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Standardisierung der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dabei wird jedem $k$ die Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ durch die Formel von Bernoulli zugeordnet:

$P(X=k)=B_{n;p}(k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

Die Variablen $n$, $p$, $k$ haben folgende Bedeutung:

  • $n$ ist die Länge der Bernoullikette, also die Anzahl der Durchführungen des Experimentes.
  • $p$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit und
  • $k$ ist die Anzahl der Treffer eines mehrstufigen Bernoulli-Experimentes

Hier siehst du die Binomialverteilung für $p=0,2$ und $n=10$.

1225_Binomialverteilung.jpg

Um Punktwahrscheinlichkeiten $P(X=k)$ zu erhalten, kannst du Tabellen verwenden. Diese Tabellen gehen aber oftmals nur bis $n=100$. Wie können also Wahrscheinlichkeiten berechnet werden, wenn $n$ größer wird?

Möchtest du Intervallwahrscheinlichkeiten $k_1<p<k_2$ für hohe $n$ berechnen, wirst du keine geeigneten Tabellen finden.

An dieser Stelle kommt die Normalverteilung ins Spiel, die durch die Standardisierung der Binomialverteilung zustande kommt.

Normalverteilung

Die Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird nach ihrem Entdecker auch als Gauß-Verteilung bezeichnet.

1226_CFGauss.jpg

Carl-Friedrich Gauß (geb. 30. April 1777, gest. 23. Februar 1855) war ein bedeutender deutscher Mathematiker. Er wurde bereits zu Lebzeiten als Fürst der Mathematik bezeichnet. Auf ihn geht unter anderem die Gauß-Funktion oder (Gauß'sche) Glockenkurve zurück, welche sich auf dem letzten 10 DM Schein befand.

1226_Gauß_sche_Glockenkurve.jpg

Die blaue Kurve zeigt die zur Normalverteilung gehörende Dichtefunktion. Du kannst sicherlich die Ähnlichkeit zur obigen Binomialverteilung erkennen. Deren Dichtefunktion ist gegeben durch:

$\large{\psi(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-0,5\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}}$

Zu der zugehörigen Verteilungsfunktion, der Gauß-Funktion, gelangst du durch Integration:

$\large{\phi(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}~\int\limits_{-\infty}^{x} e^{-0,5\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}dt}$

Für $\mu=0$ und $\sigma=1$ erhältst du die Standardnormalverteilung, welche so wie die rote Kurve aussehen könnte.

Die Parameter der Normalverteilung

Die Parameter der Normalverteilung sind $\mu$, $\sigma$ und $\sigma ^2$:

  • Der Erwartungswert $\mu=n \cdot p$ beschreibt die Stelle, an welcher die Dichtefunktion ihren höchsten Wert annimmt.
  • Die Standardabweichung $\sigma= \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ sowie die Varianz $\sigma ^2$ sind Maße für die Streuung der Verteilung.

Schauen wir uns hierzu ein Beispiel an.

Beispiel

Du würfelst mit einem Würfel $n=120$ mal. Du möchtest wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, $k=20$ mal eine $6$ zu würfeln. Diese Wahrscheinlichkeit kann auch mit der Formel von Bernoulli berechnet werden. Um diese Wahrscheinlichkeit mithilfe der Normalverteilung anzunähern, benötigst du den Erwartungswert $\mu$ sowie die Standardabweichung $\sigma$.

  • $p=\frac16$
  • $\mu=n \cdot p = 120\cdot \frac16=20$ und
  • $\sigma =\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{120\cdot \frac16\cdot \frac56}\approx 4,08$

Bevor nun die Wahrscheinlichkeit mithilfe der Verteilungsfunktion näherungsweise berechnet werden kann, muss die Laplace-Bedingung überprüft werden: Die Standardabweichung muss größer als $3$ sein.

$\sigma=\sqrt{120\cdot \frac16\cdot\frac56}\approx 4,08 >3~\surd$

Da dies hier der Fall ist, kann nun die Wahrscheinlichkeit berechnet werden:

$B_{n;p}(20)\approx \psi(20)=\frac1{4,09\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-0,5\left(\frac{20-20}{4,09}\right)^2}\approx 0,0389$

Dabei können wir diese Beobachtungen machen: Je größer $n$ ist,

  • desto größer wird die Standardabweichung.
  • umso mehr nähert sich die Binomialverteilung der Normalverteilung an.
  • umso besser kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit angenähert werden.

Sigma-Regeln

Wir können Aussagen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung treffen, wenn wir den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma>3$ einer Normalverteilung kennen. Hierfür gibt es die Sigma-Regeln. Diese geben Abschätzungen für Intervallwahrscheinlichkeiten an.

  • 1-$\sigma$ - Regel: $P(\mu-1\cdot \sigma\le X \le \mu+1\cdot\sigma)\approx 0,680$
  • 2-$\sigma$ - Regel: $P(\mu-2\cdot \sigma\le X \le \mu+2\cdot\sigma)\approx 0,955$
  • 3-$\sigma$ - Regel: $P(\mu-3\cdot \sigma\le X \le \mu+3\cdot\sigma)\approx 0,997$

Fassen wir dies einmal in Worte: Stellen wir uns die Dichtefunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung vor.

  • Wenn wir nun, vom Erwartungswert ausgehend, eine Standardabweichung $\sigma$ nach links und eine nach rechts gehen, haben wir damit $68~\%$ der möglichen Ergebnisse abgedeckt.
  • Gehen wir zwei Standardabweichung $\sigma$ nach links und rechts, so befinden sich in diesem Intervall $95,5~\%$ der möglichen Ergebnisse.