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Zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen 07:24 min

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Transkript Zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen

Niklas tritt seinen ersten Tag nach den Sommerferien in seiner neuen Schule an. Er ist hellauf von dieser einen Gang begeistert. Er muss unbedingt dazugehören. So käme er vor allem Jacky näher. Die drei spielen mal wieder Schere-Stein-Papier. Jeder, der dazugehören möchte, muss die Gang zweimal hintereinander in Schere-Stein-Papier schlagen! Das hat noch nie jemand geschafft! Aber jetzt ist Niklas da und er wird Geschichte schreiben! Sollte er sich da wirklich so sicher sein?! Um diese Frage zu beantworten, untersuchen wir dieses Zweistufige Zufallsexperiment mit Zurücklegen. Was darunter zu verstehen ist, schauen wir uns am Urnenmodell an. Dabei handelt sich um einen Versuch mit mehreren möglichen Ergebnissen, nämlich verschiedenen Kugeln. Im ersten Schritt wird zufällig eine Kugel aus der Urne gezogen - und das entsprechende Ergebnis notiert. Diese Kugel wird im Experiment -mit Zurücklegen- direkt nach dem Ziehen wieder in die Urne zurückgelegt. Und wir ziehen im zweistufigen Experiment zweimal. Alle zweistufigen Zufallsexperimente "mit Zurücklegen" können dazu analog betrachtet werden. - Ebenso unser Schere-Stein-Papier-Kampf. Die drei unterschiedlichen Kugeln entsprechen den drei möglichen Ausgängen vom Spiel, nämlich gewonnen, verloren und unentschieden. Die Urne entspricht dabei dem Spiel mit ungewissem Ausgang. Zweimaliges Ziehen mit Zurücklegen entspricht zwei Runden Schere-Stein-Papier. Und "mit Zurücklegen" heißt, dass jeder Spieler auch zweimal hintereinander gewinnen, verlieren oder unentschieden spielen kann. Nun erstellen wir für unser Zufallsexperiment ein Baumdiagramm. Im ersten Zug kann Niklas entweder gewinnen, verlieren oder Gleichstand erzielen - dafür wird jeweils ein Pfad gezeichnet. Jede dieser Möglichkeiten tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Drittel ein. Niklas hat das Ziel zweimal hintereinander zu gewinnen. Somit spielt es für ihn keine Rolle, ob er eine Niederlage oder einen Gleichstand erzielt - er hätte in beiden Fällen "nicht gewonnen". Deshalb fassen wir diese beiden Pfade zu einem Pfad zusammen unter dem Ergebnis nicht gewonnen. Solch ein zusammengefasstes Baumdiagramm nennt man reduziertes Baumdiagramm. Doch wie machen wir das mit den Wahrscheinlichkeiten? Für das Rechnen mit Pfadwahrscheinlichkeiten gibt es die sogenannten Pfadregeln - die eine besagt, dass beim Zusammenfassen zweier Pfade deren Pfadwahrscheinlichkeiten addiert werden. Somit resultiert der neue Pfad für das Ergebnis nicht gewonnen mit einer Pfadwahrscheinlichkeit von zwei Dritteln. Nun betrachten wir den zweiten Zug. Auch hier sind wieder je zwei Ergebnisse möglich, sodass wir insgesamt vier verschiedene Pfade erhalten. Nach zwei Zügen liegen drei mögliche Ausgänge vor: das zweimalige Gewinnen - und nur Dann wird Niklas in die Gang aufgenommen! Auf zwei Pfaden gibt es die Möglichkeit, einmal zu gewinnen und einmal "nicht zu gewinnen" - die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle - In beiden Fällen droht ihm ein allzu inniger Kuss und zwar mit dem Hund der Gang! Und dann gibts noch das zweimalige "Nicht-Gewinnen" - und somit der ewige Ausschluss von der Gang. Und wie wahrscheinlich sind diese Ausgänge nun? Hierzu ergänzen wir im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse im zweiten Schritt. Da es sich um ein Experiment -mit Zurücklegen- handelt, können wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse aus dem ersten Schritt jeweils wiederverwenden. Nach der ersten Pfadregel musst du nur alle Einzelwahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades miteinander multiplizieren und schon erhältst du die Wahrscheinlichkeit des gesamten Pfades. Und nach der zweiten Pfadregel kannst du mehrere Pfadwahrscheinlichkeiten addieren, um die Wahrscheinlichkeit dieser Pfade zusammen zu berechnen. - So haben wir anfangs schon die Ergebnisse "Unentschieden" und "Verloren" zu dem Ergebnis "Nicht gewonnen" zusammengefasst. Mit diesen beiden Regeln können wir nun die Wahrscheinlichkeiten für unsere drei Ereignisse berechnen. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Gang-Aufnahme" entspricht der Wahrscheinlichkeit des ersten Pfades und dieser Pfad hat nach der ersten Pfadregel eine Wahrscheinlichkeit von einem Drittel mal einem Drittel, also einem Neuntel. Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Hund küssen" schauen wir uns diese beiden entsprechenden Pfade an. Ob Niklas zuerst gewinnt - und dann verliert oder andersherum - ist hier nämlich egal! Nach der ersten Pfadregel rechnen wir ein Drittel mal zwei Drittel. Das ergibt zwei Neuntel. Dasselbe machen wir auch mit dem anderen Pfad. Zwei Drittel mal ein Drittel macht ebenfalls zwei Neuntel. Nach der zweiten Pfadregel addieren wir die beiden Pfadwahrscheinlichkeiten und erhalten für das Ereignis eine Gesamtwahrscheinlichkeit von "zwei Neuntel plus zwei Neuntel", also vier Neuntel. Die Wahrscheinlichkeit für das traurigste Ereignis - berechnen wir wieder mit der ersten Pfadregel. Wir rechnen also zwei Drittel mal zwei Drittel - und erhalten vier Neuntel. Fassen wir kurz zusammen: Ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen kannst du dir sehr gut durch ein Urnenmodell veranschaulichen. Alle möglichen Ausgänge kannst du in einem zweistufigen Baumdiagramm übersichtlich als Pfade darstellen. Im ersten Zug wird eine Kugel aus der Urne gezogen bei uns entweder die - oder die. Danach wird die gezogene Kugel wieder zurückgelegt, sodass es im zweiten Zug möglich ist, genau dieselbe Kugel wie zuvor zu ziehen. Genau so tragen wir alle Möglichkeiten ein. Die Wahrscheinlichkeit für jeden Pfad erhältst du durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades. Das ist die erste Pfadregel. Umfasst ein Ereignis mehrere Versuchsausgänge, so addierst du laut der zweiten Pfadregel die Wahrscheinlichkeiten aller betroffenen Pfade. Jetzt aber zurück zu Niklas! Wofür er sich wohl entscheidet? Whaaaat?! Leckerli für den Hund! So gehts natürlich auch.

2 Kommentare
  1. sehr gut

    Von Sarah Kari, vor 3 Monaten
  2. cool

    Von Bolaleon07, vor 4 Monaten

Zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige das gegebene reduzierte Baumdiagramm.

    Tipps

    Die Wahrscheinlichkeit für „nicht gewonnen“ berechnet Niklas aus den Wahrscheinlichkeiten für „unentschieden“ und „verloren“ mit Hilfe der zweiten Pfadregel.

    Die zweite Pfadregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade ist, die zu diesem Ereignis führen.

    Die Wahrscheinlichkeit des Pfades „gewonnen-gewonnen“ ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades. Du verwendest also die erste Pfadregel.

    Lösung

    Das Spiel Schere-Stein-Papier fasst Niklas als zweistufiges Zufallsexperiment mit den Ergebnissen „gewonnen“, „verloren“ und „unentschieden“ auf. Zwei Runden Schere-Stein-Papier sind dann ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen.

    In einem Baumdiagramm kann Niklas die verschiedenen Spielausgänge von zwei Runden Schere-Stein-Papier veranschaulichen. Jedes der Ergebnisse einer Runde, nämlich „gewonnen“, „verloren“ und „unentschieden“, hat eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{3}$.

    Um die Rechnungen zu vereinfachen, verwendet Niklas ein reduziertes Baumdiagramm. Denn ihn interessieren in jeder Runde nur die Ereignisse „gewonnen“ und „nicht gewonnen“. Das Ergebnis „gewonnen“ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$. Diesen Wert trägt Niklas in das reduzierte Baumdiagramm an die jeweils oberen Äste jeder Verzweigung ein.

    Das neue Ergebnis „nicht gewonnen“ im reduzierten Baumdiagramm setzt sich aus den Ergebnissen „verloren“ und „unentschieden“ im ursprünglichen Baumdiagramm zusammen. Nach der zweiten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit des neuen Ergebnisses „nicht gewonnen“ die Summe der Ergebnisse „verloren“ und „unentschieden“, also:

    • $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
    Diesen Wert trägt Niklas an die jeweils unteren Äste jeder Verzweigung in das Baumdiagramm ein. Das vollständige Baumdiagramm kannst du der Abbildung entnehmen.

    Niklas wird in die Gang aufgenommen, wenn er zwei Runden hintereinander gewinnt. Das Ereignis „Aufnahme in die Gang“ besteht daher genau aus dem Pfad „gewonnen-gewonnen“. Nach der ersten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit des Pfades das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades, also

    • $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Hundekuss“.

    Tipps

    Eine Runde Schere-Stein-Papier mit den möglichen Ergebissen „gewonnen“, „verloren“ und „unentschieden“ entspricht im Urnenmodell dem einmaligen Ziehen aus einer Urne mit drei unterschiedlichen Kugeln.

    Im Baumdiagramm werden die Wahrscheinlichkeiten längs der Pfade multipliziert und die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade addiert.

    Lösung

    Niklas fasst das Spiel Schere/Stein/Papier als zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen auf. Die Ergebnisse sind „verloren“, „gewonnen“ und „unentschieden“. Alle Ergebnisse haben dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich $\frac{1}{3}$.

    Nun fasst Niklas die Ergebnisse „verloren“ und „unentschieden“ zu dem Ereignis „nicht gewonnen“ zusammen. Nach der zweiten Pfadregel, angewendet auf das unreduzierte Baumdiagramm, hat „nicht gewonnen“ die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Die Äste im reduzierten Baumdiagramm entsprechen den Ereignissen „gewonnen“ mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$ und „nicht gewonnen“ mit Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{3}$. Die Wahrscheinlichkeiten der Äste sind also verschieden.

    Das Ereignis „Hundekuss“ besteht aus zwei Pfaden derselben Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnet Niklas mit der ersten Pfadregel. Dazu multipliziert er die Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades und kommt auf:

    $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$

    für jeden der beiden Pfade „gewonnen-nicht gewonnen“ und „nicht gewonnen-gewonnen“.

    Aus diesen Pfadwahrscheinlichkeiten berechnet Niklas die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Hundekuss“ mittels der zweiten Pfadregel, indem er die Pfadwahrscheinlichkeiten addiert. Der „Hundekuss“ hat also die Wahrscheinlichkeit:

    $\frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$.

  • Zeige die korrekten Pfadregeln auf.

    Tipps

    Die zweite Pfadregel verwendet Niklas, um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „nicht gewonnen“ auszurechnen: Diese Wahrscheinlichkeit ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse „verloren“ und „unentschieden“.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten längs des Pfades.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehreren Pfaden ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Pfade.

    Lösung

    Zunächst wiederholen wir die beiden Pfadregeln:

    Erste Pfadregel: „Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades entspricht dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten dieses Pfades."
    Zweite Pfadregel: „Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehreren Pfaden entspricht der Summe der jeweiligen Pfadwahrscheinlichkeiten.“

    Nun zu den Aussagen im Einzelnen:

    Falsch sind folgende Aussagen:

    • „Die Wahrscheinlichkeit des Pfades „nicht gewonnen-nicht gewonnen“ ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.“ Nach der ersten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.
    • „Das Ereignis, je eine Runde zu gewinnen und eine nicht zu gewinnen, besteht aus mehreren Pfaden. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten seiner Pfade.“ Nach der zweiten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit die Summe der einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten.
    • „Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehreren Pfaden ist kleiner als die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade.“ Nach der zweiten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehreren Pfaden die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade. Sind alle Einzelwahrscheinlichkeiten größer als $0$, so ist die Summe größer als jeder einzelne Summand.
    • „Der Pfad „nicht gewonnen-nicht gewonnen“ im reduzierten Baumdiagramm hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{4}{9}$. Im unreduzierten Baumdiagramm entspricht das einem Ereignis aus vier Pfaden. Nach der zweiten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit das Produkt der Pfadwahrscheinlichkeiten, also $\frac{1}{4}$.“ Im unreduzierten Baumdiagramm besteht das Ereignis tatsächlich aus vier Pfaden. Im unreduzierten Baumdiagramm haben alle Pfade dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich $\frac{1}{9}$. Nach der zweiten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten der Pfade. In diesem Falle ist das $\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$.
    Richtig sind folgende Aussagen:

    • „Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, eine Runde zu gewinnen und eine nicht zu gewinnen, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade „gewonnen-nicht gewonnen“ und „nicht gewonnen-gewonnen“.“ Dies ist eine korrekte Anwendung der zweiten Pfadregel.
    • „Längs eines jeden Pfades darf Niklas die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, um die Wahrscheinlichkeit des Pfades auszurechnen.“ Dies besagt gerade die erste Pfadregel.
    • „Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist kleiner als die Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.“ Nach der ersten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades. Sind alle vorkommenden Einzelwahrscheinlichkeiten größer als $0$ und kleiner als $1$, so ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten kleiner als die Einzelwahrscheinlichkeiten selbst.
  • Analysiere die Zufallsexperimente.

    Tipps

    Überlege, wie das Baumdiagramm für die Kinokartenverlosung aussieht.

    Übersetze die Zufallsexperimente ins Urnenmodell, um die Wahrscheinlichkeiten auszurechnen.

    Lösung

    Alle hier beschriebenen Situationen können als mehrstufige Zufallsexperimente aufgefasst werden. Dabei kommen sowohl Zufallsexperimente mit Zurücklegen als auch ohne Zurücklegen vor.

    Richtig beschrieben sind folgende Szenarien:

    • Die Ringe in Niklas' Fahrradschloss sind unabhängig voneinander. Jede Ziffer kann in dem nächsten Ring wieder vorkommen. Die Wahrscheinlichkeit, die Zahlenkombination mit einem Versuch richtig zu erraten, ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades in einem dreistufigen Baumdiagramm. An jeder Verzweigung hat das Baumdiagramm $10$ Äste. Auf der ersten Stufe sind es also $10$ Äste, auf der zweiten $100$ Äste und auf der dritten Stufe $1000$ Äste. Die Einzelwahrscheinlichkeit längs jedes Pfades betragen jeweils $\frac{1}{10}$. Nach der ersten Pfadregel beträgt die Wahrscheinlichkeit jedes Pfades daher:
    $\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{1000}$

    • Die Wahl einer Zeile und Spalte des Schachbretts ist ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen. Nummeriert man die Zeilen und Spalten von $1$ bis $8$, so handelt es sich im Urnenmodell um zweimaliges Ziehen mit Zurücklegen aus $8$ Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, das Schachbrettfeld richtig vorherzusagen, ist nach der ersten Pfadregel $\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{64}$.
    Falsch beschrieben sind folgende Szenarien:

    • Die Auslosung von zwei Kinogängern aus vier Gangmitgliedern ist ein Beispiel für Ziehen ohne Zurücklegen. Denn wer im ersten Losgang bereits eine Kinokarte bekommen hat, wird im zweiten Gang nicht mehr berücksichtigt. Schließlich geht niemand mit sich selbst zu zweit ins Kino. Für das Ziehen ohne Zurücklegen gelten andere Formeln als die hier verwendeten, daher ist die Aussage falsch.
    • Das Ziehen von zwei Karten aus dem Skatblatt ist ebenfalls ein Beispiel für Ziehen ohne Zurücklegen. Für das Ziehen ohne Zurücklegen gelten andere Formeln als die hier verwendeten, daher ist die Aussage falsch.
  • Bilde korrekte Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade ist $1$.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist nicht die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten längs des Pfades.

    Wahrscheinlichkeiten werden kleiner, wenn man sie multipliziert.

    Lösung

    Die erste Pfadregel besagt: „Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades entspricht dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten längs dieses Pfades." Die zweite Pfadregel lautet: „Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehreren Pfaden entspricht der Summe der jeweiligen Pfadwahrscheinlichkeiten.“

    Mittels der Pfadregeln finden wir folgende korrekten Aussagen:

    • „Ein Ereignis aus drei Pfaden der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{4}$.“ Es handelt sich um eine korrekte Anwendung der zweiten Pfadregel.
    • „Ein Pfad aus zwei Abschnitten mit Einzelwahrscheinlichkeiten $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{3}$ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$.“ Hier wurde die erste Pfadregel korrekt verwendet.
    • „Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist kleiner als die Einzelwahrscheinlichkeiten längs des Pfades.“ Nach der ersten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit des Pfades das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades. Das Produkt ist kleiner als die Faktoren, da die Einzelwahrscheinlichkeiten kleiner als $1$ sind.
    • „Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus mehreren Pfaden ist größer als die Wahrscheinlichkeiten seiner Pfade.“ Nach der zweiten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses die Summe seiner Pfadwahrscheinlichkeiten. Die Summe ist größer als die einzelnen Summanden, da jeder Summand größer als $0$ ist.
    • „Ein Ereignis aus vier Pfaden der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$ gibt es nicht.“ Nach der zweiten Pfadregel wäre die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses $\frac{4}{3} > 1$. Das ist unmöglich.
  • Anaysiere das zweistufige Zufallsexperiment.

    Tipps

    Eine Runde Schere-Stein-Papier geht unentschieden aus, wenn beide Spieler dasselbe Ergebnis gewählt haben.

    Bei dem Spiel gewinnt „Schere“ gegen „Papier“ sowie „Papier“ gegen „Stein“ und „Stein“ gegen „Schere“.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades mit Einzelwahrscheinlichkeiten $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{5}$ längs des Pfades beträgt $\frac{1}{20}$.

    Lösung

    In dem neuen Baumdiagramm sieht Niklas alle möglichen Ausgänge des zweistufigen Experiments Schere-Stein-Papier. Die erste Stufe entspricht Niklas, die zweite seinem Gegner.

    Niklas fasst die Pfade zu den Ereignissen „gewonnen“, „verloren“ und „unentschieden“ zusammen. Jedes Ereignis besteht aus drei Pfaden. Da alle Pfade dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, müssen auch die Ereignisse jeweils dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, nämlich $\frac{1}{3}$.

    Machen wir uns am Baumdiagramm klar, wie das zustande kommt: Das Ereignis „unentschieden“ besteht aus den Pfaden „Schere-Schere“, „Stein-Stein“ und „Papier-Papier“. Denn unentschieden ist eine Runde Schere-Stein-Papier, wenn beide Spieler dasselbe Ergebnis gewählt haben.

    Das Ereignis „gewonnen“ besteht aus den Pfaden „Schere-Papier“, „Papier-Stein“ und „Stein-Schere“. Denn die Schere schneidet Papier, das Papier wickelt den Stein ein und der Stein macht die Schere stumpf.

    Das Ereignis „verloren“ besteht schließlich aus den Pfaden „Schere-Stein“, „Stein-Papier“ und „Papier-Schere“. Denn das erste Wort steht immer für Niklas' Wahl.

    Jedes Ergebnis des einstufigen Experiments Schere-Stein-Papier hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich $\frac{1}{3}$. Die Ergebnisse des zweistufigen Experiments entsprechen den Pfaden im Baumdiagramm. Nach der ersten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten längs des Pfades. Im Fall von Schere-Stein-Papier hat jeder einzelne Pfad die folgende Wahrscheinlichkeit:

    • $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
    Jedes der Ereignisse „gewonnen“, „verloren“ und „unentschieden“ besteht aus drei Pfaden. Nach der zweiten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Pfade. Da jeder einzelne Pfad in dem Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{9}$ hat, kommt Niklas für jedes der Ereignisse „gewonnen“, „verloren“ und „unentschieden“ auf folgende Wahrscheinlichkeit:
    • $\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + = \frac{1}{3}$