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Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge – Einführung 05:31 min

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Transkript Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge – Einführung

Das ist Eddi. Eddi sollte gestern auf seine Hündin Lessi aufpassen, aber stattdessen er hat den ganzen Tag über in seinem Zimmer gespielt. Und so hat Lessi auf Papas geliebtem Rasen ihre Fähigkeiten als Spürhündin geübt. Und Eddis großer Bruder hat lieber alles mit seinem Handy gefilmt, statt Eddi Bescheid zu geben oder Lessi selbst zu stoppen. Eddi sieht nur eine Möglichkeit, einer dicken Strafe zu entgehen: Beweise vernichten! Wie ungünstig, dass das Handy durch eine vierstellige PIN gesichert ist! 1234? Nein, zu leicht! Hm 0000? Auch nicht! Ob Eddi die PIN knackt, bevor seine Eltern wieder zuhause sind? Wie viele Kombinationen überhaupt möglich sind, berechnen wir . mit einer der vier Formeln der Möglichkeiten, aus n Elementen k-mal zu ziehen. Wir wollen wissen: Ist die Reihenfolge bei den Ziehungen wichtig oder nicht? Können außerdem Elemente auch mehrfach gezogen werden? Dann spricht man vom "Ziehen mit Zurücklegen". Oder kann man jedes Element nur einmal ziehen? — das ist dann "Ziehen ohne Zurücklegen".

Um herauszufinden, um welchen Fall es sich bei uns handelt, übersetzen wir das Problem in das Urnenmodell. Die Urne entspricht dem Tastenfeld des Handys. Die Kugeln in der Urne sind in unserem Fall die möglichen Ziffern null bis neun. Dem Ziehen von Kugeln aus der Urne entspricht das Eintippen einer Ziffer auf dem Handy. Man kann jede Ziffer mehrfach benutzen — das ist, als würde man die Kugel wieder in die Urne hineinlegen, nachdem man sie gezogen hat. Außerdem ist die Reihenfolge bei der PIN wichtig — denn sechs, vier, neun, neun ist etwas anderes als neun, neun, vier, sechs. Das Eintippen der PIN ist also der Kombinatorik-Fall: Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge Weil die Reihenfolge wichtig ist, ist für uns DIESE ZEILE relevant. Und weil wir jede Ziffer mehrfach benutzen dürfen, müssen wir nur in DIESER SPALTE nach der richtigen Formel suchen. In unseren Fall gibt es also n hoch k Möglichkeiten.

Bei unserer PIN gibt es 10 mögliche Ziffern — das entspricht den n Elementen aus der Formel. Und wir tippen vier davon ein, also ist bei uns k gleich vier. Die Anzahl der möglichen PINs ist somit zehn hoch vier das sind zehn mal zehn mal zehn mal zehn, also zehntausend Möglichkeiten! Damit du dir die Formel leichter merken kannst, überlegen wir uns gemeinsam, weshalb sie so und nicht anders lautet. Wir wollen k mal aus n Elementen ziehen und dabei immer wieder zurücklegen und auch noch die Reihenfolge beachten. Beim ersten Ziehen gibt es n Möglichkeiten, also n hoch 1 . Dann legen wir das gezogene Element zurück und ziehen wieder. Für jede der n Möglichkeiten aus dem ersten Ziehen erhalten wir n weitere Möglichkeiten, weil alle n Elemente wieder verfügbar sind. Das sind insgesamt n mal n (oder auch n Quadrat) Möglichkeiten. Für jedes neue Ziehen haben wir n neue Möglichkeiten, also kommt mit jedem Ziehen ein weiterer Faktor n hinzu. Insgesamt ziehen wir k-mal, müssen also k-mal n mit sich selbst multiplizieren — und das ist gleich n hoch k! Und siehe da, das ist unsere Formel. Passwörter mit Buchstaben sind übrigens viel sicherer als solche, die nur aus Ziffern bestehen! Du fragst dich, warum? Stell dir vor, du würdest dir ein 5-stelliges Passwort aus den 26 Kleinbuchstaben des Alphabets überlegen.

Wie viele solcher Passwörter gibt es? Die Anzahl der Elemente n ist dann gleich 26. Und wir ziehen k gleich 5 mal. Die n hoch k Möglichkeiten sind also 26 hoch fünf und das sindwow! Fast zwölf Millionen Möglichkeiten! Fassen wir doch einmal zusammen, was wir gelernt haben. Du solltest dir bei Kombinatorikaufgaben immer überlegen, ob die Reihenfolge wichtig ist oder nicht. Dann solltest du dich außerdem fragen, ob Zurücklegen erlaubt ist. Das entspricht auch dem mehrfachen Verwenden eines Würfels oder eines Ziffernfeldes. Wenn die Reihenfolge beachtet und jedes Element zurückgelegt wird, nennt man das "Variation mit Zurücklegen" oder "Variation mit Wiederholung". Bei n Objekten und k-maligem Ziehen gibt es dafür n hoch k viele Möglichkeiten. Typische Beispiele dafür sind, wie du gesehen hast, Passwörter oder Zahlenschlösser. Ob Eddi das Handy inzwischen geknackt und die Beweisphotos gelöscht hat? Zu spät, der Bruder hat wohl schon gepetzt

Ist das die Möglichkeit?! In Lessi steckt wohl wirklich eine Spürhündin!