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Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge – Einführung 06:40 min

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Transkript Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge – Einführung

Nepal! Im Hochgebirge ist Cayenne auf einem Selbstfindungstripp, wo er den 'Scharfen Pfad der Erleuchtung' gehen möchte. Jeden Tag bekommt er eine der feurigen Dreifaltigkeiten zubereitet. 3 ist bekanntlich die heilige Zahl, deshalb ist JEDE der feurigen Dreifaltigkeiten ein Chili-Gericht in dem 3 verschiedene Chilli-Sorten aus insgesamt 10 Sorten verarbeitet sind. Cayenne wird jeden Tag einen Tempel passieren. Und in jedem Tempel wartet genau ein Chiligericht auf ihn. So lange, bis er alle Chili-Kombinationen einmal probiert hat. Bis zum Gipfel! Ah, der Koch bereitet gerade das erste Gericht zu und wählt zufällig drei Chillisorten aus. Wie viele verschiedene Chilli-Gerichte sind dann möglich und wie lange wird der 'Scharfe Pfad der Erleuchtung' also dauern? Oje, Cayenne, hast du dir das gut überlegt? Wir berechnen die Anzahl der Tage mit einer der vier Formeln für die Möglichkeiten, aus 'n' Elementen 'k'-mal zu ziehen. Wir wollen wissen: Ist die Reihenfolge bei den Ziehungen wichtig oder nicht? Können außerdem Elemente auch mehrfach gezogen werden? Oder kann man jedes Element nur einmal ziehen? Um herauszufinden, um welchen Fall es sich bei uns handelt, übersetzen wir das Problem in das Urnenmodell. Die Gesamtheit der 10 Chilisorten enspricht der Urne. Die Kugeln in der Urne sind die einzelnen Chilisorten. Das Ziehen von Kugeln aus der Urne entspricht dem Zubereiten des Chilli-Gerichts. Wir überlegen uns, ob wir hier mit oder ohne Zurücklegen ziehen. 'mit Zurücklegen' würde bedeuten, dass die gleiche Chilisorte auch zwei- oder dreimal im Topf landen könnte. In unserem Fall soll aber jede Chilisorte pro Gericht nur einmal vorkommen. Also haben wir hier den Fall ohne Zurücklegen. Jetzt überlegen wir, ob die Reihenfolge wichtig ist. 'Mit Reihenfolge' würde bedeuten: Es macht einen Unterschied, welche Chili zuerst in den Topf gelegt wird. Da aber beide Varianten das gleiche Gericht ergeben muss die Reihenfolge nicht beachtet werden. "Wir betrachten hier also: Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge." Und damit gibt es 'n' über 'k' Möglichkeiten. Diesen Klammerausdruck nennt man Binomialkoeffizient. Und er ist durch diesen Bruch definiert. Das Ausrufzeichen bezeichnet die Fakultät einer Zahl. 'n Fakultät' ist das Produkt aus n und allen natürlichen Zahlen kleiner als n. Zum Beispiel ist '3 Fakultät' das Produkt aus 3 und 2 und 1. Mit 'n' wird die Gesamtzahl aller Elemente bezeichnet - in unserem Fall ist 'n' also 10, weil der Koch aus insgesamt 10 Chili-Sorten wählen kann. Mit 'k' wird die Anzahl der gezogenen Elemente bezeichnet. In unserem Fall ist 'k' gleich 3, weil der Koch für jedes Gericht drei Chillisorten auswählt. Setzen wir die Zahlen in die Formel ein schreiben wir die Fakultätausdrücke aus und kürzen wir, erhalten wir 10 mal 3 mal 4 und das ist 120. 120 Tage! Mensch, Cayenne! Du hast aber viel freie Zeit! Um die Formel besser zu verstehen, können wir sie an unserem Beispiel selbst herleiten. Beim ersten Ziehen haben wir 10 Möglichkeiten, beim zweiten noch 9, dann 8 - weil immer weniger Chillisorten zur Auswahl stehen. Für die Zahl der Möglichkeiten insgesamt erhalten wir das Produkt 10 mal 9 mal 8. Das dürfen wir so erweitern und so schreiben: 10 Fakultät geteilt durch 7 Fakultät. Vielleicht erkennst du diesen Bruch ja wieder. Das ist die Formel für die Anzahl der Möglichkeiten, wenn die Reihenfolge beachtet wird. In unserem Fall wird die Reihenfolge aber nicht beachtet. Deshalb müssen wir uns überlegen, wie viele Möglichkeiten es für die Anordnung von Elementen gibt. Für 3 Elemente gibt es 3 Fakultät, also 6, mögliche Anordnungen. Diese Anordnungen dürfen wir nicht berücksichtigen, weil sie sich ja nur in der Reihenfolge unterscheiden. Deshalb teilen wir abschließend durch 3 Fakultät und erhalten so das richtige Ergebnis. Allgemein teilen wir den Bruch also durch 'k' Fakultät und haben damit den Ausdruck hergeleitet. Rechnen wir ein weiteres Beispiel durch: Nehmen wir an, der Koch hat fünfzehn Chillisorten zur Verfügung und in jedes Gericht gehören jeweils vier Chillis. Dann rechnen wir 15 Fakultät durch 4 Fakultät mal 11 Fakultät -- denn 'n minus k' ergibt hier 11. 15 Fakultät müssen wir gar nicht ganz ausschreiben, es genügt, daraus 15 mal 14 mal 13 mal 12 mal 11 Fakultät zu machen, denn so können wir 11 Fakultät kürzen und erhalten: 15 mal 14 mal 13 mal 12 durch 4 Fakultät. Wenn wir auch die 4 Fakultät ausschreiben und den Bruch kürzen, erhalten wir 15 mal 7 mal 13. Das wären bereits 1365 verschiedene Chilli-Gerichte! Und 1365 Tage, das sind fast 4 Jahre! Du siehst: Schon kleinere Unterschiede bei den Anzahlen können große Auswirkungen auf das Ergebnis haben. Wir fassen zusammen. Zur Berechnung der Anzahl von Möglichkeiten solltest du zuerst überlegen, ob die Reihenfolge für das Ergebnis wichtig ist oder nicht. Danach solltest du klären, ob die Elemente zurückgelegt werden, das heißt ob gleiche Elemente mehrfach vorkommen dürfen. Wenn die Reihenfolge nicht wichtig ist und die Elemente nicht zurückgelegt werden führt dieser Ausdruck zum richtigen Ergebnis. Dabei ist 'n' die Gesamtzahl aller Elemente und 'k' die Anzahl der gezogenen Elemente. Das entspricht genau dem Bruch n Fakultät durch "k Fakultät mal n minus k Fakultät". Übrigens: Ein anderes typisches Beispiel zum Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ist die Ziehung der Lottozahlen. Nacheinander werden die Gewinnzahlen aus einer Urne gezogen, ohne dass man sie wieder zurücklegt. Und die Reihenfolge der Ziehung ist dem Gewinner egal: Hauptsache, er hat sechs Richtige. Oh, Cayenne probiert gerade sein letztes Gericht! Cayenne hat den Gipfel der brennenden Erleuchtung erreicht. Seine neugewonnene Erkenntnis überschreitet Horizonte. Vor allem erkennt er aber dass sein Weg zur Erleuchtung auch angenehmer hätte verlaufen können.