Binomialverteilung – Übungen

Werte ablesen:

• Länge der Bernoulli-Kette: $n = 10$
• Trefferwahrscheinlichkeit: $p = 0{,}2$
• Trefferzahl: $k = 4$

Rechnung:

$$\begin{array}{rcl} B_{10;~0{,}2}(4) &=& \displaystyle \binom{10}{4} \cdot 0{,}2^{4} \cdot (1-0{,}2)^{10-4} \\ \\ &=& \displaystyle \binom{10}{4} \cdot 0{,}2^{4} \cdot 0{,}8^{6} \\ \\ &=& 210 \cdot 0{,}2^{4} \cdot 0{,}8^{6} \\ \\ &\approx& 0{,}0881 \\ \end{array}$$

Lösung:
$$B_{10;~0{,}2}(4) \approx 0{,}0881 = \underline{\underline{8{,}81\,\%}}$$

Werte ablesen:

• Länge der Bernoulli-Kette: $n = 12$
• Trefferwahrscheinlichkeit: $p = 0{,}3$
• Trefferzahl: $k = 5$

Rechnung:

$$\begin{array}{rcl} B_{12;~0{,}3}(5) &=& \displaystyle \binom{12}{5} \cdot 0{,}3^{5} \cdot (1 - 0{,}3)^{12 - 5} \\ \\ &=& \displaystyle \binom{12}{5} \cdot 0{,}3^{5} \cdot 0{,}7^{7} \\ \\ &=& 792 \cdot 0{,}3^{5} \cdot 0{,}7^{7} \\ \\ &\approx& 0{,}1585 \\ \end{array}$$

Lösung:
$$B_{12;~0{,}3}(5) \approx 0{,}1585 = \underline{\underline{15{,}85\,\%}}$$

Werte ablesen:

• Länge der Bernoulli-Kette: $n = 8$
• Trefferwahrscheinlichkeit: $p = 0{,}6$
• Trefferzahl: $k = 3$

Rechnung:

$$\begin{array}{rcl} B_{8;~0{,}6}(3) &=& \displaystyle \binom{8}{3} \cdot 0{,}6^{3} \cdot (1 - 0{,}6)^{5} \\ \\ &=& \displaystyle \binom{8}{3} \cdot 0{,}6^{3} \cdot 0{,}4^{5} \\ \\ &=& 56 \cdot 0{,}6^{3} \cdot 0{,}4^{5} \\ \\ &\approx& 0{,}1239 \\ \end{array}$$

Lösung:
$$B_{8;~0{,}6}(3) \approx 0{,}1239 = \underline{\underline{12{,}39\,\%}}$$

Werte ablesen:

• Länge der Bernoulli-Kette: $n = 15$
• Trefferwahrscheinlichkeit: $p = 0{,}4$
• Trefferzahl: $k = 6$

Rechnung:

$$\begin{array}{rcl} B_{15;~0{,}4}(6) &=& \displaystyle \binom{15}{6} \cdot 0{,}4^{6} \cdot (1 - 0{,}4)^{9} \\ \\ &=& \displaystyle \binom{15}{6} \cdot 0{,}4^{6} \cdot 0{,}6^{9} \\ \\ &=& 5005 \cdot 0{,}4^{6} \cdot 0{,}6^{9} \\ \\ &\approx& 0{,}2066 \\ \end{array}$$

Lösung:
$$B_{15;~0{,}4}(6) \approx 0{,}2066 = \underline{\underline{20{,}66\,\%}}$$

Werte ablesen:

• Länge der Bernoulli-Kette: $n = 5$
• Trefferwahrscheinlichkeit: $p = 0{,}5$
• Trefferzahl: $k = 2$

Rechnung:

$$\begin{array}{rcl} B_{5;~0{,}5}(2) &=& \displaystyle \binom{5}{2} \cdot 0{,}5^{2} \cdot (1 - 0{,}5)^{3} \\ \\ &=& \displaystyle \binom{5}{2} \cdot 0{,}5^{2} \cdot 0{,}5^{3} \\ \\ &=& 10 \cdot 0{,}5^{2} \cdot 0{,}5^{3} \\ \\ &=& 10 \cdot 0{,}5^{5} \\ \\ &=& 0{,}3125 \\ \end{array}$$

Lösung:
$$B_{5;~0{,}5}(2) = 0{,}3125 = \underline{\underline{31{,}25\,\%}}$$

Werte ablesen:

• Länge der Bernoulli-Kette: $n = 20$
• Trefferwahrscheinlichkeit: $p = 0{,}1$
• Trefferzahl: $k = 1$

Rechnung:

$$\begin{array}{rcl} B_{20;~0{,}1}(1) &=& \displaystyle \binom{20}{1} \cdot 0{,}1^{1} \cdot (1 - 0{,}1)^{19} \\ \\ &=& \displaystyle 20 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{19} \\ \\ &\approx& 0{,}2702 \\ \end{array}$$

Lösung:
$$B_{20;~0{,}1}(1) \approx 0{,}2702 = \underline{\underline{27{,}02\,\%}}$$

Werte ablesen:

• Länge der Bernoulli-Kette: $n = 6$
• Trefferwahrscheinlichkeit: $p = 0{,}8$
• Trefferzahl: $k = 5$

Rechnung:

$$\begin{array}{rcl} B_{6;~0{,}8}(5) &=& \displaystyle \binom{6}{5} \cdot 0{,}8^{5} \cdot (1 - 0{,}8)^{1} \\ \\ &=& \displaystyle 6 \cdot 0{,}8^{5} \cdot 0{,}2 \\ \\ &\approx& 0{,}3932 \\ \end{array}$$

Lösung:
$$B_{6;~0{,}8}(5) \approx 0{,}3932 = \underline{\underline{39{,}32\,\%}}$$

Werte ablesen:

• Länge der Bernoulli-Kette: $n = 7$
• Trefferwahrscheinlichkeit: $p = 0{,}25$
• Trefferzahl: $k = 2$

Rechnung:

$$\begin{array}{rcl} B_{7;~0{,}25}(2) &=& \displaystyle \binom{7}{2} \cdot 0{,}25^{2} \cdot (1 - 0{,}25)^{5} \\ \\ &=& \displaystyle 21 \cdot 0{,}25^{2} \cdot 0{,}75^{5} \\ \\ &\approx& 0{,}3115 \\ \end{array}$$

Lösung:
$$B_{7;~0{,}25}(2) \approx 0{,}3115 = \underline{\underline{31{,}15\,\%}}$$

Werte ablesen:

• Länge der Bernoulli-Kette: $n = 9$
• Trefferwahrscheinlichkeit: $p = 0{,}7$
• Trefferzahl: $k = 8$

Rechnung:

$$\begin{array}{rcl} B_{9;~0{,}7}(8) &=& \displaystyle \binom{9}{8} \cdot 0{,}7^{8} \cdot (1 - 0{,}7)^{1} \\ \\ &=& \displaystyle 9 \cdot 0{,}7^{8} \cdot 0{,}3 \\ \\ &\approx& 0{,}1556 \\ \end{array}$$

Lösung:
$$B_{9;~0{,}7}(8) \approx 0{,}1556 = \underline{\underline{15{,}56\,\%}}$$

Werte ablesen:

• Länge der Bernoulli-Kette: $n = 11$
• Trefferwahrscheinlichkeit: $p = 0{,}45$
• Trefferzahl: $k = 4$

Rechnung:

$$\begin{array}{rcl} B_{11;~0{,}45}(4) &=& \displaystyle \binom{11}{4} \cdot 0{,}45^{4} \cdot (1 - 0{,}45)^{7} \\ \\ &=& \displaystyle 330 \cdot 0{,}45^{4} \cdot 0{,}55^{7} \\ \\ &\approx& 0{,}2060 \\ \end{array}$$

Lösung:
$$B_{11;~0{,}45}(4) \approx 0{,}2060 = \underline{\underline{20{,}6\,\%}}$$

Lösung:
$$F_{20;~0{,}60}(10) = P(X \leq 10) \approx 0{,}24466 = \underline{\underline{24{,}47\,\%}}$$

Lösung:
$$F_{10;~0{,}05}(2) = P(X \leq 2) \approx 0{,}98850 = \underline{\underline{98{,}85\,\%}}$$

Lösung:
$$F_{15;~0{,}25}(5) = P(X \leq 5) \approx 0{,}85163 = \underline{\underline{85{,}16\,\%}}$$

Lösung:
$$F_{20;~0{,}40}(7) = P(X \leq 7) \approx 0{,}41589 = \underline{\underline{41{,}59\,\%}}$$

Lösung:
$$F_{10;~0{,}10}(3) = P(X \leq 3) \approx 0{,}98720 = \underline{\underline{98{,}72\,\%}}$$

Lösung:
$$F_{25;~0{,}30}(6) = P(X \leq 6) \approx 0{,}34065 = \underline{\underline{34{,}07\,\%}}$$

Lösung:
$$F_{30;~0{,}35}(12) = P(X \leq 12) \approx 0{,}78021 = \underline{\underline{78{,}02\,\%}}$$

Lösung:
$$F_{50;~0{,}25}(15) = P(X \leq 15) \approx 0{,}83692 = \underline{\underline{83{,}69\,\%}}$$

Lösung:
$$F_{20;~0{,}70}(8) = P(X \leq 8) \approx 0{,}00514 = \underline{\underline{0{,}51\,\%}}$$

Lösung:
$$F_{15;~0{,}10}(4) = P(X \leq 4) \approx 0{,}98728 = \underline{\underline{98{,}73\,\%}}$$

Überlege, welche Zahl passen und finde die passende Schreibweise.

Mehr als $3$ Treffer: $4, 5, 6, 7, ... n$, die $3$ ist nicht mit dabei.
$$P(X \gt 3)$$

Alternative Schreibweise:
$$P(X \geq 4)$$

Mindestens $5$ Treffer: $5, 6, 7, 8, ... n$, die $5$ ist mit dabei.
$$P(X \geq 5)$$

Alternative Schreibweise:
$$P(X \gt 4)$$

Weniger als $10$ Treffer: $9, 8, 7, 6, ... 0$, die $10$ ist nicht mit dabei.
$$P(X \leq 9)$$

Alternative Schreibweise zu:
$$P(X \lt 10)$$

$9$ oder mehr Treffer: $9, 10, 11, 12, ... n$, die $9$ ist mit dabei.
$$P(X \gt 8)$$

Alternative Schreibweise zu:
$$P(X \geq 9)$$

Höchstens $8$ Treffer: $8, 7, 6, 5, ... 0$, die $8$ ist mit dabei.
$$P(X \lt 9)$$

Alternative Schreibweise zu:
$$P(X \leq 8)$$

Bis zu $14$ Treffer: $14, 13, 12, 11, ... 0$, die $14$ ist mit dabei.
$$P(X \lt 15)$$

Alternative Schreibweise zu:
$$P(X \leq 14)$$

Angaben:

• $X$: Anzahl der falschen Antworten
• $n = 20$ Fragen
• $p = 0,15$ für falsche Antworten

Gesucht:
$$P(X \gt 5)$$
Der Test ist nicht bestanden, wenn weniger als $15$ Fragen korrekt beantwortet werden. Das entspricht mehr als $5$ falschen Antworten.

Rechnung:
Um den Wert bestimmen zu können, schreiben wir mit dem Gegenereignis um:

$$\begin{array}{rcl} P(X \gt 5) &=& 1 - P(X \leq 5) \\ \\ &=& 1 - F_{20;~0{,}15}(5) \\ \\ &\approx& 1 - 0{,}93269 \\ \\ &=& \underline{\underline{0{,}06731}} \end{array}$$

Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die KI den Test nicht besteht liegt bei $6{,}73\,\%$.

Gesucht:
$$P(X \leq 2)$$
Eine durchschnittliche Testperson beantwortet $17$ fragen korrekt. Um besser abzuschneiden muss die KI zumindest $18$ richtige Antworten geben.
Das entspricht zwei oder weniger falsch beantworteten Fragen.

Rechnung:
$$P(X \leq 2) \approx \underline{\underline{0{,}40490}}$$

Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die KI besser abschneidet als eine durchschnittliche Testperson liegt bei $40{,}49\,\%$.

Gesucht:
$$P(5 \lt X \lt 8)$$
Um den Test nicht zu bestehen braucht es mehr als $5$ falschen Antworten. Außerdem sollen mehr als $12$ Antworten korrekt, also weniger als $8$ Antworten fehlerhaft sein.

Rechnung:
Um den Wert bestimmen zu können, schreiben wir um:

$$\begin{array}{rcl} P(5 \lt X \lt 8) &=& P(X \leq 7) - P(X \leq 5) \\ \\ &=& F_{20;~0{,}15}(7) - F_{20;~0{,}15}(5) \\ \\ &\approx& 0{,}99408 - 0{,}93269 \\ \\ &=& \underline{\underline{0{,}06139}} \end{array}$$

Antwort:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die KI den Test nicht besteht liegt bei $6{,}14\,\%$.

Angaben:

• $X$: Anzahl der korrekten Antworten
• $n = 20$ Fragen mit $p = 0{,}85$ für korrekte Antwort
• $n = 10$ Fragen mit $p = 0{,}7$ für korrekte Antwort

Erwartungswert:

• erste KI: $n \cdot p = 20 \cdot 0{,}85 = 17$
• zweite KI: $10 + n \cdot p = 10 + 10 \cdot 0{,}7 = 17$
  Mit $10$ korrekten Antworten bei Typ $\text{I}$ und $7$ korrekten Antworten bei Typ $\text{II}$.

Wahrscheinlichkeit für Bestehen:

• erste KI: $0{,}93269 = 93{,}27\,\%$ (vgl. a)
• zweite KI:

$$\begin{array}{rcl} P(X \geq 15) &=& 1 - P(X \leq 4) \\ \\ &=& 1 - F_{10;~0{,}70}(4) \\ \\ &\approx& 1 - 0{,}04735 \\ \\ &=& \underline{\underline{0{,}95265}} \end{array}$$

Antwort:
Bei beiden Modellen ist die zu erwartende Anzahl an korrekten Antworten $17$. Das zweite Modell hat aber mit $95{,}27\,\%$ eine höhere Wahrscheinlichkeit den Test zu bestehen als das erste Modell mit $93{,}27\,\%$.

Angabe:

• $X$: Anzahl der falschen Antworten
• $n = 6$ Fragen
• $P(X = 0) \geq 0{,}9$
  Die Wahrscheinlichkeit keine Frage falsch zu beantworten soll größer oder gleich $90\,\% = 0{,}9$ sein.

Rechnung:

$$\begin{array}{ccccccll} &&&& P(X = 0) &\geq& 0{,}9 \\ \\ \displaystyle \binom{6}{6} &\cdot& p^{0} &\cdot& (1 - p)^{6} &\geq& 0{,}9 \\ \\ 1 &\cdot& 1 &\cdot& (1 - p)^{6} &\geq& 0{,}9 \\ \\ &&&& (1 - p)^{6} &\geq& 0{,}9 & \vert\sqrt[6]{~~} \\ \\ &&&& 1 - p &\geq& 0{,}9826 & \vert +~p - 0{,}9826 \\ \\ &&&& \underline{\underline{0{,}0174}} &\geq& p \end{array}$$

Antwort:
Eine KI darf maximal eine Fehlerquote von $1{,}74\,\%$ haben, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeitvon mindestens $90\,\%$ alle $6$ Fragen richtig beantwortet.