Erwartungswert

Der Erwartungswert in Mathe

Du hast bestimmt schon einmal vom Erwartungswert eines Zufallsversuchs gehört – aber, was ist das eigentlich?

Einfach gesagt gibt der Erwartungswert an, welches Ergebnis man im Mittel bei einem Zufallsexperiment erhält. Im Mittel bedeutet, dass man bei einzelnen Durchführungen durchaus unterschiedliche Ergebnisse erzielt. Aber nach einer ausreichend großen Anzahl von Durchführungen wird sich der Mittelwert immer dem Erwartungswert annähern.

Beispiel – Glücksrad:

Ein Glücksrad hat drei Felder, die jeweils ein Drittel der Fläche ausmachen. Um drehen zu dürfen, müssen wir $2~€$ bezahlen. Landet der Zeiger auf dem ersten Feld, bekommen wir $3~€$ zurück, machen also $1~€$ Gewinn, auf dem zweiten sind es $2~€$, wir machen also weder Gewinn noch Verlust und beim letzten bekommen wir gar nichts, verlieren also die ganzen $2~€$. Mit dem Erwartungswert können wir berechnen, ob wir nach mehreren Versuchen im Mittel Gewinn oder Verlust machen. Dazu multiplizieren wir jedes Ergebnis mit seiner Eintrittswahrscheinlichkeit, und addieren die Produkte. Bei unserem Glücksrad hat jedes Ergebnis eine Eintrittswahrscheinlichkeit von einem Drittel, also:

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 2 = - \frac{1}{3} \approx - 0,33$

Wir müssen also erwarten, dass wir nach vielen Versuchen im Mittel pro Spiel $33~\text{Cent}$ verlieren – das ist gerade der Erwartungswert dieses Glücksspiels.

Erwartungswert – Definition

Der Erwartungswert kann im Allgemeinen mit der folgenden Formel berechnet werden:

$E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + x_2 \cdot P(X=x_2) + ... + x_m \cdot P(X=x_m)$

In dieser Gleichung steht $E(X)$ für den Erwartungswert der Zufallsvariablen $X$. Die Variablen $x_i$ sind die möglichen Ergebnisse, also $x_1, x_2, x_3$ und so weiter. Beim Glücksrad waren das die möglichen Gewinne. $P(X=x_i)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit für das jeweilige Ergebnis $x_i$. Beim Glücksrad war $P$ also für jedes Ergebnis gleich und zwar $\frac{1}{3}$. Mit dieser Formel können wir für jedes Zufallsexperiment mit unabhängigen Wahrscheinlichkeiten den Erwartungswert berechnen.

Ausblick

Wichtige Erwartungswerte

Einige Verteilungen haben spezielle Erwartungswerte, die direkt ablesbar sind.

1.) Der Erwartungswert der Bernoulli-Verteilung

Als Bernoulli-Experiment bezeichnet man Zufallsversuche, die genau zwei mögliche Ergebnisse haben: Erfolg und Misserfolg. Dabei gilt:

$P(\text{Erfolg}) = p$

$P(\text{Misserfolg}) = 1-p$

Hier kann der Erwartungswert direkt abgelesen werden. Für Erfolg ist er genau $p$. Bei einem Münzwurf ist der Erwartungswert für Zahl beispielsweise genau $\frac{1}{2}$.

2.) Der Erwartungswert der Binomialverteilung

Mit der Binomialverteilung beschreibt man Bernoulli-Experimente, die $n$-mal durchgeführt werden. Man spricht auch von Bernoulli-Ketten. Für die Wahrscheinlichkeit von $k$ Treffern bei $n$ Versuchen gilt:

$B_{n,p}(k) = \binom{n}{k}\cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} ~ ~ ~ \text{mit: } p \in [0,1] ; k \in [0,1,2,...,n] $

Der Erwartungswert kann hier wie folgt berechnet werden:

$E(X) = n \cdot p$