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Pascalsches Dreieck 07:52 min

Textversion des Videos

Transkript Pascalsches Dreieck

Auch Genies fangen mal klein an. Und ohne Übung kein Meister, also heißt es: üben, üben, üben! Der junge Pablo Picasso bekommt deshalb von seiner Zeichenlehrerin jede Menge Hausaufgaben. Er darf sich dabei immer eine von zwei Aufgaben aussuchen. Zur nächsten Stunde lautet die erste Aufgabe: Er soll alle möglichen Gruppenbilder von drei seiner sechs Mitschüler zeichnen. Also ein Bild von Peter, Polly und Pim. Ein Bild von Peter, Pim und Peggy. Ein Bild von Pim, Pascal und Paula und so weiter. Bis er alle Kombinationen durch hat. Oder er wählt Aufgabe 2 und malt alle möglichen Paarungen seiner sieben Familienmitglieder. Also einmal Onkel Heinz mit Tante Frieda einmal Tante Frieda mit seiner Mutter einmal seine Mutter mit seinem Bruder und so weiter. Ständig bekommt er solche Auswahl-Aufgaben: Zum Beispiel soll er ein anderes Mal alle möglichen Bilder von 4 von 7 streunenden Katzen malen also in einem Bild die schwarz getigerte, die rot getigerte, die mit den weißen Ohren und die graue in einem zweiten Bild die weiße, die graue und die zwei getigerten Katzen und so weiter bis er auch hier alle Kombinationen zusammen hat. Oder - und das ist Alternative - er malt alle möglichen zweier-Kombinationen von den neun Hunden, die immer vor der Zeichenschule herumlungern. Also ein Bild mit dem Bernhardiner und dem Mops, ein Bild mit dem Mops und dem Beagle und so weiter. Wieder ein anderes Mal wird er vor folgende Alternative gestellt: Entweder alle möglichen Kombinationen einer rechten Hand mit drei ausgestreckten Fingern zeichnen oder alle möglichen Kombinationen, wie an beiden Händen insgesamt zwei Finger ausgestreckt sein können. Pablo ist aber schlau und überlegt sich immer, welche der beiden Optionen weniger Aufwand bedeutet. Hätte er schon ein bisschen Kombinatorik in der Schule gehabt, wüsste er, dass er solche Probleme mit Binomialkoeffizienten lösen könnte. Die Aufgaben sind nämlich immer von der Art "Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge". Bei den ausgestreckten Fingern kann man ja schlecht einen Finger mehrfach ausstrecken und da alle Finger gleichzeitig zu sehen sind, ist die Reihenfolge auch egal. Irgendwie ist das doch bei allen diesen Aufgaben so! Aber Kombinatorik stand an der Zeichenschule noch nicht auf dem Stundenplan – gibt es einen schnellen Weg, um Binomialkoeffizienten auszurechnen, für den man nicht so viel rechnen muss? Den gibt es: das Pascal'sche Dreieck. Beim Pascal'schen Dreieck geht es nicht um Flächen oder Winkel! Stattdessen werden Zahlen in einer dreieckigen Form angeordnet. Ganz oben steht eine 1. Damit später alles zusammenpasst, nennen wir die oberste Zeile die nullte Zeile – und den vordersten Eintrag in jeder Zeile den nullten Eintrag. Die Zeile darunter ist dann die erste Zeile. Und in sie schreiben wir eine 1 und nochmal eine 1. Dann gehts los: in die nächste Zeile kommt zuerst eine 1 und dann die Summe der beiden Zahlen aus der Zeile darüber, also eine 2 und dann wieder eine 1. So geht es weiter: immer schreiben wir eine neue 1, dann an jeder Stelle die Summe der beiden darüberliegenden Zahlen...und am Ende wieder eine 1. So bildet sich Zeile für Zeile das Dreieck. Die nächste Zeile lautet dann 1, 3, 3, 1. Und die darauffolgende 1, 4, 6, 4, 1 und so weiter. Und der Clou an der Sache? Die Einträge des Pascal'schen Dreiecks entsprechen genau den Ergebnissen der Binomialkoeffizienten. Dabei gibt die Zeilennummer die obere Zahl des Binomialkoeffizienten vor und die Nummer des Eintrags die untere Zahl des Binomialkoeffizienten. Also ist der Binomialkoeffizient in der nullten Zeile und der nullten Spalte "Null über Null" - und das ist 1. Betrachten wir nun Zeile 1: Weil die Zeilennummer die oberen Zahlen der Binomialkoeffizienten angibt steht dort jeweils eine 1. Die Einträge geben dann die unteren Zahlen vor: Also ist in Zeile 1 der nullte Eintrag gerade "1 über 0" und der erste Eintrag "1 über 1". Die sind beide gleich 1. So geht es weiter: in Zeile n ist Eintrag Nummer k gleich "n über k". Das kann man natürlich auch über die Definition der Binomialkoeffizienten ausrechnen: "n über k" ist gleich "n Fakultät" geteilt durch "k Fakultät" mal "n minus k Fakultät". Aber merk dir immer: die Einträge im Pascal'schen Dreieck sind eben gleich der Summe aus den beiden darüberliegenden Einträgen. Also, wie war das mit den Fingern? Pablo hatte die Wahl, entweder alle möglichen Bilder zu malen, in denen 3 Finger einer Hand ausgestreckt sind oder alle mit 2 ausgestreckten Fingern von zwei Händen. Rechnen wir doch einfach mal die entsprechenden Binomialkoeffizienten aus. Für Variante 1 ist das "5 über 3" — wir wollen ja alle möglichen Kombinationen von Bildern mit 3 von 5 Fingern einer Hand. "5 über 3" ist dann gleich "5 Fakultät durch 3 Fakultät mal 2 Fakultät". Wenn wir die Fakultäten ausschreiben und dann kürzen bleibt "5 mal 2" übrig, also 10. Die zweite Variante: "10 über 2", da wir 2 Finger aus den 10 Fingern von 2 Händen ausstrecken wollen. "10 über 2" können wir genauso ausrechnen: Wir erhalten "10 Fakultät durch 2 Fakultät mal 8 Fakultät". Das ergibt "10 mal 9" Halbe also "5 mal 9" – und das ist 45. Stimmt das mit dem Pascal'schen Dreieck überein? Wir suchen den 3. Eintrag in der 5. Zeile. Und dort steht tatsächlich eine 10! Für die zweite Hausaufgabe müssen wir in Zeile 10 Eintrag 2 heraussuchen und der lautet 45! Das passt ja wirklich zusammen! Weniger zu tun hätte Pablo also, wenn er alle möglichen Zeichnungen von 3 ausgestreckten Fingern an einer Hand anfertigt. Und bei der zweiten Hausaufgabe? Das waren entweder 3 von 6 Mitschülern oder 2 von 7 Familienmitgliedern. Dann schauen wir doch mal im Pascal'schen Dreieck nach. Zeile Nummer 6, Eintrag Nummer 3 lautet 20. Und Zeile 7, Eintrag 2, 21. Also lieber die Mitschüler zeichnen! Zuletzt noch: Katzen oder Hunde? 2 aus 9 Hunden oder 4 aus 7 Katzen zu zeichnen war die Alternative. Ab ans Dreieck! Zeile 7, Eintrag 4 ist 35 und Zeile 9, Eintrag 2, 36. Und damit sollte Pablo lieber die Katzenbilder zeichnen. Ob deshalb das Internet voll davon ist? Wir fassen zusammen. Das Pascal'sche Dreieck ist eine Anordnung von Zahlen in einem dreieckigen Schema. Dabei ist jeder Eintrag gleich der Summe aus den beiden Einträgen darüber. Wenn da nichts steht, ist der Eintrag 1. Außerdem entspricht jeder Eintrag einem Binomialkoeffizienten: in Zeile n ist Eintrag k gleich "n über k". Achte darauf, dass Zeilen und Einträge im Pascal'schen Dreieck aber immer bei 0 anfangen! Mit dem Pascal'schen Dreieck kannst du also leicht die Möglichkeiten beim Ziehen von k Elementen aus n bestimmen – wenn dabei die Reihenfolge egal ist und nicht zurückgelegt wird. Pablo hat mittlerweile eine neue Hausaufgabe bekommen: Er soll alle Bilder zeichnen, in denen jeweils 4 seiner 8 Lehrer vorkommen. Viel zu aufwändig. Pablo Picasso geht dann lieber einen kreativeren Weg.

3 Kommentare
  1. voll gut erklärt

    Von Yiren Y., vor 4 Tagen
  2. wie lol
    sau cool
    mega geil

    Von Yiren Y., vor 12 Tagen
  3. gutes Video

    Von valentina r., vor 7 Monaten

Pascalsches Dreieck Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Pascalsches Dreieck kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten.

    Tipps

    Übersetze das Ausstrecken der Finger ins Urnenmodell und überlege, ob es sich um Ziehen mit oder ohne Zurücklegen und mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge handelt.

    Die ausgestreckten Finger entsprechen im Urnenmodell den gezogenen Kugeln.

    Den Binomialkoeffizienten $\binom{6}{2} = 15$ kann man mit der Formel

    $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

    ausrechnen oder im Pascal'schen Dreieck ablesen. Dort ist es der zweite Eintrag in der sechsten Zeile.

    Lösung

    Das Urnenmodell

    Das Auswahlproblem kann man ins Urnenmodell übersetzen. Die Finger entsprechen den Kugeln in der Urne, das Ausstrecken der Finger entspricht dem Ziehen und die ausgestreckten Finger den gezogenen Kugeln. Da man einen Finger nicht mehrmals ausstrecken kann, handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Die ausgestreckten Finger sind alle gleichzeitig zu sehen und auch ihre räumliche Anordnung ist anatomisch festgelegt. Es handelt sich daher um Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge.

    Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge von $k$ aus $n$ Kugeln bzw. beim Ausstrecken von $k$ aus $n$ Fingern ist der Binomialkoeffizient:

    $\binom{n}{k}$.

    Zwei Finger von zwei Händen

    Zwei Hände haben zusammen $10$ Finger, daher ist beim Ausstrecken von zwei Fingern von zwei Händen $n=10$ und $k=2$. Einsetzen in den Binomialkoeffizienten liefert die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten:

    $\binom{10}{2} =\frac{10!}{2!(10-2)!}= \frac{10 \cdot 9}{2 \dot 1} = 45$.

    Das Ergebnis kannst Du auch am zweiten Eintrag der zehnten Zeile des Pascal'schen Dreiecks ablesen.

    Drei Finger einer Hand

    Eine Hand hat fünf Finger, daher ist $n=5$. Für das Ausstrecken von $k=3$ Fingern gibt es

    $\binom{5}{3} =\frac{5!}{3!(5-3)!}= \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$

    verschiedene Möglichkeiten. Statt zu rechnen, kannst Du das Ergebnis auch am dritten Eintrag der fünften Zeile des Pascal'schen Dreiecks ablesen.

  • Beschrifte das Pascal'sche Dreieck.

    Tipps

    Das Pascal'sche Dreieck ist spiegelsymmetrisch zur Mittelsenkrechten der Grundseite: in der ersten Zeile z.B. steht links und rechts dieselbe Zahl, nämlich $1$.

    Die Einträge jeder neuen Zeile berechnen sich aus der Summe der beiden darüberliegenden Einträge der vorherigen Zeile. Der erste Eintrag in der vierten Zeile z.B. ist die Summe aus dem nullten Eintrag und dem ersten Eintrag der dritten Zeile.

    Den $k$-ten Eintrag in der $n$-ten Zeile des Pascal'schen Dreiecks kannst Du auch mit der Formel:

    $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

    ausrechnen.

    Lösung

    Das Pascal'sche Dreieck wird rekursiv aufgebaut, d.h., die Einträge jeder neuen Zeile sind bestimmt durch die Einträge der jeweils darüber liegenden Zeile. Das Dreieck beginnt in der Spitze mit $1$. Dies ist die Zeile $0$. In der ersten Zeile steht zweimal $1$.

    In jeder neuen Zeile ist jeder Eintrag die Summe der beiden darüberliegenden Einträge der jeweils vorigen Zeile oder $1$. Die Einträge $1$ entstehen immer am Rand, denn in der darüber liegenden Zeile stehen dann keine zwei Einträge.

    Für die zweite Zeile haben wir also die Einträge $1$, $2$, $1$. In der dritten Zeile steht $1$, $3$, $3$, $1$. Die $3$ ergibt sich aus der Summe der Einträge $1$ und $2$ bzw. $2$ und $1$ in der Zeile darüber. Nach diesem Prinzip kannst Du Schritt für Schritt jede Zeile des Pascal'schen Dreiecks ausrechnen.

    Der Eintrag ganz links in jeder Zeile ist der $0$-te Eintrag, danach kommen in der $n$-ten Zeile von links nach rechts die Einträge mit Nummern $1$ bis $n$. Der $k$-te Eintrag in der $n$-ten Zeile ist dann der Binomialkoeffizient:

    $\binom{n}{k}$.

  • Berechne die Anzahl möglicher Kombinationen.

    Tipps

    Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten für eine Auswahl von $k$ aus $n$ ist der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$.

    Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ ist der $k$-te Eintrag in der $n$-ten Zeile des Pascal'schen Zahlendreiecks.

    Du kannst den Binomialkoeffizienten auch mit Fakultäten ausrechnen. Beispielsweise ist für die Auswahl von zwei aus sechs Elementen:

    $\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6\cdot 5}{2\cdot 1} = 15$.

    Lösung

    Die Auswahlprobleme entsprechen im Urnenmodell dem Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten beim Ziehen von $k$ aus $n$ Kugeln ist der Binomialkoeffizient:

    $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

    Dieser Binomialkoeffizient ist auch der $k$-te Eintrag in der $n$-ten Zeile des Pascal'schen Dreiecks.

    Aus dieser Vorbemerkung ergeben sich folgende Zuordnungen:

    • Für die Auswahl von zwei aus neun Hunden gibt es $36$ Kombinationsmöglichkeiten.
    • Zur Auswahl von drei aus sechs Mitschülern bestehen $20$ verschiedene Kombinationen.
    • Aus sieben Familienmitgliedern zwei auszuwählen, ist auf $21$ verschiedene Weisen möglich.
    • Die Auswahl von vier aus sieben Katzen führt auf $35$ verschiedene Kombinationen.
    • Für die Auswahl von drei Fingern einer Hand beträgt die Anzahl an Kombinationsmöglichkeiten $10$.
  • Analysiere die Auswahlsituationen.

    Tipps

    Übersetze die Situationen in das Urnenmodell und überlege jeweils, ob es sich um Ziehen mit oder ohne Zurücklegen und mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge handelt.

    Lösung

    Die verschiedenen Auswahlsituationen lassen sich ins Urnenmodell übersetzen. Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ gibt die Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge von $k$ aus $n$ Kugeln an. Wir gehen die einzelnen Beispiele durch, um zu klären, ob sie im Urnenmodell diesem Fall entsprechen.

    Richtig ist die Beschreibung folgender Fälle:

    • „Pablos Mutter backt Pizza. Ihr stehen sieben verschiedene Beläge zur Auswahl. Wenn auf jeder Pizza jeder Belag höchstens einmal verwendet wird, beträgt die Anzahl verschiedener Pizzen mit jeweils drei Belägen $\binom{7}{3}$.“ Da jeder Belag nur einmal vorkommen darf, handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Die Reihenfolge der Pizzabeläge ist spätestens nach dem Backen nicht mehr unterscheidbar. Daher handelt es sich korrekt um Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge.
    • „Mit seinen Freunden spielt Pablo Karten. Aus $36$ verschiedenen Karten werden nacheinander sieben Karten gezogen. Diese sieben Karten werden nach dem Kartenwert geordnet. Die Anzahl verschiedener Ziehungen beträgt $\binom{36}{7}$.“ Das Kartenspiel besteht aus $36$ verschiedenen Karten. Jede gezogene Karte kann nicht wieder gezogen werden, daher handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Die gezogenen Karten werden nach dem Kartenwert geordnet (wie die Lottozahlen), daher handelt es sich um Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge.
    Falsch sind folgende Beschreibungen:

    • „Pablos Fahrradschloss besteht aus vier Ringen mit den Ziffern von $0$ bis $9$. Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten des Zahlenschlosses ist $\binom{10}{4}$.“ Jeder der Ringe hat $10$ Ziffern, die sich unabhängig voneinander einstellen lassen. Die Reihenfolge der Ziffern ist für die Zahlenkombination entscheidend, daher handelt es sich um Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.
    • „Pablos Tuschkasten hat zwölf Farben. Er malt alle möglichen Regenbögen mit je fünf verschiedenen Farben. Das macht $\binom{12}{5}$ verschiedene Regenbögen.“ Da jede Farbe nur einmal vorkommen darf, handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Aber Regenbögen mit unterschiedlicher Farbreihenfolge sind verschieden. Es handelt sich also um Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge.
    • „Manchmal spielt Pablo auch Billard. Dabei gibt es $15$ Kugeln, die in $6$ Löcher gespielt werden können. Die Anzahl möglicher Kombinationen der Löcher der ersten drei eingelochten Kugeln beträgt $\binom{6}{3}$.“ Die Auswahl der eingelochten Kugeln ist ein Fall von Ziehen ohne Zurücklegen, da eine eingelochte Kugel nicht mehr zur Verfügung steht. Bei der Auswahl der Löcher allerdings handelt es sich um Ziehen mit Zurücklegen, denn jedes Loch kann mehrmals verwendet werden. Je nach Spielform mag die Reihenfolge der Löcher eine Rolle spielen oder auch nicht.
  • Bestimme die Werte der Binomialkoeffizienten.

    Tipps

    Beim Ziehen von vier aus sieben Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gibt es

    $\binom{7}{4} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

    verschiedene Ergebnisse.

    Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ ist der $k$-te Eintrag in der $n$-ten Zeile des Pascal'schen Dreiecks.

    Jeder Eintrag des Pascal'schen Dreiecks ist die Summe der beiden darüberliegenden Einträge oder $1$.

    Lösung

    Den Binomialkoeffizienten

    $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

    kannst Du entweder mit den Fakultäten ausrechnen oder im Pascal'schen Dreieck ablesen. Dort ist $\binom{n}{k}$ der $k$-te Eintrag der $n$-ten Zeile.

    Es ergeben sich daher folgende Zordnungen:

    $\begin{array}{lll} \binom{10}{4} &=& 210 \\ \\ \binom{8}{4} &=& 70 \\ \\ \binom{11}{2} &=& 55 \\ \\ \binom{8}{3} &=& 56 \\ \\ \binom{12}{3} &=& 220 \end{array} $

  • Charakterisiere die Binomialkoeffizienten.

    Tipps

    Der Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ beschreibt im Urnenmodell die Anzahl der Ergebnisse beim Ziehen von $k$ aus $n$ Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

    Der dritte Eintrag in der fünften Zeile des Pascal'schen Dreiecks ist die Summe des zweiten und dritten Eintrags der vierten Zeile.

    Ziehen von $k$ aus $n$ Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ist äquivalent zum Ziehen (oder Zurücklassen) von $(n-k)$ aus $n$ Kugeln.

    Lösung

    Der Binomialkoeffizient

    $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

    ist der $k$-te Eintrag der $n$-ten Zeile des Pascal'schen Dreiecks. Jeder Eintrag einer Zeile des Pascal'schen Dreiecks ist die Summe der beiden darüberliegenden Einträge der vorigen Zeile (oder $1$, wenn es keine zwei solcher Einträge gibt).

    Im Urnenmodell ist der Binomialkoeffizient

    $\binom{n}{k}$

    die Anzahl verschiedener Kombinationen beim Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge von $k$ aus $n$ Kugeln. Dem Ziehen von $k$ Kugeln äquivalent ist das Zurücklassen von $n-k$ Kugeln.

    Aus diesen Überlegungen erhalten wir:

    Korrekte Formeln

    • $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$: der $k+1$-te Eintrag der Zeile $n+1$ ist die Summe der Einträge $k$ und $k+1$ der darüberliegenden $k$-ten Zeile.
    • $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$: dies ist die Definition des Binomialkoeffizienten.
    • $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$: dem Ziehen oder Auswählen von $k$ Kugeln äquivalent ist das Zurücklassen oder Auswählen von $n-k$ Kugeln in der Urne.
    • $\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$: dies ist ein Spezialfall der vorigen Formel, denn $2n-n=n$.
    Falsche Formeln

    • $\frac{n!}{k! (n+k)!}$: die Definition des Binomialkoeffizienten hat $(n-k)!$ im Nenner.
    • $\binom{n}{k} = \binom{2n}{2k}$: die Fakultäten sind falsch gekürzt. Im Zähler steht $(2n)!$, nicht $2 \cdot n!$.
    • $\binom{2n}{n} = \frac{2 \cdot n!}{n^2 !}$: hier sind die Quadrate, Multiplikation und Fakultäten vertauscht.