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Normalverteilung – Standardisierung der Binomialverteilung 08:48 min

Textversion des Videos

Transkript Normalverteilung – Standardisierung der Binomialverteilung

Hallo! Hier ist Mandy. Zur Annäherung an den Begriff der Normalverteilung, betrachten wir in diesem Video die Standardisierung der Binomialverteilung.Damit Du gut folgen kannst, erfolgt zunächst eine Wiederholung. Danach wird dir die Frage beantwortet: Wozu gibt es die Standardisierung der Binomialverteilung? Und zum Schluss erfährst Du, wie der Prozess der Standardisierung der Binomialverteilung genau funktioniert. Beginnen wir nun mit der Wiederholung. Binomialverteilungen haben etwas mit Bernoulli-Versuchen zu tun. Zur Berechnung der dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten benutzt man die Bernoulli-Formel. Wichtig zu wissen ist, dass die Anzahl der Erfolge k eine Zufallsgröße ist, die man in der Regel durch groß X darstellt. n beschreibt die Länge der Kette beziehungsweise die Anzahl der Durchführungen und p die Erfolgswahrscheinlichkeit.Die Bernoulli-Verteilung beschreibt die Verteilung der Zufallsgröße X. Also die Anzahl der Erfolge bei einem Durchgang. Also für n = 1. Dies kann man zum Beispiel durch ein solches Histogramm darstellen. Bei der Binomialverteilung hingegen, wird die Anzahl der Erfolge betrachtet bei einer Serie von unabhängigen Bernoulli-Versuchen. Also für beliebig große n ≥ 1. Wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit für jede Durchführung innerhalb des Versuchs gleich ist. Demnach ist die Bernoulli-Verteilung ein Spezialfall der Binomialverteilung. Der dazugehörige Erwartungswert E(X) beziehungsweise μ wird dann wie folgt berechnet: E(X) = μ = n * p. Also die Anzahl der Durchführungen multipliziert mit der Erfolgswahrscheinlichkeit. Die Standardabweichung σ(X) berechnet sich dann als Wurzel(Varianz) = Wurzel(n * p * (1 - p)). Nun wollen wir die Frage klären: Wozu gibt es die Standardisierung der Binomialverteilung. In unseren Tafelwerken können wir für Berechnungen zu Binomialverteilungen auch Tabellen nutzen. Daraus können wir zum Beispiel leicht ablesen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist bei 50 Versuchen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,6, 32 Treffer zu erhalten. Man könnte dann eine Wahrscheinlichkeit von 0,099 ablesen. Mit Hilfe solcher Tabellen kann man viel schneller Wahrscheinlichkeiten von Bernoulli-Ketten überblicken, als wenn man sie mühsam mit der Bernoulli-Formel berechnet. Die Tabellen im Tafelwerk gehen aber meist nur bis n = 100. Was machen wir nun aber, wenn wir Versuche betrachten, die mehr als 100 Durchgänge umfassen? So sind beispielsweise 500 Durchführungen in der Praxis nicht unrealistisch, da auf diese Weise die Abweichungen geringer sind und damit die Aussage über das Experiment verlässlicher ist. An solchen großen Zahlen scheitern selbst die meisten in der Schule verwendeten Taschenrechner. Um dieses Problem zu lösen, gibt es die Standardisierung der Binomialverteilung. Aber was ist das eigentlich genau? Man versucht dabei die Verteilungen mit unterschiedlichen Stichprobenumfängen durch verschiedene Umwandlungsoperationen zu vereinheitlichen. Dazu nutzen wir als Ausgangspunkt Histogramme, welche die Binomialverteilungen darstellen. Die Histogramme können dabei unterschiedlich ausfallen. Die Gestalt hängt einerseits von der Anzahl der Durchführungen n ab und andererseits von der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Diese Parameter haben einen Einfluss auf die Höhe der Säulen und auf die Position der höchsten Säule. Nutzen wir zur Veranschaulichung diese beiden Diagramme. So kann die größte Säule bei diesem Histogramm bei k = 2 liegen. Oder bei diesem Histogramm bei k = 5. Beide Säulen sind unterschiedlich hoch, obwohl die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich ist. Dies liegt an der unterschiedlichen Anzahl der Durchführungen. Je größer n ist, umso weiter rückt die höchste Säule nach rechts. Dadurch unterscheiden sich die Histogramme auch in deren Erwartungswerten und Standardabweichungen. Je größer n ist, umso größer ist auch der Erwartungswert E(X). Und je größer n ist, umso größer ist die Anzahl der Säulen des Histogramms. Dadurch wird das Histogramm breiter und flacher. Die Streuung beziehungsweise die Standardabweichung wird damit auch größer. Wir können jedoch auch eine Gemeinsamkeit erkennen. So ist die Säulenbreite bei allen Histogrammen stets gleich groß. Nämlich 1. Die Fläche der einzelnen Säulen lässt sich dann über die Bernoulli-Formel berechnen. Erhöht man nun immer weiter den Stichprobenumfang, also die Anzahl der Durchführungen n, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit p bei jedem Durchgang gleich bleibt, so nimmt das Histogramm eine ganz besondere Form an. Man nennt sie die "Glockenform". Beziehungsweise, wenn man die angenäherte Funktion betrachtet "Glockenkurve". Weil sie dem Umriss einer Glocke ähnelt. Durch die sogenannte Standardisierung erreicht man eine relativ einheitliche Form und Lage der Histogramme. Diese standardisierten Diagramme passen sich dann unabhängig von p bei größer werdendem n alle ein und derselben Glockenkurve an. Dies hat den Vorteil der besseren Vergleichbarkeit und Berechnungsgrundlage. Den Prozess der Standardisierung der Binomialverteilung schauen wir uns nun genauer an. Dieser erfolgt in drei Schritten.Im ersten Schritt beginnt man mit der Verschiebung der Kurve auf den Erwartungswert null. Dies gelingt in dem man den Erwartungswert von der Zufallsgröße X abzieht. Man erhält dadurch eine neue Zufallsvariable Y. Im zweiten Schritt erfolgt die Normierung der Standardabweichung auf den Wert 1. Dazu müssen wir unsere Zufallsvariable Y durch die Standardabweichung teilen. Wir erhalten dadurch wieder eine neue Zufallsvariable Z. Wenn wir Z durch diese ursprüngliche Zufallsvariable X darstellen wollen, müssen wir (X - μ)/σ(X) rechnen. Wir können beobachten, dass der wesentliche Teil des Histogramms unabhängig von n immer ungefähr gleich breit bleibt. Unsere ursprüngliche Gemeinsamkeit der Histogramme, dass die Säulenbreite jeweils eins beträgt, ändert sich durch diese Normierung. Sie beträgt nun 1/σ(X). Der Erwartungswert bleibt gleich. Im dritten und letzten Schritt wird der Nebeneffekt der veränderten Säulenbreite wieder ausgeglichen. Der Ausgleich der Säulenbreitenänderung erfolgt durch die Multiplikation der Formel mit der Standardabweichung σ(X). Es gilt dann. Da die Säulenbreite nun wieder eins beträgt, kann nun auch wieder die Berechnung der Flächeninhalte der einzelnen Säulen mit Hilfe der bekannten Bernoulli-Formel erfolgen. Die genauen Auswirkungen des Standardisierungsprozesses können wir den folgenden Abbildungen entnehmen. So liegen bei diesen Histogrammen eine unterschiedliche Anzahl an Durchführungen und somit unterschiedliche Glockenkurven vor. Durch den Standardisierungsprozess sehen sich alle Glockenkurven nun sehr ähnlich. Die Histogramme unterscheiden sich nun vor allem durch die unterschiedliche Anzahl an Säulen.Das war es schon wieder von mir. Daher sage ich nun: Bye, bye. Und bis zum nächsten Mal!

1 Kommentar
  1. 612fddc2 fe63 4e35 bafb 2645ff22bd74

    Kapier die Übung nicht! Dachte die Normalverteilung wird standardisiert...Was ist dann hier im Video die Normalverteilung?

    Von Julia7, vor etwa 2 Jahren

Normalverteilung – Standardisierung der Binomialverteilung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Normalverteilung – Standardisierung der Binomialverteilung kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zur Standardisierung der Binomialverteilung.

    Tipps
    • Der Erwartungswert $E(X)$ einer Zufallsgröße ist ein Lageparameter.
    • Die Standardabweichung $\sigma(X)$ ist ein Streuungsparameter.

    Für den Erwartungswert einer Zufallsgröße gilt $E(X-E(X))=E(X)-E(X)=0$.

    Lösung

    Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

    Dabei werden mehrstufige Zufallsversuche betrachtet: In jeder der $n$ Stufen wird ein Bernoulli-Versuch durchgeführt. Die einzelnen Versuche sind voneinander unabhängig. Vereinfacht bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeiten sich nicht ändern.

    Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung kann mit Hilfe von Histogrammen dargestellt werden. Die Höhe der einzelnen Säulen ist $P(X=k)$ mit der Anzahl der Treffer $k$.

    Wie kann nun eine solche Binomialverteilung standardisiert werden?

    1. Schritt

    Man verschiebt die Kurve so, dass der Erwartungswert $E(Y)=0$ ist. $Y$ ist eine neue Zufallsvariable. Diese erhältst du durch Abziehen des Erwartungswertes von der Zufallsvariable $X$, also $Y=X-E(X)$.

    2. Schritt:

    Nun wird die Standardabweichung auf den Wert $\sigma(Z)=1$ gebracht. Dies erreichst du durch $Z=\frac{Y}{\sigma(X)}$. Dadurch verändert sich der Erwartungswert nicht. Die Säulen in dem Histogramm haben nun nicht mehr die Breite $1$, sondern $\frac{1}{\sigma(X)}$.

    3. Schritt:

    Zuletzt wird die Zufallsgröße $Z$ mit $\sigma(X)$ multipliziert. Anschaulich dient dies dazu, dass die Höhe der Säulen so vergrößert wird, dass der ursprüngliche Flächeninhalt wiederhergestellt wird.

  • Beschreibe die Bedeutung der Parameter in der Formel nach Bernoulli.

    Tipps

    Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes eine Zahl zu.

    Schau dir ein Beispiel an.

    Du wirfst eine Münze $5$-mal. Ein mögliches Ergebnis wäre das $5$-Tupel $($K|K|Z|Z|Z$)$.

    Dabei steht „K“ für „Kopf“ und „Z“ für „Zahl“.

    Eine mögliche Zuordnung wäre $($K|K|Z|Z|Z$)~\rightarrow~3$, die Häufigkeit des Auftretens von „Zahl“.

    $1-p$ ist ist die Gegenwahrscheinlichkeit von $p$, also die Wahrscheinlichkeit dafür, nicht zu treffen.

    Lösung

    Hier siehst du die Formel nach Bernoulli.

    Diese verwendest du zur Berechnung von Punktwahrscheinlichkeiten bei Bernoulliketten. Was ist eine Bernoullikette? Das $n$-malige Hintereinander-Durchführen voneinander unabhängiger Bernoulli-Experimente führt zu einer Bernoullikette der Länge $n$. In dieser können Treffer $T$ oder Nichttreffer $\overline{T}$ vorkommen.

    Die Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis dieses mehrstufigen Zufallsversuchs die Anzahl $k$ der Treffer zu. Hierfür steht „$X=k$“.

    Die Wahrscheinlichkeit $p=P(T)$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit oder auch Erfolgswahrscheinlichkeit. Demzufolge ist $1-p$ die Gegenwahrscheinlichkeit von $p$, die Wahrscheinlichkeit, nicht zu treffen, also die Misserfolgswahrscheinlichkeit.

    Zusammengefasst kannst du dir merken:

    • $X$: Zufallsgröße
    • $k$: Anzahl der Treffer
    • $n-k$: Anzahl der Nichttreffer
    • $n$: Länge der Bernoullikette (Wie oft wird das Bernoulli-Experiment hintereinander durchgeführt?)
    • $p$: Erfolgswahrscheinlichkeit
    • $1-p$: Misserfolgswahrscheinlichkeit
  • Gib die Formeln zur Berechnung des Erwartungswertes $E(X)$ sowie der Standardabweichung $\sigma(X)$ der Binomialverteilung an.

    Tipps

    Schau dir ein Beispiel an: Wenn du eine Münze $10$-mal wirfst, ist der Erwartungswert $E(X)=5$.

    In dem obigen Beispiel ist $n=10$ und $p=0{,}5$.

    Die Standardabweichung kannst du auch so schreiben:

    $\sigma(X)=\sqrt{E(X)\cdot (1-p)}$.

    Lösung

    Zur Standardisierung einer Binomialverteilung benötigst du sowohl den Erwartungswert $E(X)$ als auch die Standardabweichung $\sigma(X)$ der Binomialverteilung.

    Diese sind wie folgt gegeben:

    • $E(X)=n\cdot p$ und
    • $\sigma(X)=\sqrt{E(X)\cdot (1-p)}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.
    Dabei ist

    • $n$ die Länge der Bernoullikette,
    • $p$ die Erfolgswahrscheinlichkeit,
    • $1-p$ die Misserfolgswahrscheinlichkeit und
    • $X$ eine binomial verteilte Zufallsgröße.
  • Wende das Standardisierungsverfahren für die Binomialverteilung an.

    Tipps

    Verwende

    • $E(X)=n\cdot p$ und
    • $\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.

    Hier ist $n=100$ und $p=0{,}5$.

    Lösung

    Zur Standardisierung einer Binomialverteilung musst du deren Erwartungswert sowie Standardabweichung berechnen. Verwende hierfür die folgenden Formeln:

    • $E(X)=n\cdot p$ und
    • $\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.
    Hier ist $n=100$ und $p=0{,}5$ und damit gilt:

    • $E(X)=100\cdot 0{,}5=50$ und
    • $\sigma(X)=\sqrt{100\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5}=\sqrt{25}=5$.
    Nun starten wir mit der Standardisierung.

    1. Verschieben des Histogramms führt zu $Y=X-50$. Damit ist $E(Y)=0$.
    2. Division durch $\sigma(X)$ führt zu $Z=\frac{Y}{5}=\frac{X-50}5=\frac X5-10=0{,}2\cdot X-10$.
    3. Damit die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke wieder der Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ entsprechen, multiplizierst du zuletzt die Zufallsvariable wieder mit $\sigma$.
  • Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung der binomial verteilten Zufallsvariable.

    Tipps

    Verwende $E(X)=n\cdot p$.

    Es ist $\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$.

    Lösung

    Hier siehst du das zu dem oben beschriebenen mehrstufigen Zufallsexperiment gehörende Histogramm.

    Du musst dir immer zunächst klarmachen, ob es sich überhaupt um eine Bernoullikette handelt. Eine Bernoullikette ist ein mehrstufiger Zufallsversuch, in dem

    • die einstufigen Zufallsversuche Bernoulliversuche sind und
    • diese voneinander unabhängig sind.
    Es gibt nur zwei Ergebnisse, nämlich das Ziehen einer roten Kugel (Treffer) oder das Ziehen einer grünen Kugel (Nicht-Treffer). Es liegt also eine Bernoulli-Versuch vor.

    Da die Kugel nach dem Ziehen zurückgelegt wird, sind die einzelnen Versuche voneinander unabhängig. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeiten sich nicht ändern.

    Mach dir nun die für den Erwartungswert und die Standardabweichung die benötigten Parameter klar.

    • $n$ ist die Länge der Bernoullikette, das heißt die Anzahl der Durchführungen des Experimentes. Hier ist $n=5$.
    • $p$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit. Da $2$ von $5$ Kugeln rot sind, ist $p=\frac25=0,4$.

    Nun kann es losgehen.

    • $E(X)=n\cdot p$, also hier $E(X)=5\cdot 0,4=2$
    • $\sigma(X)=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$, also hier $\sigma(X)=\sqrt{5\cdot 0,4\cdot 0,6}\approx1,0954$
  • Ermittle die jeweiligen Zufallsgrößen zur Standardisierung der Binomialverteilung.

    Tipps

    Der Erwartungswert ist $E(X)=4$.

    Es ist $E(Y)=0$.

    Lösung

    Zur Standardisierung der Binomialverteilung gehst du wie folgt vor:

    • Durch Einführen der Zufallsvariablen $Y=X-E(X)$ verschiebst du das Histogramm so, dass der Erwartungswert $E(Y)=0$ ist. Dadurch liegt der Erwartungswert der neuen Zufallsvariable auf der vertikalen Achse. Es ist $E(X)=10\cdot 0,4=4$, also $Y=X-4$.
    • Schließlich führst du eine weitere Zufallsvariable $Z$ so ein, dass $\sigma(Z)=1$ ist. Dies erreichst du durch $Z=\frac{Y}{\sigma(X)}$. Hier ist $\sigma(X)=\sqrt{10\cdot 0,4\cdot 0,6}\approx1,5492$, also $Z=\frac{Y}{1,5492}=\frac{X-4}{1,5492}$.
    • In dem Bild kannst du erkennen, dass sich die Breite der einzelnen Rechtecke verändert hat. Deren Flächeninhalt entspricht nun nicht mehr der Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$. Um dies passend zu machen, multiplizierst du abschließend die Zufallsgröße wieder mit der Standardabweichung $\sigma$.