Hypothesentest – Einführung

Sechsundneunzig Prozent der Leute, die sich ein "Peanutbutter-Jelly-Sandwich" machen, schmieren als erstes die Erdnussbutter aufs Brot. Sechsundachtzig Prozent nehmen sich was für den nächsten Tag vor und machen es dann doch nicht. Und zweiundsiebzig Prozent aller Menschen glauben an zufällig ausgewählte Statistiken, wenn man sie ihnen vorlegt. Statistiken, wie diese drei hier, klingen erstmal ziemlich überzeugend. Aber wie können wir denn eigentlich überprüfen, ob sie auch plausibel sind? Dabei kann uns ein sogenannter "Hypothesentest" helfen. Ein Hypothesentest – manchmal auch Signifikanztest genannt – kann dazu dienen, begründete Zweifel an einer Hypothese zu verstärken. Diese Hypothese bezieht sich dann im Mathematikunterricht meistens auf eine Binomialverteilung. Genauer gesagt: Auf die TREFFERWAHRSCHEINLICHKEIT einer Binomialverteilung. Zum Beispiel könnte eine Hypothese lauten, dass zweiundsiebzig Prozent der Menschen an zufällig ausgewählte Statistiken glauben. Die Trefferwahrscheinlichkeit, bei einer zufällig befragten Person eine "statistik-gläubige" zu erwischen, müsste dann bei "p gleich 0,72" liegen. Das ist dann unsere sogenannte "Nullhypothese". Diese Nullhypothese könnten wir jetzt anzweifeln und ihr eine sogenannte Alternativhypothese entgegenstellen, die einen Verdacht widerspiegeln kann. Im einfachsten Fall lautet die Alternativhypothese lediglich, dass die Nullhypothese nicht zutrifft. In unserem Fall also, dass NICHT zweiundsiebzig Prozent der Menschen an Statistiken glauben. Die Grundidee eines Hypothesentests ist dann folgende: Um einen Anhaltspunkt dafür zu bekommen, ob wir die Nullhypothese beibehalten sollten oder sie zugunsten der Alternativhypothese verwerfen können, führen wir eine Stichprobe durch. Dann können wir nämlich betrachten, ob die relative Häufigkeit an Treffern bei der Stichprobe in der Nähe der hypothetischen Trefferwahrscheinlichkeit der Nullhypothese liegt oder nicht. Wie genau das zu verstehen ist, wird klarer, wenn wir uns die Sachlage an einem Beispiel verdeutlichen. Wir betrachten den Fall, dass wir einhundert zufällig ausgewählte Menschen befragen. Unter der Voraussetzung, dass unsere Nullhypothese stimmt, p also gleich 0,72 ist, sieht die Binomialverteilung als Histogramm dargestellt, dann SO aus. Der Erwartungswert, der in diesem Fall der Trefferanzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit entspricht, liegt dann bei zweiundsiebzig. Die Trefferzahlen links und rechts davon werden Säule für Säule immer unwahrscheinlicher. Je weiter sie vom Erwartungswert entfernt sind, desto unwahrscheinlicher sind diese Ergebnisse unter Voraussetzung der Nullhypothese. Bei dieser Verteilung sind die Werte unter sechzig und über achtzig schon sehr unwahrscheinlich. Und genau diese Tatsache macht sich der Hypothesentest zu Nutze. Wenn wir die Stichprobe tatsächlich durchführen und dabei zum Beispiel nur fünfzig Treffer landen, ist das ein sehr unwahrscheinliches – wenn auch nicht unmögliches – Resultat, vorausgesetzt die Trefferwahrscheinlichkeit liegt tatsächlich bei zweiundsiebzig Prozent. Ein plausibler Erklärungsansatz wäre dann, dass die Trefferwahrscheinlichkeit in Wahrheit NICHT gleich 0,72 ist. Der Hypothesentest legt dann nahe, die Nullhypothese zu verwerfen und die Alternativhypothese anzunehmen! Um sich bei der Entscheidung, die Nullhypothese zu verwerfen oder beizubehalten, nicht von dem Ergebnis der Stichprobe beeinflussen zu lassen, legt man grundsätzlich VOR der Durchführung der Stichprobe fest, welche Trefferzahlen zum Beibehalten und welche Trefferzahlen zum Verwerfen der Nullhypothese führen sollen. Das heißt ganz konkret: Wir unterteilen die Binomialverteilung in einen ANNAHME- und einen ABLEHNUNGsbereich. An DIESEN Bereichen wird dann nach der Durchführung der Stichprobe nicht mehr gerüttelt, wodurch ein konkretes Ergebnis dann eindeutig zum Beibehalten oder Ablehnen der Nullhypothese führt. Ganz wichtig ist es, hierbei zu betonen, dass wir durch einen Hypothesentest eine Hypothese aber nicht zu einhundert Prozent beweisen oder widerlegen können. Wir können nicht sagen, ob die Trefferwahrscheinlichkeit in Wirklichkeit 0,6, 0,7 oder 0,8 beträgt oder wie wahrscheinlich es ist, dass sie genau bei 0,72 liegt. Wir können nur sagen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die entsprechende Stichprobe bei der vermuteten Trefferwahrscheinlichkeit von 0,72 eintritt. Erhalten wir nur fünfzig Treffer, obwohl eine Trefferanzahl in der Nähe von zweiundsiebzig zu erwarten gewesen wäre, lehnen wir die Nullhypothese ab, weil fünfzig Treffer bei einer tatsächlichen Trefferwahrscheinlichkeit von 0,72 sehr unwahrscheinlich wären. Das Ergebnis ist aber auch, wenn die Nullhypothese zutrifft, nicht unmöglich und es führt auch NICHT dazu, dass wir davon ausgehen könnten, die Trefferwahrscheinlichkeit läge in Wirklichkeit bei 0,5. Hypothesentests sind daher mit Vorsicht zu genießen und bieten lediglich einen Anhaltspunkt dazu, ob eine Hypothese zu einer Stichprobe passend erscheint oder nicht. Das ist dann aber auch erstmal alles, was du für ein grundlegendes Verständnis von Hypothesentests wissen musst! Wir fassen nochmal zusammen: Es geht bei Hypothesentests also darum, eine Nullhypothese, die sich auf die zugrundeliegende Trefferwahrscheinlichkeit bezieht und die gegebenenfalls aus bestimmten Gründen angezweifelt wird, beizubehalten oder zu verwerfen und eine Alternativhypothese anzunehmen. Ab welchen Ergebnissen es zu einer Verwerfung der Nullhypothese kommt, wird vor der Durchführung einer Stichprobe anhand bestimmter Kriterien festgelegt, die zu einem klar definierten Annahme- und Ablehnungsbereich führen. Dann haben wir NACH der Durchführung eine klare Aussage darüber, ob das Ergebnis unter diesen Kriterien zu der Nullhypothese passt oder nicht. Wie die Kriterien zur Festlegung von Annahme- und Ablehnungsbereich aussehen können – hierzu lautet das Stichwort "Signifikanzniveau" – warum und wie wir zwischen einseitigen und beidseitigen Hypothesentests unterscheiden und was es mit den sogenannten Fehlern erster und zweiter Art auf sich hat, erfährst du in den weiteren Videos dieser Reihe. Aber keine Sorge! Wenn du die Grundidee von Hypothesentests einmal verstanden hast, sind dann auch diese Fachbegriffe keine große Hürde mehr.