Normalverteilung – Anwendung der Näherungsformeln

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Normalverteilung – Anwendung der Näherungsformeln
Normalverteilung – Anwendung der Näherungsformeln Übung
-
Berechne mit Hilfe der globalen Näherungsformel die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
TippsDer Erwartungswert ist wie folgt definiert: $~\mu=n\cdot p$
Du entnimmst der Tabelle den Wert für $\Phi(z)$ wie folgt:
- In der ersten Tabellenspalte findest du den Wert für $z$ bis zur ersten Nachkommastelle.
- Die restlichen Stellen hinter dem Komma findest du in der ersten Tabellenzeile.
- $\Phi(z)$ steht dann in der Zelle, bei der sich die jeweilige Tabellenzeile und -spalte schneiden.
LösungGegeben:
- $n=500$
- $k=22$
- $p=0,04$
- $P(X\leq k)$
Schritt 1: Laplace-Bedingung überprüfen. Damit zeigen wir, dass unsere Wahrscheinlichkeit eine hohe Genauigkeit aufweist. Wir erhalten:
- $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{500\cdot 0,04\cdot (1-0,04)}\approx 4,38$ $>3~\checkmark$
- $z=\dfrac {k-\mu+0,5}{\sigma}$
- $z=\dfrac {k-n\cdot p+0,5}{\sigma}=\dfrac {22-500\cdot 0,04+0,5}{4,38}\approx 0,57$
$P(X\leq 22)\approx\Phi(0,57)\approx 0,7157$
Antwort
Mit $71,57\%$ sind an einem Tag höchstens $22$ Leute krank.
-
Bestimme mit Hilfe der globalen Näherungsformel die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
TippsDie Laplace-Bedingung lautet:
- $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}>3$
Es gilt:
- untere Grenze: $~z_1=\dfrac {k_1-1-\mu+0,5}{\sigma}$
- obere Grenze: $~z_2=\dfrac {k_2-\mu+0,5}{\sigma}$
Es gilt:
- $P(k_1\leq k\leq k_2)\approx\Phi(z_2)-\Phi(z_1)$
Für einen negativen $z$-Wert brauchst du folgenden Zusammenhang, da du in der Tabelle keine negativen $z$-Werte findest:
- $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$
LösungGegeben:
- $n=200$
- $k_1=130$
- $k_2=140$
- $p=0,7$
- $P(k_1 \leq X \leq k_2)=P(130\leq X \leq 140)$
Schritt 1: Laplace-Bedingung überprüfen. Damit zeigen wir, dass unsere Wahrscheinlichkeit eine hohe Genauigkeit aufweist. Wir erhalten:
- $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{200\cdot 0,7\cdot (1-0,7)}\approx 6,48 $ $>3~\checkmark$
- $z_1=\dfrac {k_1-1-\mu+0,5}{\sigma}=\dfrac {k_1-1-n\cdot p+0,5}{\sigma}\approx\dfrac {130-1-200\cdot 0,7+0,5}{6,48}\approx -1,62$
- $z_2=\dfrac {k_2-\mu+0,5}{\sigma}=\dfrac {k_2-n\cdot p+0,5}{\sigma}\approx\dfrac {140-200\cdot 0,7+0,5}{6,48}\approx 0,08$
Einen negativen Wert können wir nicht aus der Tabelle ablesen. Es gilt $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ und damit folgt:
- $\Phi(-1,62)=1-\Phi(1,62)=1-0,9474=0,0526$
- $\Phi(0,08)=0,5319$
- $P(130\leq X \leq 140)\approx\Phi(0,08)-\Phi(-1,62)\approx 0,5319-0,0526=0,4793$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund $47,93\%$ schafft es Max bei $200$ Durchführungen, den Ball zwischen $130$ und $140$ Mal hochzuhalten.
-
Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit, indem du die lokale Näherungsformel nutzt.
TippsWenn $20$ Kugeln in einer Urne liegen, von denen $6$ blau sind, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit, dass man eine blaue Kugel zieht $\dfrac 6{20}=\dfrac 3{10}$.
Die lokale Näherungsformel ist wie folgt definiert:
$B_{n;p}(X=k) \approx \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)^2} $
LösungBeispiel 1
Folgende Größen können wir direkt ableiten:
- $n=50$
- $k=3$
- $p=\dfrac 3{12}=\dfrac 14$
- $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{50\cdot \dfrac 14\cdot (1-\dfrac 14)}\approx 3,06>3~\checkmark$
$\begin{array}{lll} B_{50;\frac 14}(X=3) &\approx& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &=& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-n\cdot p}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &\approx& \dfrac {1}{3,06\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{3-50\cdot \frac 14}{3,06}\right)^2} \\ \\ &\approx& 0,001 \end{array}$
Beispiel 2
Folgende Größen können wir direkt ableiten:
- $n=45$
- $k=12$
- $p=\dfrac 4{12}=\dfrac 13$
- $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45\cdot \dfrac 13\cdot (1-\dfrac 13)}\approx 3,16>3~\checkmark$
$\begin{array}{lll} B_{45;\frac 13}(X=12) &\approx& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &=& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-n\cdot p}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &\approx& \dfrac {1}{3,16\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{12-45\cdot \frac 13}{3,16}\right)^2} \\ \\ &\approx& 0,0804 \end{array}$
-
Erschließe mit Hilfe der globalen Näherungsformel die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
TippsDu benötigst die folgenden Formeln:
- $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$
- $z=\dfrac {k-\mu+0,5}{\sigma}$
Es gilt: $~\Phi(-z)=1-\Phi(z)$
LösungGegeben:
- $n=80$
- $k=5$
- $p=\dfrac 16$
- $P(X\leq 5)$
Schritt 1: Laplace-Bedingung überprüfen. Damit zeigen wir, dass unsere Wahrscheinlichkeit eine hohe Genauigkeit aufweist. Wir erhalten:
- $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{80\cdot \frac 16\cdot (1-\frac 16)}\approx 3,33 $ $>3~\checkmark$
- $z=\dfrac {k-\mu+0,5}{\sigma}$
- $z=\dfrac {k-n\cdot p+0,5}{\sigma}=\dfrac {5-80\cdot \frac 16+0,5}{3,33}\approx -2,35 $
$P(X\leq 5)\approx\Phi(-2,35)=1-\Phi(2,35)\approx 1-0,9906=0,0094\approx0,01$
Antwort
Mit rund $1\%$ wird bei $80$ Versuchen höchstens $5$ Mal die $3$ gewürfelt.
-
Gib mit Hilfe der lokalen Näherungsformel die gesuchte Wahrscheinlichkeit an.
TippsDer Erwartungswert $\mu$ entspricht dem Produkt aus der Anzahl der Versuche $n$ und der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.
LösungGegeben: $~n=150$; $~p=\dfrac 16$; $~k=30$
Gesucht: $~B_{150;\frac16} (X=30)$
Lösung:
Schritt 1:
Überprüfung der Laplace-Bedingung:
- $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{150\cdot \dfrac 16\cdot (1-\dfrac 16)}\approx 4,56>3~\checkmark$
Anwendung der lokalen Näherungsformel:
$\begin{array}{lll} B_{150;\frac 16}(X=30) &\approx& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &=& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-n\cdot p}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &\approx& \dfrac {1}{4,56\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{30-150\cdot \frac 16}{4,56}\right)^2} \\ \\ &\approx& 0,048 \end{array}$
Antwort:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund $4,8\%$ wird bei einem $150$-maligen Wurf eines Würfels genau $30$ Mal eine $2$ gewürfelt.
-
Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
TippsEs gilt: $P(k_1\leq X\leq k_2)\approx \Phi(z_2)-\Phi(z_1)$
Du brauchst folgende Größen:
- $\sigma$
- $z_1$
- $z_2$
- $\Phi(z_1)$
- $\Phi(z_2)$
$z_1$ ist negativ. Du rechnest dann:
$\Phi(z_1)=1-\Phi(|z_1|)$$
LösungGegeben:
- $n=1000$
- $k_1=20$
- $k_2=50$
- $p=0,03$
- $P(k_1 \leq X \leq k_2)=P(20\leq X \leq 50)$
Schritt 1: Laplace-Bedingung überprüfen. Damit zeigen wir, dass unsere Wahrscheinlichkeit eine hohe Genauigkeit aufweist. Wir erhalten:
- $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{1000\cdot 0,03\cdot (1-0,03)}\approx 5,39 $ $>3~\checkmark$
- $z_1=\dfrac {k_1-1-\mu+0,5}{\sigma}=\dfrac {k_1-1-n\cdot p+0,5}{\sigma}\approx\dfrac {20-1-1000\cdot 0,03+0,5}{5,39}\approx -1,95$
- $z_2=\dfrac {k_2-\mu+0,5}{\sigma}=\dfrac {k_2-n\cdot p+0,5}{\sigma}\approx\dfrac {50-1000\cdot 0,03+0,5}{5,39}\approx 3,80$
Es gilt:
- $\Phi(-1,95)=1-\Phi(1,95)\approx1-0,9744=0,0256$
- $\Phi(3,80)\approx0,9999$
- $P(20\leq X \leq 50)=\Phi(3,80)-\Phi(-1,95)\approx 0,9999-0,0256=0,9743$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $1000$ Kunden mindestens $20$ aber höchstens $50$ Kunden ein defektes Handy bekommen, liegt bei rund $97,43\%$.
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