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Mindestwahrscheinlichkeiten

Mindestwahrscheinlichkeiten sorgen dafür, dass ein Ereignis mit einer bestimmten Mindestwahrscheinlichkeit eintritt. In unserem Video erfährst du, wie man die Anzahl von Versuchen berechnet, die notwendig sind, um diese Mindestwahrscheinlichkeit zu erreichen. Interessiert? All das und noch mehr kannst du im folgenden Text finden.

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Lerntext zum Thema Mindestwahrscheinlichkeiten

Mindestwahrscheinlichkeiten – Einführung

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung begegnen dir viele Fragestellungen aus dem Alltag, zum Beispiel wenn ein Würfel geworfen oder ein Glücksrad gedreht wird. Gerade in Bezug auf Glücksspiele (zum Beispiel auf einem Jahrmarkt) ist es häufig ratsam, sich die Frage zu stellen, ob eine Teilnahme sinnvoll ist.

Ein Werkzeug, das dir bei der Entscheidung helfen kann, ist die Mindestwahrscheinlichkeit.

Bei der Mindestwahrscheinlichkeit handelt es sich um eine Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis mindestens eintreten soll.

Im Kontext der Mindestwahrscheinlichkeit soll häufig berechnet werden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ist oder wie oft ein Zufallsexperiment durchgeführt werden muss, damit eine gewisse Mindestwahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer erreicht wird.

Um das zu verdeutlichen, werden wir uns nachfolgend einige Beispiele anschauen und auch eine Formel erarbeiten, mit der du die Mindestanzahl für mindestens einen Treffer einfach berechnen kannst.

Mindestwahrscheinlichkeit – Formel

Gegeben sei zunächst das folgende Beispiel:

Fragestellung
Wie oft muss ein Würfel geworfen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\,\%$ mindestens eine $6$ geworfen wird?

Verdeutlichen wir uns erst einmal, was wir alles gegeben haben:

  • Die Mindestwahrscheinlichkeit beträgt $95\,\%$. Wir bezeichnen diese Wahrscheinlichkeit mit $a$, also $a=0{,}95$.
  • Die Wahrscheinlichkeit, eine $6$ zu würfeln, beträgt $\frac{1}{6}$, also $P(6)= \frac{1}{6}$.
  • Die Wahrscheinlichkeit, keine $6$ zu würfeln, beträgt $\frac{5}{6}$, also $P(\overline{6})= \frac{5}{6}$.

Gesucht ist die Mindestanzahl an Würfen, die es braucht, um mit der Mindestwahrscheinlichkeit $a$ eine $6$ zu würfeln – diese nennen wir $n$.

Für die Lösung hilft nun folgende Überlegung: Die Wahrscheinlichkeit bei $n$ Würfen mindestens eine $6$ zu würfeln, ist die Gegenwahrscheinlichkeit zum Fall, dass bei $n$ Würfen keine $6$ gewürfelt wird. Das können wir wie folgt ausdrücken:

$P(\text{mind. eine 6})= 1- P(\text{keine 6}) = 1- \left(\frac{5}{6}\right)^{n}$

Mit dieser Gleichung können wir nun die folgende Ungleichung aufstellen, in die wir die gegebene Mindestwahrscheinlichkeit $a$ integrieren:

$1- \left(\frac{5}{6}\right)^{n} \geq 0{,}95$

Anschließend wird die Gleichung nach $n$ umgestellt und wir erhalten die gesuchte Anzahl an Würfen:

$\begin{array}{rcll} 1- \left(\frac{5}{6}\right)^{n} & \geq & 0{,}95 & \vert -1 \\ \\ - \left(\frac{5}{6}\right)^{n} & \geq & -0{,}05 & \vert :(-1) \\ \\ \left(\frac{5}{6}\right)^{n} & \leq & 0{,}05 & \vert \log \\ \\ \log\left(\frac{5}{6}\right)^{n} & \leq & \log(0{,}05) & \vert \log(a^b)=b \cdot log(a) \\ \\ n \cdot \log\left(\frac{5}{6}\right) & \leq & \log(0{,}05) & \vert :\log\left(\frac{5}{6}\right) \\ \\ n & \geq & \dfrac{ \log(0{,}05)}{\log\left(\frac{5}{6}\right)} & \approx 16{,}43 \\ \\ n & \geq & 17 & \end{array}$

Wie dir sicher aufgefallen ist, wird in der dritten und sechsten Zeile das Relationszeichen umgedreht.

Zur Erinnerung: Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl geteilt, kehrt sich das Relationszeichen um.

Da der Logarithmus einer Zahl, die kleiner als $1$ ist, negativ ist, dreht sich auch in der sechsten Zeile das Relationszeichen um. Am Ende runden wir das Ergebnis auf, da man ja nicht $0{,}43$ Würfe durchführen kann. Es braucht also mindestens $17$ Würfe, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $95 \,\%$ eine $6$ zu würfeln.

Daraus kann man verallgemeinern:

Die Mindestanzahl an Durchführungen $n$, um bei einem Zufallsversuch mindestens einen Treffer zu erzielen, beträgt:

$n \geq \dfrac{\log(1-a)}{\log(1-p)}$

  • $a$ ist die Mindestwahrscheinlichkeit, die erreicht werden soll.
  • $p$ ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer.

Mindestwahrscheinlichkeit – Beispiel Fußball

Anschließend sollen dir einige Übungsaufgaben helfen, das Thema anzuwenden.

Aufgabenstellung
Jan ist ein sehr guter Torwart und hält in 80 Prozent der Fälle einen Elfmeter. Wie oft muss sein Freund mindestens auf das Tor schießen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent mindestens einmal zu treffen?

Als Erstes verdeutlichen wir uns wieder, was wir in der Aufgabe gegeben haben:

  • Die Wahrscheinlichkeit für Jans Freund, einen Treffer zu landen, liegt bei $20\,\%$. Dies ist die Gegenwahrscheinlichkeit dazu, dass Jan den Elfmeter hält. Also ist $p=0{,}2$.
  • Die Mindestwahrscheinlichkeit, die bei $n$ Durchführungen erreicht werden soll, ist $a=0{,}9$.

Damit können wir die Größen in die Formel einsetzen und die Anzahl an Schüssen berechnen:

$\begin{array}{rcl} n & \geq & \dfrac{\log(1-a)}{\log(1-p)} \\ \\ n & \geq & \dfrac{\log(1-0{,}9)}{\log(1-0{,}2)} \\ \\ n & \geq & \dfrac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}8)} \approx 10{,}32 \\ \\ n & \geq & 11 \end{array}$

Jans Freund muss also mindestens $11$-mal schießen.

Mindestwahrscheinlichkeit – Beispiel Tulpen

Versuche, das nachfolgende Beispiel nun selbst zu lösen:

Aufgabenstellung
Tina möchte rote und gelbe Tulpenzwiebeln pflanzen. Leider hat sie beide Sorten in einem Karton gelagert und die Zwiebeln sehen gleich aus! Tina weiß nur noch, dass sie dreimal so viele rote Tulpen hat wie gelbe. Wie viele Tulpenzwiebeln muss Tina nun mindestens aussähen, damit sie mit mindestens 80 Prozent Wahrscheinlichkeit mindestens eine gelbe Tulpe pflanzt?
Tipp 1
Tipp 2
Lösung

Mindestwahrscheinlichkeiten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Mindestwahrscheinlichkeiten kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, was bei der Aufgabenstellung gegeben und was gesucht ist.

    Tipps

    Die Ereignisse „Gewinn“ und „kein Gewinn“ sind Gegenereignisse.

    Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis summieren sich immer zu $1$.

    Wenn du von einer Prozentzahl zu einer Kommazahl gelangen willst, teilst du durch $100$.

    Schau dir hierfür ein Beispiel an:

    $70~\%=\frac{70}{100}=0,7$

    Das Glücksrad hat $12$ gleich große Felder. Wenn $3$ Felder zu einem Gewinn führen, erhältst du die zugehörige Wahrscheinlichkeit $P($Gewinn$)=\frac3{12}=\frac14$.

    Lösung

    Wie so oft in der Mathematik ist es eine gute Idee, zunächst einmal zu sammeln, was gegeben und was gesucht ist.

    Die oben formulierte Aufgabe wird oft auch als Mindestens-mindestens-mindestens-Aufgabe bezeichnet, da in der Aufgabenstellung dreimal das Wort „mindestens“ vorkommt.

    • Bekannt ist die Mindestwahrscheinlichkeit $90~\%=0,9$.
    • Da das Glücksrad $12$ Felder hat, von denen $1$ Feld zu einem Gewinn führt, erhältst du $P($Gewinn$)=\frac{1}{12}$.
    • Wenn du diese Wahrscheinlichkeit von $1$ subtrahierst, erhältst du die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $P($kein Gewinn$)=1-\frac1{12}=\frac{11}{12}$.
    Was ist gesucht? Gefragt ist nach der Mindestanzahl $n$ an Drehungen des Glücksrades.

  • Bestimme die Anzahl, wie oft Maria das Glücksrad mindestens drehen muss.

    Tipps

    Sei $E$ ein Ereignis und $\overline{E}$ das zugehörige Gegenereignis, dann ist $P(E)+P(\overline{E})=1$.

    Dies ist äquivalent zu $P(E)=1-P(\overline{E})$.

    Beachte: Du löst Ungleichungen ebenso wie Gleichungen. Wenn du jedoch mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst, kehrt sich das Relationszeichen um.

    Verwende das Logarithmusgesetz $\log\left(a^b\right)=b\cdot \log(a)$.

    Lösung

    Dies ist eine Mindestens-mindestens-mindestens-Aufgabe. Diese kommen sehr häufig in Klausuren vor. Du gehst dabei immer gleich vor. Es unterscheiden sich je nach Aufgabenstellung einzig die Mindestwahrscheinlichkeit $a$ (hier gilt $a=0,9$) sowie die Treffer- bzw. Gewinnwahrscheinlichkeit $p$ (hier gilt $p=\frac1{12}$).

    Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn bei $n$ Drehungen. Du verwendest hierfür die Gegenwahrscheinlichkeit. Es gilt:

    $P($mindestens ein Gewinn bei $n$ Drehungen$)=1-P($kein Gewinn bei $n$ Drehungen)$=1-\left(\frac{11}{12}\right)^n$

    Die rechte Seite erhältst du mit folgender Wahrscheinlichkeit:

    $P($kein Gewinn$)=1-P($Gewinn$)=1-\frac1{12}=\frac{11}{12}$

    Diese Wahrscheinlichkeit soll größer oder gleich der Mindestwahrscheinlichkeit sein. Du erhältst so die Ungleichung $1-\left(\frac{11}{12}\right)^n\ge 0,9$. Diese löst du durch Äquivalenzumformungen sowie Logarithmieren:

    • Subtrahiere $1$. Das ergibt $-\left(\frac{11}{12}\right)^n\ge -0,1$.
    • Dividiere durch $-1$. Achte darauf, dass das Relationszeichen sich bei der Division durch eine negative Zahl umkehrt. Du erhältst $\left(\frac{11}{12}\right)^n\le 0,1$.
    • Nun kannst du logarithmieren. Du erhältst $\log\left(\left(\frac{11}{12}\right)^n\right)\le \log(0,1)$.
    • Verwende das Logarithmusgesetz $\log\left(a^b\right)=b\cdot \log(a)$. Dies führt zu $n\cdot \log\left(\frac{11}{12}\right)\le \log(0,1)$.
    • Schließlich dividierst du durch $\log\left(\frac{11}{12}\right)$. Da dieser Wert negativ ist, kehrt sich auch hier das Relationszeichen um. Du erhältst $n\ge \frac{\log(0,1)}{\log\left(\frac{11}{12}\right)}\approx 26,46$.
    Da $n$ eine natürliche Zahl ist, musst du das Ergebnis immer aufrunden. Wenn du in diesem Beispiel $n\ge 26$ als Lösung nehmen würdest, wäre dies falsch, da bei $26$ Drehungen des Glücksrades die Mindestwahrscheinlichkeit noch nicht erreicht ist.

    Maria muss also mindestens $27$-mal das Glücksrad drehen, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $90~\%$ mindestens einen Gewinn zu erzielen.

    Anmerkung: Bei $27$-maligem Drehen hat Maria bereits $27~€$ bezahlt. Der Gutschein hat einen Wert von $30~€$. Nun ist es an Maria zu entscheiden, ob sie dieses Glücksspiel spielt.

  • Leite her, wie viele Krapfen Paul mindestens kaufen muss.

    Tipps

    Achte darauf, dass sich bei Ungleichungen das Vorzeichen umkehrt, wenn du

    • entweder mit einer negativen Zahl multiplizierst
    • oder durch eine negative Zahl dividierst.

    Du verwendest das Logarithmusgesetz für Potenzen:

    $\log\left(a^b\right)=b\cdot \log(a)$

    Du kannst also den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen.

    Achte auf die Reihenfolge bei der Divison.

    Lösung

    Paul will mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ermitteln, wie viele Krapfen er kaufen muss, um mit hoher Wahrscheinlichkeit mindestens einen Krapfen mit Erdbeerfüllung zu bekommen. Es gilt:

    • Die Mindestwahrscheinlichkeit ist $a=0,85$.
    • Die Trefferwahrscheinlichkeit ist $p=0,2$. So erhält er auch die Wahrscheinlichkeit, nicht zu treffen, nämlich $1-p=0,8$.
    Gesucht ist die Anzahl $n$ der gekauften Krapfen.

    Jetzt kann es losgehen:

    • Es muss gelten $P(X\ge 1)\ge 0,85$.
    • Paul verwendet das Gegenereignis. Es gilt $1-P(X=0)\ge 0,85$.
    • Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist gegeben durch $P(X=0)=0,8^n$.
    • So kommt er zu der Ungleichung $1-0,8^n\ge 0,85$. Diese löst er mit Äquivalenzumformungen sowie Logarithmieren.
    Beachte, dass sich bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl oder der Division durch eine negative Zahl das Relationszeichen umkehrt:

    $\begin{array}{crclll} &1-0,8^n&\ge& 0,85&|&-1\\ \Leftrightarrow&-0,8^n&\ge &-0,15&|&:(-1)~~ (<0)\\ \Leftrightarrow&0,8^n&\le &0,15&|&\log()\\ \Leftrightarrow&\log\left(0,8^n\right)&\le &\log(0,15)&|&\log\left(a^b\right)=b\cdot \log(a)\\ \Leftrightarrow&n\cdot \log(0,8)&\le &\log(0,15)&|&:\log(0,8)~~(<0)\\ \Leftrightarrow&n&\ge &\frac{\log(0,15)}{\log(0,8)} \end{array}$

    Dies kann Paul nun in seinen Taschenrechner eingeben und erhält $n\ge8,5...$.

    Er muss also mindestens $9$ Krapfen kaufen, damit mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $85~\%$ mindestens einer mit Erdbeerfüllung dabei ist.

    Paul lehnt sich vergnügt zurück und knabbert an seinem Erdbeerkrapfen, den er extra für solche besonderen Momente aufgehoben hat.

  • Ermittle die Anzahl der befragten Personen.

    Tipps

    Die Aufgabenstellung kannst du in einen mathematischen Ausdruck „übersetzen“:

    $P(X \geq 1) \geq 0,95$

    Dabei ist $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen zählt, die regelmäßig Sport treiben.

    Diese Ungleichung kannst du umformulieren. Du erhältst:

    $P(X = 0) \leq 0,05$

    In dieser Aufgabe gilt $P(X=0) = 0,65^n$.

    Beachte, dass du immer aufrunden musst.

    Wenn du zum Beispiel $n\ge 4,21...$ erhältst, lautet die Antwort: ... mindestens $5$ ...

    Du kannst auch direkt die Formel verwenden:

    $n\ge\frac{\log(1-a)}{\log(1-p)}$

    $a$ ist die gegebene Mindestwahrscheinlichkeit und $p$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit.

    Hinweis: Es kann sein, dass du in einer Klassenarbeit den ausführlichen Weg vorstellen musst und die Formel nicht erlaubt ist.

    Lösung

    Aufgaben dieser Art lassen sich immer mit den gleichen Mitteln lösen:

    1. Du „übersetzt“ die Aufgabenstellung in eine Ungleichung.
    2. Du löst diese Ungleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen und dem Logarithmus nach $n$ auf.
    Anschließend rundest du den Wert auf und schreibst einen Antwortsatz.

    Wenden wir dies auf die Aufgabe an:

    1. Die Übersetzung lautet $P(X\geq 1) \geq 0,95$. Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ mindestens $1$ ist, soll also größer oder gleich $0,95$ sein.
    2. Diese Ungleichung löst du durch Einsetzen der Gegenwahrscheinlichkeit, Subtraktion und Logarithmieren. Als ersten Schritt erhältst du $1 - P(X=0) \geq 0,95$. Subtraktion von $1$ und Division durch $-1$ ergeben $P(X=0) \leq 0,05$. Da $P(X=0) = (1-0,35)^n$, ergibt sich $0,65^n \leq 0,05$. Nun wendest du den Logarithmus an und dividierst. Das ergibt $n \geq \frac{\log(0,05)}{\log(0,65)}$.
    Auf dasselbe Ergebnis kommst du auch mit der Formel $n\ge\frac{\log(1-a)}{\log(1-p)}$.

    Dabei sind die Mindestwahrscheinlichkeit $a$ und die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ gegeben. Hier ist $a=0,95$, also $1-a=0,05$, und $p=0,35$ und somit $1-p=0,65$.

    Hinweis: Es kann sein, dass du in Klassenarbeiten und Hausaufgaben die ausführliche Lösung können musst.

    Beide Wege führen dich zu $n\ge\frac{\log(0,05)}{\log(0,65)}=6,95...$.

    Du musst nun (das gilt immer!) aufrunden. Marie und Lisa müssen also mindestens $7$ Personen befragen, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $95~\%$ mindestens eine Person zu treffen, die regelmäßig Sport treibt.

  • Benenne die Größen in der Formel zur Bestimmung der Mindestanzahl.

    Tipps

    $n$ ist eine natürliche Zahl und steht für die Mindestanzahl an Durchführungen.

    Sowohl $a$ als auch $p$ sind Wahrscheinlichkeiten.

    Vielleicht hilft dir diese Eselsbrücke:

    „M“ (für Mindestwahrscheinlichkeit) kommt im Alphabet vor „T“ (für Trefferwahrscheinlichkeit). Ebenso kommt „a“ vor „p“.

    Lösung

    Du kannst die Mindestanzahl an Durchführungen eines Zufallsexperimentes bei gegebener Mindestwahrscheinlichkeit $a$ und Trefferwahrscheinlichkeit $p$ mit Hilfe der folgenden Formel berechnen:

    $n\ge\frac{\log(1-a)}{\log(1-p)}$

    Das können wir einmal an einem Beispiel üben. Dabei geht es um ein Glücksrad, welches $12$ gleich große Felder hat. Auf einem Feld steht „Gewinn“. Wir wollen wissen, wie oft das Glücksrad mindestens gedreht werden muss, damit man mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $a=0,9$ mindestens einen Gewinn erhält. Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ erhält man durch Division. Es gilt $p=\frac{1}{12}$. Insgesamt berechnet man dies so:

    $\begin{array}{rcl} n\ge\frac{\log(1-0,9)}{\log\left(1-\frac1{12}\right)}&=&\frac{\log(0,1)}{\log\left(\frac{11}{12}\right)} \\ &\approx &26,46 \end{array}$

    Da $n$ eine Anzahl ist und somit $n\in\mathbb{N}$ gilt, muss $n\ge 27$ sein.

  • Berechne die Mindestanzahl der schwarzen Kugeln in der Urne.

    Tipps

    Beachte: In dieser Aufgabe ist $n$ gegeben sowie $a$. Gesucht ist diesmal $p$.

    Sei $s$ die Anzahl der schwarzen Kugeln, dann ist $p=\frac{s}{10}$ die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen.

    Da Tim die Kugel immer wieder zurücklegt, ändert sich diese Wahrscheinlichkeit nicht.

    Du erhältst auch in dieser Aufgabe eine Ungleichung. Diese löst du mit Äquivalenzumformungen.

    Du musst allerdings nicht logarithmieren, sondern du musst die $10$-te Wurzel ziehen.

    Ansonsten ist der Lösungsweg analog zu dem bei der Bestimmung der Mindestanzahl.

    Lösung

    Manchmal wird statt nach der Mindestanzahl an Durchführungen eines Zufallsexperimentes auch nach der Mindest-Trefferwahrscheinlichkeit gefragt. Du gehst dann so ähnlich vor wie bei den Mindestanzahl-Aufgaben.

    Sammle zunächst, was du bereits weißt. Es gilt $a=0,88$ und $n=10$.

    Gesucht ist die Anzahl der schwarzen Kugeln $s$. Dazu finden wir zuerst die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ heraus.

    Im Folgenden steht „$X\ge 1$“ für „mindestens eine schwarze Kugel bei $10$-maligem Ziehen“ und „$X=0$“ für „keine schwarze Kugel bei $10$-maligem Ziehen“.

    $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^{10}$.

    Nun kannst du die Ungleichung aufstellen, welche sich dadurch ergibt, dass diese Wahrscheinlichkeit größer oder gleich der Mindestwahrscheinlichkeit sein soll:

    $1-(1-p)^{10}\ge0,88$

    Löse diese Ungleichung durch Äquivalenzumformungen sowie Ziehen der $10$-ten Wurzel.

    $\begin{array}{crclll} &1-(1-p)^{10}&\ge&0,88&|&-1\\ \Leftrightarrow&-(1-p)^{10}&\ge &-0,12&|&:(-1)~~(<0)\\ \Leftrightarrow&(1-p)^{10}&\le &0,12&|&\sqrt[10]{~~~}\\ \Leftrightarrow&1-p&\le &\sqrt[10]{0,12}\approx0,81&|&-1\\ \Leftrightarrow&-p&\le &-0,19&|&:(-1)~~(<0)\\ \Leftrightarrow&p&\ge &0,19 \end{array}$

    Bei unbekannter Anzahl $s$ der schwarzen Kugeln ist $p=\frac{s}{10}$. So erhältst du $\frac{s}{10}\ge 0,19$. Multiplikation mit $10$ führt zu $s\ge 1,9$. Da die Anzahl der schwarzen Kugeln sicher eine natürliche Zahl ist, erhältst du $s\ge 2$.

    Es müssen sich also mindestens $2$ schwarze Kugeln in der Urne befinden, damit Tim mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $88~\%$ bei $10$-maligem Ziehen mit Zurücklegen mindestens eine schwarze Kugel zieht.

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sofatutor Team
Mindestwahrscheinlichkeiten
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse