Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Streuung, arithmetisches Mittel und mittlere Abweichung

Hast du schon von Streuung, arithmetischem Mittel und mittlerer Abweichung gehört. Arithmetisches Mittel ist ein **Durchschnittswert, mittlere Abweichung ist ein Streuungsparameter und zeigt die Verteilung der Likes um den Mittelwert auf. Je höher die mittlere Abweichung, desto mehr streuen die Likes um den Mittelwert. Heute erklären wir genau, wie dies funktioniert.

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 3.7 / 48 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Streuung, arithmetisches Mittel und mittlere Abweichung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Streuung, arithmetisches Mittel und mittlere Abweichung

Arithmetisches Mittel, mittlere Abweichung und Streuung – Einleitung

Robin, Soraya und Nuru spielen zusammen Handball und wollen ihre Trefferzahlen vergleichen. Um ihre Tore in den letzten Spielen sinnvoll vergleichen zu können, müssen sie sich mit den statistischen Begriffen Streuung, arithmetisches Mittel und mittlere Abweichung auskennen.
Aber was versteht man in Mathe unter Streuung, arithmetischem Mittel und mittlerer Abweichung? Und wie hängen sie miteinander zusammen? Um das zu klären, schauen wir uns diese Begriffe anhand der Tore von Robin, Soraya und Nuru in den letzten Spielen einmal genauer an.

Arithmetisches Mittel – Definition

Um Daten besser vergleichen zu können, berechnen wir das arithmetische Mittel, häufig auch Mittelwert oder Durchschnitt genannt.

Das arithmetische Mittel ist ein statistischer Lageparameter und fasst Werte aus einer Datenreihe zu einem Durchschnittswert zusammen.
Das Symbol für das arithmetische Mittel ist $\bar{x}$, ausgesprochen als „$x$ quer”.

Schauen wir uns gemeinsam die Statistik der letzten fünf Handballspiele von Robin, Soraya und Nuru an. Die Tore der letzten Spiele sind in der folgenden Tabelle dargestellt.

Name Tore
Robin $14 \quad ~~ 7 \quad ~~ 7 \quad ~~ 1 \quad 10$
Soraya $~~ 9 \quad 11 \quad 10 \quad 12 \quad ~~ 9$
Nuru $10 \quad 10 \quad 10 \quad 10 \quad ~~ 2$

Arithmetisches Mittel berechnen

Um das arithmetische Mittel zu berechnen, addieren wir alle Werte und dividieren dann das Ergebnis durch die Anzahl der Werte.

$\text{arithmetisches Mittel} = \dfrac{\text{Summe der Werte}}{\text{Anzahl der Werte}}$

Die Anzahl der Werte wird mit einem $n$ abgekürzt. Jeder Wert wird durch ein $x$ dargestellt. Die einzelnen Werte werden von $1$ bis $n$ nummeriert. Mathematisch wird das folgendermaßen geschrieben:

$\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + … + x_n}{n}$

Bei Robin berechnen wir das arithmetische Mittel mit:

$\bar{x} = \dfrac{14 + 7 + 7 + 1 + 10}{5} = 7{,}8$

Robin hat also $7{,}8$ Tore pro Spiel geworfen.
Schauen wir uns nun Sorayas Tore an. Das arithmetische Mittel der Tore pro Spiel berechnen wir in diesem Fall wie folgt:

$\bar{x} = \dfrac{9 + 11 + 10 + 12 + 9}{5} = 10{,}2$

Im Durchschnitt hat Soraya also mehr Tore pro Spiel erzielt als Robin.

Kannst du berechnen, wie oft Nuru im Vergleich dazu im Mittel trifft?

Gewichtetes arithmetisches Mittel

Das gewichtete arithmetische Mittel (auch gewogenes arithmetisches Mittel) erlaubt eine unterschiedliche Gewichtung einzelner Werte. Beispielsweise kann eine Gewichtung anhand der absoluten Häufigkeit ($H(x_i)$) oder der relativen Häufigkeit ($h(x_i)$) erfolgen:

  • $\bar{x} = \dfrac{H(x_1) \cdot x_1 + H(x_2) \cdot x_2 + … + H(x_n) \cdot x_n}{H(x_1) + H(x_2) + … + H(x_n)}$

  • $\bar{x} = h(x_1) \cdot x_1 + h(x_2) \cdot x_2 + … + h(x_n) \cdot x_n$

Hinweis: Bei der Gewichtung mit relativen Häufigkeiten muss nicht mehr durch die Gesamtzahl geteilt werden, da gilt:

$\quad \dfrac{H(x_i)}{H(x_1) + H(x_2) + … + H(x_n)} = h(x_i)$

Beispiel:

Anstatt das arithmetische Mittel der Trefferzahlen für Nuru zu berechnen, indem wir die Treffer von jedem Spiel addieren und anschließend durch die Anzahl an spielen teilen, können wir auch alle Spiele zusammenfassen, in denen Nuru die gleiche Trefferzahl erzielt hat. Die Trefferanzahl $10$ tritt mit einer absoluten Häufigkeit von $4$ auf, die $2$ nur einmal. Auch wenn wir unsere Rechnung mit den absoluten Häufigkeiten aufstellen, bleibt das Ergebnis das gleiche:

$\bar{x} = \dfrac{4 \cdot 10 + 1 \cdot 2}{4+1} =8,4$

Ebenso funktioniert es mit den relativen Häufigkeiten:

$\bar{x} =0,8 \cdot 10 + 0,2 \cdot 2 =8,4$

Mittlere Abweichung und Streuung

Wir können jedoch noch mehr über die Statistik der Handballtore sagen. Dafür schauen wir uns die mittlere Abweichung als Streuungsparameter an.

Streuung – Definition

Die Streuung beschreibt, wie sich die Werte verteilen. Befinden sich alle Werte nahe beieinander, dann ist eine kleine Streuung vorhanden. Eine große Streuung bedeutet hingegen, dass die Werte stark schwanken, also weit verstreut liegen.

Mittlere Abweichung – Definition

Die mittlere Abweichung ist ein Streuungsparameter und zeigt die Verteilung der Werte um das arithmetische Mittel an. Als Symbol für die mittlere Abweichung wird häufig ein $D$ oder $d$ verwendet. Die mittlere Abweichung steht in engem Zusammenhang mit der Streuung.

Eine große mittlere Abweichung bedeutet auch immer eine große Streuung, während eine kleine mittlere Abweichung eine kleine Streuung bedeutet. Es gilt:

Je höher die mittlere Abweichung, desto mehr streuen die Werte.

Beispiel mittlere Abweichung als Streuungsparameter

Mittlere Abweichung – Formel

Die mittlere Abweichung wird berechnet, indem die Abweichungen der Werte vom arithmetischen Mittel addiert werden. Das Ergebnis wird dann durch die Anzahl der Werte dividiert.

$\text{mittlere Abweichung} = \dfrac{\text{Summe der Abweichungen}}{\text{Anzahl der Werte}}$

Dafür notieren wir uns die Daten und ziehen von jedem Datenwert das arithmetische Mittel ab. Damit wir positive Beträge der Abstände erhalten, setzen wir Betragsstriche. Danach addieren wir die Abweichungen miteinander und teilen sie durch die Anzahl der Werte. Mathematisch aufgeschrieben sieht das so aus:

$d = \dfrac{|x_1-\bar{x}| + |x_2-\bar{x}| + |x_3-\bar{x}| + |x_4-\bar{x}| + … + |x_n-\bar{x}|}{n}$

Berechnen wir nun die mittlere Abweichung für den Mittelwert der Tore, die Robin geworfen hat.

$\begin{array}{lrcl} & \bar{x} &=& 7{,}8 \\ \\ & d &=& \dfrac{|14-7{,}8| + |7-7{,}8| + |7-7{,}8| + |1-7{,}8| +|10-7{,}8|}{5} \\ \\ \Leftrightarrow & d &=& \dfrac{6{,}2 + 0{,}8 + 0{,}8 + 6{,}8 + 2{,}2}{5} \\ \\ \Leftrightarrow & d &=& 3{,}36 \end{array}$

Die Tore je Spiel schwanken bei Robin also durchschnittlich um ca. $3$ Tore um den Mittelwert. Das ist bei einem Mittelwert von $7{,}8$ relativ viel. Würde Robin in jedem Spiel gleich viele Tore erzielen, dann wäre die mittlere Abweichung gleich null.

Berechne die mittlere Abweichung der Treffer bei Soraya. Bei ihr ist das arithmetische Mittel der Treffer $10{,}2$.

Die Streuung bei Sorayas Werten ist sehr klein. Im Vergleich zu Robin erzielt Soraya immer eine ähnliche Anzahl an Treffern pro Spiel. Die Trefferzahlen von Robin schwanken also stärker.

Die mittlere Abweichung bei den Toren von Nuru beträgt $2{,}56$ bei einem Mittelwert von $8{,}4$. Obwohl Nuru in den meisten Spielen gleich viele Tore geworfen hat, ist die mittlere Abweichung dennoch hoch. Liegen die meisten Datenwerte nah beieinander und ist die mittlere Abweichung dennoch relativ hoch, so gibt es Ausreißer unter den Datenpunkten. Ein Ausreißer ist ein Wert, der sich stark von den anderen Werten unterscheidet. Hier ist es die Zahl zwei.

Arithmetisches Mittel, mittlere Abweichung und Streuung – Zusammenfassung

Zusammenfassung arithmetisches Mittel und mittlere Abweichung

Arithmetisches Mittel

  • Ist ein statistischer Lageparameter.
  • Fasst Werte einer Datenreihe zu einem Durchschnittswert zusammen.
  • Wird oft mit $\bar x$ abgekürzt.
    $~$
    $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + … + x_n}{n}$

Mittlere Abweichung

  • Ist ein Streuungsparameter.
  • Zeigt die Verteilung der Werte um das arithmetische Mittel an.
  • Wird oft mit $d$ abgekürzt.
    $~$
    $d = \dfrac{|x_1-\bar{x}| + |x_2-\bar{x}| + |x_3-\bar{x}| + |x_4-\bar{x}| + … + |x_n-\bar{x}|}{n}$

  • Je höher die mittlere Abweichung, desto mehr streuen die Werte um den Mittelwert.

Häufig gestellte Fragen zum Thema arithmetisches Mittel, mittlere Abweichung und Streuung

Was ist das Arithmetische Mittel?
Wie berechne ich das arithmetische Mittel?
Wo wird das arithmetische Mittel in der Mathematik verwendet?
Gibt es einen Unterschied zwischen dem arithmetischen Mittel und dem Median?
Was ist die mittlere Abweichung?
Wie wird die mittlere Abweichung berechnet?
Was ist der Unterschied zwischen mittlerer Abweichung und Standardabweichung?
Wie hängen mittlere Abweichung und Streuung zusammen?

Transkript Streuung, arithmetisches Mittel und mittlere Abweichung

Cherry, Albi und Flo laden online regelmäßig Bilder hoch und wollen nun gerne ihre Likes vergleichen. Um herauszufinden, wie andere Nutzer auf die Inhalte ihrer Posts reagieren, müssen sie sich mit den statistischen Begriffen „Streuung, arithmetisches Mittel und mittlere Abweichung auskennen.“ Lasst uns doch mal GEMEINSAM die Statistik ihrer letzten fünf geposteten Bilder anschauen! Cherry, die für ihre Essensbilder bekannt ist, bekam auf ihre Posts jeweils 16, 5, 7, 3 und 10 Likes. Albi hingegen interessiert sich mehr für das Reisen und schießt mit seiner Kamera viele Landschaftsbilder. Seine fünf letzten Posts erhielten jeweils 9, 10, 10, 11 und 9 Likes. Und Flo... Flo LIEBT seine Katze und postet ständig Bilder von ihr. Vier von fünf seiner letzten Bilder bekamen je 10 Likes und eins bisher nur 2. Um die Daten besser vergleichen zu können, berechnen wir nun das arithmetische Mittel, häufig auch Mittelwert oder Durchschnitt genannt. Das arithmetische Mittel ist ein statistischer Lageparameter und fasst Werte einer Datenreihe zu einem Durchschnittswert zusammen. Dieser wird oft mit „x quer“ abgekürzt. Für die Berechnung ADDIEREN wir zunächst alle Werte und DIVIDIEREN dann das Ergebnis durch die Anzahl dieser Werte. Mathematisch schreiben wir das SO. Bei Cherry rechnen wir also: 16 plus 5 plus 7 plus 3 plus 10 und das Ganze geteilt durch 5, da wir 5 Datenwerte haben. Das sind 8,2. Cherry erhält durchschnittlich also 8,2 Likes pro Bild. Schauen wir uns nun Albis Likes nochmal an. Wir addieren ZUERST alle Werte und dividieren dann durch die Anzahl dieser Werte. Das arithmetische Mittel beträgt hier 9,8. Im Durchschnitt werden die Bilder von Albi also mehr geliked als die von Cherry. Die Katzenbilder von Flo erhalten durchschnittlich 8,4 Likes, also fast gleich so viele wie die bei Cherry. Wir können aber noch mehr sagen! Dafür schauen wir uns nun die mittlere Abweichung an. Die mittlere Abweichung ist ein Streuungsparameter und zeigt die Verteilung der Werte um das arithmetische Mittel auf. Zum Beispiel siehst du HIER alle Werte in der Nähe des arithmetischen Mittels. Die x-Achse bildet dabei beispielsweise die Anzahl der Likes ab und die y-Achse die Anzahl der hochgeladenen Bilder. Die Streuung ist also klein, da die Like-Anzahl der Bilder relativ nah beieinander liegt. HIER jedoch schwanken die Werte und weichen stark vom Mittelwert ab. Die Streuung ist also groß. Als Symbol für die mittlere Abweichung verwendet man häufig ein großes oder kleines . Wir berechnen sie, indem wir die Abweichungen der Werte zum Arithmetischen Mittel ADDIEREN und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte DIVIDIEREN. Dafür notieren wir uns die Daten, ziehen von jedem Datenwert das arithmetische Mittel ab, setzen SO die Betragsstriche, um positive Beträge der Abstände zu erhalten, addieren DIESE Abweichungen und dividieren das Ergebnis durch die Anzahl der Daten. Berechnen wir nun die mittlere Abweichung für Cherry. Wir ziehen von jedem Wert das arithmetische Mittel, also 8,2, ab, setzen die Betragsstriche und addieren die Abweichungen. Das Ergebnis teilen wir durch 5, also durch die Anzahl der Daten. Wir rechnen das Ganze aus und erhalten eine mittlere Abweichung von 3,84. Die Likes bei Cherry schwanken also durchschnittlich um ca. 4 Likes um den Mittelwert. Das ist relativ viel bei einem Mittelwert von 8,2. Würde Cherry überall gleich viele Likes bekommen, wäre die mittlere Abweichung gleich 0. Berechnen wir nun mittlere Abweichung für Albi. Wir setzen die Daten in die Formel und erhalten eine mittlere Abweichung von 0,64. Die Streuung ist also sehr klein. Im Vergleich zu Cherry kriegt Albi für seine Landschaftsbilder also IMMER eine ähnliche Anzahl an Likes. Die Likes bei Cherry schwanken also stärker. Es gilt also: Je höher die mittlere Abweichung, desto mehr streuen die Werte. Schauen wir uns nun die mittlere Abweichung zu den Likes von Flo an. Sie beträgt 2,56 bei einem Mittelwert von 8,4. Obwohl die Mehrheit der Bilder von Flo die GLEICHE Anzahl an Likes hat, ist die mittlere Abweichung dennoch hoch. Warum ist das so? Liegen die meisten Datenwerte nah beieinander und ist die mittlere Abweichung dennoch relativ groß, so handelt es sich um einen Ausreißer! Ein Ausreißer ist ein Wert, der sich stark von den anderen Werten unterscheidet. HIER ist es die Zahl 2. Fassen wir alles noch einmal zusammen! Das arithmetische Mittel ist ein statistischer Lageparameter und fasst Werte einer Datenreihe zu einem Durchschnittswert zusammen. Dieser wird oft mit „x quer“ abgekürzt. Für die Berechnung ADDIEREN wir zunächst alle Datenwerte und DIVIDIEREN das Ergebnis durch die Anzahl dieser Datenwerte. Die mittlere Abweichung ist ein Streuungsparameter und zeigt die Verteilung der Werte um das arithmetische Mittel auf. Sie wird oft mit abgekürzt. Wir berechnen sie, indem wir das Arithmetische Mittel von allen Datenwerten abziehen, die Beträge davon ADDIEREN und das Ergebnis durch die Anzahl der Datenwerte DIVIDIEREN. Es gilt: Je höher die mittlere Abweichung, desto mehr streuen die Werte um den Mittelwert. So und nun schauen wir uns doch mal den Ausreißer bei Flo genauer an! Oh! Das ist ja ein HUND! Das hat den Katzenfans wohl nicht gefallen.

4 Kommentare
4 Kommentare
  1. Super! ich hab in unter 10 minuten verstanden wie man den durchschnitt berechnen kann, voher habe ich das noch nie gemacht!

    Von Mathilda, vor 10 Monaten
  2. Toll

    Von ライ・インビクト, vor mehr als einem Jahr
  3. Tolles Video

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    o

    Gut erklärt

    Von Itachi , vor etwa 2 Jahren
  4. Echt Toll erklärt

    Von Lisa K., vor mehr als 2 Jahren

Streuung, arithmetisches Mittel und mittlere Abweichung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Streuung, arithmetisches Mittel und mittlere Abweichung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, welche Aussagen zum arithmetischen Mittel und zur mittleren Abweichung zutreffen.

    Tipps

    Betrachte die Formel für die mittlere Abweichung:
    $d = \frac{\text{Summe der Abweichungen}}{\text{Anzahl der Werte}} = \frac{|x_{1}-\bar{x}| + |x_{2}-\bar{x}| + |x_{3}-\bar{x}| +...+ |x_{n}-\bar{x}|}{n}$
    Welche Werte benötigst du für die Berechnung?
    Welche Ergebnisse sind denkbar?

    Mittelwert oder Durchschnitt sind andere Begriffe für das arithmetische Mittel.

    Lösung
    • Mittelwert oder Durchschnitt sind andere Begriffe für das arithmetische Mittel.
    • Wenn alle Werte der Datenreihe identisch sind, dann ergibt sich eine mittlere Abweichung von $d = 0$. Zum Beispiel drei Bilder mit je fünf Likes, hier ist das arithmetische Mittel der Likes $\bar{x} = 5$ und für die mittlere Abweichung gilt: $d = \frac{|5 - 5| + |5 - 5| + |5 - 5|}{3} = \frac{0 + 0 +0}{3} = 0$
    • Die mittlere Abweichung gibt die Verteilung um das arithmetische Mittel $\bar{x}$ an. Daher wird für die Berechnung das arithmetische Mittel $\bar{x}$ benötigt. Das erkennst du auch daran, dass $\bar{x}$ Teil der Formel zur Berechnung der mittleren Abweichung ist.
  • Vervollständige den Text zur mittleren Abweichung.

    Tipps

    Je näher die Daten beieinanderliegen, desto geringer ist die Abweichung.

    Werte, die besonders weit vom Mittelwert entfernt liegen, vergrößern die mittlere Abweichung.

    Lösung

    Die mittlere Abweichung gibt an, wie weit die Werte durchschnittlich vom arithmetischen Mittel entfernt sind. Dabei wird, wie auch bei der Berechnung des Mittelwerts (arithmetischen Mittels), durch die Anzahl der Werte geteilt.
    Als Streuungsparameter gibt die mittlere Abweichung Auskunft über die Streuung der Werte. Liegen die Werte weit um den Mittelwert verteilt, dann ergibt sich eine große Abweichung/Streuung. Umgekehrt ist die Streuung gering, wenn die Werte nahe am Mittelwert liegen.
    Werte, die ungewöhnlich stark vom arithmetischen Mittel abweichen, werden als Ausreißer bezeichnet. Gibt es solche Werte, dann führt dies zu einer erhöhten mittleren Abweichung, da der Ausreißer selbst eine besonders große Abweichung hat.

  • Ermittle die Formeln zur Berechnung des arithmetischen Mittels der Datenreihen.

    Tipps

    Erinnere dich an die Formel zur Berechnung des arithmetischen Mittels.
    $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} +...+ x_{n}}{n}$

    Die Zahlen in der Summe im Zähler können auch vertauscht werden. Es gilt das Kommutativgesetz. Dieses besagt, dass bei einer reinen Addition die Summanden vertauscht werden können. Es gilt also zum Beispiel: $a+b=b+a$.

    Das $n$ im Nenner steht für die Anzahl der Werte der jeweiligen Datenreihe.

    Lösung

    Zur Berechnung des arithmetischen Mittels teilst du die Summe der Werte einer Datenreihe durch die Anzahl der Werte in der jeweiligen Datenreihe. Die Formel sieht folgendermaßen aus:

    $\bar{x} = \frac{\text{Summe der Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} +...+ x_{n}}{n}$

    Dabei ist die Reihenfolge bei der Summe flexibel. Nach dem Kommutativgesetz kannst du bei einer reinen Addition die Summanden vertauschen, das heißt, dass du statt $2 + 3 + 4$ auch $2 + 4 + 3$ oder $4 + 3 + 2$ schreiben kannst. Das Ergebnis bleibt dabei stets gleich.
    Im Nenner steht immer die Anzahl der verwendeten Werte. Dazu kannst du zum Beispiel die Werte, die in der Summe im Nenner stehen, abzählen.

    Beispiel 1: $~20, 7, 8, 15, 12, 7$

    Die Datenreihe besteht aus $6$ Daten, also gilt $n = 6$. Damit folgt:

    $\bar{x} = \frac{20 + 7 + 8 + 15 + 12 + 7}{6} = \frac{69}{6} = 11,5$

    Beispiel 2: $~6, 7, 8, 7, 8$

    Für diese Datenreihe mit $n = 5$ Werten erhalten wir:

    $\bar{x} = \frac{6 + 7 + 8 + 7 + 8}{5}= \frac{36}{5} = 7,2$

    Beispiel 3: $~67, 80, 55, 57$

    Mit $n=4$ erhalten wir folgenden Mittelwert:

    $\bar{x} = \frac{67 + 80 + 55 + 57}{4}= \frac{259}{4} = 64,75$

    Beispiel 4: $~6, 7, 7, 8, 8, 3$

    Wir haben wieder $6$ Daten in der Datenreihe. Es ist also $n=6$ und das arithmetische Mittel berechnet sich wie folgt:

    $\bar{x} = \frac{6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 3}{6}= \frac{39}{6} = 6,5$

  • Berechne das arithmetische Mittel $\bar{x}$ der gegebenen Datenwerte.

    Tipps

    Berechne zunächst die Summe der angegebenen Werte.

    Wie viele Werte sind jeweils gegeben?
    Das arithmetische Mittel erhältst du, indem du die Summe der Werte durch die Anzahl der Werte teilst.

    Lösung

    Um das arithmetische Mittel einer Datenreihe zu berechnen, addieren wir zunächst alle Werte und teilen diese Summe dann durch die Anzahl der Werte:
    $\bar{x} = \frac{\text{Summe der Werte}}{\text{Anzahl der Werte}} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} +...+ x_{n}}{n}$

    Beispiel 1: $~12, 11, 11, 10, 14, 11 \quad\rightarrow\quad n = 6$

    $\bar{x} = \frac{12 + 11 + 11 + 10 + 14 + 11}{6} = \frac{69}{6} = \frac{23}{2} = 11,5$

    Beispiel 2: $~16, 15, 8, 11, 9 \quad\rightarrow\quad n = 5$

    $\bar{x} = \frac{16 + 15 + 8 + 11 +9}{5} = \frac{59}{5} = 11,8$

    Beispiel 3: $~5, 6, 3, 5, 5, 7, 4, 15 \quad\rightarrow\quad n = 8$

    $\bar{x} = \frac{5 + 6 + 3 + 5 + 5 + 7 + 4 + 5}{8} = \frac{40}{8} = 5$

  • Vervollständige die Formel zur Berechnung des arithmetischen Mittels.

    Tipps

    Schau dir die Formel für das arithmetische Mittel noch einmal an:
    $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} +...+ x_{n}}{n}$

    Das $n$ im Nenner steht für die Anzahl der Werte. Du kannst also abzählen, wie viele Werte du im Zähler summierst.

    Lösung

    Die Formel zur Berechnung des arithmetischen Mittels lautet:
    $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} +...+ x_{n}}{n}$
    Zunächst addieren wir alle Datenwerte und teilen diese Summe dann durch die Anzahl der Werte $n$.
    Für die Summe der Datenwerte erhalten wir hier:
    $16 + 5 + 7 + 3 + 10=41$
    Diese teilen wir nun durch $5$, da wir insgesamt $n = 5$ Datenwerte haben.
    Damit ergibt sich für das arithmetische Mittel:

    $\bar{x} = \frac{16 + 5 + 7 + 3 + 10}{5} = \frac{41}{5} = 8,2$

  • Berechne die mittlere Abweichung $d$ der gegebenen Datenwerte.

    Tipps

    Setze die gegebenen Werte in die Formel ein und berechne:

    $d = \frac{\text{Summe der Abweichungen}}{\text{Anzahl der Werte}} = \frac{|x_{1}-\bar{x}| + |x_{2}-\bar{x}| + |x_{3}-\bar{x}| +...+ |x_{n}-\bar{x}|}{n}$

    Die Betragsstriche sorgen dafür, dass jede Abweichung positiv gewertet wird.
    Es gilt zum Beispiel:

    $\quad\left|7\right| = 7$

    $\quad\left|-7\right| = 7$

    Beispiel: $~2, 6, 4$

    Es ist $n = 3 $ und $\bar{x} = 4$.

    $d = \frac{|2 - 4| + |6 - 4| + |4 - 4|}{3} = \frac{2 + 2 + 0}{3} = \frac{4}{3} = 1,\overline{3}$

    Lösung

    Die mittlere Abweichung ergibt sich nach der folgenden Formel:

    $d = \frac{\text{Summe der Abweichungen}}{\text{Anzahl der Werte}} = \frac{|x_{1}-\bar{x}| + |x_{2}-\bar{x}| + |x_{3}-\bar{x}| +...+ |x_{n}-\bar{x}|}{n}$

    Es wird zunächst die Summe der Abweichungen vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$ bestimmt. Durch die Betragsstriche werden dabei alle Abweichungen positiv gewertet. Im Nenner steht, wie auch bei der Berechnung des arithmetischen Mittels, die Anzahl der Datenwerte.

    Beispiel 1: $~8, 11, 10, 3$

    Mit $n = 4 $ und $\bar{x} = 8$ folgt:

    $d = \frac{\left|8 - 8\right| + \left|11-8\right| + \left|10 - 8\right| + \left|3 - 8\right|}{4} = \frac{\left|0\right| + \left|3\right| + \left|2\right| + \left|-5\right|}{4} = \frac{0 + 3 + 2 + 5}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$

    Beispiel 2: $~27, 18, 33, 26 $

    Mit $n = 4 $ und $\bar{x} = 26$ folgt:

    $d = \frac{|27-26| + |18-26| + |33-26| + |26-26|}{4} = \frac{1 + 8 + 7 + 0}{4} = \frac{16}{4} = 4$

    Beispiel 3: $~35, 15, 20, 30, 55 $

    Mit $n = 5 $ und $\bar{x} = 31$ folgt:

    $d = \frac{|35-31| + |15-31| + |20-31| + |30-31| + |55-31|}{5} = \frac{4 + 16 + 11 + 1 + 24}{5} = \frac{56}{5} = 11,2$