Hypothesentest – Einführung

Die Grundbegriffe des Hypothesentests

Ein Obsthändler verkauft ausschließlich Bananen. Er verkauft Bananen der Güteklasse A. Bei diesen Bananen sind nur $20\%$ kürzer als $14~\pu{cm}$. Er hat aber auch etwas günstigere Bananen der Güteklasse B. Bei diesen Bananen sind $40\%$ kürzer als $14~\pu{cm}$.

Stell dir vor, der Obsthändler erhält eine Lieferung von Kisten mit Bananen erster und Bananen zweiter Wahl – aber die Beschriftung der Kisten ist während der langen Schifffahrt verloren gegangen.

Wie kann er herausfinden, welche die Kiste mit Bananen erster und welche die Kiste mit Bananen zweiter Wahl ist?

Er könnte natürlich alle Bananen einzeln ausmessen. Er kann aber auch Zeit sparen und schlauer vorgehen – er kann einen Hypothesentest durchführen. Was das ist, wollen wir uns im Folgenden anschauen. Dabei wird dir der Hypothesentest einfach erklärt.

Was ist ein Hypothesentest?

Der Hypothesentest ist ein Test aus dem Bereich der Statistik. Mithilfe eines solchen Tests können wir überprüfen, ob eine Hypothese mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit gültig oder ungültig ist. Meistens ist diese Hypothese eine Aussage, die anhand einer Stichprobe über eine statistische Gesamtheit getroffen wird.

Schauen wir uns diese Begriffe anhand unseres Beispiels genauer an.

Als statistische Gesamtheit, manchmal auch Grundgesamtheit genannt, bezeichnen wir die Menge aller Objekte, auf die sich unsere Hypothese bezieht. Über diese Menge möchten wir eine Aussage treffen.

In unserem Beispiel ist die statistische Gesamtheit die Menge aller Bananen einer Kiste. Wir wollen wissen, ob die Menge aller Bananen einer Kiste zur Güteklasse A oder zur Güteklasse B gehört. Bei einem Hypothesentest formulieren wir unsere Frage beziehungsweise Vermutung in Form einer Nullhypothese $H_0$ und einer Alternativhypothese $H_1$.

In unserem Beispiel sähen die Hypothesen folgendermaßen aus:

• Nullhypothese $H_0:$ Die Kiste enthält Bananen der Güteklasse A.
• Alternativhypothese $H_1:$ Die Kiste enthält Bananen der Güteklasse B.

Bei einem Hypothesentest wird in der Regel anhand einer Stichprobe untersucht, ob die Nullhypothese wahr ist. Ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese wahr ist, zu gering, so wird davon ausgegangen, dass die Alternativhypothese zutrifft.

In unserem Beispiel wäre die Stichprobe eine Anzahl $n$ an Bananen, die wir zufällig aus der Kiste ziehen. Die Bananen der Stichprobe müssten wir dann auf ihre Größe untersuchen. Die Anzahl an Bananen, die zu kurz sind, ist die Prüfgröße $X$. Anhand dieser Prüfgröße wird entschieden, ob die Nullhypothese angenommen oder abgelehnt wird. Dazu müssen vorher allerdings Entscheidungsregeln aufgestellt werden. Mit diesen legen wir vor dem Ziehen der Stichprobe fest, in welchem Fall wir die Nullhypothese annehmen oder verwerfen.

In unserem Beispiel legen wir eine Anzahl $k$ zu kleiner Bananen fest. Enthält die Stichprobe weniger oder genau $k$ zu kurze Bananen, nehmen wir die Nullhypothese an. Enthält sie mehr, verwerfen wir die Nullhypothese. Der Wert $k$, bis zu dem die Nullhypothese angenommen wird, heißt kritischer Wert des Hypothesentests.

Da in unserem Beispiel bei den Bananen der Güteklasse A nur $20\%$ zu kurz sind, legen wir bei einer Stichprobengröße von $n=30$ den Wert $k$ auf $6$ fest. Also:

$X \leq 6 \Rightarrow H_0 ~ \text{wird angenommen.}$

$X > 6 \Rightarrow H_0 ~ \text{wird verworfen.}$

Wir können die Zahlbereiche, die so entstehen, auf einem Zahlenstrahl abtragen.

Der Bereich von $0$ bis $6$ heißt Annahmebereich von $H_0$, weil wir für Werte aus diesem Intervall die Nullhypothese annehmen. Der Bereich von $7$ bis $30$ ist hingegen der Verwerfungsbereich von $H_0$ oder der Annahmebereich der Alternativhypothese $H_1$.

Je nachdem, in welchen dieser Bereiche unsere Stichprobe fällt, nehmen wir $H_0$ an oder verwerfen $H_0$. Da wir bei Hypothesentests Zufallsgrößen betrachten, hat unsere Entscheidung allerdings keine $100\%$ige Sicherheit. Es kann zu zwei unterschiedlichen Fehlern kommen: dem Fehler erster Art oder dem Fehler zweiter Art.

Fehler erster Art

Beim Fehler erster Art verwerfen wir die Nullhypothese, obwohl sie eigentlich korrekt ist. Es könnte zum Beispiel passieren, dass wir bei einer Stichprobe von $n=30$ zufällig $7$ zu kurze Bananen aus einer Kiste ziehen, obwohl sie insgesamt weniger als $20\%$ zu kurze Bananen enthält. Nach unserer Entscheidungsregel würden wir $H_0$ verwerfen, obwohl $H_0$ eigentlich korrekt ist. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art bezeichnet man mit $\alpha$. Sie hängt vor allem von der Größe der Stichprobe ab.

Fehler zweiter Art

Ein Fehler zweiter Art tritt auf, wenn wir die Nullhypothese annehmen, obwohl sie eigentlich falsch ist. Das wäre in unserem Beispiel der Fall, wenn sich in der Kiste eigentlich Bananen der Güteklasse B befinden, wir aber zufällig nur $4$ zu kurze Bananen in unserer Stichprobe finden. Dann würden wir uns für $H_0$ entscheiden, obwohl eigentlich die Alternativhypothese $H_1$ stimmt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art wird mit $\beta$ bezeichnet.

Man nennt $\alpha$ und $\beta$ auch Irrtumswahrscheinlichkeiten. Sie sagen etwas über die Güte des Hypothesentests aus. Je kleiner die Fehler sind, umso höher die Güte, also umso besser der Test. Darum versucht man die Irrtumswahrscheinlichkeiten durch Wahl der Entscheidungsregel oder eine geeignete Stichprobengröße zu minimieren.

Die Irrtumswahrscheinlichkeiten können mithilfe einer Binomialverteilung berechnet werden.

Grundbegriffe des Hypothesentests

Die wichtigsten Begriffe und Sachverhalte zu Hypothesentests fassen wir noch einmal stichpunktartig zusammen:

• Mithilfe eines Hypothesentests können Annahmen über eine statistische Gesamtheit anhand einer Stichprobe getroffen werden.
• Für einen Hypothesentest werden eine Nullhypothese $H_0$ und eine Alternativhypothese $H_1$ aufgestellt.
• Der kritische Wert $k$ gibt an, bis zu welchem Wert der Prüfgröße $X$ die Nullhypothese noch angenommen wird.
• Die Irrtumswahrscheinlichkeit bezeichnet die Wahrscheinlichkeit für Fehler erster bzw. zweiter Art.