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Normalverteilung – Gaußsche Integralfunktion

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Die Autor/-innen
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Mandy F.
Normalverteilung – Gaußsche Integralfunktion
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Normalverteilung – Gaußsche Integralfunktion

Hallo! Nachdem du die Gauß´sche Glockenkurve kennen gelernt hast, schauen wir uns nun die Gauß´sche Integralfunktion näher an. So lernst du einerseits ihre Bedeutung und andererseits ihre Formel kennen. Des Weiteren wird dir gezeigt, wie man mit ihr Wahrscheinlichkeiten bestimmen kann. Dazu rechnen wir auch gemeinsam ein Beispiel durch. Zusätzlich betrachten wir noch weitere Fälle, in denen die Gauß´sche Integralfunktion benötigt wird, um Wahrscheinlichkeiten zu bestimmmen. In diesem Zusammenhang ist es wichtig zu wissen, was unter einer kumulierten Binomialverteilung zu verstehen ist und wie die Bernoulli-Formel lautet. Viele Diagramme helfen dir dabei, alle Inhalte gut nachzuvollziehen. Viel Spaß!

Transkript Normalverteilung – Gaußsche Integralfunktion

Hallo! Hier ist Mandy!

Dich werden in diesem Video Erklärungen und eine Übung zu der Gauß´schen Integralfunktion erwarten. Dazu erhältst du zuerst eine Wiederholung, die dich zum Thema Gauß´sche Integralfunktion heranführt. Anschließend lernst du, wie man die Funktionswerte der Integralfunktion aus der Tabelle ablesen kann. Am Ende erhältst du eine Zusammenfassung. Wir beginnen zuerst mit der Wiederholung zu binomialverteilten Zufallsgrößen. Um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu berechnen, kann man schnell die Bernoulli-Formel anwenden oder die Werte in Tabellen ablesen. Man kann sich aber auch die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses anschauen, zu welchem mehrere Ergebnisse gehören. Man spricht dann von einer kumulierten Binomialverteilung, da sich mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten ansammeln bzw. anhäufen. Die Wahrscheinlichkeit entspricht hierbei dem Flächeninhalt der eingefärbten Säulen. In diesem Falle kann der Rechenweg etwas aufwendiger sein. Nutzen wir zur näheren Erläuterung dieses Beispiel. Hier ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, bei 15 Durchgängen höchstens 10 Erfolge zu erzielen. Man schreibt dann P(X<10) bzw. im allgemeinen Falle P(X<k) = Fn;p(k). Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, muss man alle zu berücksichtigenden Einzelwahrscheinlichkeiten addieren. Die Einzelwahrscheinlichkeiten werden wie gewohnt über die Bernoulli-Formel berechnet oder auch hier in Tabellen abgelesen. Bei großem n ist dieser Rechenweg jedoch sehr aufwendig. Deshalb nutzt man in solchen Fällen eine andere Methode, in der die Gauß´sche Integralfunktione eine große Rolle spielt. Zunächst wandelt man dazu die binomialverteilte Zufallsgröße in eine normalverteilte um. An dem Inhalt der Fläche, somit auch an der Wahrscheinlichkeit, ändert sich dabei zunächst noch gar nichts. Wir wissen auch, dass wir die Verteilung durch die Gauß´sche Glockenkurve annähern können. Dann ergibt sich folgendes Diagramm. klein phi von z beschreibt hier die Gauß´sche Glockenkurve. Sie wird auch Dichtefunktion genannt. Die Fläche, die die Dichtefunktion mit der x-Achse einschließt, kann nun nicht mehr so einfach durch die Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten ermittelt werden. Aus der Analysis wissen wir aber, dass uns hier das Integral helfen kann. In unserem Falle kann diese Fläche durch die Gauß´sche Integralfunktion groß phi von z beschrieben werden. In einer Formel ausgedrückt bedeutet dies groß phi von z ist das Integral von der Gauß´schen Glockenkurve klein phi von z in den Grenzen von - unendlich bis z. Um die Fläche der k-ten Säule vollständig zu berücksichtigen, muss eine sogenannte Stetigkeitskorrektur vorgenommen werden. Dazu addiert man die halbe Säulenbreite zu z hinzu und erhält dann für z die Formel. Die Wahrscheinlichkeit P(X<k) bzw. Fn;p(k) kann also durch die Gauß´sche Integralfunktion groß phi von z annähernd bestimmt werden. Setzt man nun in die Funktionsgleichung der Gauß´schen Integralfunktion die Funktionsgleichung für phi(z) ein.

Diese komplizierte Formel musst du aber nicht anwenden. Wichtig ist, dass du deren Bedeutung kennst. Denn in der Praxis liest man die Funktionswerte aus einer Tabelle ab. Womit wir nun bei Gliederungspunkt 3 sind. Dazu betrachten wir das folgende Beispiel: Ein Würfel wird 100 Mal geworfen und die Wahrscheinlichkeit betrachtet, dass höchstens 10 Mal eine 6 geworfen wird. Gegeben ist also n=100, die Erfolgswahrscheinlichkeit p=1/6 und die Höchstanzahl der Erfolge mit k=10. Gesucht ist dann P(X<10). Bei den Berechnungen zu z runden wir stets auf die Hundertstel, also erhalten wir letztlich -1,65.

Es ergibt sich also ein negativer Wert. Dieses können wir noch nicht direkt nutzen, da sich aus der Tabelle nur positive Werte ablesen lassen. Dies ist aber kein Problem. Denn, wenn wir uns die Flächeninhalte genauer ansehen, stellen wir fest, dass die Gauß´sche Glockenkurve symmetrisch ist. Der kleine farbige Flächeninhalt in den Grenzen - unendlich bis 1,65 stimmt dann also mit dem farblosen kleinen Flächeninhalt in den Grenzen 1,65 bis unendlich überein. In der Tabelle können wir nun den Funktionswert ablesen. Dazu suchen wir links in der Spalte die1,6 und oben im Tabellenkopf die Hundertstelstelle 5 und lesen den Wert 0,9505 ab. Wir rechnen letztlich 1-0,9505, was 0,0495 ergibt. Unsere Wahrscheinlichkeit höchstens 10 6en zu würfeln beträgt also ungefähr 5%.

Bisher haben wir uns Wahrscheinlichkeiten angesehen, die lediglich durch eine Höchstgrenze definiert werden.
Wir betrachten jetzt noch weitere Fälle, bei denen die Integralfunktion genutzt wird. Ein Sonderfall ist die Integralfunktion in den Grenzen - unendlich bis + unendlich. Da in diesem Falle jedes Ergebnis der Stichprobe berücksichtigt wird, beträgt die Gesamtwahrscheinlichkeit 1. Das heißt, mit einer Wahrscheinlichkeit von 100% treten höchstens n Erfolge ein.

Es kann aber auch sein, dass eine Wahrscheinlichkeit betrachtet wird, bei der eine Mindestanzahl und eine Höchstanzahl von Erfolgen besteht. Das heißt, dass es eine klar definierte untere und obere Grenze gibt. In diesem Falle subtrahiert man den Funktionswert der Integralfunktion für die untere Grenze z1 von dem Funktionswert der Integralfunktion für die obere Grenze z2. Sollte die untere Grenze z1, wie in der Abbildung gezeigt, negativ sein, so muss man hier die Formel anwenden.

Zusammenfassend kannst du dir für die Gauß´sche Integralfunktion merken: Man nutzt sie insbesondere, um Wahrscheinlichkeiten einer kumulierten Binomialverteilung mit einer hohen Anzahl von Durchführungen näherungsweise berechnen zu können.
Sie wird beschrieben durch das Integral der Gauß´schen Glockenkurve in den Grenzen - unendlich bis z. Sollte z negativ sein, so nutzen wir die Formel, da man beim Ablesen der Funktionswerte von groß phi von z aus der Tabelle nur positive Werte ablesen kann. Das war´s schon wieder von mir. Daher sage ich nun bye bye und bis zum nächsten Mal!

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