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Binomialverteilung

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Binomialverteilung
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Grundlagen zum Thema Binomialverteilung

Binomialverteilung – Definition

Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie bildet ab, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die Ergebnisse eines binomialverteilten Zufallsexperiments eintreten.

Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße.
Durch sie lassen sich die Wahrscheinlichkeiten berechnen, mit denen die Ergebnisse einer Bernoulli‑Kette eintreten.

Eine Bernoulli‑Kette ist eine Aneinanderreihung mehrerer Bernoulli‑Experimente.
Ein Bernoulli‑Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen. Diese werden in der Regel Treffer und Nichttreffer oder Erfolg und Misserfolg genannt.

Bei einer Bernoulli‑Kette mit $n$ Versuchen (Bernoulli‑Experimente) und einer Trefferwahrscheinlichkeit $p$ wird die Binomialverteilung der möglichen Treffer $k$ durch eine Funktion $\bf B_{n,p}(k)$ abgebildet:

$B_{n,p}(k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} \qquad \text{mit~} p \in [0,1] ; k \in [0,1,2,...,n]$

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung: Es wird jedem $k$ (Anzahl der Treffer) eine Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ durch die Formel von Bernoulli zugeordnet:

$P(X=k)=B_{n;p}(k)= \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

Da die Anzahl der Treffer natürliche Zahlen sind, spricht man von einer diskreten Verteilung. Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt.

Durch die Formel von Bernoulli lassen sich die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Kombinationen von Treffern $(k)$ und Nichttreffern $(n-k)$ einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnen (mit gegebenen Werten für $n$ und $p$).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die sich daraus ergibt, kann übersichtlich in einem Histogramm dargestellt werden. Das sieht dann beispielsweise so aus:

Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$
Binomialverteilung Histogramm

Das Histogramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli‑Kette mit $n=10$ Versuchen und einer Trefferwahrscheinlichkeit $p=0{,}2$.

Bernoulli‑Experiment

Die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei einer Bernoulli‑Kette an. Eine Bernoulli‑Kette ist eine Aneinanderreihung mehrerer Bernoulli‑Experimente (Bernoulli‑Versuche). Jeder Versuch hat genau zwei mögliche Ausgänge: Treffer und Nichttreffer, manchmal auch Erfolg und Misserfolg genannt.

Als Bernoulli‑Experimente bezeichnet man Zufallsexperimente, bei denen es für jeden Einzelversuch genau zwei mögliche Ausgänge gibt, die sich gegenseitig ausschließen.
Im Allgemeinen nennt man diese möglichen Ausgänge Treffer und Nichttreffer oder Erfolg und Misserfolg.

Beispiele für solche Experimente sind beispielsweise der Münzwurf (Zahl, Kopf), das Loseziehen (Gewinn, Niete) oder auch das Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne (erwünschte Kugel, unerwünschte Kugel).

Ein Bernoulli‑Experiment ist also ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen.
Wird ein solches Experiment mehrmals hintereinander unter den gleichen Voraussetzungen durchgeführt, spricht man von einer Bernoulli‑Kette. Es handelt sich hierbei um ein mehrstufiges Zufallsexperiment.
Mit unter den gleichen Voraussetzungen ist gemeint, dass sich die Wahrscheinlichkeiten für Treffer und Nichttreffer von Versuch zu Versuch nicht ändern. Das heißt, die einzelnen Bernoulli‑Experimente sind voneinander unabhängig.

Binomialverteilung – Herleitung

Für die Herleitung der Binomialverteilung sehen wir uns an, wie man zur Formel von Bernoulli kommt.
Bei einem einzelnen Bernoulli‑Experiment können wir die beiden möglichen Ergebnisse Treffer und Nichttreffer mit $T$ bzw. $\bar T$ bezeichnen. Es gilt:

  • Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer wird durch $P(T)=p$ beschrieben.
    Der Wert $p$ liegt immer zwischen $0$ und $1$.
  • Die Wahrscheinlichkeit für einen Nichttreffer ist $P(\bar T)=1-p$.

Da Treffer und Nichttreffer die beiden einzigen möglichen Ergebnisse des Bernoulli‑Experiments sind, müssen ihre Wahrscheinlichkeiten addiert den Wert $1$ ergeben.

Eine Bernoulli‑Kette kann als mehrstufiges Zufallsexperiment mithilfe eines Baumdiagramms dargestellt werden. Das sieht, ganz allgemein, so aus:

Baumdiagramm einer Bernoulli‑Kette der Länge $3$
Baumdiagramm Bernoulli-Kette

Mithilfe der Pfadregeln können die Wahrscheinlichkeiten $P(X=k)$ der folgenden Ereignisse mit $k$ Treffern berechnet werden:

  • Ereignis $A$: „Es gibt drei Treffer.“: $P(A)=P(X=3)=p^3$
  • Ereignis $B$: „Es gibt zwei Treffer.“: $P(B)=P(X=2)= {\bf{3}} \cdot p^2 \cdot (1-p)^1$,
    denn es gibt insgesamt drei Pfade, auf denen zwei Treffer liegen.
  • Ereignis $C$: „Es gibt einen Treffer.“: $P(C)=P(X=1)={\bf{3}} \cdot p^1 \cdot (1-p)^2$,
    denn es gibt auch in diesem Fall drei Pfade, die einen Treffer beinhalten.
  • Ereignis $D$: „Es gibt keinen Treffer.“: $P(D)=P(X=0)= p^0 \cdot (1-p)^3$

Wie du siehst, kann aus den jeweiligen Termen die Anzahl der Treffer sowie der Nichttreffer abgelesen werden, denn diese stehen jeweils im Exponenten des entsprechenden Faktors $p$ bzw. $(1-p)$.
Betrachten wir die Wahrscheinlichkeit für $k$ Treffer entlang eines einzelnen Pfades, müssen die Ergebnisse entlang eines Pfades nacheinander multipliziert werden. Treffer und Nichttreffer berücksichtigen wir mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten $p$ und $(1-p)$.

Mit den Regeln der Kombinatorik können wir außerdem bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt, beispielsweise einen oder zwei Treffer zu erzielen. Für diese Berechnung wird der Binomialkoeffizient verwendet:

$\displaystyle \binom{n}{k}$

Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl aller möglichen Pfade der Länge $n$ an, die $k$ Treffer enthalten.
Aus den Faktoren und dem Binomialkoeffizienten setzt sich nun die Formel von Bernoulli zusammen:

$\large{P(X=k)=B_{n;p}(k)=\displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}}$

Dabei gilt:

  • $X$ ist die Zufallsgröße. Der Wert der Zufallsgröße ist gleich der Anzahl der Treffer $k$.
  • $k$ steht für die Anzahl der Treffer. Es handelt sich um eine natürliche Zahl.
  • $n$ steht für die Länge der Bernoullikette, also die Anzahl der Versuche.
  • $p$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit, bei einem Versuch das Ergebnis Treffer zu erzielen.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer/Erfolg $\left(T \right)$ ist also gegeben als $p$, die Wahrscheinlichkeit für einen Nichtreffer/Misserfolg $\left(\bar T \right)$ ist dementsprechend $(1-p)$.
Führt man das Experiment, zum Beispiel den Münzwurf, $n$‑mal aus, erhält man als Ergebnis ein $\bf n$-Tupel, in dem die einzelnen Ergebnisse aufgezählt sind. Das könnte beispielsweise so aussehen:

$n \text{-Tupel:} \qquad \left( \, T, ~\bar T, ~T, ~\bar T, ~..., ~T \, \right)$

Die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes $n$-Tupel, also eine bestimmte Anzahl von Treffern/Erfolgen (und Nichttreffern/Misserfolgen) zu erhalten, nennen wir ${P(e_{k_i,n})}$.
Es gilt:

$\underbrace{P(e_{k_i,n})}_{\text{Wahrscheinlichkeit \\ für \\ Tupel}} = \underbrace{p^{k}}_{k~ \text{Äste mit Erfolg}} \cdot \underbrace{(1-p)^{n-k}}_{(n-k) ~ \text{Äste mit Misserfolg}} $

Allerdings spielt bei einer Bernoulli‑Kette die Reihenfolge der einzelnen Ergebnisse keine Rolle. Wenn wir beispielsweise bei zwei Würfen einmal Erfolg erreichen wollen, ist es egal ob wir Erfolg, Misserfolg $\left( T, ~\bar T \right)$ werfen oder Misserfolg, Erfolg $\left( \bar T, ~T \right)$. Deshalb müssen alle möglichen Pfade zusammengezählt werden, in denen genau $k$ Erfolge vorkommen. Die Anzahl an Möglichkeiten erhalten wir durch den Binomialkoeffizienten, der unsere Formel vervollständigt:

$P(X=k) = \underbrace{\displaystyle \binom{n}{k}}_{Binomialkoeffizient} \cdot \qquad p^{k} \qquad \cdot \qquad (1-p)^{n-k}$

So erhalten wir genau die Wahrscheinlichkeit dafür, bei $n$ Würfen $k$ Erfolge zu erzielen, wobei die Reihenfolge der Ergebnisse egal ist.

Die Binomialfunktion $P(X=k)$ können wir nutzen, um die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte zu berechnen, die die Zufallsgröße $X$ annehmen kann.
Diese Wahrscheinlichkeiten bilden zusammen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung – das ist die Binomialverteilung $B_{n;p}(k)$ der binomialverteilten Zufallsgröße.

Binomialverteilung – Formel

Die Formel, mit der die Binomialverteilung $B_{n,p}(k)$ einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet werden kann, lautet:

$B_{n,p}(k) = P(X=k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$
$\qquad \text{mit~} p \in [0,1] ; k \in [0,1,2,...,n]$

Die Binomialverteilung $B_{n,p}(k)$ bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(X=k)$ einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$ ab. Durch sie können die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Anzahlen von Treffern $k$ berechnet werden.
Dafür muss die Anzahl $n$ der Versuche und die Wahrscheinlichkeit $p$ für das Ergebnis Treffer eines einzelnen Versuchs gegeben bzw. bekannt sein.

  • $n$ ist die Anzahl der Versuche – also eine natürliche Zahl.
  • $k$ ist die Anzahl der erzielten Treffer – also ebenfalls eine natürliche Zahl.
  • $n-k$ ist die Anzahl der Nichtreffer.
  • $p$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Versuch. Sie liegt zwischen $0$ und $1$.
  • $(1-p)$ ist die Wahrscheinlichkeit, einen Nichttreffer bei einem einzelnen Versuch zu erzielen.

Binomialverteilung – Eigenschaften

Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße lassen sich wichtige Kenngrößen wie der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung relativ einfach berechnen. Das sehen wir uns im Folgenden an.

Binomialverteilung – Erwartungswert

Der Erwartungswert $E(X)$ oder $\mu$ einer binomialverteilten Zufallsgröße kann mit folgender Formel berechnet werden:

$\mu = n \cdot p$

Dabei ist $n$ die Anzahl der Versuche und $p$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit.

Binomialverteilung – Varianz

Die Varianz $V(X)$ oder $\sigma^2$ einer binomialverteilten Zufallsgröße kann wie folgt berechnet werden:

$\sigma^2 = \mu \cdot (1-p) = n \cdot p \cdot (1-p)$

Auch hier ist $n$ die Anzahl der Versuche und $p$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit.

Binomialverteilung – Standardabweichung

Die Standardabweichung $\sigma$ ist die Wurzel aus der Varianz. Also gilt:

$\sigma=\sqrt{\mu\cdot (1-p)}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.

Neben diesen Kenngrößen sagen auch schon die Werte der Parameter $p$ und $n$ einiges über die Binomialverteilung aus:

  • Die Binomialverteilung ist symmetrisch für $p=0{,}5$. Der Erwartungswert liegt dann genau in der Mitte der Verteilung bzw. des Histogramms.
  • Der Erwartungswert verschiebt sich in Abhängigkeit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$:
    Für $0 \leq p < 0{,}5$ liegt der Erwartungswert weiter links und für $0{,}5 < p \leq 1$ weiter rechts.
  • Für größere $n$ wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung immer flacher. Die Binomialverteilung verändert sich also auch mit der Länge $n$ der Bernoulli‑Kette (der Anzahl der Versuche).
  • Für sehr große $n$ oder wenn $n$ gegen $\infty$ geht, nimmt die Binomialverteilung die Form der Normalverteilung an.

Kumulierte Binomialverteilung

Um kumulierte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, wird die kumulierte Binomialverteilung genutzt.
Immer wenn die Problemstellung lautet, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass höchstens $k$ Treffer erzielt werden, brauchen wir die kumulierte Wahrscheinlichkeit. Das bedeutet, wir müssen alle Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $0$ Treffer, $1$ Treffer, $2$ Treffer, $3$ Treffer usw. bis $k$ Treffer addieren. Also gilt:

$P(X \leq k) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + … + P(X=k)$

Mit einem Taschenrechner ist es in der Regel nicht nötig, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Trefferzahlen zu berechnen. Es kann direkt die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq k)$ mit einem gegebenen $k$ eingetippt und berechnet werden, sofern $n$ und $p$ bekannt sind.
Auch in den meisten stochastischen Tabellen und Tafelwerken sind neben den Werten der Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Trefferzahlen auch die Werte der entsprechenden kumulierten Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von $n$, $p$ und $k$ aufgelistet.

Binomialverteilung berechnen

Wir gehen nun anhand eines Beispiels durch, wie man mit der Binomialverteilung rechnet und die Wahrscheinlichkeitsverteilungen binomialverteilter Zufallsgrößen berechnet.

Binomialverteilung – Beispiel: Ziehen mit Zurücklegen

In einer Urne befinden sich fünf Kugeln, eine rote und vier blaue. Es wird $10$ mal eine Kugel mit Zurücklegen aus der Urne gezogen.

Urnenmodell: Urne mit einer roten und vier blauen Kugeln, Ziehen mit Zurücklegen
Urnenmodell mit fünf Kugeln

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der gezogenen roten Kugeln (Treffer) bei $10$ Versuchen. Da es pro Versuch nur zwei mögliche Ergebnisse gibt (rot und nicht rot) und durch das Zurücklegen die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch gleich bleibt, handelt es sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße. Es gilt $p=\frac{1}{5}=0{,}2$ und $n=10$.

Folgende Kenngrößen können wir berechnen:

  • Der Erwartungswert ist $\mu = n \cdot p = 10 \cdot 0{,}2 = 2$
  • Die Standardabweichung ist $\sigma=\sqrt{\mu\cdot (1-p)}=\sqrt{10 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{1{,}6} \approx 1{,}26$

Für jede mögliche Trefferzahl $k$ zwischen $0$ und $10$ können wir die zugehörige Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ berechnen. Wir tun dies einmal beispielhaft für $k = 3$ Treffer:

$B_{n,p}(k) = B_{10;0{,}2}(k) = P(X=k) = \displaystyle \binom{10}{k} \cdot 0{,}2^{k} \cdot (1-0{,}2)^{10-k}$

$P(X=3) = \displaystyle \binom{10}{3} \cdot 0{,}2^{3} \cdot 0{,}8^{7} \approx 0{,}20$

Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Trefferzahlen berechnen, erhalten wir folgende Binomialverteilung:

Histogramm der binomialverteilten Zufallsgröße $X$
Binomialverteilung Histogramm

Hier können wir den Erwartungswert gut erkennen, es ist der höchste Balken.
Das Histogramm ist nicht symmetrisch, der Erwartungswert $\mu$ liegt relativ weit links bei $k = 2$, weil $0 \leq p = 0{,}2 < 0{,}5$ ist.

Um die Wahrscheinlichkeit für höchstens $3$ Treffer zu berechnen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für keinen $\left( P(X=0) \right)$, einen $\left( P(X=1) \right)$, zwei $\left( P(X=0) \right)$ und drei $\left( P(X=0) \right)$ Treffer addieren. Wir berechnen also:

$P(X=0) = \displaystyle \binom{10}{0} \cdot 0{,}2^{0} \cdot 0{,}8^{10} \approx 0{,}11$

$P(X=1) = \displaystyle \binom{10}{1} \cdot 0{,}2^{1} \cdot 0{,}8^{9} \approx 0{,}27$

$P(X=2) = \displaystyle \binom{10}{2} \cdot 0{,}2^{2} \cdot 0{,}8^{8} \approx 0{,}30$

Damit erhalten wir:

$P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0{,}88$

Damit ist auch klar, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens $4$ Treffer $P(X\geq 4) = 0{,}12$ betragen muss. Denn diese beiden Ereignisse schließen sich gegenseitig aus und müssen zusammen den Wert $1$ ergeben, da sie alle möglichen Ergebnisse bzw. Trefferzahlen einschließen.

Negative Binomialverteilung

Die Binomialverteilung wirkt auf den ersten Blick recht theoretisch, sie ist aber für sehr viele statistische Prozesse von großer Bedeutung. Daneben werden auch die negative Binomialverteilung (die sogenannte Pascal‑Verteilung) und die Poisson‑Verteilung vielfach praktisch angewendet. Zum Beispiel nutzen Versicherungen diese Verteilungen, um Schadenzahlverteilungen aufzustellen. So können verschiedene Risiken eingeschätzt und ihre Kosten berechnet werden.

Zusammenfassung – Binomialverteilung

  • Die Binomialverteilung bildet die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße ab.
  • Eine Reihe von Zufallsversuchen kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße abgebildet werden, wenn jeder Versuch genau zwei mögliche Ergebnisse hat (die sich gegenseitig ausschließen) – wobei die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei jedem Versuch gleich bleibt.
  • Mit der Formel für die Binomialverteilung $B_{n,p}(k)$ lässt sich berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ eine bestimmte Anzahl an Treffern $k$ bei einer gegebenen Anzahl von Versuchen $n$ und einer Trefferwahrscheinlichkeit $p$ (pro Versuch) eintritt:
    $P(X=k) = B_{n,p}(k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$
    $\qquad \text{mit~} p \in [0,1] ; k \in [0,1,2,...,n]$
  • Ist eine kumulierte Wahrscheinlichkeit gesucht, müssen einzelne Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Trefferzahlen addiert werden:
    $P(X \leq k) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + … + P(X=k)$

Binomialverteilung – Aufgaben

Wofür stehen $n$, $p$ und $k$ bei der Binomialverteilung?
Ein Würfel wird zehnmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei genau dreimal eine Sechs zu werfen?
Ein Würfel wird zehnmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei mindestens dreimal eine Sechs zu werfen?
Eine Münze wird neunmal geworfen. Dabei soll Kopf als Treffer und Zahl als Nichttreffer zählen. Wie viele Treffer sind zu erwarten? Berechne den Erwartungswert $\bf \mu$ sowie die Varianz $\bf \sigma^2$ und die Standardabweichung $\bf \sigma$.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Binomialverteilung

Was ist eine Binomialverteilung?
Wie erkennt man eine Binomialverteilung?
Was ist der Unterschied zwischen Bernoulli‑ und Binomialverteilung?
Wann spricht man von einer Binomialverteilung?
Was ist n bei der Binomialverteilung?
Wie hängen Binomialverteilung und Bernoulli-Experimente zusammen?
Was gehört alles zur Binomialverteilung?

Transkript Binomialverteilung

"Binomialverteilung" was für ein Wort! Kann man ja mal so im Gespräch fallen lassen, einfach um Eindruck zu schinden! "Meine Erkenntnisse beruhen übrigens auf der BINOMIALVERTEILUNG." Da widerspricht dir keiner mehr. Sehr gut! Dann müssen wir jetzt nur noch selbst herausfinden, was es mit dieser "Binomialverteilung" auf sich hat. Um das zu verstehen, solltest du wissen, was ein Bernoulli-Experiment beziehungsweise eine Bernoulli-Kette ist und wie die Bernoulli-Formel lautet. Falls das nicht der Fall ist, schau dir das Thema am besten nochmal an. Hier kommt aber auch die Kurzfassung: Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem wir nur zwischen zwei verschiedenen Ausgängen unterscheiden. "Treffer" oder "kein Treffer". Das klassische Beispiel hierzu ist der Münzwurf. Führen wir ein und dasselbe Bernoulli-Experiment (wie zum Beispiel eben den Münzwurf) MEHRFACH hintereinander aus, ergibt das eine Bernoulli-Kette. Und wenn wir dann die Wahrscheinlichkeit für "GENAU k Treffer" bei einer Bernoulli-Kette der "Länge n" mit der "Trefferwahrscheinlichkeit p" berechnen möchten, machen wir das mit DIESER Formel, der Bernoulli-Formel. Jetzt könnte man ja mal hingehen und die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Anzahl an Treffern zu einer gegebenen Bernoulli-Kette ausrechnen. Das läuft dann darauf hinaus, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für diese Bernoulli-Kette aufzustellen. Und wie die dann aussieht, schauen wir uns jetzt mal genauer an. Eine Bernoulli-Kette ist eine BINOMIALVERTEILTE Zufallsgröße. Das "bi" in binomial steht für die ZWEI möglichen Ausgänge: Erfolg oder Misserfolg. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße nennen wir daher "BINOMIALverteilung". Sie ordnet jeder möglichen "Trefferanzahl k", die minimal bei Null und maximal bei n liegt, die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu. Also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es genau "X gleich k" Treffer gibt. Wie jede andere Wahrscheinlichkeitsverteilung auch, ist die Binomialverteilung somit eine Zuordnung beziehungsweise eine Funktion. Und praktischerweise kennen wir sogar die Funktionsgleichung! Sie ist durch die Bernoulli-Formel gegeben und wird mit einem großen B sowie den Parametern n und p angegeben. Die unabhängige Variable unserer Funktion ist die "Trefferanzahl k", der dann durch die Bernoulli-Formel die entsprechende Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. Genug Theorie! Jetzt rechnen wir mal ganz konkret nach! Wir werfen eine Münze dreimal hintereinander. Wir haben also eine Bernoulli-Kette der Länge "n gleich drei". Die Trefferwahrscheinlichkeit kennen wir ebenfalls. Sie liegt bei "p gleich 0,5". Das sind dann auch schon alle Informationen, die wir brauchen, um uns die Binomialverteilung dieser Bernoulli-Kette anzuschauen. Weil wir das Zufallsexperiment insgesamt dreimal ausführen, können wir entweder null, einen, zwei oder drei Treffer landen. Die Wahrscheinlichkeiten für diese vier verschiedenen Trefferzahlen können wir jetzt mit Hilfe der Funktionsgleichung (sprich der Bernoulli-Formel) berechnen. Wir setzen dafür einfach die entsprechenden Werte ein. Zunächst die Werte für n und p, denn die sind als Parameter immer gleich. Dann setzen wir "k gleich null" und anschließend auch die anderen möglichen Trefferzahlen in unsere Formel ein. Bei diesen Rechnungen kann uns unser Taschenrechner einiges an Arbeit sparen! Der klassische Befehl, der auf den meisten Modellen verfügbar ist, lautet "binomPdf". Wir müssen auch im Taschenrechner die entsprechenden Werte für n, p und k einsetzen und der spuckt uns dann direkt das Ergebnis aus! Haben wir die Wahrscheinlichkeiten für alle Trefferzahlen ausgerechnet, steht unsere Binomialverteilung. Wir können sie, wie hier, in Form einer Tabelle angeben. Sehr häufig wird sie aber auch in Form eines Schaubildes, genauer gesagt in Form eines Histogramms dargestellt. Die Höhe jeder Säule steht hier für die Wahrscheinlichkeit, mit der die entsprechende Trefferanzahl eintritt. Die Darstellung von Binomialverteilungen durch Histogramme ist sehr anschaulich. Daher werden dir diese Schaubilder bei dem Thema immer wieder über den Weg laufen. Hier siehst du zum Beispiel das entsprechende Histogramm für einen vierfachen, einen zehnfachen und einen zwanzigfachen Münzwurf. Wenn wir uns die Histogramme genau anschauen, fällt auf, dass sie alle die gleiche Grundform haben. Außerdem fällt auf, dass alle Histogramme symmetrisch sind. Die Symmetrie kommt durch die zugrundeliegende Trefferwahrscheinlichkeit zustande, die bei allen Schaubildern fünfzig Prozent beträgt. Ändern wir die Trefferwahrscheinlichkeit zum Beispiel auf 0,75 hat das natürlich auch eine Auswirkung auf die resultierenden Schaubilder, die dann SO aussehen. An den Histogrammen lässt sich auch eine weitere wichtige Kenngröße der Binomialverteilung prima abschätzen: Der Erwartungswert. Den schauen wir uns aber lieber beim nächsten Mal an und fassen erstmal das Wichtigste zur Binomialverteilung auf einen Blick zusammen. Eine Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli-Kette, also einer binomialverteilten Zufallsgröße. Bei dieser Zufallsgröße werden der Anzahl an Treffern, die bei "n" Versuchsdurchführungen erzielt werden können, die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zugeordnet. Wir können die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte "Trefferanzahl k" mit der Bernoulli-Formel berechnen. Dabei hilft uns dann im Normalfall der Taschenrechner, genauer gesagt der Befehl "binomPdf". Eine Binomialverteilung wird außerdem häufig in Form eines Histogramms dargestellt. An der Höhe der einzelnen Säulen lassen sich hier die Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Trefferzahlen ablesen. Summieren wir all diese Wahrscheinlichkeiten auf, erhalten wir (wie bei jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung) genau eins beziehungsweise einhundert Prozent. So, jetzt haben wir diesen unglaublich intelligent klingenden Begriff mit ein bisschen Leben gefüllt und DU kannst bei der nächsten Gelegenheit mal testen, wie gut er als Gesprächsstoff taugt. Viel Spaß dabei!

Binomialverteilung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Binomialverteilung kannst du es wiederholen und üben.
  • Charakterisiere die Binomialverteilung.

    Tipps

    Vier Aussagen sind richtig.

    Eine unabhängige Variable ändert sich innerhalb der Funktionsgleichung. Dieser wird ein bestimmter Wert zugeordnet.

    Achte darauf, welche Zahlen sich in dem Beispiel ändern und überlege, welche Variable in der Formel für die Zahlen steht:

    $B_{3;~0,5} (0) = P (X = 0) = \displaystyle \binom{3}{0} \cdot 0,\!5^{0} \cdot (1-0,\!5)^{3-0}$

    $B_{3;~0,5} (1) = P (X = 1) = \displaystyle \binom{3}{1} \cdot 0,\!5^{1} \cdot (1-0,\!5)^{3-1}$

    $B_{3;~0,5} (2) = P (X = 2) = \displaystyle \binom{3}{2} \cdot 0,\!5^{2} \cdot (1-0,\!5)^{3-2}$

    Die Bernoulli-Formel lautet:

    $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

    Lösung

    In dieser Aufgabe definieren wir die Binomialverteilung. Dafür ist es wichtig zu überlegen, wann und wofür sie genutzt wird.

    Eine Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli-Kette, also einer binomialverteilten Zufallsgröße. Die binomialverteilte Zufallsgröße hat genau zwei Ausgänge, wobei wir diese als „Erfolg“ und „Misserfolg“ oder auch „Treffer“ und „kein Treffer“ betiteln. Die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ beschreibt dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erfolg eintritt. Bei einer Bernoulli-Kette beschreibt die Zufallsgröße die Anzahl an Treffern, die bei $n$ Versuchsdurchführungen erzielt werden können. Wir können also die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferanzahl $k$ mit der Bernoulli-Formel berechnen.


    Für unsere Aussagen bedeutet das Folgendes:


    • Die Binomialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zufallsexperiments mit genau zwei Ausgängen.
    Diese Aussage ist richtig: Die Binomialverteilung wird immer genutzt, wenn ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ausgängen, also ein Bernoulli-Experiment, mehrfach ausgeführt wird. Das klassische Beispiel hierfür ist der Münzwurf.


    • Die Binomialverteilung ordnet jeder möglichen Trefferzahl die dazugehörige Wahrscheinlichkeit zu.
    Diese Aussage ist richtig: Führen wir ein und dasselbe Bernoulli-Experiment (beispielsweise den Münzwurf) mehrfach hintereinander aus, ergibt das eine Bernoulli-Kette. Die Binomialverteilung ordnet jeder möglichen Trefferzahl dieser Bernoulli-Kette die dazugehörige Wahrscheinlichkeit zu.


    • Die Binomialverteilung ordnet jeder möglichen Trefferzahl die dazugehörige Länge der Bernoulli-Kette zu.
    Die Aussage ist falsch: Die Länge der Bernoulli-Kette ($n$) ist Teil der Bernoulli-Formel und wird genutzt, um die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferzahl zu berechnen. Bei einem Münzwurf definiert sie, wie oft die Münze insgesamt geworfen wird.


    • Die Funktionsgleichung der Binomialverteilung ist durch die binomischen Formeln gegeben.
    Diese Aussage ist falsch: Während „Bi-“ in „Binomial-“ für die zwei möglichen Ausgänge (Erfolg oder Misserfolg) steht, weist es in Bezug auf die binomischen Formeln darauf hin, dass die Klammern genau zwei Summanden oder eine Differenz enthalten. Die binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitet, um einen Spezialfall der Multiplikation von zwei Klammertermen aufzulösen. Sie haben keinen Zusammenhang mit der Binomialverteilung.


    • Die Funktionsgleichung der Binomialverteilung ist durch die Bernoulli-Formel gegeben.
    Diese Aussage ist richtig: Mithilfe der Bernoulli-Formel wird berechnet, welche Wahrscheinlichkeit welche Trefferzahl in einer Bernoulli-Kette hat. Die Funktionsgleichung lautet demnach:

    $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$


    • Als unabhängige Variable enthält die Funktionsgleichung der Binomialverteilung $k$.
    Die Aussage ist richtig: Die unabhängige Variable unserer Funktion ist die Trefferanzahl $k$, der durch die Bernoulli-Formel die entsprechende Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. Wollen wir zum Beispiel berechnen, wie wahrscheinlich null Treffer sind, wird für jedes $k=0$ eingesetzt:

    $B_{n;~p} (0) = P (X = 0) = \displaystyle \binom{n}{0} \cdot p^{0} \cdot (1-p)^{n-0}$


    • Als unabhängige Variable enthält die Funktionsgleichung der Binomialverteilung $p$.
    • Als unabhängige Variable enthält die Funktionsgleichung der Binomialverteilung $n$.
    Beide Aussagen sind falsch: Sowohl die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer $p$ als auch die Gesamtanzahl der Versuche $n$ ändern sich innerhalb der Bernoulli-Kette nicht. Berechnen wir zum beispielsweise die Wahrscheinlichkeit von null, einem und zwei Treffern bei dreimaligem Münzwurf (z. B. Kopf), ergeben sich folgende Gleichungen:

    $B_{3;~0,5} (0) = P (X = 0) = \displaystyle \binom{3}{0} \cdot 0,\!5^{0} \cdot (1-0,\!5)^{3-0}$

    $B_{3;~0,5} (1) = P (X = 1) = \displaystyle \binom{3}{1} \cdot 0,\!5^{1} \cdot (1-0,\!5)^{3-1}$

    $B_{3;~0,5} (2) = P (X = 2) = \displaystyle \binom{3}{2} \cdot 0,\!5^{2} \cdot (1-0,\!5)^{3-2}$


    Eine Binomialverteilung wird anknüpfend an diese Rechnungen häufig in Form eines Histogramms dargestellt. An der Höhe der einzelnen Säulen lassen sich hier die Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Trefferzahlen ablesen. Summieren wir alle diese Wahrscheinlichkeiten auf, erhalten wir (wie bei jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung) genau ein beziehungsweise $100$ Prozent.

  • Gib das Vorgehen zum Erstellen einer Binomialverteilung wieder.

    Tipps

    Überlege, welche Parameter in der Funktionsgleichung der Binomialverteilung immer gleich bleiben. Sie müssen zuerst feststehen.

    Was brauchst du als unabhängige Variable zusätzlich, um mit der Funktionsgleichung die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten auszurechnen?

    Lösung

    In dieser Aufgabe bringen wir die Schritte zum Erstellen einer Binomialverteilung in die richtige Reihenfolge.

    Die allgemeine Funktionsgleichung der Binomialverteilung ist durch die Bernoulli-Formel gegeben:

    $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

    Sie enthält die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ und die Länge der Bernoulli-Kette bzw. Gesamtanzahl der Versuche $n$ als gleichbleibende Parameter sowie die unabhängige Variable $k$, welche für die Trefferanzahl steht.


    Als Beispiel betrachten wir das dreimalige Werfen einer Münze.


    Schritt 1: Bestimmen der Länge der Bernoulli-Kette $n$ und der Trefferwahrscheinlichkeit $p$.

    Da wir die Münze dreimal werfen, ergibt sich:

    • $n = 3$
    • $p = 0,\!5$

    Das sind dann auch schon alle Informationen, die wir brauchen, um uns die Binomialverteilung dieser Bernoulli-Kette anzuschauen:

    $B_{3;~0,5} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{3}{k} \cdot 0,\!5^{k} \cdot (1-0,\!5)^{3-k}$


    Schritt 2: Festlegen der möglichen Trefferanzahlen $k$.

    Weil wir das Zufallsexperiment insgesamt dreimal ausführen, können wir entweder null, einen, zwei oder drei Treffer landen.


    Schritt 3: Werte in die Bernoulli-Formel einsetzen und Wahrscheinlichkeiten für jede Trefferzahl berechnen.

    Die Wahrscheinlichkeiten für diese vier verschiedenen Trefferzahlen können wir jetzt mithilfe der Funktionsgleichung (sprich der Bernoulli-Formel) berechnen. Der Wert für $k$ wird in die Funktionsgleichung eingesetzt und die entsprechende Wahrscheinlichkeit errechnet:

    $B_{3;~0,5} (0) = P (X = 0) = \displaystyle \binom{3}{0} \cdot 0,\!5^{0} \cdot (1-0,\!5)^{3-0} = 0,\!125$

    $B_{3;~0,5} (1) = P (X = 1) = \displaystyle \binom{3}{1} \cdot 0,\!5^{1} \cdot (1-0,\!5)^{3-1} = 0,\!375$

    $B_{3;~0,5} (2) = P (X = 2) = \displaystyle \binom{3}{2} \cdot 0,\!5^{2} \cdot (1-0,\!5)^{3-2} = 0,\!375$

    $B_{3;~0,5} (3) = P (X = 3) = \displaystyle \binom{3}{3} \cdot 0,\!5^{3} \cdot (1-0,\!5)^{3-3} = 0,\!125$

    Bei diesen Rechnungen kann uns unser Taschenrechner einiges an Arbeit sparen: Der klassische Befehl, der auf den meisten Modellen verfügbar ist, lautet binomPdf. Wir müssen anschließend im Taschenrechner die entsprechenden Werte für $n$, $p$ und $k$ einsetzen.


    Schritt 4: Eintragen der errechneten Wahrscheinlichkeiten in eine Tabelle bzw. in ein Histogramm.

    Haben wir die Wahrscheinlichkeiten für alle Trefferzahlen ausgerechnet, steht unsere Binomialverteilung. Wir können sie – wie hier – in Form einer Tabelle angeben:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c} k & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P (X=k) & 0,\!125 & 0,\!375 & 0,\!375 & 0,\!125 \\ \end{array}$

    Sehr häufig wird sie aber auch in Form eines Schaubildes, genauer gesagt in Form eines Histogramms, dargestellt: Die Höhe jeder Säule steht für die Wahrscheinlichkeit, mit der die entsprechende Trefferanzahl eintritt.
    Die Darstellung von Binomialverteilungen durch Histogramme ist sehr eingängig. Daher werden dir diese Schaubilder bei dem Thema immer wieder begegnen.

  • Stelle die Funktionsgleichungen auf.

    Tipps

    Überlege, welche Positionen $n$ und $p$ in der Funktionsgleichung der Binomialverteilung haben.

    Die Funktionsgleichung sieht allgemein folgendermaßen aus:

    $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

    Lösung

    In dieser Aufgabe ordnen wir Parametern die passende Funktionsgleichung der Binomialverteilung zu. Hierfür nutzen wir die Gesamtanzahl der Durchführungen ($n$), die angegebene Trefferwahrscheinlichkeit ($p$) sowie die Funktionsgleichung der Binomialverteilung:

    $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$


    Es ergeben sich folgende Zuordnungen:

    1. $n=7 \quad\vert\quad p=0,\!2$

    $B_{7;~0,2} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{7}{k} \cdot 0,\!2^{k} \cdot (1-0,\!2)^{7-k} = \color{#99CC00}{\displaystyle \binom{7}{k} \cdot 0,\!2^k \cdot 0,\!8^{7-k}}$

    $\begin{array}{ccccccccc} B_{7;~0,2} (0) &=& P (X = 0)& =& \displaystyle \binom{7}{0} & \cdot& 0,\!2^{0} &\cdot & (1-0,\!2)^{7-0} \\ &&& =& 1 & \cdot& 1 &\cdot & 0,\!2097\\ &&& \approx &0,\!21 \end{array}$

    $\begin{array}{ccccccccc} B_{7;~0,2} (1) &=& P (X = 1)& =& \displaystyle \binom{7}{1} & \cdot& 0,\!2^{1} &\cdot & (1-0,\!2)^{7-1} \\ &&& =& 7 & \cdot& 0,\!2 &\cdot & 0,\!2621\\ &&& = & 0,\!3669 \\ &&& \approx &0,\!367 \end{array}$

    $\begin{array}{cccccccc} B_{7;~0,2} (2) &=& P (X = 2)& =& \displaystyle \binom{7}{2} & \cdot& 0,\!2^{2} &\cdot & (1-0,\!2)^{7-2} \\ &&& =& 21 & \cdot& 0,\!04 &\cdot & 0,\!3277\\ &&& = & 0,\!2752 \\ &&& \approx &0,\!275 \end{array}$

    Die Parameter gehören demnach zu folgender Binomialverteilung:

    $\begin{array}{c|c|c|c} k & 0 & 1 & 2 \\ \hline P (X=k) & 0,\!21 & 0,\!367 & 0,\!275 \\ \end{array}$


    2. $n=10 \quad\vert\quad p=0,\!5$

    $B_{10;~0,5} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{10}{k} \cdot 0,\!5^{k} \cdot (1-0,\!5)^{10-k} = \color{#99CC00}{\displaystyle \binom{10}{k} \cdot 0,\!5^{k} \cdot 0,\!5^{10-k}}$

    $\begin{array}{ccccccccc} B_{10;~0,5} (0) &=& P (X = 0)& =& \displaystyle \binom{10}{0} & \cdot& 0,\!5^{0} &\cdot & (1-0,\!5)^{10-0} \\ &&& =& 1 & \cdot& 1 &\cdot & 0,\!0009\\ &&& \approx &0,\!001 \end{array}$

    $\begin{array}{cccccccc} B_{10;~0,5} (1) &=& P (X = 1)& =& \displaystyle \binom{10}{1} & \cdot& 0,\!5^{1} &\cdot & (1-0,\!5)^{10-1} \\ &&& =& 10 & \cdot& 0,\!5 &\cdot & 0,\!0019\\ &&& = & 0,\!01 \\ \end{array}$

    $\begin{array}{ccccccccc} B_{10;~0,5} (2) &=& P (X = 2)& =& \displaystyle \binom{10}{2} & \cdot& 0,\!5^{2} &\cdot & (1-0,\!5)^{10-2} \\ &&& =& 45 & \cdot& 0,\!25 &\cdot & 0,\!0039\\ &&& = & 0,\!2752 \\ &&& \approx &0,\!044 \end{array}$

    Die Parameter gehören demnach zu folgender Binomialverteilung:

    $\begin{array}{c|c|c|c} k & 0 & 1 & 2 \\ \hline P (X=k) & 0,\!001 & 0,\!01 & 0,\!044 \\ \end{array}$


    3. $n=5 \quad\vert\quad p=0,\!25$

    $B_{5;~0,25} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{5}{k} \cdot 0,\!25^{k} \cdot (1-0,\!25)^{5-k} = \color{#99CC00}{\displaystyle \binom{5}{k} \cdot 0,\!25^{k} \cdot 0,\!75^{5-k}}$

    $\begin{array}{ccccccccc} B_{5;~0,25} (0) &=& P (X = 0)& =& \displaystyle \binom{5}{0} & \cdot& 0,\!25^{0} &\cdot & (1-0,\!25)^{5-0} \\ &&& =& 1 & \cdot& 1 &\cdot & 0,\!2373\\ &&& \approx &0,\!237 \end{array}$

    $\begin{array}{ccccccccc} B_{5;~0,25} (1) &=& P (X = 1)& =& \displaystyle \binom{5}{1} & \cdot& 0,\!25^{1} &\cdot & (1-0,\!25)^{5-1} \\ &&& =& 5 & \cdot& 0,\!25 &\cdot & 0,\!3164\\ &&& = & 0,\!3955 \\ &&& \approx &0,\!396 \end{array}$

    $\begin{array}{ccccccccc} B_{5;~0,25} (2) &=& P (X = 2)& =& \displaystyle \binom{5}{2} & \cdot& 0,\!25^{2} &\cdot & (1-0,\!25)^{5-2} \\ &&& =& 10 & \cdot& 0,\!0625 &\cdot & 0,\!4219\\ &&& = & 0,\!2637 \\ &&& \approx &0,\!264 \end{array}$

    Die Parameter gehören demnach zu folgender Binomialverteilung:

    $\begin{array}{c|c|c|c} k & 0 & 1 & 2 \\ \hline P (X=k) & 0,\!237 & 0,\!396 & 0,\!264 \\ \end{array}$


    4. $n=4 \quad\vert\quad p=0,\!75$

    $B_{4;~0,75} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{4}{k} \cdot 0,\!75^{k} \cdot (1-0,\!75)^{4-k} = \color{#99CC00}{\displaystyle \binom{4}{k} \cdot 0,\!75^{k} \cdot 0,\!25^{4-k}}$

    $\begin{array}{ccccccccc} B_{4;~0,75} (0) &=& P (X = 0)& =& \displaystyle \binom{4}{0} & \cdot& 0,\!75^{0} &\cdot & (1-0,\!75)^{4-0} \\ &&& =& 1 & \cdot& 1 &\cdot & 0,\!0039\\ &&& \approx &0,\!004 \end{array}$

    $\begin{array}{ccccccccc} B_{4;~0,75} (1) &=& P (X = 1)& =& \displaystyle \binom{4}{1} & \cdot& 0,\!75^{1} &\cdot & (1-0,\!75)^{4-1} \\ &&& =& 4 & \cdot& 0,\!75 &\cdot & 0,\!0156\\ &&& = & 0,\!0468 \\ &&& \approx &0,\!047 \end{array}$

    $\begin{array}{cccccccc} B_{4;~0,75} (2) &=& P (X = 2)& =& \displaystyle \binom{4}{2} & \cdot& 0,\!75^{2} &\cdot & (1-0,\!75)^{4-2} \\ &&& =& 6 & \cdot& 0,\!5625 &\cdot & 0,\!0625\\ &&& = & 0,\!2109 \\ &&& \approx &0,\!211 \end{array}$

    Die Parameter gehören demnach zu folgender Binomialverteilung:

    $\begin{array}{c|c|c|c} k & 0 & 1 & 2 \\ \hline P (X=k) & 0,\!004 & 0,\!047 & 0,\!211 \\ \end{array}$


    5. $n=6 \quad\vert\quad p=0,\!5$

    $B_{6;~0,5} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{6}{k} \cdot 0,\!5^{k} \cdot (1-0,\!5)^{6-k} = \color{#99CC00}{\displaystyle \binom{6}{k} \cdot 0,\!5^{k} \cdot 0,\!5^{6-k}}$

    $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,5} (0) &=& P (X = 0)& =& \displaystyle \binom{6}{0} & \cdot& 0,\!5^{0} &\cdot & (1-0,\!5)^{6-0} \\ &&& =& 1 & \cdot& 1 &\cdot & 0,\!0156\\ &&& \approx &0,\!016 \end{array}$

    $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,5} (1) &=& P (X = 1)& =& \displaystyle \binom{6}{1} & \cdot& 0,\!5^{1} &\cdot & (1-0,\!5)^{6-1} \\ &&& =& 6 & \cdot& 0,\!5 &\cdot & 0,\!0312\\ &&& = & 0,\!0936 \\ &&& \approx &0,\!094 \end{array}$

    $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,5} (2) &=& P (X = 2)& =& \displaystyle \binom{6}{2} & \cdot& 0,\!5^{2} &\cdot & (1-0,\!5)^{6-2} \\ &&& =& 15 & \cdot& 0,\!25 &\cdot & 0,\!0625\\ &&& = & 0,\!2344 \\ &&& \approx &0,\!234 \end{array}$

    Die Parameter gehören demnach zu folgender Binomialverteilung:

    $\begin{array}{c|c|c|c} k & 0 & 1 & 2 \\ \hline P (X=k) & 0,\!016 & 0,\!094 & 0,\!234 \\ \end{array}$


    Mit dem Taschenrechner kannst du die Werte überprüfen. Er kann dir außerdem helfen, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten schneller zu errechnen. Hierfür ist folgender Befehl notwendig:

    $\text{binomPdf}(n,p,k)$

  • Ermittle die Binomialverteilung.

    Tipps

    Lies noch einmal genau:

    • Wie oft wird insgesamt gezogen?
    • Welcher Parameter steht für die Gesamtanzahl der Versuche und welche Trefferzahlen kann es geben?

    Zähle, wie viele Kugeln es insgesamt gibt und wie viele als Treffer gelten.

    Wären es beispielsweise zwölf Kugeln, von denen sechs als Treffer gelten, würde die Trefferwahrscheinlichkeit folgendermaßen errechnet werden:

    $p= \dfrac{6}{12} = 0,\!5$

    Nutze die Funktionsgleichung, um die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Trefferanzahlen $(k)$ zu berechnen:

    $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

    Runde das Ergebnis. Es wird aufgerundet, wenn die vierte Stelle mindestens $5$ ist:

    $B_{n;~p} (k) = 0,\!2365 \approx 0,\!237$

    Ist die Zahl kleiner als $5$, wird abgerundet. Die Ziffer an der dritten Stelle bleibt gleich:

    $B_{n;~p} (k) = 0,\!2364 \approx 0,\!236$

    Lösung

    In dieser Aufgabe nutzen wir die Funktionsgleichung zum Berechnen der Wahrscheinlichkeit für verschiedene Trefferzahlen. Hierfür müssen wir die Funktionsgleichung der Binomialverteilung kennen. Sie lautet:

    $B_{n;~p} (k) = P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

    Die Funktionsgleichung ist durch die Bernoulli-Formel definiert und wird mit einem großen $B$ sowie den Parametern $n$ und $p$ angegeben.

    Lea zieht sechsmal aus zehn Kugeln, wobei eine blaue Kugel als Treffer gilt. Da es zwei blaue Kugeln gibt, gilt:

    • $n = 6$
    • $p = \dfrac{2}{10} = 0,\!2$

    Diese beiden Parameter bleiben in den Gleichungen für unsere Berechnung immer gleich:

    $\begin{array}{cccccccc} B_{6;~0,2} (k) &=& P (X = k)& =& \displaystyle \binom{6}{k} & \cdot& 0,\!2^{k} &\cdot & (1-0,\!2)^{6-k} \\ & & & =& \displaystyle \binom{6}{k} & \cdot& 0,\!2^{k} &\cdot & (0,\!8)^{6-k} \end{array}$

    Die unabhängige Variable unserer Funktion ist die Trefferanzahl $k$, der dann durch die Bernoulli-Formel die entsprechende Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird. Es ergeben sich folgende Rechnungen:

    $\underline{k = 0}$:
    $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,2} (0) &=& P (X = 0)& = &\displaystyle \binom{6}{0} & \cdot& 0,\!2^{0} &\cdot & (0,\!8)^{6-0} \\ &&& = &1 & \cdot& 1 &\cdot & 0,\!2621\\ &&& = &0,\!2621 \\ &&& \approx &0,\!262 \end{array}$

    $\underline{k = 1}$:
    $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,2} (1) &=& P (X = 1)& =& \displaystyle \binom{6}{1} & \cdot& 0,\!2^{1} &\cdot & (0,\!8)^{6-1} \\ &&& =& 6 & \cdot& 0,\!2 &\cdot & 0,\!3276\\ &&& =& 0,\!3931 \\ &&& \approx& 0,\!393 \end{array}$

    $\underline{k = 2}$:
    $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,2} (2) &=& P (X = 2)& =& \displaystyle \binom{6}{2} & \cdot& 0,\!2^{2} &\cdot & (0,\!8)^{6-2} \\ &&& = &15 & \cdot& 0,\!04 &\cdot & 0,\!4096\\ &&& =& 0,\!2457 \\ &&& \approx &0,\!246 \\ \end{array}$

    $\underline{k = 3}$:
    $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,2} (3) &=& P (X = 3)& =& \displaystyle \binom{6}{3} & \cdot& 0,\!2^{3} &\cdot & (0,\!8)^{6-3} \\ &&& = &20 & \cdot& 0,\!008 &\cdot & 0,\!512\\ &&& =& 0,\!0819 \\ &&& \approx& 0,\!082 \\ \end{array}$

    $\underline{k = 4}$:
    $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,2} (4) &=& P (X = 4)& = &\displaystyle \binom{6}{4} & \cdot& 0,\!2^{4} &\cdot & (0,\!8)^{6-4} \\ &&& \approx& 0,\!015 \\ \end{array}$

    $\underline{k = 5}$:
    $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,2} (5) &=& P (X = 5)& = &\displaystyle \binom{6}{5} & \cdot& 0,\!2^{5} &\cdot & (0,\!8)^{6-5} \\ &&& \approx& 0,\!002 \\ \end{array}$

    $\underline{k = 6}$:
    $\begin{array}{ccccccccc} B_{6;~0,2} (6) &=& P (X = 6)& =& \displaystyle \binom{6}{6} & \cdot& 0,\!2^{6} &\cdot & (0,\!8)^{6-6} \\ &&& \approx& 0,\!000 \\ \end{array}$


    Mit dem Taschenrechner kannst du die Werte überprüfen. Er kann dir außerdem helfen, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten schneller zu errechnen. Hierfür ist folgender Befehl notwendig:

    $\text{binomPdf}(n,p,k)$

    Achte darauf, dass im Taschenrechner Dezimalzahlen mit Punkt geschrieben werden und Kommata die einzelnen Variablen voneinander trennen. Für unsere Trefferzahlen würde das bedeuten:

    $B_{n;~p} (0) \Rightarrow \text{binomPdf}(6,0.2,0) \quad\vert\quad B_{n;~p} (1) \Rightarrow \text{binomPdf}(6,0.2,1) \\ B_{n;~p} (2) \Rightarrow \text{binomPdf}(6,0.2,2)\quad\vert\quad B_{n;~p} (3) \Rightarrow \text{binomPdf}(6,0.2,3)$

  • Beschreibe die Grundlagen einer Binomialverteilung.

    Tipps

    Die einzelnen Inhalte der Fachbegriffe bauen von oben nach unten aufeinander auf.

    Ein typisches Beispiel für ein Bernoulli-Experiment ist der Münzwurf. Überlege, wie viele mögliche Ausgänge es hierbei gibt.

    Lösung

    Wir wiederholen in dieser Aufgabe die Grundlagen der Binomialverteilung. Sie sind wichtig, um die Verteilung zu verstehen und zu nutzen.

    Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem wir nur zwischen zwei verschiedenen Ausgängen unterscheiden. Das klassische Beispiel hierzu ist der Münzwurf.

    Führen wir ein und dasselbe Bernoulli-Experiment mehrfach hintereinander aus (beispielsweise den Münzwurf), ergibt das eine** Bernoulli-Kette**. Eine Bernoulli-Kette steht für eine binomialverteilte Zufallsgröße.

    Wenn wir die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ berechnen möchten, dann machen wir das mit der Bernoulli-Formel. Sie wird also zum Berechnen der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Trefferanzahl $k$ genutzt und lautet:

    $P (X = k)= \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k}\cdot (1- p)^{n-k}$

    Das Auflisten der Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Anzahl an Treffern zu einer gegebenen Bernoulli-Kette heißt Binomialverteilung. „Bi-“ in „Binomial-“ steht für die zwei möglichen Ausgänge: Treffer oder kein Treffer. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jeder möglichen Trefferanzahl $k$, die minimal bei $0$ und maximal bei $n$ liegt, die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es genau $X = k$ Treffer gibt. Wie jede andere Wahrscheinlichkeitsverteilung auch, ist die Binomialverteilung somit eine Zuordnung beziehungsweise eine Funktion. Sie ist durch die Bernoulli-Formel definiert und wird mit einem großen $B$ sowie den Parametern $n$ und $p$ angegeben. Die unabhängige Variable unserer Funktion ist die Trefferanzahl $k$, der dann durch die Bernoulli-Formel die entsprechende Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird:

    $B_{3;~0,5} (0) = P (X = 0) = \displaystyle \binom{3}{0} \cdot 0,\!5^{0} \cdot (1-0,\!5)^{3-0} = 0,\!125$

    $B_{3;~0,5} (1) = P (X = 1) = \displaystyle \binom{3}{1} \cdot 0,\!5^{1} \cdot (1-0,\!5)^{3-1} = 0,\!375$

    $B_{3;~0,5} (2) = P (X = 2) = \displaystyle \binom{3}{2} \cdot 0,\!5^{2} \cdot (1-0,\!5)^{3-2} = 0,\!375$

    $B_{3;~0,5} (3) = P (X = 3) = \displaystyle \binom{3}{3} \cdot 0,\!5^{3} \cdot (1-0,\!5)^{3-3} = 0,\!125$

    In einer Tabelle wird die Zuordnung folgendermaßen dargestellt:

    $\begin{array}{c|c|c|c|c} k & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P (X=k) & 0,\!125 & 0,\!375 & 0,\!375 & 0,\!125 \\ \end{array}$

  • Leite die Parameter aus den Binomialverteilungen her.

    Tipps

    Schaue dir genau an, welche Werte das Histogramm abdeckt: Die Gesamtzahl $n$ ist mindestens so groß wie der letzte Balken am rechten Rand des Histogramms.

    Abhängig von der Trefferwahrscheinlichkeit sehen Histogramme unterschiedlich aus. Sieh dir die Beispiele an:

    Vergleiche die ersten Säulen neben dem gestrichelten Pfeil (Erwartungswert): Sind sie bei ${p=0,\!75}$ auf der linken (geringere Trefferanzahl) oder rechten (größere Trefferanzahl) Seite höher?

    Die Säule, deren Trefferzahl am wahrscheinlichsten ist (höchste Säule), nennt man Erwartungswert. Du kannst sie durch folgende Rechnung ermitteln:

    $E(X) = n \cdot p$

    Lösung

    In dieser Aufgabe ordnen wir Histogrammen die passenden Parameter zu. Dafür ist es wichtig zu wissen, dass Histogramme eine Binomialverteilung grafisch darstellen. Da sie sehr anschaulich sind, werden sie häufig genutzt, um mithilfe der Säulenhöhe zu verdeutlichen, welche Trefferzahl wie wahrscheinlich ist. Die Form der Histogramme entspricht immer einer Glocke:

    • $n$ legt dabei die Gesamtanzahl der Versuche und damit die maximale Trefferzahl fest. Man erkennt sie an dem Wert, der am weitesten rechts zu sehen ist.
    • Die mit der größten Wahrscheinlichkeit auftretende Trefferzahl wird auch Erwartungswert $(E(X) = \mu)$ genannt.
    • Für $p = 0,\!5$ liegen die Werte symmetrisch zum Erwartungswert. Immer eine Säule auf der linken und rechten Seite des Erwartungswertes sind also gleich groß.
    • Bei $p < 0,\!5$ ist die erste Säule auf der linken Seite des Erwartungswertes höher als die erste Säule auf der rechten Seite. Die Verteilung ist linksschief.
    • Wenn $p > 0,\!5$ ist, ist die erste Säule auf der rechten Seite des Erwartungswertes höher als die erste Säule auf der linken Seite. Die entsprechende Binomialverteilung ist rechtsschief.

    Für unsere Zuordnung bedeutet das Folgendes:


    Histogramm 1:

    Die maximale Trefferzahl liegt bei $20$ und das Histogramm ist um den Erwartungswert herum symmetrisch. Es gehört demnach zu den Werten $n=20$ und $p=0,\!5$.

    Zum Prüfen der Zuordnung kann der Erwartungswert oder eine andere Wahrscheinlichkeit zu einer Trefferanzahl berechnet werden:

    $E(X) = \mu = 20 \cdot 0,\!5 = 10$


    Histogramm 2:

    Die maximale Trefferzahl liegt bei zehn und das Histogramm ist um den Erwartungswert nicht symmetrisch. Es gehört demnach zu den Werten $n=10$ und $p=0,\!25$.

    Durch die Berechnung des Erwartungswertes wird deutlich, dass es linksschief ist:

    $E(X) = \mu = 10 \cdot 0,\!25 = 2,\!5$


    Histogramm 3:

    Die maximale Trefferzahl liegt bei $20$ und das Histogramm ist rechtsschief. (Die Säulen auf der rechten Seite des Erwartungswertes sind höher als die auf der linken Seite.) Es gehört demnach zu den Werten $n=20$ und $p=0,\!75$.

    Zum Prüfen der Zuordnung kann der Erwartungswert berechnet werden:

    $E(X) = \mu = 20 \cdot 0,\!75 = 15$


    Histogramm 4:

    Die maximale Trefferzahl liegt bei fünf und das Histogramm ist linksschief. (Die Säulen auf der linken Seite des Erwartungswertes sind höher als die auf der rechten Seite.) Es gehört demnach zu den Werten $n=5$ und $p=0,\!2$.

    Zum Prüfen der Zuordnung kann der Erwartungswert berechnet werden:

    $E(X) = \mu = 5 \cdot 0,\!2 = 1$


    Histogramm 5:

    Die maximale Trefferzahl liegt bei $20$ und das Histogramm ist linksschief. (Die Säulen auf der linken Seite des Erwartungswertes sind höher als die auf der rechten Seite.) Es gehört demnach zu den Werten $n=20$ und $p=0,\!3$.

    Zum Prüfen der Zuordnung kann der Erwartungswert berechnet werden:

    $E(X) = \mu = 20 \cdot 0,\!3 = 6$


    Histogramm 6:

    Die maximale Trefferzahl liegt bei zehn und das Histogramm ist um den Erwartungswert herum symmetrisch. Es gehört demnach zu den Werten $n=10$ und $p=0,\!5$.

    Zum Prüfen der Zuordnung kann der Erwartungswert berechnet werden:

    $E(X) = \mu = 10 \cdot 0,\!5 = 5$