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Zufallsvariable

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Zufallsgrößen und deren Wahrscheinlichkeiten oder auch Wahrscheinlichkeitsverteilungen betrachtet.

Was ist eine Zufallsvariable?

Eine Zufallsvariable oder auch Zufallsgröße ist eine Zuordnung, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsversuches eine Zahl zuordnet. Die Werte, welche die Zufallsgröße annehmen kann, werden Realisierungen dieser Zufallsgröße genannt.

  • Dies kann das Ergebnis selbst sein, wie zum Beispiel die Augenzahl $1$ bis $6$ beim Würfelwurf.
  • Beim Werfen einer Münze kann dem Ergebnis „Kopf“ die Zahl $1$ und dem Ergebnis „Zahl“ die Zahl $0$ zugeordnet werden.

Eine Zufallsvariable wird mit einem Großbuchstaben $X$ oder $Y$ oder $Z$ bezeichnet. Du unterscheidest zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen.

Diskrete Zufallsgrößen

Betrachte das Zufallsexperiment Werfen eines Würfels.Die Zufallsgröße kann die Werte $1; 2; 3; 4; 5; 6$ annehmen. Dies sind $6$, also endlich viele, Werte.

Diskrete Zufallsgrößen können nur eine endliche oder abzählbar unendliche Menge an Werten annehmen.

Was bedeutet eigentlich „abzählbar unendlich viele“? Wenn du die Sterne am Himmel betrachtest, kannst du diese zählen. Da du jedoch nicht zu einem Ende kommst, spricht der Mathematiker hier von abzählbar unendlich vielen Menschen.

Stetige Zufallsgrößen

Du stehst morgens an der Bushaltestelle und beobachtest die Zeit, zu welcher der Bus ankommt. Diese Zeit wird in einem gewissen Intervall liegen. Hier kann die Zufallsgröße überabzählbar unendlich viele Werte annehmen, da du das Intervall beliebig klein aufteilen.

Stetige Zufallsgrößen können im Gegensatz zu diskreten Zufallsgrößen innerhalb eines beliebigen Intervalls überabzählbar unendlich viele Werte annehmen.

Zusammenhang Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ( kurz Verteilung) gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Werte einer Zufallsvariablen verteilen.

Diese Definition kannst du dir an dem Beispiel des Werfens eines Würfels klarmachen:

  • Die Zufallsgröße kann die Werte $1; 2; 3; 4; 5$ und $6$ annehmen. Dies ist gerade die oben liegende Augenzahl.
  • Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer bestimmten Augenzahl ist immer gleich. Diese beträgt $\frac16$.
  • Damit ist $P(X=1)=...=P(X=6)=\frac16$.

Übrigens: Zufallsexperimente, in denen jedes Ergebnis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintritt, werden Laplace-Experimente genannt. Die resultierende Verteilung ist die Gleichverteilung.

Beispiel Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable: Binomialverteilung

Abschließend siehst du ein Beispiel zur Binomialverteilung. Dies ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable.

Du wirfst eine Münze $10$-mal. Die Ergebnisse dieses Zufallsexperimentes sind $10$-Tupel, in denen „$K$“ für „Kopf“ und „$Z$“ für „Zahl“ vorkommen. Die Zufallsgröße $X$ ordne jedem dieser Ergebnisse die Anzahl zu, wie oft „$K$“ vorkommt. Diese Zufallsgröße ist binomialverteilt.

Zum Beispiel könnte das Ergebnis lauten $(K|K|K|K|Z|K|Z|K|Z|Z)$. Du siehst, in diesem Ergebnis kommt $6$-mal „$K$“ vor. Es ist also $X=6$. Es gibt mehrere solcher $10$-Tupel, in denen $6$-mal „$K$“ vorkommt. Wie viele dies sind kannst du mithilfe der Kombinatorik bestimmen. Zur Berechnung wird der Binomialkoeffizient verwendet:

$\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}$

Insbesondere kannst du nun die Wahrscheinlichkeit der Zufallsvariable $X$ bestimmen, welche den Wert $6$ annimmt. Dies schreibst du so: $P(X=6)$

Hierfür verwendest du die Formel nach Bernoulli:

$P(X=k)=B_{n;p}(k)=\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

Darin kommen die folgenden Größen vor:

  • $n$ ist die Länge der Bernoullikette, also die Anzahl der Durchführungen des Zufallsexperimentes. Hier ist $n=10$.
  • $k$ ist die Anzahl der Treffer oder auch Erfolge, also hier $k=6$ für $6$-mal „$K$“.
  • $p$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit oder auch Erfolgswahrscheinlichkeit. Diese ist in dem betrachteten Beispiel mit dem Münzwurf $p=0,5$.
  • Die Gegenwahrscheinlichkeit der Erfolgswahrscheinlichkeit ist $1-p$, die Misserfolgswahrscheinlichkeit. Diese ist hier ebenfalls $0,5$.

Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit berechnen:

$P(X=6)=B_{10;0,5}(6)=\begin{pmatrix} 10\\ 6 \end{pmatrix}\cdot 0,5^6\cdot 0,5^{10-6}=\frac{105}{512}\approx0,2051$

Ebenso kannst du Wahrscheinlichkeiten $P(X=k)$ für $k=0;~1;~2;...;~10$ berechnen.