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Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen

Erfahre, wie zweistufige Zufallsexperimente ohne Zurücklegen, wie die Auswahl von Personen für ein Doppelzimmer, modelliert werden. Inklusive Erläuterung des Urnenmodells und Baumdiagramms. Interessiert? Weitere Details und Übungen erwarten dich im Text! Fandest du diese Zusammenfassung hilfreich? Möchtest du weitere Informationen?

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Team Digital
Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Urnenmodell.

    Tipps

    Ergebnisse sind die verschiedenen möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments.

    Betrachtet man ein oder mehrere Ergebnisse, so nennt man das ein Ereignis.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Die verschiedenen Kugeln (meistens durch Farben gekennzeichnet), die gezogen werden können, heißen Ereignisse.
    Im Urnenmodell werden verschiedene Kugeln, die gezogen werden können, Ergebnisse genannt. Ergebnisse sind die verschiedenen möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments.
    • Betrachtet man während eines Experiments gezogene Kugeln, nennt man diese Ergebnisse.
    Betrachtet man bereits gezogene Kugeln, nennt man diese Ereignisse. Betrachtet man ein oder mehrere Ergebnisse, nennt man das ein Ereignis.

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Zufallsexperimente kann man immer ins Urnenmodell übersetzen.
    Eine Übersetzung ist oft hilfreich, da es das Problem veranschaulicht und die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten vereinfacht.
    • Beim Urnenmodell betrachtet man verschiedene Kugeln, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit aus einer Urne gezogen werden.
    • Bei einem Zufallsexperiment ohne Zurücklegen kann das Ergebnis des ersten Zuges im zweiten Zug nicht wieder auftauchen.
  • Berechne die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.

    Tipps

    In einem Baumdiagramm kann man die möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments übersichtlich darstellen.

    Hier handelt es sich um ein Zufallsexperiment ohne Zurücklegen. Das bedeutet, dass das Ergebnis der ersten Runde in der zweiten Runde nicht mehr vorkommen kann.

    Lösung

    Die Lücken werden wie folgt vervollständigt:

    • Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, stellt er das Problem in einem Baumdiagramm dar. Dabei hat jedes der möglichen Ergebnisse eine bestimmte Wahrscheinlichkeit. In der ersten Runde kann die Flasche mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf einen der drei Ritter zeigen. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses ist also $\frac{1}{3}$.
    In einem Baumdiagramm kann man die möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments übersichtlich darstellen.

    • In der zweiten Runde können jeweils die zuvor ausgewählten Ritter nicht mehr drankommen. Es gibt deshalb nur noch zwei gleich wahrscheinliche Auswahlmöglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses beträgt demnach $\frac{1}{2}$.
    Hier handelt es sich um ein Zufallsexperiment ohne Zurücklegen. Das bedeutet, dass das Ergebnis der ersten Runde in der zweiten Runde nicht mehr vorkommen kann.

    • Jetzt will Tristan die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass er und Fartolomae zusammen ausgewählt werden. Dazu muss er zuerst die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades ausrechnen. Er verwendet die erste Pfadregel. Sie besagt, dass er die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse entlang des Pfades multiplizieren muss. Hier haben alle Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich:
    • $P=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
    • In Tristans Fall gibt es zwei mögliche Pfade. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit dieser beiden Pfade berechnet er mit der zweiten Pfadregel. Sie besagt, dass er die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren muss. Die Wahrscheinlichkeit, dass Tristan und Fartolomae zusammen ausgewählt werden, beträgt:
    • $P(T,F)=\frac{1}{6} +\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
    Die zwei Pfade stellen die Reihenfolge der Auswahl dar. Es kann zuerst Tristan und dann Fartolomae oder zuerst Fartolomae und anschließend Tristan ausgewählt werden.

  • Wende die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten an.

    Tipps

    In der ersten Runde gibt es ingesamt $10$ Kugeln, davon sind $4$ rot. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit, in der ersten Runde eine rote Kugel zu ziehen, $\frac{4}{10}$.

    Achtung: In der zweiten Runde gibt es insgesamt nur noch $9$ Kugeln.

    Das Baumdiagramm dieses Zufallexperiments sieht so aus.

    Die Bezeichnung der Wahrscheinlichkeiten spiegelt die Reihenfolge der Ziehung wieder. Wird also zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel gezogen, nennt man die Wahrscheinlichkeit $P(\text{R},\text{B})$.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich folgendermaßen:

    Es gibt zwei Pfade, in denen eine rote und eine blaue Kugel gezogen wird. Martin kann zum Beispiel zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel ziehen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades beträgt:

    • $P(\text{R},\text{B})=\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9}=\frac{24}{90}$
    In der ersten Runde gibt es insgesamt $10$ Kugeln, davon sind $4$ rot. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit, in der ersten Runde eine rote Kugel zu ziehen, $\frac{4}{10}$. In der zweiten Runde gibt es insgesamt nur noch $9$ Kugeln, davon sind $6$ blau. Darum ist die Wahrscheinlichkeit, in der zweiten Runde eine blaue Kugel zu ziehen, $\frac{6}{9}$.

    Im anderen Pfad zieht Martin zuerst eine blaue und anschließend eine rote Kugel. Die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades beträgt:

    • $P(\text{B},\text{R})=\frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9}=\frac{24}{90}$
    In der ersten Runde gibt es insgesamt $10$ Kugeln, davon sind $6$ blau. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, in der ersten Runde eine blaue Kugel zu ziehen, $\frac{6}{10}$. In der zweiten Runde gibt es insgesamt nur noch $9$ Kugeln, davon sind $4$ rot. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit, in der zweiten Runde eine rote Kugel zu ziehen, $\frac{4}{9}$.

    Die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnet Martin, indem er die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade addiert:

    • $P(\text{Gesamt})=\frac{24}{90} +\frac{24}{90}=\frac{48}{90}=\frac{8}{15}$
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Achtung: In der zweiten Runde gibt es insgesamt eine Kugel weniger.

    Hier ist das Baumdiagramm dieses Experiments. Überlege dir die fehlenden Wahrscheinlichkeiten.

    Nachdem du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet hast, musst du den Bruch, falls möglich, kürzen.

    Beispiel:

    $\frac{24}{144}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$

    Lösung

    Um die Wahrscheinlichkeiten der Pfade zu bestimmen, solltest du zuerst ein Baumdiagramm zeichnen. Daraus kannst du die Wahrscheinlichkeiten der Pfade berechnen. Die erste Wahrscheinlichkeit $P(\text{R},\text{G})$ berechnet sich folgendermaßen:

    $P(\text{R},\text{G})=\frac{3}{12} \cdot \frac{4}{11}=\frac{12}{132}$

    $P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})$ berechnet sich aus der Summe von $P(\text{B},\text{R})$ und $P(\text{R},\text{B})$:

    $P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})= \frac{15}{132}+\frac{15}{132}=\frac{30}{132}$

    Die Wahrscheinlichkeiten der anderen Pfade kannst du genauso bestimmen. Damit folgt:

    • $P(\text{R},\text{G})=\frac{12}{132}=\frac{1}{11}$
    • $P(\text{R},\text{R})= \frac{6}{132}=\frac{1}{22}$
    • $P(\text{B},\text{B})= \frac{20}{132}=\frac{5}{33}$
    • $P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})= \frac{30}{132}=\frac{5}{22}$
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Baumdiagrammen.

    Tipps

    Jeder Pfad hat eine Pfadwahrscheinlichkeit, die sich aus den Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse entlang des Pfades berechnet.

    Wendet man die zweite Pfadregel an, dann addiert man Wahrscheinlichkeiten.

    Lösung

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Will man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnen, muss man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren.
    • Die Pfadwahrscheinlichkeit berechnet sich aus den Einzelwahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
    Um die Wahrscheinlichkeit eines Pfades (Pfadwahrscheinlichkeit) zu bestimmen, nutzt man die erste Pfadregel. Diese besagt, dass man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren muss.
    • Um die gesamte Wahrscheinlichkeit mehrerer Pfade zu bestimmen, muss man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren.
    Die zweite Pfadregel wird zum Bestimmen der Gesamtwahrscheinlichkeit mehrerer Pfade genutzt. Sie besagt, dass man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren muss.

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Will man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnen, muss man die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse entlang des Pfades addieren.
    • In einem Baumdiagramm zeichnet man Pfade, die mehrere Pfadwahrscheinlichkeiten besitzen.
    Jeder Pfad hat nur eine Pfadwahrscheinlichkeit, die sich aus den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse entlang des Pfades berechnet.
  • Erarbeite, wie man Wahrscheinlichkeiten mit dem Gegenereignis bestimmt.

    Tipps

    Das Baumdiagramm dieses Zufallsexperiments sieht so aus.

    Lösung

    Der Lückentext wird so ausgefüllt:

    Um die Wahrscheinlichkeit $P(\text{A})$ zu bestimmen, muss Roland drei Pfade addieren.
    Auf dem ersten Pfad $P(\text{R},\text{B})$ zieht er zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel.
    Auf dem zweiten Pfad $P(\text{B},\text{R})$ zieht er zuerst eine blaue und anschließend eine rote Kugel.
    Und auf dem dritten Pfad $P(\text{R},\text{R})$ zieht er zwei rote.

    Die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade berechnet Roland mit der ersten Pfadregel:

    • $P(\text{R},\text{B})=\frac{24}{90}$
    • $P(\text{B},\text{R})=\frac{24}{90}$
    • $P(\text{R},\text{R})=\frac{12}{90}$
    Die Gesamtwahrscheinlichkeit bestimmt er mit der zweiten Pfadregel:

    • $P(\text{A})=P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})+P(\text{R},\text{R})=\frac{24}{90}+\frac{24}{90}+\frac{12}{90}=\frac{60}{90}=\frac{2}{3}$
    Die gesamte Wahrscheinlichkeit aller Pfade muss immer eins ergeben! Das ist bei allen Zufallsexperimenten der Fall:

    • $P(\text{B},\text{B})+P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})+P(\text{R},\text{R})=1$
    Umgeformt ergibt das:

    • $P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})+P(\text{R},\text{R})=1- P(\text{B},\text{B})$
    In der Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt:

    • $P(\text{A})=1-P(\bar{\text{A}})$
    Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\text{A}$ ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\bar{\text{A}}$. Das Gegenereignis $\bar{\text{A}}$ enthält dabei alle Ereignisse, die nicht in $\text{A}$ enthalten sind.

    Auf diese Weise kann Roland die Wahrscheinlichkeit ebenfalls berechnen:

    • $P(\text{A})=1-P(\text{B},\text{B})=1-\frac{30}{90}= \frac{60}{90}=\frac{2}{3}$
    Man nennt diese Art der Rechnung auch Rechnen mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Sie ist hilfreich, wenn man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnen will, zu dem mehr als die Hälfte der Pfade gehören.