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Kombinationen – Ziehen ohne Reihenfolge

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Team Digital
Kombinationen – Ziehen ohne Reihenfolge
lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Kombinationen – Ziehen ohne Reihenfolge

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Kombinationen im Sachkontext zu erkennen.

Zunächst lernst du, wie sich Kombinationen von Variationen und Permutationen abgrenzen lassen.

Übersicht Kombinatorik Permutation Variation Kombination

Anschließend werden wir Aufgabenbeispiele zu Kombinationen OHNE Wiederholung und MIT Wiederholung anschauen und lösen.

Kombination ohne Wiederholung Beispiel Poker

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Kombination, Elemente, Menge, Fakultät, Kombinatorik, Permutation und Variation.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits Grundkenntnisse zur Kombinatorik (Permutation und Variation) haben und wissen, wie man die Fakultät einer Zahl berechnet.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, mehr zur Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung zu lernen.

Transkript Kombinationen – Ziehen ohne Reihenfolge

Wolltest du schon immer mal wissen, wie hoch deine Chance auf den Lotto-Jackpot ist? Oder wie viele Auswahlmöglichkeiten man für einen selbstzusammengestellten Eisbecher hat? Das alles kann die Mathematik beantworten - mit Hilfe von „Kombinationen“. Die Bereiche „Kombination“, „Variation“ und „Permutation“ gehören zum mathematischen Teilgebiet der „Kombinatorik“. Mit der Kombinatorik werden Fragen wie „wie viele Möglichkeiten gibt es?“ beantwortet. Anders als bei Permutationen und Variationen geht es bei Kombinationen um die Auswahl von Elementen aus einer Grundmenge, ohne dass die Reihenfolge dabei eine Rolle spielt. Das trifft zu, wenn wir zum Beispiel aus einer Gruppe von fünf Personen zwei auswählen wollen. Stellen wir uns mal vor, wir würden die Auswahl durch „Ziehen aus der Urne“ treffen. Da jeder einzigartig ist und somit keine Person doppelt auftritt, sprechen wir hier vom „Ziehen ohne Zurücklegen“ beziehungsweise „Ziehen ohne Wiederholung“. Für so einen Fall verwenden wir diese Formel. n ist in unserem Beispiel die Gesamtanzahl an Personen, also fünf und k ist die Anzahl, die wir auswählen, also zwei. Wir setzen die beiden Größen ein und erhalten zehn Möglichkeiten. Genauso können wir auch ermitteln, wie viele Möglichkeiten es für die Starthand, die sogenannten „Hole Cards“ beim Pokern gibt. Von den insgesamt zweiundfünfzig Karten bekommt man als Spieler zwei Karten auf die Hand. Hier sind im Zähler und Nenner nun ziemlich große Zahlen, was für so manchen Taschenrechner schon schwierig wird. Zum Glück gibt es in der Mathematik wieder eine Abkürzung. Unser Bruch kann nämlich auch so dargestellt werden. Diese Symbolik heißt Binomialkoeffizient und wird gelesen als „n über k“. In unserem Fall ist es der Binomialkoeffizient „zweiundfünfzig über zwei“, und wir können ihn mit dem Taschenrechner berechnen. Es gibt mehr als eintausend Möglichkeiten! Auch hier ist die Reihenfolge natürlich egal, weil die Reihenfolge der Handkarten keinen Einfluss auf das Spiel hat. Man spricht hierbei auch vom „Ziehen mit einem Griff“, weil wir die beiden Karten auch mit einem Griff aus der Menge aller Karten ziehen können. Nun aber endlich zu unserem Lotto-Jackpot: Wie viele Möglichkeiten gibt es denn überhaupt, „sechs aus neunundvierzig“ zu ziehen? Auch hier gilt das Prinzip „Ziehen mit einem Griff“, denn auch hier könnten wir direkt sechs Kugeln gleichzeitig aus der Glaskugel ziehen statt ein großes Trara zu veranstalten. Wieder bemühen wir den Binomialkoeffizienten und unseren Taschenrechner, und erhalten fast vierzehn Millionen Möglichkeiten! Die Wahrscheinlichkeit, genau die sechs richtigen Zahlen zu tippen, die gezogen werden, liegt also bei knapp eins zu vierzehn Millionen. Ziemlich unwahrscheinlich, dass wir auf diese Weise zu Reichtum kommen. Dann werden wir doch lieber mit Eis glücklich. Aber auch hier stoßen wir auf „wichtige“ Fragen: Wenn es in der Eisdiele sechzehn verschiedene Sorten gibt und wir drei Kugeln essen wollen, wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es da? Hier ist die Lage nun etwas anders: während wir eben beim Poker und beim Lotto jede Karte bzw. jede Zahlenkugel nur einmal zur Verfügung hatten, können wir beim Eis nun Sorten doppelt wählen. Zum Beispiel zweimal Schoko. Das bedeutet, wir können die Eissorten mit Wiederholung auswählen. Da muss der alte Binomialkoeffizient ein bisschen modifiziert werden, was zu dieser Formel hier führt. n ist hier sechzehn und k gleich drei, also müssen wir „achtzehn über drei“ berechnen. Da stehen wir in der Eisdiele also vor achthundertsechzehn Möglichkeiten. Das wird knifflig. Apropos knifflig: Auch bei diversen Würfelspielen geht es um das Ziehen ohne Reihenfolge und mit Wiederholung, denn schließlich kann es passieren, dass wir Zahlen doppelt würfeln. Wie viele Würfelergebnisse kann es denn hier bei fünf Würfeln geben? Veranschaulichen wir uns dieses Beispiel wieder in einem Urnenmodell. Die Zahlen, die wir würfeln, also ziehen können, gehen von eins bis sechs. Außerdem ziehen wir fünfmal, da wir fünf Würfel haben. Nicht vergessen: es handelt sich hier bei einem Versuch mit Zurücklegen. Unser n ist also sechs und k ist fünf. Eingesetzt in die Formel, ergibt das „zehn über fünf“, und damit zweihundertzweiundfünfzig Möglichkeiten. Auch beim Einkaufen, wenn wir aus zwölf Sorten Katzenfutter vier Dosen für unseren Stubentiger auswählen wollen, können wir mit dieser Formel berechnen, wie viele Kombinationsmöglichkeiten wir haben um unsere Fellnasen zu verwöhnen. So eine Auswahl! Das überlegen wir uns doch lieber erst bei einem leckeren Eisbecher und fassen kurz zusammen. Immer, wenn wir eine Auswahl treffen und dabei die Reihenfolge der ausgewählten Produkte egal ist, weil sie eh im gleichen Eis- oder Würfelbecher landen, handelt es sich um eine Kombination. Dabei gibt es zum einen die Kombination ohne Wiederholung, bei der jedes Element einzigartig ist und nur einmal auftritt. Wir nennen dies auch „Ziehen mit einem Griff“ und verwenden zur Berechnung der Auswahlmöglichkeiten den Binomialkoeffizienten. Können die Elemente dagegen mehrfach auftreten, handelt es sich um Kombinationen mit Wiederholung. Wir verwenden dafür diese Formel. Mithilfe der Mathematik kann man fast alles berechnen. Auch die Anziehungskraft eines leckeren Eisbechers.

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