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Mindestwahrscheinlichkeiten

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Die Autor/-innen
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Mandy F.

Mindestwahrscheinlichkeiten

lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse

Beschreibung Mindestwahrscheinlichkeiten

Hallo, Hast du auch schon einmal an einem Glückrad gedreht und dich gefragt, wie oft man wohl drehen muss, damit die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Wert liegt? Wenn ja, dann erhältst du in diesem Video eine Antwort darauf. Hier betrachten wir Ereignisse, die zu 90% zutreffen sollen, bei denen wir also mit 90% Wahrscheinlichkeit einen Gewinn erhalten. Dies nennt man Mindestwahrscheinlichkeit. Wie man mit ihnen rechnet, klären wir in diesem Video. Anhand des Beispiels wird eine Formel hergeleitet, die am Ende in einem Merksatz zusammengefasst wird. Viel Spaß!

Transkript Mindestwahrscheinlichkeiten

Hallo! Hier ist Mandy. Wir starten in diesem Video mit der folgenden Situation. Im Einkaufszentrum trifft Maria auf eine nette Frau, die sie anspricht. Sie lädt Maria ein, an einem Glücksrad zu drehen. Man kann dabei einen 30€ Gutschein für das Kino gewinnen. Man muss allerdings 1€ für einmal drehen bezahlen. Maria weiß nicht, ob sie drehen soll. Sie stellt sich vorher die Frage: Wie oft müsste man das Rad mindestens drehen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens einmal einen Gutschein zu drehen, wenigstens 90% beträgt? Wir helfen Maria bei der Entscheidung, indem wir dieses Problem mathematisch lösen.Dazu notieren wir uns die gegebenen Größen. Gegeben ist eine Mindestwahrscheinlichkeit von 90% beziehungsweise 0,9 und ein Glücksrad mit 12 Feldern. Ein Feld führt zu dem Gewinn. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen Gewinn bei einer Drehung zu erhalten 1/12. Beziehungsweise die Wahrscheinlichkeit, keinen Gewinn zu erhalten 11/12. Gesucht sei nun n, welches der Anzahl von Drehungen entspricht. Notieren wir noch einmal die wichtigsten Größen in Kurzform, mit denen wir dann die Aufgabe lösen. Gegeben ist die Mindestwahrscheinlichkeit mit 0,9. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung einen Gewinn zu erzielen, beträgt 1/12. Und die Wahrscheinlichkeit, keinen Gewinn zu erhalten 11/12. Gesucht ist n. Die Anzahl der Drehungen. Kommen wir nun zur Lösung.In unseren Vorüberlegungen gehen wir bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit jedoch nicht von mehreren Drehungen aus. Laut Aufgabe ist aber die Wahrscheinlichkeit gesucht, mindestens einen Gewinn bei n Drehungen zu erhalten. Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich am besten mithilfe der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnen. Somit kann man aufschreiben: 1 minus die Wahrscheinlichkeit keinen Gewinn bei n Drehungen zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn bei n Drehungen beträgt also: 1 - (11/12)n. Laut Aufgabe soll diese Wahrscheinlichkeit nun mindestens 0,9 betragen. Dieses Verhältnis können wir durch eine Ungleichung ausdrücken. Daher gilt: 1 - (11/12)n ≥ 0,9. Diese Ungleichung können wir durch Äquivalenzumformungen und durch Logarithmieren nach n auflösen. Wir rechnen auf beiden Seiten minus 1. Und erhalten: -(11/12)n ≥ -0,1. Positive Vorzeichen erhalten wir, indem wir durch -1 teilen. Dadurch kehrt sich das Relationszeichen um. Das ergibt: (11/12)n ≤ 0,1. Wir wenden den dekadischen Logarithmus auf beiden Seiten an. Nun verwenden wir das Logarithmus-Gesetz. Es gilt: log(ab) = b * log(a). Also erhalten wir: n * log(11/12) ≤ log(0,1). Jetzt teilen wir durch log(11/12). Da diese Zahl negativ ist, dreht sich erneut das Vorzeichen um. Wir erhalten: n ≥ log(0,1) / log(11/12). Das ergibt rund: 26,46. Da man aber keine 0,46 Drehungen machen kann, rundet man immer auf ganzzahlige Werte. Insbesondere rundet man auf, wenn Nachkommastellen vorhanden sind. Da mit der kleineren ganzzahligen Zahl die Mindestwahrscheinlichkeit nicht erreicht wird. Daher gilt: n ≥ 27, weil n Element der natürlichen Zahlen ist. Das heißt, das Rad muss mindestens 27-mal gedreht werden, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 90% mindestens einen Gewinn zu erhalten. Diese Gedankengänge kann man kurz zu einer Formel zusammenfassen. Es gilt: Die Anzahl der Durchführungen eines Experiments n, um bei der Mindestwahrscheinlichkeit a mindestens einen Treffer zu erzielen, beträgt: n ≥ log(1 - a) / log(1 - p). Wobei a die Mindestwahrscheinlichkeit ist, die erreicht werden soll. Und p die Wahrscheinlichkeit ist, einen Treffer zu erzielen. Diese Formel ist die verallgemeinerte Form unseres letzten Rechnungsschrittes. Zum Vergleich setzen wir unsere gegebenen Werte ein. Es gilt mit: a = 0,9 und p = 1/12. n ≥ log(0,1) / log(11/12). Das ist rund 26,46. Weil n eine ganze Zahl sein muss, erhalten wir n ≥ 27. Weil n Element der natürlichen Zahlen ist. Dies stimmt mit unserem vorher berechneten Wert überein.Noch einmal zurück zu unserem Einstiegsproblem. Was würdest Du nun Maria raten? Soll Maria am Glücksrad drehen? Sie müsste theoretisch 27€ investieren, um mit einer 90 Prozentigen Wahrscheinlichkeit einen 30€ Gutschein zu gewinnen. Es kann also sogar passieren, dass sie mehr als 30€ ausgeben muss, um diesen Gutschein zu erhalten. Das wäre ein Verlust für sie. Daher würde ich ihr lieber nicht raten zu drehen.Das war es schon wieder von mir. Daher sage ich nun: Bye, bye. Und bis zum nächsten Mal.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. @Sarahmonz: Wenn Du im Video benutzte Rechenweisen noch nicht kennst, dann dürfte das Video für dich auch nicht relevant sein. Was genau suchst du denn für ein Thema? Gern kannst du dich auch zwischen 17 und 19 Uhr an unseren Hausaufgaben-Chat wenden.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor mehr als 2 Jahren
  2. Und wie rechnet man das ganze ohne log, wenn man das noch nicht im Unterricht durchgenommen hat ?

    Von Sarahmonz02, vor mehr als 2 Jahren
  3. Ich bin dir sehr dankbar, dass du ein anständiges Mikrofon hast. (Im Gegensatz zu manchen anderen)

    Von Susanne 39, vor fast 4 Jahren

Mindestwahrscheinlichkeiten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mindestwahrscheinlichkeiten kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, was bei der Aufgabenstellung gegeben und was gesucht ist.

    Tipps

    Die Ereignisse „Gewinn“ und „kein Gewinn“ sind Gegenereignisse.

    Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis summieren sich immer zu $1$.

    Wenn du von einer Prozentzahl zu einer Kommazahl gelangen willst, teilst du durch $100$.

    Schau dir hierfür ein Beispiel an:

    $70~\%=\frac{70}{100}=0,7$

    Das Glücksrad hat $12$ gleich große Felder. Wenn $3$ Felder zu einem Gewinn führen, erhältst du die zugehörige Wahrscheinlichkeit $P($Gewinn$)=\frac3{12}=\frac14$.

    Lösung

    Wie so oft in der Mathematik ist es eine gute Idee, zunächst einmal zu sammeln, was gegeben und was gesucht ist.

    Die oben formulierte Aufgabe wird oft auch als Mindestens-mindestens-mindestens-Aufgabe bezeichnet, da in der Aufgabenstellung dreimal das Wort „mindestens“ vorkommt.

    • Bekannt ist die Mindestwahrscheinlichkeit $90~\%=0,9$.
    • Da das Glücksrad $12$ Felder hat, von denen $1$ Feld zu einem Gewinn führt, erhältst du $P($Gewinn$)=\frac{1}{12}$.
    • Wenn du diese Wahrscheinlichkeit von $1$ subtrahierst, erhältst du die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $P($kein Gewinn$)=1-\frac1{12}=\frac{11}{12}$.
    Was ist gesucht? Gefragt ist nach der Mindestanzahl $n$ an Drehungen des Glücksrades.

  • Bestimme die Anzahl, wie oft Maria das Glücksrad mindestens drehen muss.

    Tipps

    Sei $E$ ein Ereignis und $\overline{E}$ das zugehörige Gegenereignis, dann ist $P(E)+P(\overline{E})=1$.

    Dies ist äquivalent zu $P(E)=1-P(\overline{E})$.

    Beachte: Du löst Ungleichungen ebenso wie Gleichungen. Wenn du jedoch mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst, kehrt sich das Relationszeichen um.

    Verwende das Logarithmusgesetz $\log\left(a^b\right)=b\cdot \log(a)$.

    Lösung

    Dies ist eine Mindestens-mindestens-mindestens-Aufgabe. Diese kommen sehr häufig in Klausuren vor. Du gehst dabei immer gleich vor. Es unterscheiden sich je nach Aufgabenstellung einzig die Mindestwahrscheinlichkeit $a$ (hier gilt $a=0,9$) sowie die Treffer- bzw. Gewinnwahrscheinlichkeit $p$ (hier gilt $p=\frac1{12}$).

    Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn bei $n$ Drehungen. Du verwendest hierfür die Gegenwahrscheinlichkeit. Es gilt:

    $P($mindestens ein Gewinn bei $n$ Drehungen$)=1-P($kein Gewinn bei $n$ Drehungen)$=1-\left(\frac{11}{12}\right)^n$

    Die rechte Seite erhältst du mit folgender Wahrscheinlichkeit:

    $P($kein Gewinn$)=1-P($Gewinn$)=1-\frac1{12}=\frac{11}{12}$

    Diese Wahrscheinlichkeit soll größer oder gleich der Mindestwahrscheinlichkeit sein. Du erhältst so die Ungleichung $1-\left(\frac{11}{12}\right)^n\ge 0,9$. Diese löst du durch Äquivalenzumformungen sowie Logarithmieren:

    • Subtrahiere $1$. Das ergibt $-\left(\frac{11}{12}\right)^n\ge -0,1$.
    • Dividiere durch $-1$. Achte darauf, dass das Relationszeichen sich bei der Division durch eine negative Zahl umkehrt. Du erhältst $\left(\frac{11}{12}\right)^n\le 0,1$.
    • Nun kannst du logarithmieren. Du erhältst $\log\left(\left(\frac{11}{12}\right)^n\right)\le \log(0,1)$.
    • Verwende das Logarithmusgesetz $\log\left(a^b\right)=b\cdot \log(a)$. Dies führt zu $n\cdot \log\left(\frac{11}{12}\right)\le \log(0,1)$.
    • Schließlich dividierst du durch $\log\left(\frac{11}{12}\right)$. Da dieser Wert negativ ist, kehrt sich auch hier das Relationszeichen um. Du erhältst $n\ge \frac{\log(0,1)}{\log\left(\frac{11}{12}\right)}\approx 26,46$.
    Da $n$ eine natürliche Zahl ist, musst du das Ergebnis immer aufrunden. Wenn du in diesem Beispiel $n\ge 26$ als Lösung nehmen würdest, wäre dies falsch, da bei $26$ Drehungen des Glücksrades die Mindestwahrscheinlichkeit noch nicht erreicht ist.

    Maria muss also mindestens $27$-mal das Glücksrad drehen, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $90~\%$ mindestens einen Gewinn zu erzielen.

    Anmerkung: Bei $27$-maligem Drehen hat Maria bereits $27~€$ bezahlt. Der Gutschein hat einen Wert von $30~€$. Nun ist es an Maria zu entscheiden, ob sie dieses Glücksspiel spielt.

  • Leite her, wie viele Krapfen Paul mindestens kaufen muss.

    Tipps

    Achte darauf, dass sich bei Ungleichungen das Vorzeichen umkehrt, wenn du

    • entweder mit einer negativen Zahl multiplizierst
    • oder durch eine negative Zahl dividierst.

    Du verwendest das Logarithmusgesetz für Potenzen:

    $\log\left(a^b\right)=b\cdot \log(a)$

    Du kannst also den Exponenten als Faktor nach vorne ziehen.

    Achte auf die Reihenfolge bei der Divison.

    Lösung

    Paul will mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ermitteln, wie viele Krapfen er kaufen muss, um mit hoher Wahrscheinlichkeit mindestens einen Krapfen mit Erdbeerfüllung zu bekommen. Es gilt:

    • Die Mindestwahrscheinlichkeit ist $a=0,85$.
    • Die Trefferwahrscheinlichkeit ist $p=0,2$. So erhält er auch die Wahrscheinlichkeit, nicht zu treffen, nämlich $1-p=0,8$.
    Gesucht ist die Anzahl $n$ der gekauften Krapfen.

    Jetzt kann es losgehen:

    • Es muss gelten $P(X\ge 1)\ge 0,85$.
    • Paul verwendet das Gegenereignis. Es gilt $1-P(X=0)\ge 0,85$.
    • Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist gegeben durch $P(X=0)=0,8^n$.
    • So kommt er zu der Ungleichung $1-0,8^n\ge 0,85$. Diese löst er mit Äquivalenzumformungen sowie Logarithmieren.
    Beachte, dass sich bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl oder der Division durch eine negative Zahl das Relationszeichen umkehrt:

    $\begin{array}{crclll} &1-0,8^n&\ge& 0,85&|&-1\\ \Leftrightarrow&-0,8^n&\ge &-0,15&|&:(-1)~~ (<0)\\ \Leftrightarrow&0,8^n&\le &0,15&|&\log()\\ \Leftrightarrow&\log\left(0,8^n\right)&\le &\log(0,15)&|&\log\left(a^b\right)=b\cdot \log(a)\\ \Leftrightarrow&n\cdot \log(0,8)&\le &\log(0,15)&|&:\log(0,8)~~(<0)\\ \Leftrightarrow&n&\ge &\frac{\log(0,15)}{\log(0,8)} \end{array}$

    Dies kann Paul nun in seinen Taschenrechner eingeben und erhält $n\ge8,5...$.

    Er muss also mindestens $9$ Krapfen kaufen, damit mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $85~\%$ mindestens einer mit Erdbeerfüllung dabei ist.

    Paul lehnt sich vergnügt zurück und knabbert an seinem Erdbeerkrapfen, den er extra für solche besonderen Momente aufgehoben hat.

  • Ermittle die Anzahl der befragten Personen.

    Tipps

    Die Aufgabenstellung kannst du in einen mathematischen Ausdruck „übersetzen“:

    $P(X \geq 1) \geq 0,95$

    Dabei ist $X$ die Zufallsvariable, die die Anzahl der Personen zählt, die regelmäßig Sport treiben.

    Diese Ungleichung kannst du umformulieren. Du erhältst:

    $P(X = 0) \leq 0,05$

    In dieser Aufgabe gilt $P(X=0) = 0,65^n$.

    Beachte, dass du immer aufrunden musst.

    Wenn du zum Beispiel $n\ge 4,21...$ erhältst, lautet die Antwort: ... mindestens $5$ ...

    Du kannst auch direkt die Formel verwenden:

    $n\ge\frac{\log(1-a)}{\log(1-p)}$

    $a$ ist die gegebene Mindestwahrscheinlichkeit und $p$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit.

    Hinweis: Es kann sein, dass du in einer Klassenarbeit den ausführlichen Weg vorstellen musst und die Formel nicht erlaubt ist.

    Lösung

    Aufgaben dieser Art lassen sich immer mit den gleichen Mitteln lösen:

    1. Du „übersetzt“ die Aufgabenstellung in eine Ungleichung.
    2. Du löst diese Ungleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen und dem Logarithmus nach $n$ auf.
    Anschließend rundest du den Wert auf und schreibst einen Antwortsatz.

    Wenden wir dies auf die Aufgabe an:

    1. Die Übersetzung lautet $P(X\geq 1) \geq 0,95$. Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ mindestens $1$ ist, soll also größer oder gleich $0,95$ sein.
    2. Diese Ungleichung löst du durch Einsetzen der Gegenwahrscheinlichkeit, Subtraktion und Logarithmieren. Als ersten Schritt erhältst du $1 - P(X=0) \geq 0,95$. Subtraktion von $1$ und Division durch $-1$ ergeben $P(X=0) \leq 0,05$. Da $P(X=0) = (1-0,35)^n$, ergibt sich $0,65^n \leq 0,05$. Nun wendest du den Logarithmus an und dividierst. Das ergibt $n \geq \frac{\log(0,05)}{\log(0,65)}$.
    Auf dasselbe Ergebnis kommst du auch mit der Formel $n\ge\frac{\log(1-a)}{\log(1-p)}$.

    Dabei sind die Mindestwahrscheinlichkeit $a$ und die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ gegeben. Hier ist $a=0,95$, also $1-a=0,05$, und $p=0,35$ und somit $1-p=0,65$.

    Hinweis: Es kann sein, dass du in Klassenarbeiten und Hausaufgaben die ausführliche Lösung können musst.

    Beide Wege führen dich zu $n\ge\frac{\log(0,05)}{\log(0,65)}=6,95...$.

    Du musst nun (das gilt immer!) aufrunden. Marie und Lisa müssen also mindestens $7$ Personen befragen, um mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $95~\%$ mindestens eine Person zu treffen, die regelmäßig Sport treibt.

  • Benenne die Größen in der Formel zur Bestimmung der Mindestanzahl.

    Tipps

    $n$ ist eine natürliche Zahl und steht für die Mindestanzahl an Durchführungen.

    Sowohl $a$ als auch $p$ sind Wahrscheinlichkeiten.

    Vielleicht hilft dir diese Eselsbrücke:

    „M“ (für Mindestwahrscheinlichkeit) kommt im Alphabet vor „T“ (für Trefferwahrscheinlichkeit). Ebenso kommt „a“ vor „p“.

    Lösung

    Du kannst die Mindestanzahl an Durchführungen eines Zufallsexperimentes bei gegebener Mindestwahrscheinlichkeit $a$ und Trefferwahrscheinlichkeit $p$ mit Hilfe der folgenden Formel berechnen:

    $n\ge\frac{\log(1-a)}{\log(1-p)}$

    Das können wir einmal an einem Beispiel üben. Dabei geht es um ein Glücksrad, welches $12$ gleich große Felder hat. Auf einem Feld steht „Gewinn“. Wir wollen wissen, wie oft das Glücksrad mindestens gedreht werden muss, damit man mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $a=0,9$ mindestens einen Gewinn erhält. Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ erhält man durch Division. Es gilt $p=\frac{1}{12}$. Insgesamt berechnet man dies so:

    $\begin{array}{rcl} n\ge\frac{\log(1-0,9)}{\log\left(1-\frac1{12}\right)}&=&\frac{\log(0,1)}{\log\left(\frac{11}{12}\right)} \\ &\approx &26,46 \end{array}$

    Da $n$ eine Anzahl ist und somit $n\in\mathbb{N}$ gilt, muss $n\ge 27$ sein.

  • Berechne die Mindestanzahl der schwarzen Kugeln in der Urne.

    Tipps

    Beachte: In dieser Aufgabe ist $n$ gegeben sowie $a$. Gesucht ist diesmal $p$.

    Sei $s$ die Anzahl der schwarzen Kugeln, dann ist $p=\frac{s}{10}$ die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen.

    Da Tim die Kugel immer wieder zurücklegt, ändert sich diese Wahrscheinlichkeit nicht.

    Du erhältst auch in dieser Aufgabe eine Ungleichung. Diese löst du mit Äquivalenzumformungen.

    Du musst allerdings nicht logarithmieren, sondern du musst die $10$-te Wurzel ziehen.

    Ansonsten ist der Lösungsweg analog zu dem bei der Bestimmung der Mindestanzahl.

    Lösung

    Manchmal wird statt nach der Mindestanzahl an Durchführungen eines Zufallsexperimentes auch nach der Mindest-Trefferwahrscheinlichkeit gefragt. Du gehst dann so ähnlich vor wie bei den Mindestanzahl-Aufgaben.

    Sammle zunächst, was du bereits weißt. Es gilt $a=0,88$ und $n=10$.

    Gesucht ist die Anzahl der schwarzen Kugeln $s$. Dazu finden wir zuerst die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ heraus.

    Im Folgenden steht „$X\ge 1$“ für „mindestens eine schwarze Kugel bei $10$-maligem Ziehen“ und „$X=0$“ für „keine schwarze Kugel bei $10$-maligem Ziehen“.

    $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^{10}$.

    Nun kannst du die Ungleichung aufstellen, welche sich dadurch ergibt, dass diese Wahrscheinlichkeit größer oder gleich der Mindestwahrscheinlichkeit sein soll:

    $1-(1-p)^{10}\ge0,88$

    Löse diese Ungleichung durch Äquivalenzumformungen sowie Ziehen der $10$-ten Wurzel.

    $\begin{array}{crclll} &1-(1-p)^{10}&\ge&0,88&|&-1\\ \Leftrightarrow&-(1-p)^{10}&\ge &-0,12&|&:(-1)~~(<0)\\ \Leftrightarrow&(1-p)^{10}&\le &0,12&|&\sqrt[10]{~~~}\\ \Leftrightarrow&1-p&\le &\sqrt[10]{0,12}\approx0,81&|&-1\\ \Leftrightarrow&-p&\le &-0,19&|&:(-1)~~(<0)\\ \Leftrightarrow&p&\ge &0,19 \end{array}$

    Bei unbekannter Anzahl $s$ der schwarzen Kugeln ist $p=\frac{s}{10}$. So erhältst du $\frac{s}{10}\ge 0,19$. Multiplikation mit $10$ führt zu $s\ge 1,9$. Da die Anzahl der schwarzen Kugeln sicher eine natürliche Zahl ist, erhältst du $s\ge 2$.

    Es müssen sich also mindestens $2$ schwarze Kugeln in der Urne befinden, damit Tim mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von $88~\%$ bei $10$-maligem Ziehen mit Zurücklegen mindestens eine schwarze Kugel zieht.

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