig.Ein Glücksrad, welches rote und blaue Felder hat, wird dreimal hintereinander gedreht.
Das Experiment wird zweimal durchgeführt, es ist dreistufig und damit nicht zweistufig.Zwei Münzen werden geworfen.
Wir können uns vorstellen, dass die Münzen nacheinander geworfen werden. Das Experiment wird zweimal durchgeführt, es ist also zweistufig.Eine Münze wird viermal hintereinander geworfen.
Das Experiment wird viermal durchgeführt, es ist demnach vierstufig und nicht zweistufig. -
Beschreibe die Ergebnismenge eines mehrstufigen Zufallsexperiments.
TippsUm die richtigen Terme herzuleiten, kannst du dir jeweils ein Beispiel überlegen und dieses auf die allgemeinen Angaben übertragen.
Wird eine Münze viermal hintereinander geworfen, so enthält die Ergebnismenge $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ Ergebnisse. Bei den Ergebnissen handelt es sich um $4$-Tupel. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis beträgt $\dfrac{1}{16}$.
LösungWir wollen die Ergebnismenge bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment allgemein mit Variablen beschreiben. Um die richtigen Terme herzuleiten, betrachten wir jeweils zunächst ein Beispiel:
Beispiel: Eine Münze wird viermal hintereinander geworfen. Das Zufallsexperiment ist also vierstufig. Die Ergebnismenge enthält dann $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 = 16$ Ergebnisse. Bei den Ergebnissen handelt es sich um $4$-Tupel.
Allgemein gilt also: Wird ein Zufallsexperiment mit $a$ möglichen Ausgängen $b$ mal durchgeführt, so enthält die Ergebnismenge $a^b$ Elemente. Dies liegt daran, dass jedes Element einer Ergebnismenge mit $a$ Elementen $b$-mal mit jedem Element der gleichen Ergebnismenge kombiniert werden kann. Bei den Ergebnissen handelt es sich um $b$-Tupel, die für jede der $b$ Durchführungen einen Eintrag enthalten.Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis beim vierfachen Münzwurf beträgt $\dfrac{1}{16}$.
Allgemein gilt also: Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis beim $b$-stufigen Zufallsexperiment, bei dem alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind, kann als $P= \dfrac{1}{a^b}$ berechnet werden.Beispiel: Wird das Münzexperiment ein weiteres Mal durchgeführt (also insgesamt fünf mal), so vergrößert sich die Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge um den Faktor $2$ auf insgesamt $2^5=32$ Elemente.
Allgemein gilt also: Wird das Experiment ein weiteres Mal durchgeführt, so vergrößert sich die Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge um den Faktor $a$, da jedes Ergebnis der vorherigen Stufe erneut mit allen Ausgängen einer einfachen Durchführung kombiniert wird.
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