Boxplots

Boxplots Übung

• Gib Eigenschaften von Boxplots wieder.

  Tipps

  Vergleiche mit dieser Abbildung eines Boxplots.

  Der Median wird auch Zentralwert genannt und bezeichnet die Zahl, die sich „im Zentrum“ des Datensatzes befindet.

  Lösung

  • Boxplots sind grafische Darstellungen von Häufigkeitsverteilungen. Sie zeigen dabei nicht nur einzelne Daten, sondern auch deren Streuung. Boxplots eignen sich vor allem für den Vergleich von zwei verschiedenen Datensätzen. Wegen ihrer Einfachheit und Vielseitigkeit haben sie auch ihren Weg in den Schulunterricht gefunden.
  • Zuerst werden die Werte in aufsteigender Reihenfolge sortiert sowie Minimum und Maximum, also der kleinste und größte Wert des Datensatzes, bestimmt. Hier ist das Minimum $1$ und das Maximum $9$.
  • Man braucht auch den Median. Dieser ist die Zahl, die im Datensatz genau in der Mitte steht. Setzt sich der Datensatz aus einer geraden Anzahl an Daten zusammen, stehen zwei Zahlen in der Mitte. In so einem Fall nimmt man den Mittelwert der mittleren beiden Zahlen. In diesem Fall ist der Median $4$.
  • Außerdem benötigt man das erste Quartil $Q1$. Das ist der Median der ersten Hälfte des Datensatzes und bei diesem Boxplot die $2$.
  • Man braucht auch das dritte Quartil $Q3$. Das ist der Median der zweiten Hälfte des Datensatzes, hier die $7$.
  • Zum Schluss verbindet man $Q1$ und $Q3$ miteinander, diese bilden die Box. Und man zieht sogenannte Antennen zu dem Minimum und dem Maximum.
  • Außerdem bildet man noch den Interquartilsabstand (IQA), indem man $Q1$ von $Q3$ subtrahiert. In diesem Fall sieht das so aus: $IQA=Q3-Q1=7-2=5$.

• Nenne die passenden Aussagen zu den Boxplots der Schüler.

  Tipps

  Je weniger Variation es bei den Werten gibt, desto beständiger sind sie.

  Die beständigsten Leistungen zeigt jemand, dessen IQA klein ist.

  Lösung

  Der Median ist der Wert, der in einem Datensatz genau in der Mitte steht. Bei einer geraden Anzahl an Daten ist der Median der Mittelwert der beiden Werte in der Mitte des Datensatzes. Das erste Quartil $Q1$ ist der Median der ersten Hälfte des Datensatzes und $Q3$ ist der Median der zweiten Hälfte des Datensatzes. Den Abstand von $Q1$ und $Q3$ nennt man Interquartilsabstand, abgekürzt: IQA. Je kleiner der IQA ist, desto beständiger sind die Werte. Außerdem beschreibt das Minimum den kleinsten Wert des Datensatzes und das Maximum den größten Wert.

  Demnach sind folgende Aussagen über die abgebildeten Boxplots richtig:

  • Schüler $2$ hat einen Median von $3,5$.
  • Ein Grund dafür, dass Schüler $1$ der Beste ist, ist sein hoher Median von $5$. Er erbringt im Schnitt gute Leistungen.
  • Schüler $1$ hat einen kleinen IQA von $4$ und damit eine geringe Variation in seinen Werten. Er zeigt also die beständigsten Leistungen.

  Schüler $1$ muss also keinen Putzdienst verrichten.

  Und diese Aussagen sind falsch:

  • Schüler $2$ hat das höchste Maximum von $9$ und ist deshalb der Beste.
  • Schüler $2$ hat das kleinste $Q1$ und ist deshalb der Schlechteste.

  Diese Aussagen sind falsch, da man mit nur einem Wert keine zuverlässige Behauptung treffen kann.

• Ordne die Eigenschaften der passenden Stelle im Boxplot zu.

  Tipps

  Vergleiche mit dieser Darstellung.

  Die beständigsten Ergebnisse finden wir im Bereich von $Q1$ bis $Q3$.

  Der Median ist derjenige Wert, der im Zentrum des Datensatzes liegt.

  Das beste Ergebnis ist hier das Maximum.

  Lösung

  Zunächst einmal „übersetzen“ wir die Fragen von Team und Trainer in die Sprache der Mathematik.

  • Was war das beste und das schlechteste Ergebnis? $\Rightarrow$ Maximum und Minimum bestimmen
  • Wie hoch ist der Zentralwert der gefallenen Tore aller Spiele? $\Rightarrow$ Median bestimmen
  • In welchem Bereich gab es die beständigsten Ergebnisse? $\Rightarrow$ $Q1$ und $Q3$ bestimmen, sie umschließen den Bereich mit den beständigsten Ergebnissen

  Diese Werte müssen im Zahlenstrahl für den Boxplot eingetragen werden:

  • Minimum $=3$
  • Maximum $=10$
  • Median $=7~\rightarrow$ der Mittelwert aus $6$ und $8$ ist $\frac{6+8}2=7$
  • $Q1=4$
  • $Q3=9$

• Deute die Größe mithilfe des Boxplots.

  Tipps

  Im Bereich des IQA liegen die mittleren $50~\%$ der Werte des Datensatzes.

  IQA ist die Abkürzung für Interquartilsabstand. Er liegt zwischen $Q1$ und $Q3$.

  Lösung

  Am Boxplot lässt sich ablesen, dass der Median der Größen der Schülerinnen und Schüler bei $155\ \text{cm}$ liegt. Im Bereich des IQA von $Q1$ bis $Q3$ liegen die mittleren $50~\%$ der Werte des Datensatzes. Weiterhin liegt das Minimum bei $135\ \text{cm}$ und das Maximum bei $170\ \text{cm}$.

  Daraus lassen sich folgende Schlussfolgerungen ziehen:

  Marc ist $166\ \text{cm}$ groß. Er hat eine seltene Größe. Das sieht man daran, dass seine Größe in den oberen $25~\%$ liegt. Somit ist er auch größer als die meisten.

  Debbie ist $152\ \text{cm}$ groß. Sie hat eine häufige Größe. Das erkennt man daran, dass ihre Größe in der Box liegt. Außerdem findet man ihre Größe in den unteren $50~\%$, also ist mehr als die Hälfte der Mitschüler*innen größer als sie.

  Karl ist $135\ \text{cm}$ groß. Er hat eine seltene Größe. Er ist nämlich die kleinste Person. Das erkennt man daran, dass seine Größe das Minimum ist.

• Bestimme den Median.

  Tipps

  Hat ein Datensatz eine gerade Anzahl Werte, wird der Median aus den zwei Werten gebildet, die genau in der Mitte des Datensatzes stehen.

  Bei einem Datensatz mit $10$ Werten wird der Median aus dem $5.$ und $6.$ Wert gebildet.

  Sieh dir an, welche Zahlen bei Schüler $2$ zur Errechnung des Medians verwendet wurden.

  Lösung

  Wir betrachten den folgenden Datensatz:

  $0;1;1;3;3;4;5;7;7;9$

  Den Median ermitteln wir, indem wir den Wert betrachten, der genau in der Mitte des Datensatzes steht. Dazu muss der Datensatz nach aufsteigender Reihenfolge sortiert sein. Die Werte von Schüler $3$ sind bereits in aufsteigender Reihenfolge sortiert, daher kann nun sofort der Median errechnet werden.
  Besteht der Datensatz aus einer geraden Anzahl an Werten, muss der Median aus den zwei Werten, die in der Mitte stehen, ermittelt werden. Dazu bildet man aus diesen beiden Werten den Mittelwert.

  Diese sind $3;4$.

  Jetzt wird der Mittelwert dieser beiden Werte gebildet, indem sie addiert und anschließend durch $2$ dividiert werden:

  $3+4=7$
  $7:2=3,5$

  Schüler $3$ hat also einen Median von $3,5$.

• Arbeite eine Interpretation für die Boxplots heraus.

  Tipps

  Je kleiner der Abstand zwischen dem ersten und dritten Quartil, desto beständiger sind die Werte.

  Ist der IQA der Box klein und liegt diese in der zweiten Hälfte des Zahlenstrahls, kommt die Person oft viele Minuten zu spät.

  Lösung

  Tom hat die unbeständigsten Ergebnisse, das zeigt sein IQA von $7$. Von allen drei Schülern ist er die meisten und die wenigsten Minuten zu spät gekommen, was man an seinem Minimum von $1$ und seinem Maximum von $10$ erkennt. Der Median für seine Verspätungen liegt bei $5,5$ Minuten, was relativ viel ist.

  Max besitzt den größten Median mit $6,5$ Minuten. Außerdem sind seine Ergebnisse am beständigsten. Das sieht man an dem kleinen IQA von $1$, der in der zweiten Hälfte des Zahlenstrahls liegt.

  Jonas hat den kleinsten Median mit $3,5$ Minuten. Zudem befindet sich sein IQA von $3$ in der ersten Hälfte des Datensatzes. Das heißt, er kam beständig wenig zu spät.

  Jonas kommt also noch einmal ungeschoren davon. Ein Glück!