Binomialverteilung

Die Binomialverteilung in der Mathematik

Wir wollen uns im Folgenden mit der Binomialverteilung beschäftigen und betrachten daher zunächst den Bernoulli-Versuch.

Bernoulli-Experiment

Bernoulli-Versuche werden auch Bernoulli-Experimente genannt.

Beispiele für solche Experimente sind beispielsweise der Münzwurf (Zahl, Kopf) oder auch das Losziehen (Gewinn, Niete).

Binomialverteilung – Herleitung und Definition

Im folgenden Abschnitt schauen wir uns zunächst die Herleitung an und formulieren dann die Definition.

Binomialverteilung – Herleitung

Man kann für die Mehrfachausführung eines Bernoulli-Experiments ein Baumdiagramm zeichnen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg ist dann gegeben als $p$, die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg ist dementsprechend $(1-p)$. Führt man das Experiment, zum Beispiel den Münzwurf, $n\text{-mal}$ aus, erhält man als Ergebnis ein n-Tupel, in dem die einzelnen Ergebnisse aufgezählt sind. Das könnte beispielsweise so aussehen:

$n \text{-Tupel:} ~ ~ ~ ( \text{Erfolg},\text{Misserfolg},\text{Erfolg},\text{Misserfolg}, ..., \text{Erfolg} ) $

Wir wollen jetzt herausfinden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, nach $n$ Versuchen genau $k$ Erfolge zu erzielen. Dazu betrachten wir zunächst die Wahrscheinlichkeit entlang eines einzelnen Pfades, in dem es zu genau $k$ Erfolgen kommt. Die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse entlang eines Pfades müssen nacheinander multipliziert werden. Das können wir mithilfe der Wahrscheinlichkeiten $p$ und $(1-p)$ zusammenfassen:

$\underbrace{P(e_{k_i,n})}_{\text{Wahrscheinlichkeit \\ für \\ Tupel}} = \underbrace{p^{k}}_{k~ \text{Äste mit Erfolg}} \cdot \underbrace{(1-p)^{n-k}}_{(n-k) ~ \text{Äste mit Misserfolg}} $

Allerdings spielt die Reihenfolge der einzelnen Ergebnisse keine Rolle. Wenn wir beispielsweise bei zwei Würfen einmal Erfolg erreichen wollen, ist es egal ob wir Erfolg, Misserfolg werfen oder Misserfolg, Erfolg. Das bedeutet, es müssen alle möglichen Pfade zusammengezählt werden, in denen genau $k$ Erfolge vorkommen. Die Anzahl an Möglichkeiten erhalten wir durch den Binomialkoeffizienten:

$P(X=k) = \underbrace{\binom{n}{k}}_{Binomialkoeffizient}\cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

Das ist genau die Wahrscheinlichkeit dafür, bei $n$ Würfen $k$ Erfolge zu erzielen, wobei die Reihenfolge der Ergebnisse egal ist.

Binomialverteilung – Definition

Wenn wir diese Gleichung etwas allgemeiner als die Binomialfunktion aufschreiben, erhalten wir nun die Binomialverteilung:

Kurze Zusammenfassung vom Video Binomialverteilung – Definition

In diesem Video lernst du die Binomialverteilung kennen und erfährst, wie sie mit Bernoulli-Experimenten zusammenhängt. Außerdem leiten wir für die Binomialverteilung eine Formel her. Du solltest dazu schon wissen, was der Binomialkoeffizient ist, wie ein Baumdiagramm aussieht und wie man Zufallsversuche darstellen kann. Neben Text und Video findest du zum Thema Binomialverteilung Aufgaben und Beispiele, mit denen du gleich dein Wissen festigen kannst.

Häufige Fragen zum Thema Binomialverteilung in der Mathematik