30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Binomialverteilung

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Bewertung

Sei der Erste und gib eine Bewertung ab!
Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Binomialverteilung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Binomialverteilung

Inhalt

Die Binomialverteilung in der Mathematik

Wir wollen uns im Folgenden mit der Binomialverteilung beschäftigen und betrachten daher zunächst den Bernoulli-Versuch.

Bernoulli-Experiment

Bernoulli-Versuche werden auch Bernoulli-Experimente genannt.

Als Bernoulli-Experimente bezeichnet man Zufallsexperimente, bei denen es für jeden Einzelversuch genau zwei mögliche Ausgänge gibt, die sich gegenseitig ausschließen. Im Allgemeinen nennt man die möglichen Ausgänge Erfolg und Misserfolg.

Beispiele für solche Experimente sind beispielsweise der Münzwurf (Zahl, Kopf) oder auch das Losziehen (Gewinn, Niete).

Binomialverteilung – Herleitung und Definition

Im folgenden Abschnitt schauen wir uns zunächst die Herleitung an und formulieren dann die Definition.

Die Binomialverteilung ist eine Verteilung, mit der man die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ergebnisse von Bernoulli-Versuchen berechnen kann.

Binomialverteilung – Herleitung

Man kann für die Mehrfachausführung eines Bernoulli-Experiments ein Baumdiagramm zeichnen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg ist dann gegeben als $p$, die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg ist dementsprechend $(1-p)$. Führt man das Experiment, zum Beispiel den Münzwurf, $n\text{-mal}$ aus, erhält man als Ergebnis ein n-Tupel, in dem die einzelnen Ergebnisse aufgezählt sind. Das könnte beispielsweise so aussehen:

$n \text{-Tupel:} ~ ~ ~ ( \text{Erfolg},\text{Misserfolg},\text{Erfolg},\text{Misserfolg}, ..., \text{Erfolg} ) $

Wir wollen jetzt herausfinden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, nach $n$ Versuchen genau $k$ Erfolge zu erzielen. Dazu betrachten wir zunächst die Wahrscheinlichkeit entlang eines einzelnen Pfades, in dem es zu genau $k$ Erfolgen kommt. Die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse entlang eines Pfades müssen nacheinander multipliziert werden. Das können wir mithilfe der Wahrscheinlichkeiten $p$ und $(1-p)$ zusammenfassen:

$\underbrace{P(e_{k_i,n})}_{\text{Wahrscheinlichkeit \\ für \\ Tupel}} = \underbrace{p^{k}}_{k~ \text{Äste mit Erfolg}} \cdot \underbrace{(1-p)^{n-k}}_{(n-k) ~ \text{Äste mit Misserfolg}} $

Allerdings spielt die Reihenfolge der einzelnen Ergebnisse keine Rolle. Wenn wir beispielsweise bei zwei Würfen einmal Erfolg erreichen wollen, ist es egal ob wir Erfolg, Misserfolg werfen oder Misserfolg, Erfolg. Das bedeutet, es müssen alle möglichen Pfade zusammengezählt werden, in denen genau $k$ Erfolge vorkommen. Die Anzahl an Möglichkeiten erhalten wir durch den Binomialkoeffizienten:

$P(X=k) = \underbrace{\binom{n}{k}}_{Binomialkoeffizient}\cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$

Das ist genau die Wahrscheinlichkeit dafür, bei $n$ Würfen $k$ Erfolge zu erzielen, wobei die Reihenfolge der Ergebnisse egal ist.

Binomialverteilung – Definition

Wenn wir diese Gleichung etwas allgemeiner als die Binomialfunktion aufschreiben, erhalten wir nun die Binomialverteilung:

$B_{n,p}(k) = \binom{n}{k}\cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} ~ ~ ~ \text{mit: } p \in [0,1] ; k \in [0,1,2,...,n] $

Wofür stehen das $n$, $p$ und $k$?

Kurze Zusammenfassung vom Video Binomialverteilung – Definition

In diesem Video lernst du die Binomialverteilung kennen und erfährst, wie sie mit Bernoulli-Experimenten zusammenhängt. Außerdem leiten wir für die Binomialverteilung eine Formel her. Du solltest dazu schon wissen, was der Binomialkoeffizient ist, wie ein Baumdiagramm aussieht und wie man Zufallsversuche darstellen kann. Neben Text und Video findest du zum Thema Binomialverteilung Aufgaben und Beispiele, mit denen du gleich dein Wissen festigen kannst.

Häufige Fragen zum Thema Binomialverteilung in der Mathematik

Was ist eine Binomialverteilung?
Wie erkennt man eine Binomialverteilung?
Was ist der Unterschied zwischen Bernoulli- und Binomialverteilung?
30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

4.136

sofaheld-Level

6.572

vorgefertigte
Vokabeln

9.494

Lernvideos

40.597

Übungen

36.327

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden