30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge – Einführung 06:40 min

Textversion des Videos

Transkript Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge – Einführung

Nepal! Im Hochgebirge ist Cayenne auf einem Selbstfindungstripp, wo er den 'Scharfen Pfad der Erleuchtung' gehen möchte. Jeden Tag bekommt er eine der feurigen Dreifaltigkeiten zubereitet. 3 ist bekanntlich die heilige Zahl, deshalb ist JEDE der feurigen Dreifaltigkeiten ein Chili-Gericht in dem 3 verschiedene Chilli-Sorten aus insgesamt 10 Sorten verarbeitet sind. Cayenne wird jeden Tag einen Tempel passieren. Und in jedem Tempel wartet genau ein Chiligericht auf ihn. So lange, bis er alle Chili-Kombinationen einmal probiert hat. Bis zum Gipfel! Ah, der Koch bereitet gerade das erste Gericht zu und wählt zufällig drei Chillisorten aus. Wie viele verschiedene Chilli-Gerichte sind dann möglich und wie lange wird der 'Scharfe Pfad der Erleuchtung' also dauern? Oje, Cayenne, hast du dir das gut überlegt? Wir berechnen die Anzahl der Tage mit einer der vier Formeln für die Möglichkeiten, aus 'n' Elementen 'k'-mal zu ziehen. Wir wollen wissen: Ist die Reihenfolge bei den Ziehungen wichtig oder nicht? Können außerdem Elemente auch mehrfach gezogen werden? Oder kann man jedes Element nur einmal ziehen? Um herauszufinden, um welchen Fall es sich bei uns handelt, übersetzen wir das Problem in das Urnenmodell. Die Gesamtheit der 10 Chilisorten enspricht der Urne. Die Kugeln in der Urne sind die einzelnen Chilisorten. Das Ziehen von Kugeln aus der Urne entspricht dem Zubereiten des Chilli-Gerichts. Wir überlegen uns, ob wir hier mit oder ohne Zurücklegen ziehen. 'mit Zurücklegen' würde bedeuten, dass die gleiche Chilisorte auch zwei- oder dreimal im Topf landen könnte. In unserem Fall soll aber jede Chilisorte pro Gericht nur einmal vorkommen. Also haben wir hier den Fall ohne Zurücklegen. Jetzt überlegen wir, ob die Reihenfolge wichtig ist. 'Mit Reihenfolge' würde bedeuten: Es macht einen Unterschied, welche Chili zuerst in den Topf gelegt wird. Da aber beide Varianten das gleiche Gericht ergeben muss die Reihenfolge nicht beachtet werden. "Wir betrachten hier also: Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge." Und damit gibt es 'n' über 'k' Möglichkeiten. Diesen Klammerausdruck nennt man Binomialkoeffizient. Und er ist durch diesen Bruch definiert. Das Ausrufzeichen bezeichnet die Fakultät einer Zahl. 'n Fakultät' ist das Produkt aus n und allen natürlichen Zahlen kleiner als n. Zum Beispiel ist '3 Fakultät' das Produkt aus 3 und 2 und 1. Mit 'n' wird die Gesamtzahl aller Elemente bezeichnet - in unserem Fall ist 'n' also 10, weil der Koch aus insgesamt 10 Chili-Sorten wählen kann. Mit 'k' wird die Anzahl der gezogenen Elemente bezeichnet. In unserem Fall ist 'k' gleich 3, weil der Koch für jedes Gericht drei Chillisorten auswählt. Setzen wir die Zahlen in die Formel ein schreiben wir die Fakultätausdrücke aus und kürzen wir, erhalten wir 10 mal 3 mal 4 und das ist 120. 120 Tage! Mensch, Cayenne! Du hast aber viel freie Zeit! Um die Formel besser zu verstehen, können wir sie an unserem Beispiel selbst herleiten. Beim ersten Ziehen haben wir 10 Möglichkeiten, beim zweiten noch 9, dann 8 - weil immer weniger Chillisorten zur Auswahl stehen. Für die Zahl der Möglichkeiten insgesamt erhalten wir das Produkt 10 mal 9 mal 8. Das dürfen wir so erweitern und so schreiben: 10 Fakultät geteilt durch 7 Fakultät. Vielleicht erkennst du diesen Bruch ja wieder. Das ist die Formel für die Anzahl der Möglichkeiten, wenn die Reihenfolge beachtet wird. In unserem Fall wird die Reihenfolge aber nicht beachtet. Deshalb müssen wir uns überlegen, wie viele Möglichkeiten es für die Anordnung von Elementen gibt. Für 3 Elemente gibt es 3 Fakultät, also 6, mögliche Anordnungen. Diese Anordnungen dürfen wir nicht berücksichtigen, weil sie sich ja nur in der Reihenfolge unterscheiden. Deshalb teilen wir abschließend durch 3 Fakultät und erhalten so das richtige Ergebnis. Allgemein teilen wir den Bruch also durch 'k' Fakultät und haben damit den Ausdruck hergeleitet. Rechnen wir ein weiteres Beispiel durch: Nehmen wir an, der Koch hat fünfzehn Chillisorten zur Verfügung und in jedes Gericht gehören jeweils vier Chillis. Dann rechnen wir 15 Fakultät durch 4 Fakultät mal 11 Fakultät -- denn 'n minus k' ergibt hier 11. 15 Fakultät müssen wir gar nicht ganz ausschreiben, es genügt, daraus 15 mal 14 mal 13 mal 12 mal 11 Fakultät zu machen, denn so können wir 11 Fakultät kürzen und erhalten: 15 mal 14 mal 13 mal 12 durch 4 Fakultät. Wenn wir auch die 4 Fakultät ausschreiben und den Bruch kürzen, erhalten wir 15 mal 7 mal 13. Das wären bereits 1365 verschiedene Chilli-Gerichte! Und 1365 Tage, das sind fast 4 Jahre! Du siehst: Schon kleinere Unterschiede bei den Anzahlen können große Auswirkungen auf das Ergebnis haben. Wir fassen zusammen. Zur Berechnung der Anzahl von Möglichkeiten solltest du zuerst überlegen, ob die Reihenfolge für das Ergebnis wichtig ist oder nicht. Danach solltest du klären, ob die Elemente zurückgelegt werden, das heißt ob gleiche Elemente mehrfach vorkommen dürfen. Wenn die Reihenfolge nicht wichtig ist und die Elemente nicht zurückgelegt werden führt dieser Ausdruck zum richtigen Ergebnis. Dabei ist 'n' die Gesamtzahl aller Elemente und 'k' die Anzahl der gezogenen Elemente. Das entspricht genau dem Bruch n Fakultät durch "k Fakultät mal n minus k Fakultät". Übrigens: Ein anderes typisches Beispiel zum Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ist die Ziehung der Lottozahlen. Nacheinander werden die Gewinnzahlen aus einer Urne gezogen, ohne dass man sie wieder zurücklegt. Und die Reihenfolge der Ziehung ist dem Gewinner egal: Hauptsache, er hat sechs Richtige. Oh, Cayenne probiert gerade sein letztes Gericht! Cayenne hat den Gipfel der brennenden Erleuchtung erreicht. Seine neugewonnene Erkenntnis überschreitet Horizonte. Vor allem erkennt er aber dass sein Weg zur Erleuchtung auch angenehmer hätte verlaufen können.

2 Kommentare
  1. Bei der 2. Aufgabe der interaktiven Übung habe ich das richtige Ergebnis angegeben und es wird mir trotzdem als falsch angestrichen

    Von R Inzenhofer, vor etwa einem Monat
  2. jo!

    Von Yiren Y., vor 3 Monaten

Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Anzahl möglicher Kombinationen.

    Tipps

    Jede Chilisorte soll pro Gericht nur einmal vorkommen. Zudem macht es keinen Unterschied, welche Chilisorte zuerst in den Topf gelegt wird – das Gericht ist das gleiche.

    Du rechnest „Anzahl aller Elemente“ über „Anzahl gezogener Elemente“.

    Die Fakultät $n!$ einer natürlichen Zahl $n$ ist das Produkt aller Zahlen von $1$ bis $n$. Es gilt also:

    $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ ...\ \cdot n$.

    Lösung

    Da jede Chili-Sorte pro Gericht nur einmal vorkommen soll und es keinen Unterschied macht, welche Chili-Sorte zuerst in den Topf gelegt wird, handelt es sich hierbei um den Kombinatorik-Fall „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge“. Die Anzahl möglicher Kombinationen wird dann über folgende Beziehung berechnet:

    $\binom nk=\frac{n!}{k!\cdot\left( n-k\right)!}$.

    Dabei setzt sich der Binomialkoeffizient aus folgenden Größen zusammen:

    • $n$: Anzahl aller Elemente und
    • $k$: Anzahl gezogener Elemente.
    Wir rechnen also die „Anzahl aller Elemente“ über der „Anzahl gezogener Elemente“. Für die Zubereitung eines Chilli-Gerichtes werden $3$ unterschiedliche Chilli-Sorten aus insgesamt $10$ unterschiedlichen Sorten verarbeitet. Demnach ist $10$ die Gesamtzahl aller Elemente und $3$ die Anzahl gezogener Elemente.

    Jetzt nimmt man die Werte von Cayennes Reise: $n=10$ und $k=3$. Man setzt sie in den Binomialkoeffizienten ein und erhält folgende Rechnung für die Anzahl möglicher Kombinationen:

    $\binom {10}3=\frac{10!}{3!\cdot\left( 10-3\right)!}=\frac{10!}{3!\cdot 7!}=\frac{\not 1\cdot \not 2\cdot \not 3\cdot \not 4\cdot \not 5\cdot \not 6\cdot \not 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \not 1\cdot \not 2\cdot \not 3\cdot \not 4\cdot \not 5\cdot \not 6\cdot \not 7}=\frac{8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3}=\frac{720}{6}=120$.

    Demnach dauert Cayennes „Scharfer Pfad der Erleuchtung“ $120$ Tage.

  • Beschrifte die Formel für die Berechnung der Anzahl möglicher Kombinationen.

    Tipps

    Eine Potenz ist die abgekürzte Schreibweise der mehrfachen Multiplikation eines Faktors mit sich selbst. Es gilt:

    $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ ...\ \cdot a}_{n\text{-mal}}$.

    Die Fakultät $n!$ einer natürlichen Zahl $n$ ist das Produkt aller Zahlen von $1$ bis $n$. Es gilt also:

    $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ ...\ \cdot n$.

    Lösung

    Betrachten wir ein Beispiel zum Kombinatorik-Fall „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge“, so berechnen wir die Anzahl möglicher Kombinationen über die folgende Beziehung:

    $\binom nk=\frac{n!}{k!\cdot\left( n-k\right)!}$.

    Diese Beziehung setzt sich wie folgt zusammen:

    • $\binom{n}{k}$: Binomialkoeffizient,
    • $n$: Gesamtzahl aller Elemente,
    • $k$: Anzahl gezogener Elemente und
    • $!$: Fakultät.
    Der Binomialkoeffizient $\binom nk$ liefert die Anzahl möglicher Kombinationen für den Kombinatorik-Fall „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge“.

    Die Fakultät $n!$ einer natürlichen Zahl $n$ ist das Produkt aller Zahlen von $1$ bis $n$. Es gilt also: $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ ...\ \cdot n$.

  • Berechne die Anzahl der möglichen Chili-Kombinationen.

    Tipps

    Hier hast du wieder den Kombinatorik-Fall „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge“. Die Anzahl möglicher Kombinationen erhältst du über die folgende Beziehung:

    $\binom nk=\frac{n!}{k!\cdot\left( n-k\right)!}$.

    In dem Binomialkoeffizienten $\binom nk$ ist $n$ die Gesamtzahl aller Elemente und $k$ die Anzahl gezogener Elemente.

    Lösung

    Wir möchten wissen, wie lange Cayennes „Scharfer Pfad der Erleuchtung“ gedauert hätte, wenn er jeden Tag ein Chili-Gericht mit genau $4$ unterschiedlichen Chili-Sorten aus insgesamt $15$ verschiedenen Chili-Sorten bekommen hätte.

    Dabei betrachten wir den Kombinatorik-Fall „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge“. Die Anzahl möglicher Kombinationen erhalten wir dann über die folgende Beziehung:

    $\binom nk=\frac{n!}{k!\cdot\left( n-k\right)!}$.

    Die Größen $n$ und $k$ sind dabei so definiert:

    • $n$: Gesamtzahl aller Elemente,
    • $k$: Anzahl gezogener Elemente.
    Demnach ist hier $n=15$ und $k=4$.

    Die Rechnung für die Anzahl möglicher Chili-Kombinationen, also die Dauer des „Scharfen Pfades der Erleuchtung“, lautet wie folgt:

    $d=\binom {15}4=\frac{15!}{4!\cdot\left( 15-4\right)!}=\frac{15!}{4!\cdot\left( 11\right)!}=\frac{\not 1\cdot \not 2\cdot \not 3\cdot \not 4\cdot \not 5\cdot \not 6\cdot \not 7\cdot \not 8\cdot \not 9\cdot \not 10\cdot \not 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \not 1\cdot \not 2\cdot \not 3\cdot \not 4\cdot \not 5\cdot \not 6\cdot \not 7\cdot \not 8\cdot \not 9\cdot \not 10\cdot \not 11}=\frac{12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=1365$.

    Cayennes Selbstfindungstrip hätte also 1365 Tage gedauert. Oh je!

  • Arbeite die Beispiele zum Fall „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge“ heraus.

    Tipps

    Die Belegung des Parkplatzes ändert sich bereits, wenn man die Plätze von zwei Autos tauscht.

    Das Dreieck $\measuredangle 123$ sieht genauso aus wie das Dreieck $\measuredangle 312$.

    Lösung

    Wir betrachten nun die gegebenen Beispiele gemeinsam.

    Beispiel 1: Parkplatz-Problem

    • Hat ein Auto auf einem Platz geparkt, so kann dieses Auto bei derselben Parkplatz-Belegung nicht an einem weiteren Platz stehen. Also betrachten wir den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Allerdings ändert sich die Belegung des Parkplatzes bereits durch das Vertauschen der Plätze zweier Autos, die Reihenfolge ist also wichtig. Somit liegt der Kombinatorik-Fall „Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge“ vor.
    Beispiel 2: Würfel-Problem

    • Da bei jedem Wurf die Zahlen $1$ bis $6$ gewürfelt werden können, handelt es sich hierbei um den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Zudem spielt die Reihenfolge der gewürfelten Zahlen eine Rolle, denn die dreistellige Zahl $123$ entspricht nicht der dreistelligen Zahl $312$. Also haben wir hier den Kombinatorik-Fall „Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge“.
    Beispiel 3: Dreieck-Problem

    • Da man für die Konstruktion eines Dreiecks drei unterschiedliche Punkte verbindet, wird für jedes Dreieck jeder Punkt genau einmal verwendet. Wir betrachten also das „Ziehen ohne Zurücklegen“. Zudem macht es keinen Unterschied, ob wir zuerst die $1$ mit der $2$, dann die $2$ mit der $3$, dann die $3$ mit der $1$ verbinden oder ob wir zuerst die $2$ mit der $1$, dann die $1$ mit der $3$, dann die $3$ mit der $2$ verbinden. Das resultierende Dreieck ist gleich. Es ist also der gesuchte Fall „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge“.
    Beispiel 4: Passwort-Problem

    • Bei einem sechsstelligen Passwort aus Zahlen können wir eine Zahl auch mehrmals verwenden, was dem „Ziehen mit Zurücklegen“ entspricht. Zudem ist die Reihenfolge sehr wichtig, denn das Passwort $123456$ entspricht nicht dem Passwort $654321$. Es ist also der Kombinatorik-Fall „Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge“.
    Beispiel 5: Kaugummi-Problem

    • Sobald Lukas an dem Automaten dreht, fällt eines der $9$ Kaugummis heraus. Da im Automaten jede Farbe genau einmal liegt, kann diese Farbe kein weiteres Mal vorkommen. Wir haben also den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Außerdem interessiert bei der Farbkombination der $3$ Kaugummis nicht die Reihenfolge der Farben. Es ist also der Kombinatorik-Fall „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge“.
  • Bestimme den Binomialkoeffizienten $n$ über $k$ für die gegebenen Werte.

    Tipps

    Der Binomialkoeffizient ist wie folgt definiert:

    $\binom nk=\frac{n!}{k!\cdot\left( n-k\right)!}$.

    Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$ ist das Produkt aller Zahlen von $1$ bis $n$. Es gilt also:

    $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ ...\cdot n$.

    Schau dir die Rechnung für das Beispiel $n=4$ und $k=2$ an:

    $\binom 42=\frac{4!}{2!\cdot\left( 4-2\right)!}=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=\frac{\not 1\cdot \not 2\cdot 3\cdot 4}{\not 1\cdot \not 2\cdot 1\cdot 2}=\frac{3\cdot 4}{1\cdot 2}=6$.

    Lösung

    Bei dem Kombinatorik-Fall „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge“ wird die Anzahl möglicher Kombinationen über den Binomialkoeffizienten berechnet. Dieser ist wie folgt definiert:

    $\binom nk=\frac{n!}{k!\cdot\left( n-k\right)!}$.

    Dabei ist $n$ die Gesamtzahl aller Elemente und $k$ die Anzahl gezogener Elemente. Die Fakultät einer natürlichen Zahl $n$ ist das Produkt aller Zahlen von $1$ bis $n$. Es gilt also:

    $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ ...\cdot n$.

    Mit dieser Formel können wir nun die Binomialkoeffizienten der gegebenen Werte bestimmen.

    Beispiel 1: $~n=8;\ k=2$

    $\binom 82=\frac{8!}{2!\cdot\left( 8-2\right)!}=\frac{8!}{2!\cdot 6!}=\frac{\not 1\cdot \not 2\cdot \not 3\cdot \not 4\cdot \not 5\cdot \not 6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot \not 1\cdot \not 2\cdot \not 3\cdot \not 4\cdot \not 5\cdot \not 6}=\frac{7\cdot 8}{1\cdot 2}=28$

    Beispiel 2: $~n=20;\ k=18$

    $\binom {20}{18}=\frac{20!}{18!\cdot\left( 20-18\right)!}=\frac{20!}{18!\cdot 2!}=\frac{\not 1\cdot \not 2\cdot \not 3\cdot \not 4\cdot \not 5\cdot \not 6\cdot \not 7\cdot \not 8\cdot \not 9\cdot \not 10\cdot \not 11\cdot \not 12\cdot \not 13\cdot \not 14\cdot \not 15\cdot \not 16\cdot \not 17\cdot \not 18\cdot 19\cdot 20}{\not 1\cdot \not 2\cdot \not 3\cdot \not 4\cdot \not 5\cdot \not 6\cdot \not 7\cdot \not 8\cdot \not 9\cdot \not 10\cdot \not 11\cdot \not 12\cdot \not 13\cdot \not 14\cdot \not 15\cdot \not 16\cdot \not 17\cdot \not 18\cdot 1\cdot 2}=\frac{19\cdot 20}{1\cdot 2}=190$

    Beispiel 3: $~n=2;\ k=1$

    $\binom {2}{1}=\frac{2!}{1!\cdot\left( 2-1\right)!}=\frac{2!}{1!\cdot 1!}=\frac{\not 1\cdot 2}{\not 1\cdot 1}=\frac{2}{1}=2$

    Beispiel 4: $~n=13;\ k=10$

    $\binom {13}{10}=\frac{13!}{10!\cdot\left( 13-10\right)!}=\frac{13!}{10!\cdot 3!}=\frac{\not 1\cdot \not 2\cdot \not 3\cdot \not 4\cdot \not 5\cdot \not 6\cdot \not 7\cdot \not 8\cdot \not 9\cdot \not 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13}{\not 1\cdot \not 2\cdot \not 3\cdot \not 4\cdot \not 5\cdot \not 6\cdot \not 7\cdot \not 8\cdot \not 9\cdot \not 10\cdot 1\cdot 2\cdot 3}=\frac{11\cdot 12\cdot 13}{1\cdot 2\cdot 3}=286$

  • Ermittle die Anzahl möglicher Kombinationen einer Vierergruppe.

    Tipps

    Bei der Zusammenstellung der Vierergruppe ist es egal, in welcher Reihenfolge die Personen gezogen werden. Außerdem kann natürlich jede Person nur einmal gelost werden.

    Der Binomialkoeffizient lässt sich wie folgt bestimmen:

    $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$.

    Lösung

    Von den $12$ Mitgliedern eines Nachhilfevereins sollen $4$ Mitglieder gelost werden. Bei der Zusammenstellung der Vierergruppe kann jede Person nur einmal gelost werden und es wird keine Reihenfolge beachtet. Also handelt es sich hierbei um den Kombinatorik-Fall „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge“.

    Wie verwenden deshalb für die Berechnung der Anzahl möglicher Kombinationen den Binomialkoeffizienten $n$ über $k$. Für diesen gilt:

    $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$.

    In unserem Beispiel ist $n=12$ die Gesamtzahl aller Mitglieder und $k=4$ die Anzahl ausgeloster Mitglieder. Es folgt dann folgende Rechnung:

    $\binom{12}{4}=\frac{12!}{4!\cdot 8!}=\frac{\not 1\cdot \not 2\cdot \not 3\cdot \not 4\cdot \not 5\cdot \not 6\cdot \not 7\cdot \not 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \not 1\cdot \not 2\cdot \not 3\cdot \not 4\cdot \not 5\cdot \not 6\cdot \not 7\cdot \not 8}=\frac{9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=495$.

    Es gibt also $495$ verschiedene Möglichkeiten, eine Vierergruppe zusammenzustellen.