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Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen 06:40 min

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Transkript Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen

Nach einem langen Feldzug suchen die drei tapferen Ritter Tristan, Fartolomæ und Arthus eine bequeme Burg als Nachtquartier. Leider hat der Burgherr nur noch ein Einzelzimmer frei! Und, die unter frisch Vermählten sehr beliebte Honeymoon-Suite. Welche beiden Ritter müssen sich jetzt die Suite teilen? Um das zu bestimmen, wird Flaschendrehen gespielt. Tristan hofft natürlich, dass die Flasche nicht auf ihn zeigen wird und er das Einzelzimmer für sich bekommt. Aber wenn schon, dann möchte er wenigstens mit Arthus in die Honeymoon-Suite! Nur nicht mit dem anrüchigen Fartolomæ! Wie wahrscheinlich das ist, können wir ausrechnen! Denn dieses Flaschendrehen ist ein zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen! Was heißt das genau? Zufallsexperimente kannst du immer ins Urnenmodell übersetzen. Dabei steht jede Kugelart (zum Beispiel "rote Kugel") für ein mögliches Ergebnis. Bei einem zweistufigen Experiment fragt man sich dann nach der Wahrscheinlichkeit, zwei bestimmte Kugeln zu ziehen. Betrachtet man die während des Experiments gezogenen Kugeln, so spricht an von einem Ereignis. Wenn man die gezogene Kugel nicht wieder zurücklegt, nennt man das: ein "Zufallsexperiment ohne Zurücklegen". Das heißt insbesondere, dass das Ergebnis des ersten Zugs im zweiten Zug nicht wieder auftauchen kann. Wie entspricht das ritterliche Flaschendrehen dem Urnenmodell? Unsere drei Ritter stehen für drei verschiedene Kugeln. Das Drehen der Flasche, können wir mit dem Ziehen einer Kugel aus der Urne identifizieren. Dass jeder Ritter nur einmal ausgewählt werden kann, entspricht einem Ziehen ohne Zurücklegen. Die beiden per Flasche ausgewählten Ritter, die sich die Honeymoon-Suite teilen müssen, entsprechen den zwei gezogenen Kugeln. Übrigens spielt die Reihenfolge, hier keine Rolle – ob zuerst Tristan und dann Arthus ausgewählt werden oder erst Arthus und dann Tristan, ist egal. Denn so oder so müssten sich diese beiden die Suite teilen. Um ein mehrstufiges Zufallsexperiment zu beschreiben, benutzt man Baumdiagramme. Dabei zeichnet man von einem gemeinsamen Startpunkt aus Pfade, die zu den einzelnen Ergebnissen führen. Die Ergebnisse lauten hier: "Arthus-...", "Fartolomæ-..." oder... "Tristan-wird-ausgewählt". Die Ergebnisse nennt man im Baumdiagramm Knoten. Zu jedem Pfad gehört eine Pfadwahrscheinlichkeit. Sie berechnet sich immer aus den Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnissee entlang des Pfades. Beim Flaschendrehen kann jeder der drei Ritter mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden. Deshalb ist ein Drittel die Wahrscheinlichkeit der drei möglichen Ergebnisse beim ersten Drehen. In der zweiten Runde ist es dann nicht mehr ganz so einfach: Je nachdem, welcher Ritter zuerst ausgewählt wurde, können nur noch die beiden anderen drankommen. Flaschendrehen ist aber immer noch fair: also beträgt die Wahrscheinlichkeit für jeden der beiden übrigen Ritter Einhalb. Mit der sogenannten ersten Pfadregel, bestimmt man die Pfadwahrscheinlichkeit, entlang eines Pfades. Dafür berechnet man das Produkt, der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Zum Beispiel ist die Pfadwahrscheinlichkeit dieses Pfades gleich 'ein Drittel' mal 'ein Halb', also 'ein Sechstel'. Weil entlang aller Pfade die einzelnen Wahrscheinlichkeiten genau gleich sind, ist die Pfadwahrscheinlichkeit aller Pfade ein Sechstel. Wie groß ist denn nun die Wahrscheinlichkeit, dass Tristan nicht ausgewählt wird, und ins Einzelzimmer kommt? Das bedeutet ja, dass Arthus und Fartolomæ beim Flaschendrehen ausgewählt und sich die Honeymoon-Suite teilen. Findest du die entsprechenden Pfade im Baumdiagramm? Es sind dieser und dieser hier. Das sind nämlich die beiden einzigen Pfade, auf denen Tristan nicht als Ergebnis vorkommt. Wir wissen schon, dass die Pfadwahrscheinlichkeit jedes einzelnen dieser Pfade ein Sechstel beträgt. Aber wie berechnen wir die Wahrscheinlichkeit der beiden Pfade zusammen?Hierfür verwenden wir die zweite Pfadregel. Die lautet: Will man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bestimmen, das aus mehreren Pfaden besteht, so addiert man alle zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten. Demnach müssen wir für die Wahrscheinlichkeit, dass Tristan ins Einzelzimmer darf, also diese und diese Pfadwahrscheinlichkeit addieren. Mit den richtigen Werten erhalten wir 'zwei Sechstel' oder gekürzt 'ein Drittel'. Das ist nicht besonders wahrscheinlich – wie sieht es denn mit den anderen Möglichkeiten aus? Der schlimmste Fall wäre natürlich, dass Tristan mit Fartolomæ aufs Zimmer muss. Dieses Ereignis setzt sich aus diesen beiden Pfaden zusammen – es müssen nämlich sowohl Tristan, als auch Fartolomæ als Ergebnisse auf dem Pfad liegen. Wieder benutzen wir die beiden Pfadregeln, um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen. Erst entlang jedes Pfades multiplizieren dann die beiden Pfadwahrscheinlichkeiten addieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass Tristan mit Fartolomæ in die Honeymoon-Suite muss, beträgt wieder ein Drittel – das ist also genauso wahrscheinlich wie, dass er auf das Einzelzimmer darf! Wohlan, ihr Ritter!Die Flasche dreht sich, es gibt kein Zurück mehr Zeit für die Zusammenfassung. Kommst du bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment einmal nicht weiter - übersetzt du es dir am besten ins Urnenmodell. Dabei musst du dir natürlich immer klar machen, was in deiner Aufgabe die Rolle der Kugeln spielt. Das sind dann die ergebnisse in deinem Zufallsexperiment. Ein zweistufiges Ziehen ohne Zurücklegen sieht so aus. Gezogene Kugelkombinationen können zu Ereignissen zusammengefasst werden. Um davon die Wahrscheinlichkeit bestimmen zu können, benutzt man ein Baumdiagramm. Auf dem trägt man für jeden Zug die möglichen Ergebnisse als Knoten ein und verbindet die einzelnen Knoten zu Pfaden. An jeden Pfad schreibst du vor jeden Knoten einzeln, die zugehörige Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnest du dann mit den beiden Pfadregeln. Dazu identifizierst du alle Pfade, auf denen die zugehörigen Knoten vorkommen. Dann berechnest du die Pfadwahrscheinlichkeiten, indem du jeweils, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst. Wenn mehrere Pfade zu deinem Ereignis gehören, addierst du anschließend noch alle Pfadwahrscheinlichkeiten. Jetzt aber zu unseren müden Rittern. Die Entscheidung fällt auf Tristan. Das Einzelzimmer wird es also schonmal nicht – jetzt nur nicht mit Fartolomæ in die Suite war klar. Sehen wir doch mal nach, wie es den beiden in ihrer Honeymoon-Suite ergeht. Was ist denn da los? Womöglich hat Tristan hier noch den Luxus des Wirlpools entdeckt. - Welch Wohltat!

3 Kommentare
  1. wieso so komplizierte namen? :) aber sonst gut ;D

    Von Sarah Kari, vor etwa 2 Monaten
  2. Da ist noch eine weitere Frage zu Nummer 4 aufgekommen. Wieso steht in der Lösung für P(B,R) und (R,B) 15/132 + 15/132. Das macht für mich keinen Sinn, weil sich doch die Anzahl der Kugel senkt wenn ich eine heraus nehme.
    Ich habe gerechnet 15/132 + 8/90.

    Von Ingridschweizer, vor 5 Monaten
  3. Hi. Kann mir jemand verraten warum da in Aufgabe 4 steht: "P(R,G) bedeutet zum Beispiel das erst eine rote und dann eine blaue Kugel gezogen wurde." Wieso steht da ein G und kein B für blau?

    Von Ingridschweizer, vor 5 Monaten

Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zweistufiges Zufallsexperiment ohne Zurücklegen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Urnenmodell.

    Tipps

    Ergebnisse sind die verschiedenen möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments.

    Betrachtet man ein oder mehrere Ergebnisse, so nennt man das ein Ereignis.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Die verschiedenen Kugeln (meistens durch Farben gekennzeichnet), die gezogen werden können, heißen Ereignisse.
    Im Urnenmodell werden verschiedene Kugeln, die gezogen werden können, Ergebnisse genannt. Ergebnisse sind die verschiedenen möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments.

    • Betrachtet man während eines Experiments gezogene Kugeln, nennt man diese Ergebnisse.
    Betrachtet man bereits gezogene Kugeln, so nennt man diese Ereignisse. Betrachtet man ein oder mehrere Ergebnisse, so nennt man das ein Ereignis.

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Zufallsexperimente kann man immer ins Urnenmodell übersetzen.
    Eine Übersetzung ist oft hilfreich, da es das Problem veranschaulicht und die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten vereinfacht.

    • Beim Urnenmodell betrachtet man verschiedene Kugeln, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit aus einer Urne gezogen werden.
    • Bei einem Zufallsexperiment ohne Zurücklegen, kann das Ergebnis des ersten Zugs im zweiten Zug nicht wieder auftauchen.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Baumdiagrammen.

    Tipps

    Jeder Pfad hat eine Pfadwahrscheinlichkeit, die sich aus den Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse entlang des Pfades berechnet.

    Wendet man die zweite Pfadregel an, dann addiert man Wahrscheinlichkeiten.

    Lösung

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Will man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnen, muss man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren.
    • Die Pfadwahrscheinlichkeit berechnet sich aus den Einzelwahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
    Um die Wahrscheinlichkeit eines Pfades (oder Pfadwahrscheinlichkeit) zu bestimmen, nutzt man die erste Pfadregel. Diese besagt, dass man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren muss.

    • Um die gesamte Wahrscheinlichkeit mehrerer Pfade zu bestimmen, muss man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren.
    Die zweite Pfadregel wird zum Bestimmen der Gesamtwahrscheinlichkeit mehrerer Pfade genutzt. Sie besagt, dass man die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren muss.

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Will man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades berechnen, muss man die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse entlang des Pfades addieren.
    • In einem Baumdiagramm zeichnet man Pfade, die mehrere Pfadwahrscheinlichkeiten besitzen.
    Jeder Pfad hat nur eine Pfadwahrscheinlichkeit, die sich aus den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse entlang des Pfades berechnet.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.

    Tipps

    In einem Baumdiagramm kann man die möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments übersichtlich darstellen.

    Hier handelt es sich um ein Zufallsexperiment ohne Zurücklegen. Das bedeutet, dass ein Ergebnis, das in der ersten Runde ausgewählt wurde, in der zweiten Runde nicht mehr vorkommen kann.

    Lösung

    Die Lücken werden wie folgt vervollständigt:

    • Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, stellt er das Problem in einem Baumdiagramm dar. Dabei hat jedes der möglichen Ergebnisse eine bestimmte Wahrscheinlichkeit. In der ersten Runde kann die Flasche mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf einem der drei Ritter landen. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses ist also $\frac{1}{3}$.
    In einem Baumdiagramm kann man die möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments übersichtlich darstellen.

    • In der zweiten Runde können jeweils die zuvor ausgewählten Ritter nicht mehr drankommen. Es gibt also nur noch zwei gleich wahrscheinliche Auswahlmöglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses beträgt also $\frac{1}{2}$.
    Hier handelt es sich um ein Zufallsexperiment ohne Zurücklegen. Das bedeutet, dass ein Ergebnis, das in der ersten Runde ausgewählt wurde, in der zweiten Runde nicht mehr vorkommen kann.

    • Jetzt will Tristan die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass er und Fartolomae zusammen ausgewählt werden. Dazu muss er zuerst die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades ausrechnen. Er verwendet die erste Pfadregel. Diese besagt, dass er die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse entlang des Pfades multiplizieren muss. Hier haben alle Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich:
    • $P=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
    • In Tristans Fall gibt es zwei mögliche Pfade. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit dieser beiden Pfade berechnet er mit der zweiten Pfadregel. Diese besagt, dass er die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addieren muss. Die Wahrscheinlichkeit, dass Tristan und Fartolomae zusammen ausgewählt werden, beträgt:
    • $P(T,F)=\frac{1}{6} +\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
    Die zwei Pfade stellen die Reihenfolge der Auswahl dar. Es kann zuerst Tristan und dann Fartolomae oder zuerst Fartolomae und anschließend Tristan ausgewählt werden.

  • Erarbeite, wie man Wahrscheinlichkeiten mit dem Gegenereignis bestimmt.

    Tipps

    Das Baumdiagramm dieses Zufallsexperiments sieht so aus.

    Lösung

    Der Lückentext wird so ausgefüllt:

    Um die Wahrscheinlichkeit $P(\text{A})$ zu bestimmen, muss er drei Pfade addieren. Auf dem ersten Pfad $P(\text{R},\text{B})$ zieht er zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel. Auf dem zweiten Pfad $P(\text{B},\text{R})$ zieht er zuerst eine blaue und anschließend eine rote Kugel und auf dem dritten Pfad $P(\text{R},\text{R})$ zwei rote. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade berechnet er mit der ersten Pfadregel zu:

    • $P(\text{R},\text{B})=\frac{24}{90}$
    • $P(\text{B},\text{R})=\frac{24}{90}$
    • $P(\text{R},\text{R})=\frac{12}{90}$
    Die Gesamtwahrscheinlichkeit bestimmt er mit der zweiten Pfadregel zu:

    • $P(\text{A})=P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})+P(\text{R},\text{R})=\frac{24}{90}+\frac{24}{90}+\frac{12}{90}=\frac{60}{90}=\frac{2}{3}$
    Die gesamte Wahrscheinlichkeit aller Pfade muss immer Eins ergeben! Das ist bei allen Zufallsexperimenten der Fall.

    • $P(\text{B},\text{B})+P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})+P(\text{R},\text{R})=1$
    Umgeformt ergibt das:

    • $P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})+P(\text{R},\text{R})=1- P(\text{B},\text{B})$
    In der Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt:

    • $P(\text{A})=1-P(\bar{\text{A}})$
    Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\text{A}$ ist gleich Eins minus der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\bar{\text{A}}$. Das Gegenereignis $\bar{\text{A}}$ enthält dabei alle Ereignisse, die nicht in $\text{A}$ enthalten sind.

    Auf diese Weise kann er die Wahrscheinlichkeit ebenfalls berechnen:

    • $P(\text{A})=1-P(\text{B},\text{B})=1-\frac{30}{90}= \frac{60}{90}=\frac{2}{3}$
    Man nennt diese Art der Rechnung auch Rechnen mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Sie ist hilfreich, wenn man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnen will, zu dem mehr als die Hälfte der Pfade gehören.

  • Wende die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten an.

    Tipps

    In der ersten Runde gibt es ingesamt $10$ Kugeln, davon sind $4$ rot. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit in der ersten Runde eine rote Kugel zu ziehen $\frac{4}{10}$.

    Achtung! In der zweiten Runde gibt es insgesamt nur noch $9$ Kugeln.

    Das Baumdiagramm dieses Zufallexperiments sieht so aus.

    Die Bezeichnung der Wahrscheinlichkeiten spiegelt die Reihenfolge der Ziehung wieder. Wird also zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel gezogen, nennt man die Wahrscheinlichkeit $P(\text{R},\text{B})$.

    Lösung

    Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich folgendermaßen:

    Es gibt zwei Pfade in denen eine rote und eine blaue Kugel gezogen wird. Er kann zum Beispiel zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel ziehen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades beträgt:

    • $P(\text{R},\text{B})=\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9}=\frac{24}{90}$
    In der ersten Runde gibt es insgesamt $10$ Kugeln, davon sind $4$ rot. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit in der ersten Runde eine rote Kugel zu ziehen $\frac{4}{10}$. In der zweiten Runde gibt es insgesamt nur noch $9$ Kugeln, davon sind $6$ blau. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit in der zweiten Runde eine blaue Kugel zu ziehen $\frac{6}{9}$.

    Im anderen Pfad zieht er zuerst eine blaue und anschließend eine rote Kugel. Die Wahrscheinlichkeit dieses Pfades beträgt:

    • $P(\text{B},\text{R})=\frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9}=\frac{24}{90}$
    In der ersten Runde gibt es insgesamt $10$ Kugeln, davon sind $6$ blau. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit in der ersten Runde eine blaue Kugel zu ziehen $\frac{6}{10}$. In der zweiten Runde gibt es insgesamt nur noch $9$ Kugeln, davon sind $4$ rot. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit in der zweiten Runde eine rote Kugel zu ziehen $\frac{4}{9}$.

    Die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnet er, indem er die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade addiert.

    • $P(\text{Gesamt})=\frac{24}{90} +\frac{24}{90}=\frac{48}{90}=\frac{8}{15}$
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Achtung! In der zweiten Runde gibt es insgesamt eine Kugel weniger.

    Hier ist das Baumdiagramm dieses Experiments. Überlege dir die fehlenden Wahrscheinlichkeiten.

    Nachdem du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet hast, musst du den Bruch, falls möglich, kürzen. Zum Beispiel:

    $\frac{24}{144}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$

    Lösung

    Um die Wahrscheinlichkeiten der Pfade zu bestimmen, solltest du zuerst ein Baumdiagramm zeichnen. Daraus kannst du die Wahrscheinlichkeiten der Pfade berechnen. Die erste Wahrscheinlichkeit $P(\text{R},\text{G})$ berechnet sich folgendermaßen:

    $P(\text{R},\text{G})=\frac{3}{12} \cdot \frac{4}{11}=\frac{12}{132}$

    $P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})$ berechnet sich aus der Summe von $P(\text{B},\text{R})$ und $P(\text{R},\text{B})$.

    $P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})= \frac{15}{132}+\frac{15}{132}=\frac{30}{132}$

    Die Wahrscheinlichkeiten der anderen Pfade kannst du genauso bestimmen. Damit folgt:

    • $P(\text{R},\text{G})=\frac{12}{132}=\frac{1}{11}$
    • $P(\text{R},\text{R})= \frac{6}{132}=\frac{1}{22}$
    • $P(\text{B},\text{B})= \frac{20}{132}=\frac{5}{33}$
    • $P(\text{B},\text{R})+P(\text{R},\text{B})= \frac{30}{132}=\frac{5}{22}$