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Normalverteilung – Anwendung der Näherungsformeln

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Mandy F.
Normalverteilung – Anwendung der Näherungsformeln
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Normalverteilung – Anwendung der Näherungsformeln

Hallo! Du weißt bereits viel über die Normalverteilung. In diesem Video wenden wir die Formeln zur lokalen und globalen Näherungsformel auf ein Beispiel an. So betrachten wir zuerst P(X=k), dann P(X kleinergleich k) und zum Schluss P(k1 kleinergleich X kleinergleich k2). Für jeden dieser Fälle schauen wir uns Alltagsbeispiele an und berechnen diese gemeinsam. Dazu musst du zuerst herausfinden, ob du die lokale oder globale Näherungsformel anwenden musst. Viel Spaß!

Transkript Normalverteilung – Anwendung der Näherungsformeln

Hallo! Hier ist Mandy! Dieses Video hilft dir dabei, dein Wissen über die Normalverteilung anzuwenden. Dazu schauen wir uns drei verschiedene Beispiele an. Im ersten Beispiel wählen wir eine Aufgabe, bei der wir die Wahrscheinlichkeit P(X=k) berechnen. Danach betrachten wir ein Beispiel zu dem Fall, dass die Zufallsgröße X kleiner als k ist und zum Schluss berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, bei der X zwischen den Grenzen k1 und k2 einschließlich liegt.
Alle betrachteten Fälle kann sind sehr aufwendig mit der Bernoulli-Formel zu berechnen, da wir alle Aufgaben für eine große Anzahl von Durchführungen n betrachten. Wir wenden stattdessen die lokale und globale Näherungsformel an. Beginnen wir nun in Beispiel 1 mit folgender Aufgabe zum Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim 150-maligen Werfen eines Würfels genau 30 Mal eine 2 gewürfelt wird?
Gegeben ist die Anzahl der Durchführungen mit n=150, die Erfolgswahrscheinlichkeit für einen idealen Würfel mit p=16und die Anzahl der Erfolge mit k=30. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit B150;1/6 (X=30). a in dieser Aufgabe nur ein Ergebnis betrachtet wird, benötigen wir die lokale Näherungsformel. Doch bevor wir diese anwenden können, müssen wir noch überprüfen, ob die Laplace-Bedingung erfüllt ist. Damit gehen wir sicher, dass unsere Wahrscheinlichkeit eine hohe Genauigkeit aufweist. Dazu überprüfen wir, ob die Standardabweichung größer als 3 ist. Wir setzen die Werte für n und p ein und erhalten Wurzel aus 150(1/6)(5/6), was gerundet 4,56 ergibt. Damit ist diese Voraussetzung schon einmal erfüllt.
Jetzt wenden wir die lokale Näherungsformel an, indem wir diese Formel nutzen. Die Standardabweichung haben wir bereits berechnet, so dass nur noch der Erwartungswert berechnet werden muss. ist gleich np, also 15016, was genau 25 ergibt. Wir setzen alle Werte in die lokale Näherungsformel ein und erhalten B150;1/6 (X=30) ungefähr 1/ (4,56 Wurzel aus 2)e-0,5(30-25/ 4,56)², was gerundet 0,0479 ergibt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 4,8% wird also bei einem 150-maligen Wurf eines Würfels genau 30 Mal eine 2 gewürfelt.
Im zweiten Beispiel betrachten wir den Fall P(Xk). Als Aufgabe betrachten wir eine Firma, die Fahrräder herstellt. In diesem Unternehmen arbeiten 500 Mitarbeiter, von denen statistisch gesehen 4% krank am Tag krank sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag höchstens 22 Leute krank sind? Gegeben ist n mit 500, k mit 22 und die Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,04. Gesucht ist P(X22) bzw. F500;0,04(22). Es werden bei dieser Aufgabe mehrere Ergebnisse betrachtet, demnach brauchen wir zur Lösung dieser Aufgabe die globale Näherungsformel. Zuerst prüfen wir, ob die Laplace-Bedingung erfüllt ist. Wir rechnen dazu Wurzel aus 500
0,040,96 , was gerundet 4,38 ergibt. Dieser Wert ist größer als 3 und damit ist die Bedingung erfüllt. Im zweiten Schritt berechnen wir z mit der Formel. In einer Nebenrechnung berechnen wir den Erwartungswert mit 5000,04 und erhalten 20. Wir setzen alle Werte ein und erhalten (22-20+0,5)/4,38. Das ergibt rund 0,57. Zum Schluss berechnen wir die Wahrscheinlichkeit von X kleiner gleich 22 mit der Gauß´schen Integralfunktion. Dafür setzen wir für z den berechneten Wert 0,57 ein und lesen den Funktionswert von groß phi von 0,57 aus der Tabelle ab. Wir entnehmen die Wahrscheinlichkeit 0,7156. Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 71,56% sind also höchstens 22 der 500 Mitarbeiter an einem Tag krank.

In unserem letzten Beispiel geht es um Fußball. Um genauer zu sein, um das Hochhalten eines Fußballs. Eine Untersuchung bei Max hat ergeben, dass er zu 70% den Ball in der Luft hochhalten kann. In den anderen Fällen fällt der Ball auf den Boden. Bei einem Test versucht er 200 Mal hintereinander den Ball in der Luft zu treffen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es Max gelingt den Ball in der Luft zwischen 130 und 140 Mal einschließlich zu halten? Gegeben ist also n=200, die untere Grenze k1=130 ,die obere Grenze k2=140 und die Erfolgswahrscheinlichkeit p=0,7.Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(130X140). Da wir wieder mehrere Ergebnisse betrachten, benötigen wir die globale Näherungsformel. Zuerst prüfen wir jedoch, ob die Laplace-Bedingung erfüllt ist.Wir rechnen dazu Wurzel aus 2000,70,3, was gerundet 6,48 und damit größer als 3 ist.

Im nächsten Schritt berechnen wir z. Dafür müssen wir noch den Erwartungswert berechnen. ist gleich 200*0,7 also 140. Jetzt müssen wir noch die beiden Grenzen unterscheiden und somit zwei verschiedene z berechnen. Die untere Grenze nenne ich z1. Sie berechnet man daher durch die Formel k-1-mü+0,5 geteilt durch sigma bzw. k-mü-0,5 geteilt durch sigma. Wir setzen die Werte ein und erhalten (130-140-0,5)/6,48. Dies ergibt gerundet -1,62. Die obere Grenze ist nun z2, welche berechnet wird durch k-mü+0,5 geteilt durch sigma. Wir setzen ein und erhalten (140-140+0,5)/ 6,48. Das ergibt gerundet 0,08. Um P zu berechnen, brauchen wir das Wissen, dass P sich annähernd berechnen lässt.

Der Wert kann aber nicht aus der Tabelle abgelesen werden, da z hier negativ ist. Daher müssen wir eine Nebenrechnung durchführen. Dafür benötigen wir die Formel. Dies bedeutet nun, dass (-1,62) gleich 1-(1,62) ist und somit aus der Tabelle der Funktionswert von groß phi von 1,62 abgelesen werden kann. Wir lesen 0,9474 ab. Demnach ergibt sich in unserer Rechnung 1-0,9474, also 0,0526.

Für z2 können wir Groß phi von 0,08 sofort ablesen und entnehmen aus der Tabelle eine Wahrscheinlichkeit von 0,5319. Mit diesen Ergebnissen kommen wir nun zurück zu unserer Hauptrechnung und setzen sie hier oben ein. Es ergibt sich dann eine Differenz von 0,4793.. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Max bei 200 Durchführungen zwischen 130 und 140 Mal einschließlich den Ball hochzuhalten, beträgt rund 47,93%.

Das war´s schon wieder von mir. Daher sage ich nun bye bye und bis zum nächsten Mal!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Hallo. warum wird bitte beim Beispiel 2 bei der Berechnung von z "0,5" im Zähler addiert ?

    Von Deleted User 718061, vor etwa 2 Jahren
  2. Sehr schön erklärt :-)

    Von Michael Ebay, vor fast 6 Jahren

Normalverteilung – Anwendung der Näherungsformeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Normalverteilung – Anwendung der Näherungsformeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne mit Hilfe der globalen Näherungsformel die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Der Erwartungswert ist wie folgt definiert: $~\mu=n\cdot p$

    Du entnimmst der Tabelle den Wert für $\Phi(z)$ wie folgt:

    • In der ersten Tabellenspalte findest du den Wert für $z$ bis zur ersten Nachkommastelle.
    • Die restlichen Stellen hinter dem Komma findest du in der ersten Tabellenzeile.
    • $\Phi(z)$ steht dann in der Zelle, bei der sich die jeweilige Tabellenzeile und -spalte schneiden.
    Für $z=0,22$ erhalten wir folgendes Ergebnis, gerundet auf die vierte Nachkommastelle: $\Phi(0,22)\approx 0,5871$

    Lösung

    Gegeben:

    • $n=500$
    • $k=22$
    • $p=0,04$
    Gesucht:

    • $P(X\leq k)$
    Lösung:

    Schritt 1: Laplace-Bedingung überprüfen. Damit zeigen wir, dass unsere Wahrscheinlichkeit eine hohe Genauigkeit aufweist. Wir erhalten:

    • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{500\cdot 0,04\cdot (1-0,04)}\approx 4,38$ $>3~\checkmark$
    Schritt 2: Nun berechnen wir $z$. Es gilt:

    • $z=\dfrac {k-\mu+0,5}{\sigma}$
    Mit $\mu=n\cdot p=500\cdot 0,04$ folgt:

    • $z=\dfrac {k-n\cdot p+0,5}{\sigma}=\dfrac {22-500\cdot 0,04+0,5}{4,38}\approx 0,57$
    Schritt 3: Jetzt können wir $P(X\leq 22)$ durch den Näherungswert $\Phi(0,57)$ ungefähr angeben:

    $P(X\leq 22)\approx\Phi(0,57)\approx 0,7157$

    Antwort

    Mit $71,57\%$ sind an einem Tag höchstens $22$ Leute krank.

  • Bestimme mit Hilfe der globalen Näherungsformel die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Die Laplace-Bedingung lautet:

    • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}>3$

    Es gilt:

    • untere Grenze: $~z_1=\dfrac {k_1-1-\mu+0,5}{\sigma}$
    • obere Grenze: $~z_2=\dfrac {k_2-\mu+0,5}{\sigma}$
    Der Erwartungswert $\mu$ ist wie folgt definiert: $\mu=n\cdot p$

    Es gilt:

    • $P(k_1\leq k\leq k_2)\approx\Phi(z_2)-\Phi(z_1)$

    Für einen negativen $z$-Wert brauchst du folgenden Zusammenhang, da du in der Tabelle keine negativen $z$-Werte findest:

    • $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$
    Lösung

    Gegeben:

    • $n=200$
    • $k_1=130$
    • $k_2=140$
    • $p=0,7$
    Gesucht:

    • $P(k_1 \leq X \leq k_2)=P(130\leq X \leq 140)$
    Lösung:

    Schritt 1: Laplace-Bedingung überprüfen. Damit zeigen wir, dass unsere Wahrscheinlichkeit eine hohe Genauigkeit aufweist. Wir erhalten:

    • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{200\cdot 0,7\cdot (1-0,7)}\approx 6,48 $ $>3~\checkmark$
    Schritt 2: Nun berechnen wir die untere Grenze $z_1$ und obere Grenze $z_2$. Es gilt:

    • $z_1=\dfrac {k_1-1-\mu+0,5}{\sigma}=\dfrac {k_1-1-n\cdot p+0,5}{\sigma}\approx\dfrac {130-1-200\cdot 0,7+0,5}{6,48}\approx -1,62$
    • $z_2=\dfrac {k_2-\mu+0,5}{\sigma}=\dfrac {k_2-n\cdot p+0,5}{\sigma}\approx\dfrac {140-200\cdot 0,7+0,5}{6,48}\approx 0,08$
    Schritt 3: Jetzt können wir $P(130\leq X \leq 140)$ durch den Näherungswert $\Phi(0,08)-\Phi(-1,62)$ ungefähr angeben:

    Einen negativen Wert können wir nicht aus der Tabelle ablesen. Es gilt $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ und damit folgt:

    • $\Phi(-1,62)=1-\Phi(1,62)=1-0,9474=0,0526$
    • $\Phi(0,08)=0,5319$
    Damit folgt:

    • $P(130\leq X \leq 140)\approx\Phi(0,08)-\Phi(-1,62)\approx 0,5319-0,0526=0,4793$
    Antwort

    Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund $47,93\%$ schafft es Max bei $200$ Durchführungen, den Ball zwischen $130$ und $140$ Mal hochzuhalten.

  • Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit, indem du die lokale Näherungsformel nutzt.

    Tipps

    Wenn $20$ Kugeln in einer Urne liegen, von denen $6$ blau sind, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit, dass man eine blaue Kugel zieht $\dfrac 6{20}=\dfrac 3{10}$.

    Die lokale Näherungsformel ist wie folgt definiert:

    $B_{n;p}(X=k) \approx \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)^2} $

    Lösung

    Beispiel 1

    Folgende Größen können wir direkt ableiten:

    • $n=50$
    • $k=3$
    In der Urne liegen insgesamt $12$ Kugeln, davon sind $3$ grün:

    • $p=\dfrac 3{12}=\dfrac 14$
    Um $B_{50;\frac14} (X=3)$ zu bestimmen, benötigen wir noch die Standardabweichung $\sigma$:

    • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{50\cdot \dfrac 14\cdot (1-\dfrac 14)}\approx 3,06>3~\checkmark$
    Die lokale Näherungsformel liefert dann folgende Wahrscheinlichkeit:

    $\begin{array}{lll} B_{50;\frac 14}(X=3) &\approx& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &=& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-n\cdot p}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &\approx& \dfrac {1}{3,06\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{3-50\cdot \frac 14}{3,06}\right)^2} \\ \\ &\approx& 0,001 \end{array}$

    Beispiel 2

    Folgende Größen können wir direkt ableiten:

    • $n=45$
    • $k=12$
    In der Urne liegen insgesamt $12$ Kugeln, davon sind $4$ blau:

    • $p=\dfrac 4{12}=\dfrac 13$
    Um $B_{45;\frac13} (X=12)$ zu bestimmen, benötigen wir noch die Standardabweichung $\sigma$:

    • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{45\cdot \dfrac 13\cdot (1-\dfrac 13)}\approx 3,16>3~\checkmark$
    Die lokale Näherungsformel liefert dann folgende Wahrscheinlichkeit:

    $\begin{array}{lll} B_{45;\frac 13}(X=12) &\approx& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &=& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-n\cdot p}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &\approx& \dfrac {1}{3,16\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{12-45\cdot \frac 13}{3,16}\right)^2} \\ \\ &\approx& 0,0804 \end{array}$

  • Erschließe mit Hilfe der globalen Näherungsformel die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Du benötigst die folgenden Formeln:

    • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$
    • $z=\dfrac {k-\mu+0,5}{\sigma}$

    Es gilt: $~\Phi(-z)=1-\Phi(z)$

    Lösung

    Gegeben:

    • $n=80$
    • $k=5$
    • $p=\dfrac 16$
    Gesucht:

    • $P(X\leq 5)$
    Lösung:

    Schritt 1: Laplace-Bedingung überprüfen. Damit zeigen wir, dass unsere Wahrscheinlichkeit eine hohe Genauigkeit aufweist. Wir erhalten:

    • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{80\cdot \frac 16\cdot (1-\frac 16)}\approx 3,33 $ $>3~\checkmark$
    Schritt 2: Nun berechnen wir $z$. Es gilt:

    • $z=\dfrac {k-\mu+0,5}{\sigma}$
    Mit $\mu=n\cdot p$ folgt:

    • $z=\dfrac {k-n\cdot p+0,5}{\sigma}=\dfrac {5-80\cdot \frac 16+0,5}{3,33}\approx -2,35 $
    Schritt 3: Jetzt können wir $P(X\leq 5)$ durch den Näherungswert $\Phi(-2,35)$ ungefähr angeben:

    $P(X\leq 5)\approx\Phi(-2,35)=1-\Phi(2,35)\approx 1-0,9906=0,0094\approx0,01$

    Antwort

    Mit rund $1\%$ wird bei $80$ Versuchen höchstens $5$ Mal die $3$ gewürfelt.

  • Gib mit Hilfe der lokalen Näherungsformel die gesuchte Wahrscheinlichkeit an.

    Tipps

    Der Erwartungswert $\mu$ entspricht dem Produkt aus der Anzahl der Versuche $n$ und der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.

    Lösung

    Gegeben: $~n=150$; $~p=\dfrac 16$; $~k=30$

    Gesucht: $~B_{150;\frac16} (X=30)$

    Lösung:

    Schritt 1:

    Überprüfung der Laplace-Bedingung:

    • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{150\cdot \dfrac 16\cdot (1-\dfrac 16)}\approx 4,56>3~\checkmark$
    Schritt 2:

    Anwendung der lokalen Näherungsformel:

    $\begin{array}{lll} B_{150;\frac 16}(X=30) &\approx& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &=& \dfrac {1}{\sigma\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{k-n\cdot p}{\sigma}\right)^2} \\ \\ &\approx& \dfrac {1}{4,56\cdot \sqrt{2\pi}}e^{-0,5\left(\frac{30-150\cdot \frac 16}{4,56}\right)^2} \\ \\ &\approx& 0,048 \end{array}$

    Antwort:

    Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund $4,8\%$ wird bei einem $150$-maligen Wurf eines Würfels genau $30$ Mal eine $2$ gewürfelt.

  • Ermittle die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Es gilt: $P(k_1\leq X\leq k_2)\approx \Phi(z_2)-\Phi(z_1)$

    Du brauchst folgende Größen:

    • $\sigma$
    • $z_1$
    • $z_2$
    • $\Phi(z_1)$
    • $\Phi(z_2)$

    $z_1$ ist negativ. Du rechnest dann:

    $\Phi(z_1)=1-\Phi(|z_1|)$$

    Lösung

    Gegeben:

    • $n=1000$
    • $k_1=20$
    • $k_2=50$
    • $p=0,03$
    Gesucht:

    • $P(k_1 \leq X \leq k_2)=P(20\leq X \leq 50)$
    Lösung:

    Schritt 1: Laplace-Bedingung überprüfen. Damit zeigen wir, dass unsere Wahrscheinlichkeit eine hohe Genauigkeit aufweist. Wir erhalten:

    • $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{1000\cdot 0,03\cdot (1-0,03)}\approx 5,39 $ $>3~\checkmark$
    Schritt 2: Nun berechnen wir die untere Grenze $z_1$ und obere Grenze $z_2$. Es gilt:

    • $z_1=\dfrac {k_1-1-\mu+0,5}{\sigma}=\dfrac {k_1-1-n\cdot p+0,5}{\sigma}\approx\dfrac {20-1-1000\cdot 0,03+0,5}{5,39}\approx -1,95$
    • $z_2=\dfrac {k_2-\mu+0,5}{\sigma}=\dfrac {k_2-n\cdot p+0,5}{\sigma}\approx\dfrac {50-1000\cdot 0,03+0,5}{5,39}\approx 3,80$
    Schritt 3: Jetzt können wir $P(20\leq X \leq 50)$ durch den Näherungswert $\Phi(3,80)-\Phi(-1,95)$ ungefähr angeben:

    Es gilt:

    • $\Phi(-1,95)=1-\Phi(1,95)\approx1-0,9744=0,0256$
    • $\Phi(3,80)\approx0,9999$
    Damit folgt:

    • $P(20\leq X \leq 50)=\Phi(3,80)-\Phi(-1,95)\approx 0,9999-0,0256=0,9743$
    Antwort

    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $1000$ Kunden mindestens $20$ aber höchstens $50$ Kunden ein defektes Handy bekommen, liegt bei rund $97,43\%$.

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