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Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten

Erfolgswahrscheinlichkeit, Misserfolgswahrscheinlichkeit, Formel von Bernoulli,Treffer, nicht Treffer, Binomialkoeffizient

Was ist ein Bernoulli-Experiment?

Ein Bernoulli-Experiment ist ein einstufiges Zufallsexperiment, bei welchem es nur zwei verschiedene Ergebnisse gibt. Diese werden üblicherweise als Treffer (Erfolg) oder Nicht-Treffer (Misserfolg) bezeichnet.

Ein Beispiel für ein solches Experiment ist das Werfen mit einer Münze. Dabei kannst du entweder Kopf oder Zahl erzielen. Es gibt also nur zwei Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer $p$ bezeichnet man als Trefferwahrscheinlichkeit oder Erfolgswahrscheinlichkeit. Die Gegenwahrscheinlichkeit $q=1-p$ wird als Misserfolgswahrscheinlichkeit bezeichnet.

So nun ist klar, was ein Bernoulli-Experiment ist. Da stellt sich die Frage ...

Was ist eine Bernoulli-Kette?

Eine Bernoulli-Kette ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment, bei dem in jeder Stufe das gleiche Bernoulli-Experiment durchgeführt wird.

Dabei ist zu beachten, dass die einzelnen Stufen (stochastisch) unabhängig voneinander sein sollen. Sehr vereinfacht ausgedrückt bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeiten sich nicht ändern.

Die Anzahl der Stufen des Experimentes wird als Länge der Bernoulli-Kette $n$ bezeichnet.

So, das war nun reichlich viel Theorie. Wir schauen uns einmal ein Beispiel an.

Die Führerscheinprüfung

Du möchtest eine Führerscheinprüfung machen. Es bleiben noch sechs Fragen übrig. Jede dieser Fragen hat vier Antwortmöglichkeiten, von denen immer eine korrekt ist. Du kennst die jeweils richtige Antwort nicht und musst auf gut Glück raten.

  • Ein Erfolg oder auch Treffer liegt vor, wenn du die richtige Antwort errätst. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit ist $p=\frac14=0,25$.
  • Ansonsten liegt ein Misserfolg vor mit der Wahrscheinlichkeit $q=1-p=\frac34=0,75$.

Die Anzahl der noch verbliebenen Fragen ist die Länge der Bernoulli-Kette $n=6$.

Du darfst dir nur noch maximal zwei Fehler erlauben oder, anders ausgedrückt, du musst mindestens vier richtige Antworten haben.

Nun kann es losgehen. Du berechnest die Wahrscheinlichkeit für mindestens vier Treffer, also $P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)$.

Für die Berechnung der Punktwahrscheinlickeiten $P(X=k)$ verwendest du die Formel von Bernoulli:

$P(X=k)=\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$.

Dabei ist $k$ die Anzahl der Treffer, hier die Anzahl der richtigen Antworten.

Damit ist

  • $P(X=4)=\begin{pmatrix} 6 \\ 4\end{pmatrix}\cdot 0,25^4\cdot 0,75^2\approx0,0330$
  • $P(X=5)=\begin{pmatrix} 6 \\ 5\end{pmatrix}\cdot 0,25^5\cdot 0,75^1\approx0,0044$
  • $P(X=6)=\begin{pmatrix} 6 \\ 6\end{pmatrix}\cdot 0,25^6\cdot 0,75^0\approx0,0002$

Zuletzt addierst du diese Wahrscheinlichkeiten zu $P(X\ge 4)=0,0330+0,0044+0,0002=0,0376$. Das sind etwas weniger als $4\%$. Du siehst, du solltest dich nicht auf dein Glück verlassen.

Übrigens: Du kannst Bernoulli-Ketten auch in Form eines Baumdiagrammes darstellen.

Voraussetzungen für Bernoulli-Ketten

Hier siehst du noch einmal zusammengefasst, wann du überhaupt Bernoulli-Ketten verwenden kannst:

  • Die Erfolgs- oder Trefferwahrscheinlichkeit der einzelnen Stufen ändert sich nicht.
  • Es gibt immer nur Erfolg und Misserfolg als mögliche Versuchsausgänge.
  • Die einzelnen Teilexperimente (Durchgänge) sind unabhängig voneinander.

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Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten (1 Arbeitsblatt)