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Normalverteilung – Globale Näherungsformel von De Moivre und Laplace 10:50 min

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Transkript Normalverteilung – Globale Näherungsformel von De Moivre und Laplace

Hallo! Hier ist Mandy!

Hier erfährst du, wozu man die globale Näherungsformel von De Moivre und Laplace benötigt und wie man sie anwendet. Dazu erhältst du als Einstieg zunächst eine Wiederholung. Dann betrachten wir die Globale Näherungsformel etwas genauer und wenden sie dann auf ein Beispiel an. Zum Schluss gibt es eine Zusammenfassung.
Bisher hast du die lokale Näherungsformel von De Moivre und Laplace kennengelernt. Dabei ging es darum die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, zum Beispiel von k=3, näherungsweise zu berechnen. Den exakten Wert kann man über die Bernoulli-Formel bestimmen oder in Tabellen ablesen. Es ist genau dann sinnvoll die Näherungsformel der Bernoulli-Formel vorzuziehen, wenn die Anzahl der Durchführungen so groß ist, dass sie mit der Bernoulli-Formel nur schwer oder gar nicht zu lösen ist. Der angenäherte Wert ist dann besonders genau, je größer die Standardabweichung ist. Sie sollte insbesondere laut Laplace-Bedingung größer als 3 sein. Zusammenfassend können wir für die lokale Näherungsformel folgenden Satz formulieren. Betrachtet man die Fläche unter der Gauß´schen Glockenkurve so kann sie über die Gauß´sche Integralfunktion berechnet werden. Nun zur Globalen Näherungsformel von De Moivre und Laplace. Dazu gibt es noch ein paar Vorbetrachtungen. Ein typisches Histogramm zu einer binomialverteilten Zufallsgröße sieht zum Beispiel folgendermaßen aus. Bei der Binomialverteilung kann man nicht nur Wahrscheinlichkeiten zu einzelnen Ergebnissen betrachten, wie beispielsweise P(X=8). Hier entspräche die Fläche der Säule zu k=8 der Wahrscheinlichkeit P(X=8). Für große n wendet man hier die lokale Nöäherungsformel an. Man kann aber auch sogenannte kumulierte Wahrscheinlichkeiten betrachten. Dabei umfasst die betrachtete Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Intervall der Binomialverteilung, welches sich aus mehreren Ergebnissen zusammensetzen kann. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn man die Wahrscheinlichkeit zu einem Ereignis betrachtet, welches alle Ergebnisse umfasst, die <10 oder allgemein gesagt <k sind. Zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit kann man für relativ kleine n die die Werte in entsprechenden kumulierten Tabellen ablesen. Da dies aber für große n sehr aufwendig ist, kann man diese Wahrscheinlichkeit auch über die globale Näherungsformel berechnen. Dazu benötigen wir aber eine normalverteilte Zufallsgröße. Also erfolgt eine Umwandlung der binomialverteilten Zufallsgröße in eine normalverteilte. Das entsprechende Histogramm sieht dann folgendermaßen aus. Die Zufallsvariable ist nun groß Z und aus k wurde klein z.
Vergleicht man nun beide Flächen miteinander, so stellt man fest, dass sie den gleichen Flächeninhalt haben. Nur die Gestalt der Säulen hat sich geändert. Für große n kann die Binomialverteilung durch die Gauß´sche Glockenkurve angenähert werden. Das dazugehörige Diagramm nimmt dann die folgende Form an. Der Flächeninhalt unter der Kurve wird mit groß phi von z bezeichnet. Die Berechnung erfolgt mithilfe der Gauß´schen Integralfunktion. Bevor wir allerdings mit der Berechnung starten, muss eine wichtige Bedingung erfüllt werden, um die Genauigkeit der angenäherten Werte zu erhöhen. Als Erstes prüfst du, ob die Laplace-Bedingung erfüllt ist, also ob die Standardabweichung größer als 3 ist. Ist diese Voraussetzung erfüllt, kann im nächsten Schritt die obere Integrationsgrenze bestimmt werden. Die Standardabweichung hast du dir schon bei der Laplace-Bedingung berechnet. Den Erwartungswert kannst du schnell über die Formel n*p berechnen. Anschließend kannst du mithilfe dieser Werte den Funktionswert der Gauß´schen Integrationsfunktion groß phi von z, also die gesuchte Wahrscheinlichkeit, mithilfe einer Tabelle bestimmen. Hast du alle Schritte durchgeführt, gilt die Näherung.

Ein Beispiel soll dir jetzt verdeutlichen, wie man die Formeln richtig anwendet. Die Aufgabe lautet: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 2000 Würfen einer fairen Münze höchstens 1050 Mal Wappen erscheint? Gegeben ist n=2000 und die Höchstanzahl der Erfolge k=1050. Des Weiteren beträgt p 0,5. Gesucht ist dann P(X1050) bzw. F1000;0,5(1050). Nun zur Lösung.
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit über die globale Näherungsformel wenden wir die drei Schritte an. Zuerst berechnen wir die Standardabweichung = Wurzel aus np(1-p), um zu prüfen, ob die Laplace-Bedingung erfüllt ist. Wir setzen ein und erhalten 500. Demnach ist die Standardabweichung deutlich größer als 3. Also können wir zum nächsten Schritt übergehen. Nun berechnen wir die obere Integrationsgrenze z mit dieser Formel. kennen wir schon, aber muss noch berechnet werden. ist gleich 2000*0,5, , also 1000. Nun setzen wir die Werte ein. Das ergibt 0,101 . Nun können wir im dritten Schritt die Wahrscheinlichkeit bzw. den Funktionswert von groß phi von 0,10 aus der Tabelle ablesen: 0,5398. Nach dem Anwenden der Näherungsformel werden also beim Werfen der Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 54% höchstens 1050 Wappen geworfen.

Jetzt noch einmal das Wichtigste zusammengefasst. Die globale Näherungsformel von De Moivre und Laplace wird verwendet, wenn für eine kumulierte Binomialverteilung Wahrscheinlichkeiten zu Ereignissen mit großen n berechnet werden sollen. Die Wahrscheinlichkeit kann über den Flächeninhalt der Fläche unter der Gauß´schen Glockenkurve berechnet werden. Diese Fläche wird dann durch P(X<k) beschrieben, was ungefähr der Gauß´schen Integralfunktion groß phi von z entspricht. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit geht man wie folgt vor. Zuerst prüft man, ob die Laplace-Bedingung erfüllt ist. Danach bestimmt man die obere Integrationsgrenze. Zum Schluss bezieht man die Gauß´sche Integralfunktion groß phi von z ein, in dem man zu der berechneten Größe z den Funktionswert von groß phi von z aus der Tabelle abliest.

Das war´s schon wieder von mir. Daher sage ich nun bye bye und bis zum nächsten Mal!