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Kernidee der Mindestwahrscheinlichkeit

Bei Bernoulli-Versuchen wird häufig die interessante Frage gestellt, wie oft man den Versuch durchführen muss, um mit einer bestimmten Mindestwahrscheinlichkeit einen Treffer zu erzielen. Bevor wir dieser Frage nachgehen, wollen wir zunächst klären, was ein Bernoulli-Versuch ist.

Definition Bernoulli-Versuch

Ein $n$-stufiger Bernoulli-Versuch ist ein $n$-stufiges Zufallsexperiment, bei dem ein bestimmtes Ereignis (Erfolg, Treffer) eintreten kann oder nicht (Misserfolg, Niete). Dabei ändert sich die Wahrscheinlichkeit $p$ für das Eintreten eines Ereignisses, die sogenannte Erfolgswahrscheinlichkeit, während der Versuchsreihe nicht. Dies gilt auch für die Misserfolgswahrscheinlichkeit $q = 1– p$.

Ein $n$-stufiger Bernoulli-Versuch kann $0$, $1$, $2$, ..., $n$ Erfolge haben. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Erfolge an. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau $k$ Erfolge bei einem $n$-stufigen Bernoulli-Experiment eintreten, beträgt

$P (X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $X$ heißt Binomialverteilung.

Beispiel Bernoulli-Versuch

Das Werfen eines Würfels ist der klassische Bernoulli-Versuch. Als Erfolg könnte das Ereignis definiert sein, eine $6$ zu würfeln. Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt dann $p = \frac16$ und die Misserfolgswahrscheinlichkeit $q = 1 – p = \frac56$.

Mindestwahrscheinlichkeit und Komplementärregel

Wir stellen uns nun noch einmal die Frage: Wie oft muss ein $n$-stufiger Bernoulli-Versuch durchgeführt werden, damit mit einer bestimmten Mindestwahrscheinlichkeit $M$ mindestens ein Erfolg eintritt?

Diese Frage lässt sich mithilfe der Komplementärregel beantworten, welche die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses - also nur Misserfolge - untersucht:

$P(X=0) = q^n$

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg beträgt dann

$P(X \ge 1) = 1 - q^n$

Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens $M$ betragen, sodass diese Ungleichung erfüllt sein muss:

$P(X \ge 1) = 1 - q^n \ge M$

Wie wir diese Ungleichung durch Logarithmieren lösen können, wollen wir anhand eines Beispiels verstehen.

Beispiel

Wie oft muss gewürfelt werden, damit mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $M = 90\%$ mindestens einmal die Augenzahl $6$ auftritt? Gesucht ist also die Anzahl $n$ der Versuchsdurchführungen.

Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt $p = \frac16$, die Misserfolgswahrscheinlichkeit also $q = \frac56$. Die Wahrscheinlichkeit für $0$ Erfolge bei $n$ Versuchen kann so berechnet werden:

$P(X=0)=\left( \frac56 \right) ^n$

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg beträgt dann

$P(X \ge 1) = 1 - \left( \frac56 \right) ^n$

Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens $M = 90\%$ betragen. Daraus ergibt sich folgende Ungleichung:

$P(X \ge 1) = 1 - \left( \frac56 \right)^n \ge 0,9 \Leftrightarrow \left( \frac56 \right) ^n \le 0,1$

Diese Ungleichung wollen wir mithilfe des Logarithmus' lösen:

$\begin{align} &~& \left( \frac56 \right) ^n & \le 0,1\\ &\Leftrightarrow& n \cdot \ln \left( \frac56 \right) & \le \ln \left(0,1 \right)\\ &\Leftrightarrow& n & \ge \frac{\ln \left(0,1 \right) }{\ln \left( \frac56 \right)} \approx 12,6 \end{align}$

Weil $\ln \left( \frac56 \right)$ eine negative Zahl ist und wir durch diese dividieren, kehrt sich das Ungleichheitszeichen im letzten Schritt um.

Es muss also mindestens 13-mal gewürfelt werden, damit mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit eine $6$ geworfen wird.

Erfolgswahrscheinlichkeit und Sigma-Regeln

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ Erfolge bei einem $n$-stufigen Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ kann durch die Sigma-Regeln abgeschätzt werden.

Dazu benötigen wir den Erwartungswert $ \mu = n \cdot p$ und die Standardabweichung einer Binomialverteilung $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$.

Dann treten Ergebnisse

  • oberhalb von $\mu – 1,28 \sigma$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\%$ ein,
  • oberhalb von $\mu – 1,64 \sigma$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\%$ ein,
  • oberhalb von $\mu – 2,33 \sigma$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $99\%$ ein.

Wenn die Sicherheitswahrscheinlichkeiten von $90\%$, $95\%$ oder $99\%$ und eine Mindestanzahl von $k$ Erfolgen gegeben sind, kann man den notwendigen Stichprobenumfang $n$ bereits berechnen.

Betrachten wir dazu ein Beispiel.

Beispiel Erfolgswahrscheinlichkeit und Sigma-Regeln

Für eine repräsentative Umfrage werden $600$ ausgefüllte Fragebögen benötigt, erfahrungsgemäß kommen im Schnitt aber nur $70\%$ der verschickten Fragebogen zurück. Wie viele Fragebogen muss man nun verschicken, um mit $95\%$ Mindestwahrscheinlichkeit $600$ ausgefüllte Fragebogen zu erhalten?

Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist hier $p = 0,7$, der Erwartungswert $\mu = n \cdot 0,7$ und die Standardabweichung $\sigma = \sqrt{n \cdot 0,7 \cdot 0,3}$.

Die Anzahl der verschickten Fragebögen $n$ muss also diese Ungleichung erfüllen:

$\mu - 1,64 \sigma = n \cdot 0,7 - 1,64 \cdot \sqrt{n \cdot 0,7 \cdot 0,3} \ge 600$

Diese Gleichung kann mithilfe der p-q-Formel gelöst werden. Man erhält die Ungleichung $n \ge 876,525$. Es müssen also mindestens $877$ Fragebögen verschickt werden.