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Zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen

Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen beschäftigen sich beispielsweise mit Spielen wie Schere, Stein, Papier. Ein Beispiel verdeutlicht, wie Wahrscheinlichkeiten durch Baumdiagramme berechnet werden. Mit den Regeln für Wege und Pfade kannst du die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse bestimmen. Interessiert? All dies und noch mehr findest du im folgenden Text!

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Was versteht man unter einem zweistufigen Zufallsexperiment mit Zurücklegen?

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Zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen
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Grundlagen zum Thema Zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen

Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen – Schere, Stein, Papier

Sicherlich kennst du das Spiel Schere, Stein, Papier. Dabei kannst du verschiedene Entscheidungen treffen und das Ergebnis ist zufällig. Wir können dieses Spiel auch mathematisch betrachten.

Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen – Beispiel

Wir betrachten im Folgenden als Beispiel das Spiel Schere, Stein, Papier. Wenn wir das Spiel zweimal spielen, ist das Zufallsexperiment zweistufig. Wenn du gegen deinen Kontrahenten antrittst, gibt es bei jedem Spieldurchlauf drei mögliche Ergebnisse: gewonnen, verloren oder unentschieden. Wir können dieses Beispiel mit einem Urnenexperiment vergleichen:
In unserer Urne befinden sich dann drei verschiedene Kugeln: Eine der Kugeln ist mit gg für gewonnen beschriftet, eine mit vv für verloren und die dritte mit uu für unentschieden. Wir ziehen nacheinander zweimal aus dieser Urne, wobei wir nach dem ersten Zug die Kugel wieder in die Urne zurücklegen. Da sich bei jeder Ziehung dieselben Kugeln in der Urne befinden, ist die Wahrscheinlichkeit bei beiden Durchführungen gleich. Wir sprechen von einem zweistufigen Zufallsexperiment mit Zurücklegen.

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Vorschaubild einer Übung

Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen – Baumdiagramm

Mehrstufige Zufallsexperimente können wir durch Baumdiagramme veranschaulichen. Dazu zeichnen wir für jedes mögliche Ergebnis eines Zuges einen Ast. An das Ende kommt ein sogenannter Knoten – hier notieren wir das entsprechende Ergebnis. Wir haben im ersten Schritt die Möglichkeit, zu gewinnen (gg), zu verlieren (vv) oder unentschieden zu spielen (uu). Jede dieser Möglichkeiten tritt mit der Wahrscheinlichkeit 13\dfrac{1}{3} ein.
Wenn es uns nur darauf ankommt, zu gewinnen, können wir die Äste verlieren und unentschieden zu dem Ergebnis nicht gewonnen (ngng) zusammenfassen. Ein solches Baumdiagramm nennen wir dann reduziertes Baumdiagramm. An die Äste notieren wir nun wieder die jeweilige Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses. Beim Zusammenfassen zweier Äste werden deren Wahrscheinlichkeiten addiert. An den zusammengefassten Ast für nicht gewonnen schreiben wir also die Wahrscheinlichkeit 23\dfrac{2}{3} und an den Ast für gewonnen 13\dfrac{1}{3}. Da es ein Zufallsexperiment mit Zurücklegen ist, sind die Wahrscheinlichkeiten in der ersten Stufe die gleichen wie in der zweiten. Das Baumdiagramm sieht dann wie folgt aus:

Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen lösen

Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten bei einem zweistufigen Zufallsexperiment mit Zurücklegen?

Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten eines zweistufigen Zufallsexperiments mit Zurücklegen wenden wir die Pfadregeln an:

Die erste Pfadregel lautet:

  • Das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfads entspricht der Gesamtwahrscheinlichkeit des ganzen Pfads.

Wir wenden die Regel auf unser Beispiel an: Wir wollen die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln, dass wir zweimal gewinnen. Dazu multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des im Bild markierten Pfads und erhalten:

P(g,g)=1313=19P(g,g) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}

Die zweite Pfadregel lautet:

  • Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das mehrere Pfade umfasst, entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten all dieser Pfade.

Wenn wir nun die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen wollen, dass wir genau einmal gewinnen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade (g,ng)(g, ng) und (ng,g)(ng, g) addieren. Es handelt sich dabei um die beiden mittleren Pfade.

P(1 x gewinnen)=P(g,ng)+P(ng,g)=1323+2313=29+29=49P(\text{1 x gewinnen}) = P(g, ng) + P(ng, g) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3}+ \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{9}

Zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen – Übungen

Jetzt weißt du, wie du zweistufige Zufallsexperimente mit Zurücklegen mit Baumdiagrammen darstellen kannst und mithilfe der Pfadregeln Wahrscheinlichkeiten dazu berechnen kannst.

Wenn du noch weitere Übungen zu zweistufigen Zufallsexperimenten mit Zurücklegen suchst, wirst du auf dieser Seite von sofatutor fündig. Hier gibt es außerdem Aufgaben und Lösungen zum zweistufigen Zufallsexperiment mit Zurücklegen.

Transkript Zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen

Niklas tritt seinen ersten Tag nach den Sommerferien in seiner neuen Schule an. Er ist hellauf von dieser einen Gang begeistert. Er muss unbedingt dazugehören. So käme er vor allem Jacky näher. Die drei spielen mal wieder Schere-Stein-Papier. Jeder, der dazugehören möchte, muss die Gang zweimal hintereinander in Schere-Stein-Papier schlagen! Das hat noch nie jemand geschafft! Aber jetzt ist Niklas da und er wird Geschichte schreiben! Sollte er sich da wirklich so sicher sein?! Um diese Frage zu beantworten, untersuchen wir dieses Zweistufige Zufallsexperiment mit Zurücklegen. Was darunter zu verstehen ist, schauen wir uns am Urnenmodell an. Dabei handelt sich um einen Versuch mit mehreren möglichen Ergebnissen, nämlich verschiedenen Kugeln. Im ersten Schritt wird zufällig eine Kugel aus der Urne gezogen - und das entsprechende Ergebnis notiert. Diese Kugel wird im Experiment -mit Zurücklegen- direkt nach dem Ziehen wieder in die Urne zurückgelegt. Und wir ziehen im zweistufigen Experiment zweimal. Alle zweistufigen Zufallsexperimente "mit Zurücklegen" können dazu analog betrachtet werden. - Ebenso unser Schere-Stein-Papier-Kampf. Die drei unterschiedlichen Kugeln entsprechen den drei möglichen Ausgängen vom Spiel, nämlich gewonnen, verloren und unentschieden. Die Urne entspricht dabei dem Spiel mit ungewissem Ausgang. Zweimaliges Ziehen mit Zurücklegen entspricht zwei Runden Schere-Stein-Papier. Und "mit Zurücklegen" heißt, dass jeder Spieler auch zweimal hintereinander gewinnen, verlieren oder unentschieden spielen kann. Nun erstellen wir für unser Zufallsexperiment ein Baumdiagramm. Im ersten Zug kann Niklas entweder gewinnen, verlieren oder Gleichstand erzielen - dafür wird jeweils ein Pfad gezeichnet. Jede dieser Möglichkeiten tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Drittel ein. Niklas hat das Ziel zweimal hintereinander zu gewinnen. Somit spielt es für ihn keine Rolle, ob er eine Niederlage oder einen Gleichstand erzielt - er hätte in beiden Fällen "nicht gewonnen". Deshalb fassen wir diese beiden Pfade zu einem Pfad zusammen unter dem Ergebnis nicht gewonnen. Solch ein zusammengefasstes Baumdiagramm nennt man reduziertes Baumdiagramm. Doch wie machen wir das mit den Wahrscheinlichkeiten? Für das Rechnen mit Pfadwahrscheinlichkeiten gibt es die sogenannten Pfadregeln - die eine besagt, dass beim Zusammenfassen zweier Pfade deren Pfadwahrscheinlichkeiten addiert werden. Somit resultiert der neue Pfad für das Ergebnis nicht gewonnen mit einer Pfadwahrscheinlichkeit von zwei Dritteln. Nun betrachten wir den zweiten Zug. Auch hier sind wieder je zwei Ergebnisse möglich, sodass wir insgesamt vier verschiedene Pfade erhalten. Nach zwei Zügen liegen drei mögliche Ausgänge vor: das zweimalige Gewinnen - und nur Dann wird Niklas in die Gang aufgenommen! Auf zwei Pfaden gibt es die Möglichkeit, einmal zu gewinnen und einmal "nicht zu gewinnen" - die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle - In beiden Fällen droht ihm ein allzu inniger Kuss und zwar mit dem Hund der Gang! Und dann gibts noch das zweimalige "Nicht-Gewinnen" - und somit der ewige Ausschluss von der Gang. Und wie wahrscheinlich sind diese Ausgänge nun? Hierzu ergänzen wir im Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse im zweiten Schritt. Da es sich um ein Experiment -mit Zurücklegen- handelt, können wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse aus dem ersten Schritt jeweils wiederverwenden. Nach der ersten Pfadregel musst du nur alle Einzelwahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades miteinander multiplizieren und schon erhältst du die Wahrscheinlichkeit des gesamten Pfades. Und nach der zweiten Pfadregel kannst du mehrere Pfadwahrscheinlichkeiten addieren, um die Wahrscheinlichkeit dieser Pfade zusammen zu berechnen. - So haben wir anfangs schon die Ergebnisse "Unentschieden" und "Verloren" zu dem Ergebnis "Nicht gewonnen" zusammengefasst. Mit diesen beiden Regeln können wir nun die Wahrscheinlichkeiten für unsere drei Ereignisse berechnen. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Gang-Aufnahme" entspricht der Wahrscheinlichkeit des ersten Pfades und dieser Pfad hat nach der ersten Pfadregel eine Wahrscheinlichkeit von einem Drittel mal einem Drittel, also einem Neuntel. Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Hund küssen" schauen wir uns diese beiden entsprechenden Pfade an. Ob Niklas zuerst gewinnt - und dann verliert oder andersherum - ist hier nämlich egal! Nach der ersten Pfadregel rechnen wir ein Drittel mal zwei Drittel. Das ergibt zwei Neuntel. Dasselbe machen wir auch mit dem anderen Pfad. Zwei Drittel mal ein Drittel macht ebenfalls zwei Neuntel. Nach der zweiten Pfadregel addieren wir die beiden Pfadwahrscheinlichkeiten und erhalten für das Ereignis eine Gesamtwahrscheinlichkeit von "zwei Neuntel plus zwei Neuntel", also vier Neuntel. Die Wahrscheinlichkeit für das traurigste Ereignis - berechnen wir wieder mit der ersten Pfadregel. Wir rechnen also zwei Drittel mal zwei Drittel - und erhalten vier Neuntel. Fassen wir kurz zusammen: Ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen kannst du dir sehr gut durch ein Urnenmodell veranschaulichen. Alle möglichen Ausgänge kannst du in einem zweistufigen Baumdiagramm übersichtlich als Pfade darstellen. Im ersten Zug wird eine Kugel aus der Urne gezogen bei uns entweder die - oder die. Danach wird die gezogene Kugel wieder zurückgelegt, sodass es im zweiten Zug möglich ist, genau dieselbe Kugel wie zuvor zu ziehen. Genau so tragen wir alle Möglichkeiten ein. Die Wahrscheinlichkeit für jeden Pfad erhältst du durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades. Das ist die erste Pfadregel. Umfasst ein Ereignis mehrere Versuchsausgänge, so addierst du laut der zweiten Pfadregel die Wahrscheinlichkeiten aller betroffenen Pfade. Jetzt aber zurück zu Niklas! Wofür er sich wohl entscheidet? Whaaaat?! Leckerli für den Hund! So gehts natürlich auch.

5 Kommentare
  1. yeah!!!! cool

    Von Jonah, vor mehr als 2 Jahren
  2. cool

    Von Yiren Y., vor mehr als 5 Jahren
  3. Cc

    Von Andreaillmann, vor mehr als 5 Jahren
  4. sehr gut

    Von Renata K., vor etwa 6 Jahren
  5. cool

    Von Bolaleon07, vor etwa 6 Jahren

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