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Bedingte Wahrscheinlichkeit – Einführung

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Team Digital
Bedingte Wahrscheinlichkeit – Einführung
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Grundlagen zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit – Einführung

Inhalt

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Definition

Du kennst schon die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen eines Zufallsexperiments. In diesem Video erklären wir dir die bedingte Wahrscheinlichkeit. Wir betrachten dazu die Ereignisse $A$ und $B$ eines Zufallsexperiments. $P(A)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis $A$ eintritt, und $P(B)$ ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $B$. Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $A$ unter der Bedingung, dass das Ereignis $B$ bereits eingetreten ist.

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Formel

Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ hängt von der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von $B$ und von der Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens von $A$ und $B$ ab. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist durch folgende Formel definiert:

$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

In Worten besagt die Formel: Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von $A$ unter der Bedingung des Eintretens von $B$ ist der Anteil der Wahrscheinlichkeit von $A \cap B$ an der Wahrscheinlichkeit von $B$.

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Beispiel

Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn jedes Ergebnis dieselbe Wahrscheinlichkeit hat. Wir betrachten hier ein Experiment, bei dem einer von $20$ möglichen Bauklötzen zufällig gewählt oder gezogen wird. Als Ereignisse $A$ und $B$ wählen wir die Mengen von Klötzen in den beiden farbig markierten Feldern aus.

Bedingte Wahrscheinlichkeit Laplace

Die Wahrscheinlichkeit, einen Klotz aus $A$ zu ziehen, ist $P(A) = \frac{6}{20} = 0,3$. Die Wahrscheinlichkeit für einen Klotz aus $B$ ist $P(B) = \frac{8}{20} = 0,4$. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gezogener Klotz sowohl zu $A$ als auch zu $B$ gehört, ist $P(A \cap B) = \frac{4}{20} = 0,2$.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein aus $B$ gezogener Klotz auch zu $A$ gehört. Diese Wahrscheinlichkeit können wir mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen:

$P(A|B) = \frac{0,2}{0,4} = 0,5$

Da wir hier von einem Laplace-Experiment ausgegangen sind, können wir auch direkt den Anteil von $A \cap B$ an $B$ ausrechnen und erhalten dasselbe Ergebnis.

Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt aber für alle Zufallsexperimente, nicht nur für Laplace-Experimente. Das erläutern wir an einem ähnlichen Beispiel mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse:

Bedingte Wahrscheinlichkeit

In dem Bild bezeichnen die Zahlen auf den Klötzen jeweils die Wahrscheinlichkeit in $\%$ für das Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $A$ ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse:

$P(A) = 6\% + 10\% + 4\% + 10\% + 10\% + 8\% = 48\% = 0,48$

Analog erhalten wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von $B$:

$3 \cdot 4\% + 2 \cdot 8\% + 2 \cdot 10\% + 16\% = 64\% = 0,64$

Das Ereignis $A \cap B$ hat die Wahrscheinlichkeit:

$P(A \cap B) = 4\% + 8\% + 2 \cdot 10\% = 32\% = 0,32$

Daher ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für $A$ unter der Bedingung $B$:

$P(A|B) = \frac{0,32}{0,64} = \frac{1}{2} = 0,5$

Wir können auch die Wahrscheinlichkeit für $B$ unter der Bedingung $A$ ausrechnen:

$P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{0,32}{0,48} = \frac{2}{3} = 0,\overline{6}$

Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenfassung

In diesem Video wird dir die bedingte Wahrscheinlichkeit verständlich erklärt. Du erfährst an Beispielen, wie du die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen kannst. Die Beispiele behandeln sowohl Laplace-Experimente als auch allgemeine Zufallsexperimente.

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