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Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung
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Grundlagen zum Thema Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Einführung: Was ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Wahrscheinlichkeitsverteilungen kommen in Mathe zum Beispiel bei der Beschreibung von Zufallsexperimenten vor. Die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Zufallsexperiments ist stets $1$. Diese Gesamtwahrscheinlichkeit verteilt sich auf die einzelnen Ergebnisse des Experiments. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zufallsexperiments beschreibt, wie genau sich die Gesamtwahrscheinlichkeit auf die einzelnen Ergebnisse verteilt.

Häufig lassen sich die Ergebnisse eines Zufallsexperiments zu Ereignissen zusammenfassen. In diesem Fall verteilt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit auf die Ereignisse, deren Teilmengen und schließlich auf die einzelnen Ergebnisse oder die Elementarereignisse. In diesem Video wird dir eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung einfach erklärt: Du erfährst, wie eine solche Verteilung zustande kommt und wie du sie berechnen kannst.

Wahrscheinlichkeitsverteilung – Definition

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zufallsexperiments gibt an, wie sich die Gesamtwahrscheinlichkeit $1$ auf die Ergebnisse des Zufallsexperiments verteilt. Um eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen oder berechnen zu können, muss man die Ergebnisse des Zufallsexperiments genau kennen. In den meisten Fällen berechnet man die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Annahmen über die Ereignisse des Zufallsexperiments. Wir erklären dir hier die Verteilung anhand eines rein hypothetischen Zufallsexperiments mit willkürlich gewählten Annahmen über die einzelnen Wahrscheinlichkeiten. In den meisten Fällen verwendet man statt willkürlicher Annahmen aber plausible Annahmen oder genaue Kenntnisse der Ereignisse des Zufallsexperiments.

Wie stellt man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf?

Wir beginnen mit einem Beispiel und beschreiben ein Zufallsexperiment mit drei Ereignissen $A$, $B$ und $C$, die disjunkt sind, das heißt, dass sie keine gemeinsamen Ergebnisse haben. Außerdem nehmen wir an, dass jedes Ergebnis des Zufallsexperiments zu einer der drei Mengen $A$, $B$ und $C$ gehört. In diesem Fall verteilt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit von $1$ auf die drei Mengen $A$, $B$ und $C$. Wir nehmen an, die Ereignisse $A$, $B$ und $C$ haben alle dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich $\frac{1}{3}$. Wir können diese Aufteilung in der ersten Stufe eines Baumdiagramms darstellen: Das Diagramm besteht aus drei Ästen mit einer gemeinsamen Wurzel und jeder Ast hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$.

Beispiel Wahrscheinlichkeitsverteilung

Nun nehmen wir an, dass die Ereignisse $A$, $B$ und $C$ jeweils aus Teilereignissen bestehen. Das Ereignis $A$ teilt sich in die Ereignisse $A_1$, $A_2$ und $A_3$ auf, das Ereignis $B$ in die Ereignisse $B_1$ und $B_2$ und $C$ schließlich in $C_1$ und $C_2$. Die Wahrscheinlichkeit jedes der Ereignisse $A$, $B$ und $C$ verteilt sich auf die Teilereignisse. Nehmen wir an, die Wahrscheinlichkeit von $A$ verteilt sich zu je $\frac{1}{5}$ auf $A_1$ und $A_3$ und zu $\frac{3}{5}$ auf $A_2$. Dies können wir im Baumdiagramm darstellen durch drei Äste, die von dem Ast $A$ ausgehen und die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{5}$ und $\frac{3}{5}$ und $\frac{1}{5}$ tragen. Wie bei $A$ verteilt sich auch die Wahrscheinlichkeit von $B$ auf die Teilereignisse – zu $\frac{1}{4}$ auf $B_1$ und zu $\frac{3}{4}$ auf $B_2$. Für das Ereignis $C$ schließlich nehmen wir eine Verteilung von jeweils $\frac{1}{2}$ auf $C_1$ und $C_2$ an. Wir stellen diese Aufteilung der Wahrscheinlichkeiten durch Äste im Baumdiagramm dar, die von den Ästen $A$, $B$ und $C$ ausgehen.

Wahrscheinlichkeitsverteilung Tabelle

Die Aufteilung dieser Wahrscheinlichkeiten ist ein rein hypothetisches Beispiel: Wir haben die Wahrscheinlichkeiten nicht berechnet, sondern angenommen.

Nehmen wir nun weiter an, dass sich die Wahrscheinlichkeit der Teilereignisse $A_1$, $A_2$, $A_3$ … auf die Ergebnisse verteilt, aus denen diese Ereignisse bestehen. Das Ereignis $A_1$ besteht zum Beispiel aus den Ergebnissen $c$ und $d$. Wir verteilen die Wahrscheinlichkeit von $A_1$ zu $\frac{1}{3}$ auf $c$ und zu $\frac{2}{3}$ auf $d$. Im Baumdiagramm stellen wir diese Aufteilung der Wahrscheinlichkeit durch zwei Äste dar, die von $A_1$ ausgehen und die Wahrscheinlichkeiten $\frac{1}{3}$ und $\frac{2}{3}$ haben. Ganz analog können wir auch die anderen Teilereignisse in ihre Ergebnisse aufteilen. Besteht eines der Teilereignisse aus nur einem Ergebnis, nennt man dieses Ereignis ein Elementarereignis. An dem Ast, der von dem Ereignis zu seinem einzigen Ergebnis führt, steht die Wahrscheinlichkeit $1$. Denn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses verteilt sich nicht auf mehrere Ergebnisse, sondern gehört vollständig zu dem einen Ergebnis.

Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen

In dem oben beschriebenen Beispiel gehen wir von einem einzigen Zufallsexperiment aus. Die Gesamtwahrscheinlichkeit verteilt sich auf die einzelnen Ereignisse, Teilereignisse und Elementarereignisse bzw. Ergebnisse. Diese Aufteilung nennt man die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zufallsexperiments. Sie zu berechnen, bedeutet, die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse anzugeben. Dazu benutzen wir die zweite Pfadregel.

  • Die Wahrscheinlichkeit eines Pfads ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfads.

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $c$ ist also das Produkt längs des Pfads zu $c$, der über das Ereignis $A$, das Teilereignis $A_1$ und schließlich das Elementarereignis ${c}$ führt. Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $c$ ist also $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{45}$. Analog können wir für jedes Ergebnis des Zufallsexperiments die Wahrscheinlichkeit berechnen, indem wir dem Pfad im Baumdiagramm folgen, der zu diesem Ergebnis führt. Als Resultat erhalten wir die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ergebnisses des Zufallsexperiments. Und dies ist genau die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zufallsexperiments.

Zusammenfassung: Wahrscheinlichkeitsverteilung

Dieses Video über die Wahrscheinlichkeitsverteilung erklärt dir verständlich, was eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist. Du siehst ein Beispiel für die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zufallsexperiments und erfährst, wie die Verteilung zustande kommt. In interaktiven Übungen kannst du dein neues Wissen gleich anwenden.

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Transkript Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Spielst du auch hin und wieder mal gerne ein Würfelspiel? Ob du es glaubst oder nicht, bei so einem – zunächst harmlos wirkenden – Freizeitspaß kicken "Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung" maximal rein! Was genau wir unter diesen Begriffen zu verstehen haben, klären wir in diesem Video. Wenn wir ein Zufallsexperiment betrachten, interessieren wir uns häufig nicht wirklich für jedes EINZELNE Ergebnis , sondern für eine bestimmte Größe, die vom Ausgang des Experiments abhängt. Das können wir uns sehr schön an zwei klassischen Spielwürfeln verdeutlichen. In vielen Gesellschaftsspielen werden zwei Würfel gleichzeitig geworfen und dann die beiden Augenzahlen addiert. Wir können uns das entsprechende Zufallsexperiment graphisch veranschaulichen und sehen so, dass wir insgesamt sechsunddreißig verschiedene Ergebnisse haben. Was uns aber wirklich interessiert, sind nicht ALLE einzelnen Ergebnisse, sondern im Endeffekt nur die Summe der Augenzahlen. Diese Summe kann bei zwei geworfenen Würfeln die Werte zwei bis zwölf annehmen. Wenn wir nur die Augensumme betrachten, macht es keinen Unterschied, ob wir eine Drei und eine Eins, zwei Zweien oder eine Eins und eine Drei gewürfelt haben. Allen drei Ergebnissen wird der Wert Vier zugeordnet. Die zugrundeliegende Zuordnung nennen wir Zufallsgröße – manchmal auch Zufallsvariable. Eine ZUFALLSGRÖßE "Groß-X" ist eine Zuordnung, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperimentes eine reelle Zahl x zuordnet. In unserem konkreten Fall heißt das zum Beispiel, dass dem Ergebnis "Vier und Zwei" der Wert Sechs zugeordnet wird. Dem Ergebnis "Sechs und Vier" wird der Wert Zehn zugeordnet, und so weiter. Jetzt fehlen uns nur noch die WAHRSCHEINLICHKEITEN für die verschiedenen Werte, die unsere Zufallsgröße annehmen kann. Da beim Werfen von zwei Würfeln alle sechsunddreißig Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind – vorausgesetzt wir haben es hier nicht mit gezinkten Exemplaren zu tun – können wir sie ganz einfach berechnen. Dafür müssen wir jeweils nur die Anzahl der Ergebnisse, die zu einem gewissen Wert führen, durch die Anzahl ALLER möglichen Ergebnisse, sprich sechsunddreißig, teilen. Dann haben wir jedem Wert die Wahrscheinlichkeit ZUGEORDNET, mit der er eintritt. Eine solche Zuordnung, die jedem Wert x, den eine Zufallsgröße "Groß-x" annehmen kann, die entsprechende Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG P von "Groß-x". Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist also ebenfalls eine Zuordnung. Alle Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ergeben in Summe natürlich immer eins beziehungsweise einhundert Prozent. Andersherum ausgedrückt: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung TEILT einhundert Prozent auf alle möglichen Werte einer Zufallsgröße AUF. Wenn wir ein beliebiges Zufallsexperiment haben, betrachten wir also zunächst alle möglichen Ergebnisse. Die ZUFALLSGRÖßE Groß-X ordnet dann jedem Ergebnis einen konkreten Wert zu. So erhalten wir REELLE ZAHLEN als mögliche Werte, die aus dem Zufallsexperiment resultieren können. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung P ist dann noch eine zweite Zuordnung, die jedem Wert der Zufallsgröße eine Wahrscheinlichkeit zwischen Null und Eins zuordnet. Am besten schauen wir uns dazu noch ein kleines Beispiel an. Wir werfen eine Münze dreimal. Jedes mal, wenn Kopf fällt, gewinnen wir einen Euro. Bei Zahl verlieren wir einen Euro. Zu diesem Zufallsexperiment sollen wir jetzt eine Zufallsgröße UND die passende Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen. Die Größe, die uns bei diesem Zufallsexperiment im Endeffekt interessiert, ist natürlich die Höhe unseres Gewinns beziehungsweise Verlustes in Euro. Wenn du magst, kannst du das Video an dieser Stelle kurz pausieren und es selbst versuchen! Zuerst ordnen wir also den verschiedenen möglichen Ergebnissen jeweils den resultierenden Wert in Euro zu. Wenn wir dreimal Kopf werfen, gewinnen wir drei Euro, bei zweimal Kopf gewinnen wir in Summe noch einen Euro, da wir auch einen Euro verlieren, werfen wir nur einmal Kopf, verlieren wir einen Euro und im Worstcase werfen wir dreimal Zahl und verlieren drei Euro. Fertig ist unsere Zufallsgröße! Sie ordnet jedem möglichen Ergebnis eine reelle Zahl zu, die in diesem Fall eben den Gewinn beziehungsweise Verlust in Euro ausdrückt. Fehlt nur noch die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Achtung, auch wenn die Wahrscheinlichkeiten für Kopf und Zahl natürlich jeweils bei fünfzig Prozent liegen, sind hier nicht alle vier Ausgänge gleich wahrscheinlich! Wie wir erkennen können, gibt es jeweils NUR EIN Ergebnis, das zum Gewinn oder Verlust von drei Euro führt aber jeweils DREI Ergebnisse, die zum Gewinn beziehungsweise Verlust von einem Euro führen. Die Wahrscheinlichkeiten betragen bei insgesamt acht möglichen Ergebnissen also entweder ein Achtel oder drei Achtel. In Summe ergeben die Wahrscheinlichkeiten dann acht Achtel also eins. So, wie es sich für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gehört! Wir fassen nochmal alles Wissenswerte zu "Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen" zusammen! Eine Zufallsgröße Groß-X ordnet allen möglichen Ergebnissen eines Zufallsexperiments reelle Zahlen zu. Diese Zahlen spiegeln einen gewissen Wert wider, der für uns im Zusammenhang mit dem Zufallsexperiment relevant ist. Oft werden so auch mehrere mögliche Ergebnisse dem gleichen Wert zugeordnet. Dann fehlen uns nur noch die Wahrscheinlichkeiten. Wie es mit denen aussieht, verrät uns die passende Wahrscheinlichkeitsverteilung P. Mit ihr ordnen wir jedem möglichen Wert der Zufallsgröße die entsprechende Wahrscheinlichkeit zu, mit der dieser Wert auftritt. Und das ist dann auch schon "der ganze Zauber" hinter diesen Fachbegriffen! Eigentlich kein Hexenwerk oder?

Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was man unter einer Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung versteht.

    Tipps

    Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung teilt $100\,\%$ auf alle möglichen Werte einer Zufallsgröße auf.

    Beispiel: Beim zweifachen Würfelwurf wird häufig die Augensumme betrachtet. Uns interessieren in diesem Fall also nicht alle $36$ einzelnen Ergebnisse, sondern nur die Summe der beiden Augenzahlen. Diese kann Werte zwischen $2$ und $12$ annehmen.
    Die Zufallsgröße $X$ würde in diesem Fall also jedem möglichen Ergebnis die entsprechende Augensumme zuordnen.

    Lösung

    Zufallsgröße:
    Wenn wir ein beliebiges Zufallsexperiment haben, betrachten wir zunächst alle möglichen Ergebnisse. Häufig interessieren wir uns jedoch nicht wirklich für jedes einzelne Ergebnis, sondern für eine bestimmte Größe, die vom Ausgang des Experimentes abhängt.
    Die Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eine reelle Zahl $x$ zu.

    Beispiel: Beim zweifachen Würfelwurf wird häufig die Augensumme betrachtet. Uns interessieren in diesem Fall also nicht alle $36$ einzelnen Ergebnisse, sondern nur die Summe der beiden Augenzahlen. Diese kann Werte zwischen $2$ und $12$ annehmen.
    Wenn wir die Augensumme betrachten, macht es beispielsweise keinen Unterschied, ob wir eine Drei und eine Eins, zwei Zweien oder eine Eins und eine Drei gewürfelt haben. Allen drei Ergebnissen wird der Wert $4$ zugeordnet.

    Wahrscheinlichkeitsverteilung:
    Wir betrachten nun die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Werte, die die Zufallsgröße $X$ annehmen kann.

    Beispiel: Beim Werfen von zwei Würfeln sind alle $36$ Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Daher müssen wir zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten jeweils nur die Anzahl der Ergebnisse, die zu einem gewissen Wert führen, durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse, also $36$, teilen. Der Augensumme Vier kann somit die Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{36}$ zugeordnet werden.

    Eine Zuordnung, die jedem Wert $x$, den eine Zufallsgröße $X$ annehmen kann, die entsprechende Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(X)$. Diese ist also eine zweite Zuordnung, die jedem Wert der Zufallsgröße eine Wahrscheinlichkeit zwischen $0$ und $1$ zuordnet. Alle Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ergeben in Summe immer $\color{#99CC00}{\mathbb{1}}$ beziehungsweise $\color{#99CC00}{\mathbb{100\,\%}}$.
    Andersherum ausgedrückt: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung teilt $100\,\%$ auf alle möglichen Werte einer Zufallsgröße auf.

  • Gib die gesuchten Größen von Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung an.

    Tipps

    Ein mögliches Ergebnis beim zweifachen Würfelwurf wäre beispielsweise $(3; 4)$. Der Wert der Zufallsgröße wäre die Augensumme, hier $3+4=7$.

    Hier siehst du einen Ausschnitt für die Zuordnung der Ergebnisse zu den Werten der Zufallsgröße.

    Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten müssen wir jeweils nur die Anzahl der Ergebnisse, die zu einem gewissen Wert führen, durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse, also $36$, teilen.

    Lösung

    Unser Zufallsexperiment ist der zweifache Würfelwurf. Wir betrachten zunächst alle möglichen Ergebnisse. Diese bilden den Ergebnisraum. Ein mögliches Ergebnis wäre beispielsweise $(3; 4)$. Ein anderes Ergebnis ist $(4; 3)$. Insgesamt gibt es $6 \cdot 6 =36$ mögliche Ergebnisse.

    $\mapsto$ Die Anzahl der Elemente im Ergebnisraum beträgt $36$.

    In unserem Fall interessieren wir uns für die Augensumme. Dies ist eine Größe, die vom Ausgang des Experimentes abhängt. Wir nennen sie die Zufallsgröße $X$, sie ordnet jedem Ergebnis eine reelle Zahl $x$ zu. Uns interessieren in diesem Fall also nicht alle $36$ einzelnen Ergebnisse, sondern nur die Summe der beiden Augenzahlen. Die Augensumme kann Werte zwischen $2$ und $12$ annehmen. Wenn wir die Augensumme betrachten, macht es beispielsweise keinen Unterschied, ob wir eine Drei und eine Eins, zwei Zweien oder eine Eins und eine Drei gewürfelt haben. Allen drei Ergebnissen wird der Wert $4$ zugeordnet.

    $\mapsto$ Die Werte der Zufallsvariable $X$ liegen zwischen $2$ und $12$.

    Wir betrachten nun die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Werte, die die Zufallsgröße $X$ annehmen kann. Die Zuordnung, die jedem Wert $x$, den die Zufallsgröße $X$ annehmen kann, die entsprechende Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(X)$.
    Beim Werfen von zwei Würfeln sind alle $36$ Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ergebnis beträgt also $\frac{1}{36}$.
    Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten müssen wir jeweils nur die Anzahl der Ergebnisse, die zu einem gewissen Wert führen, durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse, also $36$, teilen.

    $\mapsto$ Die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis ist gleich $\dfrac{1}{36}$.

    Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten $P(X=5)$ müssen wir überlegen, welche Ergebnisse zur Augensumme $5$ führen. Dies sind die Ergebnisse $(1; 4)$, $(4; 1)$, $(2; 3)$ und $(3; 2)$. Die Anzahl der Ergebnisse, also $4$, müssen wir nun durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse, also $36$, teilen:
    $\mapsto$ Es gilt: $P(X=5) = \dfrac{4}{36}$.

  • Vervollständige die Tabelle zur Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Glücksrad.

    Tipps

    Die beiden Glücksräder haben jeweils drei gleich große gelbe und drei gleich große rote Felder. Für jedes einzelne Glücksrad gilt daher:
    $P(\text{gelb}) = 0{,}5$
    $P(\text{rot}) = 0{,}5$

    Dem Ergebnis, ein Glücksrad zeigt rot, eines gelb, ordnet die Zufallsgröße $X$ den Wert $-1$ Euro zu.

    Lösung

    Wir betrachten zunächst die beiden Glücksräder einzeln: Sie haben jeweils drei gleich große gelbe und drei gleich große rote Felder. Für jedes einzelne Glücksrad gilt daher:
    $P(\text{gelb}) = 0{,}5$
    $P(\text{rot}) = 0{,}5$

    Werden die beiden Glücksräder gleichzeitig gedreht, so können folgende Ergebnisse auftreten:

    • gelb, gelb $~\mapsto ~gg$
    • gelb, rot $~\mapsto ~gr$
    • rot, gelb $~\mapsto ~rg$
    • rot, rot $~\mapsto ~rr$
    Eine Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl $x$ zu.

    In unserem Beispiel gibt die Zufallsgröße $X$ den jeweiligen Gewinn bzw. Verlust an:

    $\begin{array}{c|c} \text{mögliche Ergebnisse} & \text{Zufallsgröße $X$: Wert in €} \\ \hline gg & \color{#99CC00}{+3} \\ \hline gr; rg & \color{#99CC00}{-1} \\ \hline rr & \color{#99CC00}{-3} \\ \end{array}$


    Wir betrachten nun die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Werte, die die Zufallsgröße $X$ annehmen kann. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(X)$ ist dabei eine zweite Zuordnung, die jedem Wert der Zufallsgröße eine Wahrscheinlichkeit zwischen $0$ und $1$ zuordnet.

    Bei den Glücksrädern sind alle vier möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich, nämlich $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$. Wir können somit die Tabelle wie folgt ausfüllen:

    $\begin{array}{c|c|c} \text{mögliche Ergebnisse} & \text{Zufallsgröße $X$: Wert in €}& \text{Wahrscheinlichkeit } P(X=x) \\ \hline gg & +3{,}00 & \color{#99CC00}{0{,}25} \\ \hline gr; rg & -1{,}00 & 0{,}25 + 0{,}25 = \color{#99CC00}{0{,}5} \\ \hline rr & -3{,}00 & \color{#99CC00}{0{,}25} \\ \end{array}$

    Wir können unser Ergebnis überprüfen, indem wir die Wahrscheinlichkeiten addieren.
    Alle Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung müssen in Summe immer $1$ ergeben:
    $0{,}25 + 0{,}5 + 0{,}25 =1$

  • Überprüfe die Aussagen zur Wahrscheinlichkeitsverteilung.

    Tipps

    Der Ergebnisraum beinhaltet alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes.

    Beispiel für ein Ergebnis:
    richtig – richtig – falsch – richtig – richtig.

    Die Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eine reelle Zahl $x$ zu. In unserem Fall gibt sie die Anzahl der richtigen Aufgaben an.

    Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung teilt $100\,\%$ auf alle möglichen Werte einer Zufallsgröße auf.

    Es gibt genau zwei richtige Aussagen.

    Lösung

    Wir unterscheiden zwischen den Begriffen Ergebnisraum, Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung:

    Der Ergebnisraum:
    Der Ergebnisraum beinhaltet alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes. In unserem Fall handelt es sich um einen Multiple-Choice-Test bestehend aus $5$ Aufgaben. Jede Aufgabe kann wiederum richtig oder falsch sein. Es gibt daher $2^5=32$ mögliche Ergebnisse. Zum Beispiel wäre ein Ergebnis richtig – richtig – falsch – richtig – richtig.

    Die Aussage "Der Ergebnisraum $\Omega$ beinhaltet $32$ Elemente." ist somit richtig.

    Die Zufallsgröße:
    Die Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eine reelle Zahl $x$ zu. In unserem Fall gibt sie die Anzahl der richtigen Aufgaben an. Da der Test aus fünf Aufgaben besteht, kann die Zufallsvariable $X$ die Werte $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ und $5$ annehmen.

    Die Aussage "Die Zufallsvariable $X$ nimmt Werte zwischen $1$ und $3$ an." ist somit falsch, da es Werte zwischen $0$ und $5$ sind.

    Die Wahrscheinlichkeitsverteilung:
    Eine Zuordnung, die jedem Wert $x$, den eine Zufallsgröße $X$ annehmen kann, die entsprechende Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(X)$. Alle Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ergeben in Summe immer $1$ beziehungsweise $100\,\%$. Andersherum ausgedrückt: Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung teilt $100\,\%$ auf alle möglichen Werte einer Zufallsgröße auf.

    Die Aussage "Die Wahrscheinlichkeitsverteilung $P(X)$ verteilt die $100\,\%$ auf sechs verschiedene Werte." ist dabei richtig, da die Zufallsvariable sechs verschiedene Werte annehmen kann (s.o.).

    Wir betrachten nun noch die Wahrscheinlichkeit $P(X=0)$. Dies betrachtet den Fall, dass es keine der Aufgabe richtig beantwortet wird. Da für jede einzelne Frage die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort $\frac{2}{3}$ beträgt, gilt:
    $P(X=0)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^5=\dfrac{32}{243} \approx 0{,}132$

    Die Aussage "Es gilt: $P(X=0)=0$" ist somit falsch.

  • Gib die Werte der Zufallsgröße an.

    Tipps

    Die Zufallsgröße $X$ ordnet nun jedem Ergebnis eine reelle Zahl $x$ zu. In unserem Beispiel wird jedem Ergebnis ein Wert in Euro zugeordnet.

    Wir betrachten als Beispiel das Ergebnis $KZK$:

    Wir gewinnen zunächst einen Euro, verlieren ihn wieder und gewinnen noch einmal einen Euro.

    Lösung

    Wir betrachten den dreifachen Münzwurf:
    Bei jedem Wurf unterscheiden wir zwischen Kopf ($K$) und Zahl ($Z$). Insgesamt gibt es somit acht mögliche Ergebnisse:
    $KKK \quad KKZ \quad KZK \quad ZKK \quad ZZK \quad ZKZ \quad KZZ \quad ZZZ$

    Die Zufallsgröße $X$ ordnet nun jedem Ergebnis eine reelle Zahl $x$ zu. In unserem Beispiel wird jedem Ergebnis ein Wert in Euro zugeordnet. Wir betrachten den Wert der Zufallsgröße für jedes Ergebnis einzeln:

    • $\color{#99FF32}{\mathbf{KKK}}~$ – $~$Wir gewinnen dreimal einen Euro.
    $\quad\rightarrow$ $1+1+1= \color{#99FF32}{\mathbf{+3}}$
    • $\color{#F3DB00}{\mathbf{KKZ}}~$ – $~$Wir gewinnen zweimal einen Euro und verlieren einen Euro.
    $\quad\rightarrow$ $1+1-1= \color{#F3DB00}{\mathbf{+1}}$
    • $\color{#F3DB00}{\mathbf{KZK}}~$ – $~$Wir gewinnen zunächst einen Euro, verlieren ihn wieder und gewinnen noch einmal einen Euro.
    $\quad\rightarrow$ $1-1+1= \color{#F3DB00}{\mathbf{+1}}$
    • $\color{#F3DB00}{\mathbf{ZKK}}~$ – $~$Wir verlieren einen Euro und gewinnen zweimal einen Euro.
    $\quad\rightarrow$ $-1+1+1= \color{#F3DB00}{\mathbf{+1}}$
    • $\color{#66D8FF}{\mathbf{ZZK}}~$ – $~$Wir verlieren zweimal einen Euro und gewinnen einen Euro.
    $\quad\rightarrow$ $-1-1+1= \color{#66D8FF}{\mathbf{-1}}$
    • $\color{#66D8FF}{\mathbf{ZKZ}}~$ – $~$Wir verlieren einen Euro, gewinnen dann einen Euro und verlieren wieder einen Euro.
    $\quad\rightarrow$ $-1+1-1= \color{#66D8FF}{\mathbf{-1}}$
    • $\color{#66D8FF}{\mathbf{KZZ}}~$ – $~$Wir gewinnen einen Euro und verlieren zweimal einen Euro.
    $\quad\rightarrow$ $1-1-1= \color{#66D8FF}{\mathbf{-1}}$
    • $\color{#FF66FF}{\mathbf{ZZZ}}~$ – $~$Wir verlieren dreimal einen Euro.
    $\quad\rightarrow$ $-1-1-1= \color{#FF66FF}{\mathbf{-3}}$
  • Formuliere ein Experiment und eine Zufallsgröße, die zu der gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung passen.

    Tipps

    Du kannst zunächst überprüfen, ob die gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig ist. Alle Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ergeben in Summe nämlich immer $1$.

    Du kannst ermitteln, welche Farbe gezählt wird, indem du jeweils ${P(X=5)}$ mit und ohne Zurücklegen berechnest und mit dem gegebenen Wert vergleichst.

    Lösung

    Wir können zunächst überprüfen, ob die gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig ist. Alle Einzelwahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ergeben in Summe immer $1$. Wir addieren also:
    $\dfrac{32}{243} + \dfrac{70}{81} + \dfrac{1}{243} =1$
    Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist somit vollständig angegeben.
    Wir können daraus schlussfolgern, dass die Zufallsvariable $X$ Werte zwischen $0$ und $5$ annehmen kann. Es können also zwischen $0$ und $5$ Kugeln der entsprechenden Farbe gezogen werden.
    $\mapsto \quad$ Wir wissen also, dass $\color{#99CC00}{\mathbb{5}}$ Kugeln gezogen werden.

    $\,$

    Wir untersuchen nun, welche Farbe bei der Zufallsgröße gezählt wird und ob mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird:

    Angenommen, es wird die Anzahl der grünen Kugeln gezählt. In diesem Fall müsste mit Zurücklegen gezogen werden, da die Zufallsvariable sonst nicht den Wert $5$ annehmen könnte. Wir können leicht überprüfen, ob die gegebene Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ für diese Annahme stimmt:
    Wir wissen, dass insgesamt $4+3+5=12$ Kugeln in der Urne sind, von denen $3$ Kugeln grün sind. Dies bleibt bei jedem Zug unverändert, da mit Zurücklegen gezogen wird. Somit gilt:

    $P(X=5)= \dfrac{3}{12} \cdot \dfrac{3}{12} \cdot \dfrac{3}{12} \cdot\dfrac{3}{12} \cdot\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{1\, 024}$
    Der Wert stimmt nicht mit der Angabe aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung überein, es handelt sich also nicht um die grünen Kugeln.

    Angenommen, es wird die Anzahl der blauen Kugeln gezählt. Gehen wir davon aus, dass mit Zurücklegen gezogen wird, so ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ bei $5$ von $12$ blauen Kugeln:
    $P(X=5)= \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{5}{12} \cdot\dfrac{5}{12} \cdot\dfrac{5}{12} = \dfrac{3\, 125}{248\, 832}$
    Der Wert stimmt nicht mit der Angabe aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung überein, es handelt sich also nicht um die blauen Kugeln mit Zurücklegen.
    Gehen wir nun davon aus, dass die Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden und die Anzahl der blauen Kugeln gezählt wird. Dann gilt:
    $P(X=5)= \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{4}{11} \cdot \dfrac{3}{10} \cdot\dfrac{2}{9} \cdot\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{792}$
    Auch dieser Wert stimmt nicht mit der Angabe aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung überein, es handelt sich also auch nicht um die blauen Kugeln ohne Zurücklegen.

    Angenommen, es wird die Anzahl der roten Kugeln gezählt. Auch in diesem Fall müsste mit Zurücklegen gezogen werden, da die Zufallsvariable sonst nicht den Wert $5$ annehmen könnte. Für die Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ gilt bei $4$ von $12$ roten Kugeln:
    $P(X=5)= \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12} \cdot\dfrac{4}{12} \cdot\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{243}$
    Der Wert stimmt mit der Angabe aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung überein.
    $\mapsto \quad$ Es handelt sich also um die roten Kugeln. Es wird mit Zurücklegen gezogen.