Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge – Einführung 05:31 min
Transkript Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge – Einführung
Das ist Eddi. Eddi sollte gestern auf seine Hündin Lessi aufpassen, aber stattdessen er hat den ganzen Tag über in seinem Zimmer gespielt. Und so hat Lessi auf Papas geliebtem Rasen ihre Fähigkeiten als Spürhündin geübt. Und Eddis großer Bruder hat lieber alles mit seinem Handy gefilmt, statt Eddi Bescheid zu geben oder Lessi selbst zu stoppen. Eddi sieht nur eine Möglichkeit, einer dicken Strafe zu entgehen: Beweise vernichten! Wie ungünstig, dass das Handy durch eine vierstellige PIN gesichert ist! 1234? Nein, zu leicht! Hm 0000? Auch nicht! Ob Eddi die PIN knackt, bevor seine Eltern wieder zuhause sind? Wie viele Kombinationen überhaupt möglich sind, berechnen wir . mit einer der vier Formeln der Möglichkeiten, aus n Elementen k-mal zu ziehen. Wir wollen wissen: Ist die Reihenfolge bei den Ziehungen wichtig oder nicht? Können außerdem Elemente auch mehrfach gezogen werden? Dann spricht man vom "Ziehen mit Zurücklegen". Oder kann man jedes Element nur einmal ziehen? — das ist dann "Ziehen ohne Zurücklegen".
Um herauszufinden, um welchen Fall es sich bei uns handelt, übersetzen wir das Problem in das Urnenmodell. Die Urne entspricht dem Tastenfeld des Handys. Die Kugeln in der Urne sind in unserem Fall die möglichen Ziffern null bis neun. Dem Ziehen von Kugeln aus der Urne entspricht das Eintippen einer Ziffer auf dem Handy. Man kann jede Ziffer mehrfach benutzen — das ist, als würde man die Kugel wieder in die Urne hineinlegen, nachdem man sie gezogen hat. Außerdem ist die Reihenfolge bei der PIN wichtig — denn sechs, vier, neun, neun ist etwas anderes als neun, neun, vier, sechs. Das Eintippen der PIN ist also der Kombinatorik-Fall: Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge Weil die Reihenfolge wichtig ist, ist für uns DIESE ZEILE relevant. Und weil wir jede Ziffer mehrfach benutzen dürfen, müssen wir nur in DIESER SPALTE nach der richtigen Formel suchen. In unseren Fall gibt es also n hoch k Möglichkeiten.
Bei unserer PIN gibt es 10 mögliche Ziffern — das entspricht den n Elementen aus der Formel. Und wir tippen vier davon ein, also ist bei uns k gleich vier. Die Anzahl der möglichen PINs ist somit zehn hoch vier das sind zehn mal zehn mal zehn mal zehn, also zehntausend Möglichkeiten! Damit du dir die Formel leichter merken kannst, überlegen wir uns gemeinsam, weshalb sie so und nicht anders lautet. Wir wollen k mal aus n Elementen ziehen und dabei immer wieder zurücklegen und auch noch die Reihenfolge beachten. Beim ersten Ziehen gibt es n Möglichkeiten, also n hoch 1 . Dann legen wir das gezogene Element zurück und ziehen wieder. Für jede der n Möglichkeiten aus dem ersten Ziehen erhalten wir n weitere Möglichkeiten, weil alle n Elemente wieder verfügbar sind. Das sind insgesamt n mal n (oder auch n Quadrat) Möglichkeiten. Für jedes neue Ziehen haben wir n neue Möglichkeiten, also kommt mit jedem Ziehen ein weiterer Faktor n hinzu. Insgesamt ziehen wir k-mal, müssen also k-mal n mit sich selbst multiplizieren — und das ist gleich n hoch k! Und siehe da, das ist unsere Formel. Passwörter mit Buchstaben sind übrigens viel sicherer als solche, die nur aus Ziffern bestehen! Du fragst dich, warum? Stell dir vor, du würdest dir ein 5-stelliges Passwort aus den 26 Kleinbuchstaben des Alphabets überlegen.
Wie viele solcher Passwörter gibt es? Die Anzahl der Elemente n ist dann gleich 26. Und wir ziehen k gleich 5 mal. Die n hoch k Möglichkeiten sind also 26 hoch fünf und das sindwow! Fast zwölf Millionen Möglichkeiten! Fassen wir doch einmal zusammen, was wir gelernt haben. Du solltest dir bei Kombinatorikaufgaben immer überlegen, ob die Reihenfolge wichtig ist oder nicht. Dann solltest du dich außerdem fragen, ob Zurücklegen erlaubt ist. Das entspricht auch dem mehrfachen Verwenden eines Würfels oder eines Ziffernfeldes. Wenn die Reihenfolge beachtet und jedes Element zurückgelegt wird, nennt man das "Variation mit Zurücklegen" oder "Variation mit Wiederholung". Bei n Objekten und k-maligem Ziehen gibt es dafür n hoch k viele Möglichkeiten. Typische Beispiele dafür sind, wie du gesehen hast, Passwörter oder Zahlenschlösser. Ob Eddi das Handy inzwischen geknackt und die Beweisphotos gelöscht hat? Zu spät, der Bruder hat wohl schon gepetzt
Ist das die Möglichkeit?! In Lessi steckt wohl wirklich eine Spürhündin!
Videobeschreibung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Anzahl möglicher Kombinationen für den Kombinatorik-Fall Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge zu berechnen.
Zunächst lernst du, an welchen Merkmalen du ausmachen kannst, um welchen Kombinatorik-Fall es sich handelt. Anschließend lernst du die Beziehung kennen, mit der du die Anzahl möglicher Kombinationen berechnen kannst. Abschließend lernst du mittels unterschiedlicher Beispiele, wie du diese Beziehung anwendest und die für die Berechnung nötigen Größen erkennst.
Lerne mit Eddi, wie du Probleme, welche auf dem Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge beruhen, bewältigen kannst.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Kombinatorik, Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge, Wiederholung, Anzahl möglicher Kombinationen, Anzahl möglicher Elemente sowie Anzahl gezogener Elemente.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine Potenz ist und wie du diese berechnest.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Kombinatorik-Fälle zu lernen.
Die Tutoren:
Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge – Einführung
Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge – Einführung Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
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Gib die Anzahl aller möglichen Kombinationen an.
Tipps
Die Reihenfolge der Ziffern einer PIN ist wichtig — denn $6499$ ist eine andere PIN als $9469$.
Beim Tippen der ersten Ziffer gibt es $n$ Möglichkeiten. Dann wird die zweite Ziffer eingetippt. Wieder gibt es $n$ Möglichkeiten für das Eintippen der zweiten Ziffer. Beim Eintippen von zwei Ziffern gibt es also insgesamt $n^2$ Möglichkeiten. Die PIN besteht allerdings aus $4$ Ziffern.
Die Anzahl möglicher Kombinationen für den Kombinatorikfall Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge entspricht $n^k$. Es gilt:
$n^k=\underbrace{n\cdot n\cdot\ ...\ \cdot n}_{k\text{-mal}}$.
Lösung
Für die Berechnung der Anzahl möglicher Kombinationen müssen wir zunächst herausfinden, um welchen Kombinatorikfall es sich hier handelt. Die folgende Tabelle führt alle Kombinatorikfälle auf:
$ \begin{array}{l|c|c} & \textbf{mit Zurücklegen} & \textbf{ohne Zurücklegen} \\ \hline \textbf{mit Reihenfolge} & n^k & \binom{n}{k}\cdot k! \\ \textbf{ohne Reihenfolge} & \binom{n+k-1}{k}& \binom{n}{k} \\ \end{array} $
Um herauszufinden, um welchen Fall es sich bei uns handelt, überlegen wir gemeinsam, wie unser Problem strukturiert ist.
Beim Eintippen einer PIN können wir jede Ziffer mehrfach benutzen. Es handelt sich also schon einmal um das Ziehen mit Zurücklegen. Wir brauchen also eine der beiden Formeln aus der ersten Tabellenspalte.
Außerdem ist die Reihenfolge bei der PIN wichtig. Also liegt der Fall Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge vor. Wir brauchen somit die Formel aus der ersten Spalte und ersten Zeile der Tabelle.
In unserem Fall gibt es also $n^k$ mögliche Kombinationen. Bei unserer PIN gibt es $10$ mögliche Ziffern — das entspricht den $n$ Elementen aus der Formel. Und wir tippen $4$ davon ein, also ist bei uns $k=4$.
Die Anzahl der möglichen Kombinationen entspricht somit $n^k=10^4=10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10000$.
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Berechne die Anzahl aller möglichen Kombinationen.
Tipps
Schau die folgende Tabelle an:
$ \begin{array}{l|c|c} & \textbf{mit Zurücklegen} & \textbf{ohne Zurücklegen} \\ \hline \textbf{mit Reihenfolge} & n^k & \binom{n}{k}\cdot k! \\ \textbf{ohne Reihenfolge} & \binom{n+k-1}{k}& \binom{n}{k} \\ \end{array} $
Es handelt sich um den Kombinatorik-Fall Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.
Lösung
In diesem Beispiel untersuchen wir ein fünfstelliges Passwort, das sich aus den $26$ Buchstaben des Alphabetes zusammensetzt.
Für die Berechnung der Anzahl möglicher Kombinationen müssen wir den Kombinatorik-Fall Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge betrachten. Der folgenden Tabelle können wir entnehmen, dass wir für diesen Fall die Anzahl möglicher Kombinationen mittels $n^k$ berechnen können.
$ \begin{array}{l|c|c} & \textbf{mit Zurücklegen} & \textbf{ohne Zurücklegen} \\ \hline \textbf{mit Reihenfolge} & n^k & \binom{n}{k}\cdot k! \\ \textbf{ohne Reihenfolge} & \binom{n+k-1}{k}& \binom{n}{k} \\ \end{array} $
In unserem Beispiel gibt es also $n^k$ mögliche Kombinationen. Für jede Stelle des Passwortes gibt es je $26$ mögliche Buchstaben — das entspricht den $n$ Elementen aus der Formel. Und wir tippen $5$ davon ein, also ist bei uns $k=5$.
Die Anzahl der möglichen Kombinationen entspricht somit $n^k=26^5=26\cdot 26\cdot 26\cdot 26\cdot 26= 11881376 $.
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Ermittle, wie viele Kombinationsmöglichkeiten vorliegen.
Tipps
Bei beiden Beispielen handelt es sich um das Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.
Verwende für die Berechnung der Anzahl möglicher Kombinationen die Formel $n^k$.
Wir ziehen $k$ Elemente aus einer Menge mit $n$ Elementen.
Die Vokale sind a, e, i, o und u. Somit ist im ersten Beispiel $n=5$.
Lösung
Wir betrachten in dieser Aufgabe zwei Beispiele zu dem Kombinatorik-Fall Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.
Für die Berechnung der Anzahl möglicher Kombinationen verwenden wir die Formel $n^k$. Wir müssen dafür die Werte für $n$ und $k$ bestimmen.
Beispiel 1
Wir betrachten ein $8$-stelliges Passwort, das sich ausschließlich aus Vokalen zusammensetzen soll. Die Vokale sind a, e, i, o und u. Somit gibt es insgesamt $5$ Elemente in der betrachteten Menge. Aus dieser Menge ziehen wir $8$ Elemente mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge. Es ist also $n=5$ und $k=8$ und somit $n^k=5^8= 390625 $.
Beispiel 2
Wir betrachten ein Glücksrad mit $7$ gleich großen Sektoren. Tom soll dreimal an diesem Rad drehen und sich die Reihenfolge der Farben bzw. der dazugehörigen Zahlen merken. Da das Glücksrad $7$ verschiedene Farben hat, ist die Menge aller möglichen Elemente $n=7$. Das dreimalige Drehen liefert uns $k=3$. Damit erhalten wir $n^k=7^3= 343 $.
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Bestimme die Anzahl möglicher dreistelliger Zahlen.
Tipps
Die Anzahl aller Elemente, die zur Auswahl stehen, bezeichnet man mit $n$.
Wir ziehen $k$ Elemente aus einer Menge mit $n$ Elementen.
Die Anzahl möglicher Kombinationen beträgt $n^k$.
Lösung
Hier betrachten wir folgendes Kartenspiel:
- Aus einem Kartenstapel mit $9$ Karten soll dreimal je eine Karte gezogen werden.
- Nach jedem Zug soll die gezogene Karte wieder in den Kartenstapel zurückgelegt werden, bevor erneut gezogen wird.
- Die Reihenfolge der gezogenen Karten muss man sich merken.
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Gib die Formel an, mit der du die Anzahl möglicher Kombinationen berechnen kannst.
Tipps
Schau dir folgendes Beispiel an:
Gesucht ist die Anzahl möglicher Zahlenkombinationen für ein $6$-stelliges Passwort aus Ziffern. Hierzu rechnet man $10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=1000000$.
Du kannst die Multiplikation $10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10$ auch wie folgt in der Potenzschreibweise darstellen:
$10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10^6$.
Lösung
Es gibt insgesamt vier verschiedene Kombinatorik-Fälle. Diese sind:
- Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge,
- Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge,
- Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge und
- Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.
$ \begin{array}{l|c|c} & \textbf{mit Zurücklegen} & \textbf{ohne Zurücklegen} \\ \hline \textbf{mit Reihenfolge} & n^k & \binom{n}{k}\cdot k! \\ \textbf{ohne Reihenfolge} & \binom{n+k-1}{k}& \binom{n}{k} \\ \end{array} $
Da wir wissen, dass es bei unserem Problem um den Fall Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge geht, müssen wir für die Berechnung der Anzahl möglicher Kombinationen die Formel $n^k$ verwenden.
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Prüfe, welches der gegebenen Zahlenschlösser die sicherste Zahlenkombination hat.
Tipps
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler, nämlich die $1$ und sich selbst. Somit ist die $1$ keine Primzahl.
Die Anzahl möglicher Kombinationen beträgt $n^k$. Dabei ist $n$ die Anzahl aller Elemente, die zur Auswahl stehen.
Da die Zahlenkombination bei allen vier Freunden eine vierstellige Zahl ist, ist in allen Beispielen $k=4$.
Lösung
Die Beispiele für Zahlenkombinationen entsprechen dem Kombinatorik-Fall "Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge". Da es sich bei allen vier Zahlenkombinationen um eine vierstellige Zahl handelt, gilt immer $k=4$. Die Anzahl der Elemente, die zur Auswahl stehen, ändert sich bei jeder Person. Die Anzahl möglicher Kombinationen erhalten wir dann über $n^4$.
Lennarts Zahlenschloss
Tipp: Zahlenkombination besteht ausschließlich aus geraden Zahlen von $0$ bis $5$.
In dem Bereich von $0$ bis $5$ liegen genau $3$ gerade Zahlen. Diese sind $0$, $2$ und $4$. Somit ist $n=3$ und die Anzahl möglicher Zahlenkombinationen $n^k=3^4=81$.
Roberts Zahlenschloss
Tipp: Zahlenkombination besteht ausschließlich aus ungeraden Zahlen.
Da bei einem Zahlenschloss die Zahlen von $0$ bis $9$ gewählt werden können, betrachten wir nun in diesem Bereich alle ungeraden Zahlen. Diese sind $1$, $3$, $5$, $7$ und $9$. Somit ist $n=5$ und die Anzahl möglicher Zahlenkombinationen $n^k=5^4=625$.
Janas Zahlenschloss
Tipp: Zahlenkombination besteht aus den Zahlen $1$ und $7$.
Der Tipp von Jana beschränkt die Auswahl auf nur zwei Elemente. Somit ist $n=2$ und die Anzahl möglicher Zahlenkombinationen $n^k=2^4=16$.
Sabrinas Zahlenschloss
Tipp: Zahlenkombination besteht ausschließlich aus Primzahlen.
Im Bereich von $0$ bis $9$ liegen vier Primzahlen. Diese sind $2$, $3$, $5$ und $7$. Somit ist $n=4$ und die Anzahl möglicher Zahlenkombinationen $n^k=4^4=256$.
Damit ist das Zahlenschloss von Robert trotz des Tipps am sichersten!
