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Variationen – Ziehen mit Reihenfolge

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Team Digital
Variationen – Ziehen mit Reihenfolge
lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Variationen – Ziehen mit Reihenfolge

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Variationen im Sachkontext zu erkennen.

Variation mit Wiederholung Beispiel Fahrradschloss

Zunächst lernst du, wie sich Variationen von Kombinationen und Permutationen abgrenzen lassen. Anschließend werden wir Aufgabenbeispiele zu Variationen MIT Wiederholung und OHNE Wiederholung anschauen und lösen.

Übersicht Kombinatorik Permutation Kombination Variation

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Variation, Elemente, Menge, Fakultät, Kombinatorik, Permutation und Kombination.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits Grundkenntnisse zur Kombinatorik (Permutation und Kombination) haben und wissen, wie man die Fakultät einer Zahl berechnet.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, mehr zur Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung zu lernen.

Transkript Variationen – Ziehen mit Reihenfolge

Der jährliche Halbmarathon steht an und du willst den Zieleinlauf sehen. Also rauf aufs Fahrrad und ab gehts! Aber Mist, du hast den Code für das Fahrradschloss vergessen. Na dann viel Spaß dabei, alle „Variationen“ auszuprobieren. Die Bereiche „Permutation“, „Kombination“ und „Variation“ gehören zum mathematischen Teilgebiet der „Kombinatorik“. Bei der Kombinatorik geht es darum, zu ermitteln wie viele Möglichkeiten es für die Anordnung oder Auswahl von Objekten gibt. Geht es dabei um alle Elemente einer Menge, so sprechen wir von einer „Permutation“. Findet allerdings eine Auswahl statt, müssen wir auf Kombination und Variation zurückgreifen. Wenn bei der Situation, die wir untersuchen wollen, die Reihenfolge von Bedeutung ist, handelt es sich um eine „Variation“. Andernfalls um eine Kombination. So, und jetzt kümmern wir uns erstmal um das Fahrradschloss. Wir haben fünf Räder auf denen jeweils zehn Ziffern stehen. Das heißt, an jeder der fünf Stellen können zehn verschiedene Ziffern eingestellt werden. Da dabei die Reihenfolge natürlich eine Rolle spielt, handelt es sich um eine Variation Dadurch haben wir zehn hoch fünf, also einhundert Tausend Möglichkeiten. Von null-null-null-null-null bis neun-neun-neun-neun-neun können alle Variationen in Frage kommen. Da jede Ziffer mehrfach auftreten kann, handelt es sich um eine „Variation mit Wiederholung“. Die Formel, die wir zur Berechnung genutzt haben, ist „n hoch k“. Mit dieser können wir auch berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, dreimal nacheinander mit einem sechsseitigen Würfel zu würfeln. Beim ersten Wurf gibt es sechs Möglichkeiten. Beim zweiten und dritten ebenso, weil ja die gewürfelten Seiten des Würfels weiterhin existieren und nicht gelöscht werden. Außerdem ist hier auch die Reihenfolge entscheidend. Das macht sechs hoch drei also zweihundertsechzehn Variationen. Und falls du dich blind durch eine Quizshow raten möchtest, hast du bei fünfzehn Fragen mit je vier Antwortmöglichkeiten, insgesamt fünfzehn hoch vier Antwortvariationen. Die Chance, beim blinden Raten die Million zu knacken, liegt damit bei weniger als eins zu Fünfzig Tausend. Die Beispiele, die wir uns eben angeschaut haben, beinhalten Elemente, die mehrfach auftreten können. Die Antwort a kann mehrfach die richtige Lösung sein und der Code könnte zum Beispiel aus fünf Fünfen bestehen. Schauen wir uns nun ein Beispiel an, bei dem jedes Element nur einmal vorkommt. Beispielsweise bei Wettkämpfen. Auch hier ist die Reihenfolge nicht unwichtig, es geht schließlich ums Gewinnen. Denn hier kann die Teilnehmerin A nicht gleichzeitig erste und dritte werden. Da jeder Teilnehmer nur einmal über die Ziellinie läuft, sprechen wir hier von einer Variation ohne Wiederholung. Wenn wir die Platzierung mithilfe einer Urne darstellen wollen, legen wir die gezogenen Figuren natürlich nicht mehr zurück, denn sie haben ja schon ihren Platz bekommen. Es entspricht also dem „Ziehen ohne Zurücklegen“. Für die „Variation ohne Wiederholung“ gilt diese Formel. Hier steht im Zähler und im Nenner ein Ausrufezeichen. Das ist das mathematische Zeichen für „Fakultät“. Bei der Fakultät multiplizieren wir alle natürlichen Zahlen von der eins bis zu der Zahl vor dem Fakultätszeichen. So ist drei Fakultät zum Beispiel sechs, und fünf Fakultät ist einhundertzwanzig. Bei größeren Zahlen können wir dann natürlich den Taschenrechner bemühen. Schauen wir uns nun den diesjährigen Halbmarathon mithilfe der „Variation ohne Wiederholung“ genauer an. Acht Personen nehmen teil und davon bekommen die ersten drei natürlich eine Gold-, Silber-, oder Bronzemedaille. Wie viele Varianten gibt es für den Zieleinlauf und damit für die Verteilung der Medaillen? Wir setzen wieder n und k in die Formel ein, und erhalten dreihundert sechsunddreißig Möglichkeiten für den Zieleinlauf der ersten Drei. Unabhängig davon natürlich, wie wahrscheinlich die einzelnen Möglichkeiten aufgrund der individuellen Kondition der Teilnehmenden ist. Alles klar, schauen wir uns die Variationen nochmal auf einen Blick an. In der Kombinatorik sprechen wir von Variation, wenn wir aus einer Grundmenge nacheinander Elemente auswählen, wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt. Dabei gibt es einerseits die Variation mit Wiederholung, weil beispielsweise Zahlen oder Antwortmöglichkeiten mehrfach ausgewählt oder gewürfelt werden können, und andererseits Variationen ohne Wiederholung, weil es sich bei den Elementen um Menschen oder andere einzigartige Objekte handelt, die nur einmal auftreten. Zusammen mit den Fällen „Permutation“ und „Kombination“, haben wir nun alle drei Bereiche der Kombinatorik behandelt und können jederzeit berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, n Elemente einer Menge anzuordnen oder in einer Reihe aufzulisten. Und du solltest dir in Zukunft eine Methode überlegen, dir den Code fürs Fahrradschloss zu merken, bevor du an den Varianten verzweifelst und zum Bolzenschneider greifen musst.

Variationen – Ziehen mit Reihenfolge Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Variationen – Ziehen mit Reihenfolge kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Formeln zur Berechnung der Variationen an.

    Tipps

    Beim Würfeln gibt es für jeden Wurf $6$ Möglichkeiten, da die Zahlen nicht gelöscht werden und wir so bei mehreren Würfen auch dieselbe Zahl erneut würfeln können.
    Das macht dann $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot ...$ Möglichkeiten.

    Bei einem Marathon kann eine teilnehmende Person beim Zieleinlauf nur genau eine Platzierung haben. Es gibt bei $8$ Teilnehmenden

    $\dfrac{8!}{(8-3)!} = \dfrac{8!}{5!} = 336$

    Möglichkeiten für das Siegertreppchen mit den ersten drei Teilnehmenden.

    Lösung

    Eine Variation ist eine Anordnung von $k$ Elementen, die aus den $n$ Elementen einer Menge ausgewählt werden. Im Gegensatz zur Kombination ist dabei die Reihenfolge der Elemente von Bedeutung.

    Zum Beispiel sind $101$ und $\color{#669900}{\mathbf{011}}$ unterschiedliche Variationen, obwohl sie aus den gleichen Elementen bestehen. Es genügt also zwei Elemente zu vertauschen.
    Die beiden Variationen $101$ und $011$ sind allerdings dieselbe Kombination, nämlich die aus zweimal $1$ und einmal $0$. Um eine andere Kombination zu erhalten, müssten wir zumindest eines der $k$ Elemente durch ein anderes Element ersetzen.

    Neben der Reihenfolge ist zu beachten, ob die einzelnen Elemente aus $n$ mehrfach auftreten können oder nicht. Die Anzahl der Anordnungen berechnen wir dann mit der Formel:

    • Variationen mit Wiederholung: $n^k$
    Zum Beispiel ein Zahlenschloss, bei dem jeder Ring dieselben Ziffern ausweist. Hier kann dieselbe Zahl auch mehrfach vorkommen.
    • Variationen ohne Wiederholung: $\dfrac{n!}{(n-k)!}$
    Zum Beispiel der Zieleinlauf beim Marathon. Hier kann eine teilnehmende Person nur auf genau einer Position landen.
  • Bestimme, wie viele Variationen es gibt.

    Tipps

    Wenn die Elemente mehrfach auftreten können gibt es $n^k$ Möglichkeiten, aus einer Menge von $n$ Elementen $k$ anzuordnen.

    Beispiel:

    Wenn wir zweimal hintereinander mit einem Würfel würfeln, dann gibt es $6 \cdot 6 = 6^2 = 36$ mögliche Ergebnisse.

    Lösung

    Wenn wir bei einer Auswahl von $k$ Elementen aus einer Menge mit $n$ Elementen auch an der Reihenfolge der Elemente interessiert sind, dann sprechen wir bei den verschiedenen Anordnungen von Variationen. Dabei ist außerdem wichtig, ob sich die einzelnen Elemente wiederholen können, oder diese nur je einmal auftreten.

    Variationen mit Wiederholung: $n^k$

    Variationen ohne Wiederholung: $\dfrac{n!}{(n-k)!}$


    Beispiel 1: ein Zahlenschloss mit $3$ Rädern für die Ziffern $0$-$9$
    Hier wird für jede der $k = 3$ Stellen eine Auswahl aus den $n = 10$ Ziffern getroffen. Dabei können die einzelnen Ziffern auch doppelt oder sogar dreifach vorkommen.
    $\Rightarrow \quad n^k = 10^3 = 1000$ Variationen

    Beispiel 2: eine Quizshow mit $8$ Fragen, die je $3$ Antwortmöglichkeiten haben
    Hier wird für jede der $k = 8$ Fragen eine Auswahl aus den $n = 3$ Antworten getroffen. Dabei können die einzelnen Antwortmöglichkeiten A, B und C auch bei mehreren Fragen vorkommen.
    $\Rightarrow \quad n^k = 3^8 = 6561$ Variationen

    Beispiel 3: viermal Würfeln
    Hier wird für jeden der $k = 4$ Würfe eine der $n = 6$ Zahlen geworfen. Dabei können die einzelnen Zahlen auch mehrfach vorkommen.
    $\Rightarrow \quad n^k = 6^4 = 1296$ Variationen

    Beispiel 4: die Top-$3$ Platzierungen bei einem Turnier mit $14$ Teilnehmenden
    Hier wird jede der $k = 3$ Platzierungen von einem der $n = 14$ Teilnehmenden erreicht. Dabei kann eine teilnehmende Person stets nur einen der drei Plätze innehaben.
    $\Rightarrow \quad \dfrac{n!}{(n-k)!} = \dfrac{14!}{(14-3)!} = \dfrac{14!}{11!} = 2184$ Variationen

  • Entscheide, ob es sich um eine Variation handelt.

    Tipps

    Überlege, ob eine Vertauschung von Elementen einen Einfluss hat.

    Beispiel:

    Wenn wir im Supermarkt verschiedene Artikel in den Einkaufswagen legen, ist die Reihenfolge, in der wir dies tun, unwichtig.
    $\Rightarrow$ keine Variation

    Lösung

    Eine Variation ist eine bestimmte Anordnung von Elementen, die aus einer Menge ausgewählt werden. Dabei ist die Reihenfolge der Elemente von Bedeutung, das heißt wenn wir zwei unterschiedliche Elemente vertauschen, erhalten wir eine andere Variation. Zum Beispiel sind $110$ und $101$ verschiedene Variationen von drei Zahlen.
    Spielt bei einer Auswahl die Reihenfolge der Elemente keine Rolle, dann sprechen wir von einer Kombination.

    Wenn wir die Beispiele nach diesem Kriterium untersuchen, finden wir die Variationen:

    • Fahrzeugkennzeichen bestehend aus einem Buchstaben und vier Zahlen
    Hier ist die Reihenfolge der Zeichen wichtig, so sind zum Beispiel A$5473$ und A$5437$ verschiedene Kennzeichen.
    • Mittagsgerichte eines Restaurants für jeden Tag einer Woche
    Hier können wir zwischen zwei Wochenkarten unterscheiden, die dieselben Gerichte aber für unterschiedliche Tage enthalten.


    Die anderen Beispiele sind Kombinationen:

    • Lottozahlen "$6$ aus $49$"
    Hier werden die Zahlen immer der Größe nach geordnet, egal in welcher Reihenfolge sie gezogen wurden.
    • Belegen einer Pizza mit verschiedenen Zutaten
    Bei einer Pizza mit Salami, Paprika und Pilzen können wir in der Regel nicht unterscheiden, in welcher Reihenfolge sie belegt wurde.
    • Warenkorb beim Online-Shopping
    Ähnlich wie beim Einkaufswagen im Supermarkt spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge wir die Produkte in den Warenkorb legen.
    • Handkarten beim Kartenspielen
    Wir können die Karten auf unserer Hand beliebig ordnen oder anderweitig vertauschen, ohne das Spiel zu beeinflussen.
  • Bestimme die Werte von $n$ und $k$.

    Tipps

    $n$ ist die Anzahl der Elemente in der Menge, aus der eine Auswahl stattfindet.

    $k$ gibt an, wie viele Elemente ausgewählt werden.

    Lösung

    Wenn wir $k$ Elemente aus einer Menge mit $n$ Elementen auswählen und dabei die Reihenfolge wichtig ist, sprechen wir von Variation.
    Dabei ist also stets $n$ die Anzahl der Elemente in der Menge, aus der die Auswahl getroffen wird und $k$ steht für die Anzahl an Elementen, die ausgewählt werden.

    Beispiel 1: Der Hobbygärtner Harry möchte ein neues Beet anlegen. Er setzt $12$ Blumen in $4$ Reihen mit je $3$ Töpfen. Die Blumen zur Auswahl haben Blüten in $4$ verschiedenen Farben.
    Hier sind die Anordnungen der verschiedenfarbigen Blumen im Beet die Variationen. Dabei wählt Harry bei insgesamt $k = 12$ Blumen stets aus einer der $n = 4$ Blütenfarben aus. Da er mehrere Blumen derselben Farbe verwenden kann, gibt es:
    $n^k = 4^{12} = 16\,777\,216$ Variationen

    Beispiel 2: In der Sockenschublade von Bänker Bruno gibt es $20$ Paar Socken in den $3$ Farben rot, grün und gelb. Jeden Sonntag legt er sich die Socken für die kommenden $5$ Arbeitstage heraus.
    Hier sind die Anordnungen der verschiedenfarbigen Socken für die einzelnen Wochentage die Variationen. Dabei wählt Bruno für $k = 5$ Tage stets aus einer der $n = 3$ Farben rot, grün und gelb aus. Da er an mehreren Tagen gleichfarbige Socken tragen kann, gibt es:
    $n^k = 3^{5} = 243$ Variationen

    Beispiel 3: Bei einem Volleyball Turnier treten $9$ Mannschaften mit je $6$ Spielern gegeneinander an. Maja und ihre Freunde haben auf die Top-$3$ gewettet.
    Hier sind die Anordnungen der Mannschaften auf den Platzierungen $1$,$2$ und $3$ die Variationen. Dabei stammt jedes der $k = 3$ Top-Teams aus den $n = 9$ Mannschaften, die am Turnier teilnehmen. Da jedes Team nur eine Position haben kann, gibt es:
    $\dfrac{n!}{(n-k)!} = \dfrac{9!}{(9-3)!} = \dfrac{9!}{6!} = 504$ Variationen

  • Vervollständige die Darstellung zu den wichtigen Begriffen der Kombinatorik.

    Tipps

    Eine Permutation ist eine Vertauschung aller Elemente.

    Die Ziffern $1$, $0$ und $1$ bilden eine Kombination aus drei Ziffern.

    Wir können damit zum Beispiel die Variationen $101$ oder $011$ bilden.

    Lösung

    Die Kombinatorik ist der Teil der Mathematik, der sich damit beschäftigt, wie viele Möglichkeiten es unter gegebenen Voraussetzungen gibt. Dabei beurteilen wir eine Situation nach verschiedenen Kriterien:

    • Findet eine Auswahl statt?
    Ist dies nicht der Fall, dann sollen alle vorhandenen Elemente angeordnet werden. Wir sprechen von einer Permutation.
    • Ist die Reihenfolge der Elemente wichtig?
    Wenn die Reihenfolge egal ist, sprechen wir auch vom Ziehen mit einem Griff, da wir dann nicht unterscheiden können, in welcher Reihenfolge die Elemente ausgewählt werden.
    Ist bei einer Auswahl die Reihenfolge wichtig, so sprechen wir von einer Variation, zum Beispiel bei der Ziffernfolge eines Zahlenschlosses.
    Ist bei einer Auswahl die Reihenfolge egal, dann sprechen wir von einer Kombination, zum Beispiel bei der Ziehung der Lottozahlen.

    • Können Elemente mehrfach vorkommen?
    Wir sprechen auch von Ziehen mit/ohne Zurücklegen bzw. mit/ohne Wiederholung.
  • Berechne die Anzahl der möglichen Variationen.

    Tipps

    Wenn von $15$ Kinder $60\,\%$ Jungen sind, dann sind das $0{,}6 \cdot 15 = 9$.

    Du kannst auch die Anzahl der möglichen Besetzungen für jede Rolle einzeln betrachten und deine Ergebnisse multiplizieren. Beachte dabei, dass ein AG-Mitglied nur eine der drei Rollen besetzen kann.

    Lösung

    Die Theater-AG spielt Sherlock Holmes. Dabei sind alle schon ganz gespannt, wie die Hauptrollen für Holmes und Dr. Watson besetzt werden und wer das Mordopfer spielen muss.

    Von den $20$ Mitgliedern der Theater-AG sind $70\,\%$ Mädchen. Das heißt, es gibt $0{,}7 \cdot 20 = 14$ Mädchen und $20-14 = 6$ Jungen, die um die Rollen konkurrieren.

    Da hier die Reihenfolge wichtig ist und jedes Mitglied der AG nur eine Rolle erhalten kann, verwenden wir die Formel für Variationen ohne Wiederholung:

    $\dfrac{n!}{(n-k)!}$

    Ohne weitere Einschränkungen wählen wir aus den $n = 20$ AG-Mitgliedern $k = 3$ Mitglieder für die Rollen aus und erhalten $\dfrac{20!}{(20-3)!} = \dfrac{20!}{17!} = \color{#669900}{\mathbf{6840}}$ mögliche Besetzungen.

    Wenn das Mordopfer von einem Jungen gespielt werden soll, dann gibt es für diese Rolle genau $6$ Möglichkeiten. Für die beiden anderen Rollen verbleiben jeweils $n = 19$ AG-Mitglieder, von denen $k = 2$ Mitglieder gewählt werden. Wir erhalten ${6 \cdot \dfrac{19!}{(19-2)!} = 6 \cdot \dfrac{19!}{17!} = 6 \cdot 342 = \color{#669900}{\mathbf{2052}}}$ Möglichkeiten für die Besetzung.

    Sollen die beiden Hauptrollen von je einem Mädchen und einen Jungen besetzt werden, müssen wir die Situation genauer betrachten:

    • Für die eine Hauptrolle gibt es $14$, für die andere $6$ mögliche Besetzungen.
    • Für die Rolle des Mordopfers verbleiben $13 + 5 = 18$ AG-Mitglieder.
    • Es gibt die beiden Möglichkeiten, dass Holmes von einem Mädchen und Dr. Watson von einen Jungen gespielt wird und umgekehrt.
    Insgesamt ergeben sich so
    $2 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 18 = \color{#669900}{\mathbf{3024}}$ mögliche Rollenverteilungen.

    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine der Hauptrollen durch ein Mädchen und die andere durch einen Jungen besetzt wird, ist also:
    $\dfrac{3024}{6840} \approx 0{,}4421 = 44{,}21\,\%$

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