Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen

Wiederholung: die Binomialverteilung

Mithilfe der Binomialverteilung können wir eine bestimmte Art von Zufallsversuchen beschreiben, die wiederholt ausgeführt werden. Dabei müssen die einzelnen Versuche voneinander unabhängig sein. Außerdem wird bei den Versuchen nur zwischen zwei Werten, Erfolg und Misserfolg, unterschieden. Die Binomialverteilung kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

$B(k\mid p,n)={\begin{cases}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}&{\text{falls}}\quad k\in \left\{0,1,\dots ,n\right\}\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}$

Darin ist $p$ die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs, $n$ die Anzahl der Versuche und $k$ die Anzahl der Erfolge.

Wir können uns zum Beispiel einen Würfelwurf vorstellen, bei dem wir nur zwischen geraden und ungeraden Zahlen unterscheiden. Eine gerade Zahl, also $2,4,6$, werten wir als Erfolg, wohingegen eine ungerade Zahl, also $1,3,5$, als Misserfolg gewertet wird. Die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ ist damit genau $\frac{1}{2}$, also:

$p = \frac{1}{2}$

Für jede Anzahl an Wiederholungen können wir ein Histogramm zeichnen. Bei kleinen Zahlen, wie beispielsweise $n=2$, können wir die Wahrscheinlichkeiten noch per Baumdiagramm veranschaulichen. Probier es am besten selbst zu Hause aus. Im Fall des Würfels ist bei $n=2$ die Wahrscheinlichkeit für null Erfolge gleich $\frac{1}{4}$, die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg $\frac{1}{2}$ und die Wahrscheinlichkeit für zwei Erfolge $\frac{1}{4}$. Aufsummiert ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von eins, also $100\%$. Für größere $n$ verändert sich die Gestalt des Histogramms, wie in der folgenden Abbildung ersichtlich.

Wird $n$ größer, wird das Histogramm breiter, flacher und um den Erwartungswert symmetrischer. Für ausreichend große $n$ lässt sich die Binomialverteilung daher durch eine spezielle Verteilungsfunktion annähern: die Normalverteilung. Das ist insbesondere praktisch, weil die Histogramme so besser vergleichbar werden. Außerdem ist es mithilfe der Normalverteilung leichter, Werte bei großen $n$ zu berechnen. Im Folgenden schauen wir uns die Normalverteilung genauer an.

Die Normalverteilung einfach erklärt

Auch mithilfe der Normalverteilung können Zufallsversuche beschrieben werden. Im Gegensatz zur Binomialverteilung handelt es sich hierbei aber um eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Das bedeutet, dass die betrachtete Zufallsgröße nicht nur diskrete Werte annehmen kann. Das machen wir uns am besten an einem Beispiel klar. Ein Beispiel für eine annähernd normalverteilte Größe ist die Körpergröße. Diskret verteilt wäre die Körpergröße, wenn beispielsweise nur die Werte $1,60\,\pu{m}$, $1,70\,\pu{m}$, $1,80\,\pu{m}$ und so weiter möglich wären. Das ist natürlich Quatsch! Es gibt auch Menschen, die $1,61\,\pu{m}$ oder $1,752\,\pu{m}$ groß sind. Grafisch sehen die Verteilungen der Körpergröße in Deutschland für über $18$-jährige Personen, differenziert nach dem biologischen Geschlecht, folgendermaßen aus:

Aufgrund ihrer typischen Form wird die Kurve, die die Normalverteilung beschreibt, auch als Glockenkurve bezeichnet.

Um die Normalverteilung besser zu verstehen, betrachten wir im Folgenden die Standardnormalverteilung. Dabei handelt es sich um eine Glockenkurve, die symmetrisch um die $y$-Achse ist. Jede Normalverteilung, auch die Verteilung der Körpergrößen, lässt sich dabei in die Standardnormalverteilung überführen, indem die Variable transformiert wird. Die Standardnormalverteilung sieht wie folgt aus.

Die $y$-Achse gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die normalverteilte, stetige Zufallsgröße $X$ den Wert $r$ annimmt. Die möglichen Werte für $r$ sind wiederum auf der $x$-Achse abgetragen. Die Glockenkurve selbst wird in diesem Fall durch die Verteilungsfunktion $\phi(x)$ beschrieben. Wollen wir nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass $X$ einen Wert kleiner oder gleich $r$ annimmt, müssen wir die folgende Formel nutzen:

$P(X \leq r) = \Phi(z) = \int\limits_{-\infty}^{z} \phi(z)\text{d}z ~ ~ \text{mit: } z = \frac{r-\mu}{\sigma}$

Die kumulierte Wahrscheinlichkeit $\Phi(z)$ entspricht also dem Flächeninhalt der rot markierten Fläche unter der Glockenkurve. Der griechische Buchstabe $\mu$ steht für den Erwartungswert der Normalverteilung. Er gibt an, für welchen Wert der Zufallsgröße die Normalverteilung ihr Maximum annimmt. In ihrer standardisierten Form liegt das Maximum immer bei $z=0$, da $z = \frac{r-\mu}{\sigma}$ für $r=\mu$ immer null ergibt. Der griechische Buchstabe $\sigma$ ist die Standardabweichung. Die Standardabweichung ist ein Maß für die Breite der Verteilung.

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel für eine solche Verteilung an.

Die Normalverteilung – Beispiel

Wir betrachten erneut das Beispiel der Körpergröße, die wir als annähernd normalverteilte Variable betrachten können. Sie ist nur annähernd normalverteilt, weil nur Größen innerhalb eines bestimmten Intervalls erwartbar sind. Die Normalverteilung läuft für Werte, die stark vom Erwartungswert abweichen, zwar gegen null, wird aber nicht null. Wäre die Körpergröße also de facto normalverteilt, wären mit einer sehr geringen Wahrscheinlichkeit auch Körpergrößen von zum Beispiel $100\,\pu{m}$ möglich. Das ist biologisch allerdings ausgeschlossen. Trotzdem lässt sich die Körpergröße sehr gut durch eine Normalverteilung beschreiben.

Nehmen wir an, die achtjährige Anne möchte wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie nicht größer als ihre ältere Schwester wird, die $170\,\pu{cm}$ groß ist. Wir suchen also nach der Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 170\,\pu{cm})$. Die Körpergröße von Frauen folgt in Deutschland etwa einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert von $\mu = 165\,\pu{cm}$ und einer Standardabweichung von $\sigma = 10\,\pu{cm}$. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit nutzen wir die im vorigen Abschnitt eingeführte Formel. Dazu berechnen wir zunächst $z$, wobei wir ohne Einheiten rechnen. So erhalten wir:

$z = \frac{r-\mu}{\sigma} = \frac{170-165}{10} = 0,5$

Diesen Wert setzen wir wiederum in die Formel für $\Phi(z)$ ein. Die Werte für $\Phi(z)$ der Standardnormalverteilung können wir aus einer speziellen Tabelle ablesen, die sich Standardnormalverteilungstabelle nennt. Damit erhalten wir:

$\Phi(0,5) = 0,6915$

Anna wird also mit einer Wahrscheinlichkeit von rund $69\%$ maximal $1,70\,\pu{m}$ groß.