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Streudiagramme 04:41 min

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Transkript Streudiagramme

Armer Billy Fakespeare der Geist - seine mittelalterliche Party war ein Flop. Kaum ein Geister-Gast ist erschienen aber, um seinen 400. Geburtstag zu feiern, hat er sich dazu entschlossen eine große Luau Themenparty mit unzähligen Gästen zu feiern. Um diese perfekte Party zu planen, verwendet er Streudiagramme. In einem kartesischen Koordinatensystem werden Streudiagramme dazu verwendet eine Beziehung zwischen Werten zu zeigen, um deren Trend zu identifizieren. Schau dir mal dieses Streudiagramm an - es zeigt die Beziehung zwischen der Bekanntheit des DJs und der Anzahl der Partygäste. Bei einem DJ mit einem Bekanntheitsgrad von 50%, waren zum Beispiel 200 Gäste anwesend, bei einem DJ mit dem Bekanntheitsgrad von 80% waren es 350 Gäste. Der Graph zeigt also den Trend, dass die Anwesenheit von Gästen je nach Bekanntheit des DJs steigt. Am Graphen siehst du außerdem, dass die Punkte in Gruppen zusammen gruppiert sind - dies zeigt eine hohe Korrelation (eine hohe Beziehung zueinander) und da beide Variablen zusammen steigen, ist dies eine positive Korrelation. Wenn die Punkte so zusammen gruppiert sind, kannst du eine Regressionsgerade – eine Trend-gerade – einzeichnen und durch die Verwendung zweier Punkte, die auf dieser oder in der Nähe dieser Geraden liegen, kannst du auch die Steigung ausrechnen und mithilfe der Steigung dann auch die Funktionsgleichung für diese Gerade ausrechnen. Setzen wir hier also das Paar von 50 und 200 ein, bekommen wir die Funktionsgleichung y = 5x - 50. Diese Gleichung können wir nun dazu verwenden, um unbekannte Werte für sowohl 'x' als auch 'y' herauszufinden. Für den x-Wert von 20, ist der y-Wert von 50 eine bessere Vorhersage als der y-Wert von 300. Fakespeare glaubt, dass er nun das Unterhaltungsprogramm für die Party herausgefunden hat. Er lädt DJ Mozart ein um das Haus zu rocken aber nun fragt er sich, ob Musik denn wirklich genug ist? Wie sieht es denn mit Spielen aus? Das muss er mal herausfinden. Schau dir diese Tabelle an. Gibt es einen Zusammenhang zwischen albernen Partyspielen und der Anwesenheit von Gästen? Lass uns hierzu ein Streudiagramm anlegen. Für die x-Achse wählen wir die Anzahl der Spiele und für die y-Achse die Anzahl der Gäste. Nun zeichnen wir die verschiedenen Paare ein. Hm, diese Punkte sind zusammen gruppiert, also besitzen die Daten eine hohe Korrelation, aber die Anzahl der Spiele steigt an, während die Anzahl der Gäste weniger wird; also haben wir hier eine negative Korrelation. Bei einer negativen Korrelation, steigt also der Wert einer der Variablen während der Wert der anderen sinkt. Du musst also kein Genie ein, um zu wissen, dass Party Games eine furchtbare Idee sind. Und so entscheidet Fakespeare, dass es keine Spiele geben wird. Wie sieht es mit Erfrischungsgetränken aus? Werden mehr Gäste zur Party kommen, je mehr kleine Schirmchen als Dekoration in den Getränken sind? Lass uns mal schauen, ob es bei diesem Streudiagramm einen Trend gibt. Hier sind die Punkte relativ weit auseinander, es gibt also keine Korrelation. Kleine Schirmchen scheinen also die Anwesenheit nicht zu erhöhen, aber sie werden auch keinen negativen Effekt haben, also bestellt Fakespeare einige, einfach weil er sie mag. Scheint als hätte Flakespeare alles unter Kontrolle, aber gilt das auch für dich? Lass uns sichergehen, dass du die Streudiagramme auch richtig verstanden hast. Wenn die Werte weit verstreut sind mit keinem erkennbaren Muster, dann gibt es auch keine Korrelation und keinen Trend. Auch wenn dieses Streudiagramm die Punkte zusammen gruppiert zeigt, haben wir auch hier keinen Trend. Ist die Linie einfach nur horizontal heißt das, dass die Werte der x-Achse keinen Einfluss auf die Werte der y-Achse haben. Was, wenn die Regressionsgerade vertikal verläuft? Da die Steigung hier undefiniert ist, gibt es auch hier keine Korrelation und keinen Trend. Ein letzter Tipp: wenn es eine Korrelation gibt, denke nicht automatisch, dass es hier auch einen Trend gibt. Du musst deinen gesunden Menschenverstand benutzen. Eine Sache hängt nämlich nicht unbedingt von der anderen ab. Schau dir dazu mal dieses Beispiel an. Die Trendlinie könnte bedeuten, dass die Hausnummer und die Anzahl der Gäste miteinander im Zusammenhang stehen aber das ist nur ein Zufall, kein Trend. Wenn du Trends interpretierst, denke also immer daran, deinen Menschenverstand zu benutzen. Fakespear's Party ist ein großer Erfolg! Schade, keine der Fotos, die geschossen wurden, werden wohl lange anhalten.

Streudiagramme Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Streudiagramme kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Verwendung und Interpretation von Streudiagrammen.

    Tipps

    Sind die Punkte in einem Streudiagramm nicht gruppiert, so liegt keine Korrelation vor.

    Eine Korrelation ist negativ, wenn eine der beiden Größen sinkt, während die andere steigt. Steigen beide Größen gemeinsam, so ist die Korrelation positiv.

    Lösung

    In einem kartesischen Koordinatensystem werden Streudiagramme dazu verwendet, zu überprüfen, ob bei der Beziehung zweier Größen zueinander ein Trend vorliegt.

    • Hierzu zeichnet man Punkte für verschiedene Werte zweier Größen in ein Koordinatensystem ein und interpretiert anhand der Verteilung dieser Punkte, wie die Größen sich zueinander verhalten.
    Das Streudiagramm in dieser Aufgabe zeigt die Beziehung zwischen der Bekanntheit des DJs und der Anzahl der Partygäste. Bei einem DJ mit einem Bekanntheitsgrad von $50\%$ waren zum Beispiel $200$ Gäste anwesend, bei einem DJ mit dem Bekanntheitsgrad von $80\%$ waren es $350$ Gäste.

    • Das Wertepaar $(50\vert 200)$ erhältst du, wenn du auf der $x$-Achse bei $50$ eine vertikale Linie nach oben verfolgst und den $y$-Wert für den Punkt, der auf dieser Linie liegt, abliest.
    Der Graph zeigt also den Trend, dass die Anwesenheit von Gästen je nach Bekanntheit des DJs steigt. Am Graphen siehst du außerdem, dass die Punkte gruppiert sind - dies zeigt eine hohe Korrelation der beiden Größen. Da bei einem Anstieg der einen Größe auch die andere ansteigt, ist die Korrelation hier positiv.

    • Sind die Punkte in einem Streudiagramm nicht gruppiert, so liegt keine Korrelation vor. Eine Korrelation kann positiv und negativ sein. Sie ist negativ, wenn eine der beiden Größen sinkt, während die andere steigt. Steigen beide Größen gemeinsam, so ist die Korrelation positiv.
  • Gib eine Funktion für die Trendgerade des Streudiagramms an und berechne einige fehlende Wertepaare.

    Tipps

    Eine Gerade hat eine Funktionsgleichung der Form $y=mx+b$. Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt, also derjenige $y$-Wert, an dem die Gerade die $y$-Achse schneidet.

    Du kannst die Steigung einer Geraden, die durch die Punkte $(0\vert 0)$ und $(1\vert 6)$ verläuft, wie folgt berechnen:

    • $m=\dfrac {6-0}{1-0}=\dfrac 61=6$

    Kennst du die Gleichung einer Funktion, so kannst du durch Einsetzen eines $x$-Wertes den zugehörigen $y$-Wert bestimmen. Betrachte hierzu die Funktionsgleichung $y=4x+7$. An der Stelle $x=5$ erhältst du folgenden $y$-Wert:

    • $y=4\cdot 5+7=20+7=27$
    Lösung

    Eine Gerade hat eine Funktionsgleichung der Form $y=mx+b$. Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt, also derjenige $y$-Wert, an dem die Gerade die $y$-Achse schneidet.

    Wir können die Steigung einer Geraden, die durch die Punkte $(x_1\vert y_1)$ und $(x_2\vert y_2)$ verläuft, wie folgt berechnen:

    • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$
    Den $y$-Achsenabschnitt $b$ erhalten wir dann, wenn wir ein Wertepaar und die berechnete Steigung $m$ und die Funktionsgleichung einsetzen und nach $b$ umstellen.

    Wir nutzen zunächst die Punkte $(80\vert 350)$ und $(50\vert 200)$ der Trendgerade, um die Steigung zu ermitteln:

    • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{350-200}{80-50}=\dfrac{150}{30}=5$
    Dann nutzen wir eines der Wertepaare, um den $y$-Achsenabschnitt $b$ zu berechnen. Mit $(50\vert 200)$ erhalten wir folgende Gleichung:

    • $200=5\cdot 50+b$
    Nach $b$ umgestellt folgt:

    • $b=-50$
    Damit lautet die Funktionsgleichung für die Trendgerade:

    • $y=5\cdot x-50$
    Kennen wir die Gleichung einer Funktion, so können wir durch Einsetzen eines $x$-Wertes den zugehörigen $y$-Wert bestimmen. So erhalten wir für $x=20$ folgenden $y$-Wert:

    • $y=5\cdot 20-50=100-50=50$
  • Ordne den Trendgeraden die zugehörigen Streudiagramme zu.

    Tipps

    Eine allgemeine lineare Funktion hat die Form $f(x)=mx+b$. Darin ist $m$ die Steigung der zugehörigen Geraden und $b$ ihr $y$-Achsenabschnitt.

    Wenn du in Gedanken (oder auf einem Blatt Papier) eine Trendgerade zeichnest, die zu dem jeweiligen Streudiagramm passt, dann kannst du dir zwei beliebige Punkte auf dieser Geraden aussuchen, um ihre Steigung und ihren $y$-Achsenabschnitt zu berechnen. So wirst du hier vermutlich nicht die exakte Lösung erhalten $-$ allerdings sollte deine Geradengleichung dann einer der hier möglichen Lösungen recht ähnlich sein.

    Lösung

    Die Koordinaten eines Punktes im kartesischen Koordinatensystem kannst du wie folgt ablesen:

    • $x$-Wert an der Horizontalachse
    • $y$-Wert an der Vertikalachse
    Um (näherungsweise) die Trendgeraden für die einzelnen Streudiagramme zu erhalten, kannst du folgendermaßen vorgehen: Du suchst dir einen Punkt $(x_1|y_1)$ am linken Ende und einen Punkt $(x_2|y_2)$ am rechten Ende des Streudiagramms aus. Durch diese beiden Punkte kannst du dann $-$ in Gedanken oder auf einem Blatt Papier $-$ eine Gerade zeichnen. Die Steigung dieser Geraden $m$ kannst du dann mit Hilfe der Formel

    $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    berechnen. Den $y$-Achsenabschnitt $b$, also die Höhe, bei der die Gerade die $y$-Achse schneidet, erhältst du dann mit der Formel

    $b=y_1-mx_1$ (oder genauso gut mit $b=y_2-mx_2$).

    Probieren wir dieses Vorgehen einmal für das linke obere Diagramm aus. Wählen wir den Punkt ganz links, also $(1|500)$, und den Punkt ganz rechts, also $(5|250)$, so ergibt sich durch die obigen Formeln die Funktion

    $f(x)=-62,5x + 562,5$.

    Zeichnen wir diese Gerade in das Streudiagramm ein, so sehen wir aber, dass die Gerade etwas steiler nach unten verlaufen könnte, um die Lagen aller Punkte besser zu repräsentieren. Denken wir uns den zusätzlichen Punkt $(5|200)$ in das Diagramm und wählen diesen anstatt $(5|250)$ als rechten Punkt, so erhalten wir stattdessen die Gerade

    $f(x)=-75x+575$,

    die wir dem Streudiagramm nun zuordnen können.

    Es sollte an dieser Stelle nicht verschwiegen werden, dass dieses Verfahren eher ungenau und etwas willkürlich ist. Es gibt deshalb sehr viel genauere mathematische Methoden, um Trendgeraden in Streudiagrammen zu berechnen $-$ diese sind allerdings deutlich komplizierter und erfordern einen riesigen Rechenaufwand, weswegen sie auch meistens von Computern übernommen werden. Daher wollen wir uns hier mit diesem Näherungsverfahren begnügen.

    Nach dem gleichen Schema ordnen wir nun auch den restlichen Streudiagrammen Trendgeraden zu:

    • Das Streudiagramm oben rechts erhält die Funktion $f(x)=70x+150$.
    • Das Streudiagramm unten links passt zur Funktion $f(x)=-24x+370$.
    • Das Streudiagramm unten rechts erhält die Funktion $f(x)=100x-50$.
  • Ermittle mithilfe der Funktionsgleichung der Trendgeraden weitere Punkte, die auf der Trendgeraden liegen.

    Tipps

    Du kannst mittels zweier Punkte $P_1(x_1\vert y_1)$ und $P_2(x_2\vert y_2)$ einer Geraden deren Steigung wie folgt bestimmen:

    • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$
    Es ist wichtig, dass du dabei die Anordnung der Koordinaten beibehältst. Das heißt, wenn du von der $y$-Koordinate des zweiten Punktes die $y$-Koordinate des ersten Punktes abziehst, musst du es genauso auch mit den $x$-Koordinaten machen.

    Hast du die Steigung $m$ berechnet, brauchst du noch den $y$-Achsenabschnitt $b$, um die Funktionsgleichung $y=mx+b$ aufzustellen.

    $b$ erhältst du, indem du in die Gleichung $y=mx+b$ den Wert für die Steigung $m$ sowie einen bekannten Punkt $P$ der Geraden einsetzt und nach $b$ umstellst.

    Lösung

    Wir können mittels zweier Punkte $P_1(x_1\vert y_1)$ und $P_2(x_2\vert y_2)$ einer Geraden deren Steigung wie folgt bestimmen:

    • $m=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$
    Es ist wichtig, dass wir dabei die Anordnung der Koordinaten beibehalten. Das heißt, wenn wir von der $y$-Koordinate des zweiten Punktes die $y$-Koordinate des ersten Punktes abziehen, müssen wir es genauso auch mit den $x$-Koordinaten machen. Wir verwenden die Punkte $(15 \vert 6)$ und $(35 \vert 16)$ der Geraden, um deren Steigung zu berechnen und erhalten:

    • $m=\dfrac {16-6}{35-15}=\dfrac{10}{20}=\dfrac 12=0,5$
    Wenn wir die Steigung $m$ kennen, müssen wir noch den $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnen, um die Funktionsgleichung $y=mx+b$ aufzustellen. $b$ erhalten wir, indem wir in die Gleichung $y=mx+b$ den Wert für die Steigung $m$ sowie einen der bekannten Punkte der Geraden einsetzen und nach $b$ umstellen. Wir verwenden den Punkt $(15\vert 6)$ und erhalten:

    $\begin{array}{lllll} & 6 &=& 0,5\cdot 15+b & \\ & 6 &=& 7,5+b & \vert -7,5 \\ & -1,5 &=& b & \end{array}$

    Die Funktionsgleichung für die Trendgerade lautet also: $~y=0,5x-1,5$

    Mit dieser berechnen wir nun die jeweiligen Punkte:

    • $y=0,5\cdot 10-1,5=5-1,5=3,5\quad\rightarrow\quad (10\vert 3,5)$
    • $y=0,5\cdot 25-1,5=12,5-1,5=11\quad\rightarrow\quad (25\vert 11)$
    • $y=0,5\cdot 30-1,5=15-1,5=13,5\quad\rightarrow\quad (30\vert 13,5)$
    • $y=0,5\cdot 45-1,5=22,5-1,5=21\quad\rightarrow\quad (45\vert 21)$
    • $y=0,5\cdot 50-1,5=25-1,5=23,5\quad\rightarrow\quad (50\vert 23,5)$
  • Gib die Art der Korrelation in den Streudiagrammen an.

    Tipps

    Eine Korrelation der Daten liegt vor, wenn diese im Streudiagramm gruppiert sind.

    Wenn sich durch Änderung der einen Größe keine Änderung der anderen Größe beobachten lässt, so hat die eine Größe keinen Einfluss auf die andere Größe. Somit liegt auch in diesem Fall keine Korrelation vor.

    Kann man durch die Daten eine Trendgerade mit positiver Steigung legen, so ist auch die Korrelation positiv.

    Lösung

    Eine Korrelation der Daten liegt vor, wenn diese im Streudiagramm gruppiert sind. Ist das nicht der Fall, so kann in dem Streudiagramm keine Korrelation festgestellt werden.

    Kann man durch die Daten, die eine hohe Korrelation aufweisen, eine Trendgerade mit positiver Steigung legen, so ist auch die Korrelation positiv. Eine fallende Trendgerade spiegelt eine negative Korrelation wider.

    Wenn sich durch Änderung der einen Größe keine Änderung der anderen Größe beobachten lässt, so hat die eine Größe keinen Einfluss auf die andere Größe. Auch dann liegt keine Korrelation vor.

    Mit diesen Erklärungen können wir folgende Feststellungen notieren:

    1. Streudiagramm: Die Gruppierung der Daten weist auf eine hohe Korrelation hin. Das Streudiagramm zeigt eine positive Korrelation, da durch Steigerung der einen Größe eine Steigerung der anderen Größe verursacht wird.

    2. Streudiagramm: Auch hier ist eine hohe Korrelation zu beobachten. Das Streudiagramm zeigt diesmal eine negative Korrelation, da durch Steigerung der einen Größe eine Minderung der anderen Größe verursacht wird.

    3. Streudiagramm: Hier sind die Daten wild verstreut und wir haben somit keine Gruppierung der Daten und damit auch keine Korrelation.

    4. Streudiagramm: Die Änderung des $x$-Wertes bewirkt keine Veränderung des $y$-Wertes, somit haben wir hier keine Korrelation der beiden Größen.

  • Prüfe die Aussage auf ihre Richtigkeit.

    Tipps

    Werden die Achsen vertauscht, so werden die einzelnen Punkt an der Geraden $y=x$ gespiegelt. Diese Gerade verläuft durch den Ursprung und hat die Steigung $m=1$.

    Wann und wie viel es an einem Tag regnet, kann von Tag zu Tag ganz unterschiedlich sein.

    Eine Größe hängt nicht unbedingt immer von einer anderen Größe ab.

    Je schneller ein Fahrzeug fährt, desto länger ist bei einer Vollbremsung der Bremsweg.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    „Stellt man in einem Streudiagramm die Beziehung der Größen „Ausgangsgeschwindigkeit“ und den daraus resultierenden „Bremsweg“ bei einer Vollbremsung dar, so erhält man eine positive Korrelation.“

    • Je schneller ein Fahrzeug fährt, desto länger ist bei einer Vollbremsung der Bremsweg. Das bedeutet, dass beide Größen gemeinsam steigen. Somit liegt hier eine positive Korrelation vor. Zudem würde man, wenn man den Bremsweg für genügend Geschwindigkeiten misst, eine Gruppierung der Daten im Streudiagramm beobachten, was stark auf eine Korrelation hinweist.
    „Um ein Streudiagramm zeichnen zu können, benötigt man eine Reihe von Messpaaren $x$ und $y$.“

    • Es genügt nicht, eine Größe zu messen, um ein Streudiagramm zu erstellen. Ein Streudiagramm ist nämlich die grafische Darstellung von Wertepaaren in einem kartesischen Koordinatensystem. Also musst du immer zwei Größen messen.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    „Vertauscht man die Achsen eines Streudiagramms mit positiver Korrelation, so erhält man ein Streudiagramm mit negativer Korrelation.“

    • So lange die Achsen weiterhin gleich skaliert sind, ändert sich durch das Vertauschen der Achsen die Art der Korrelation zweier Größen nicht.
    „Vertauscht man die Achsen eines Streudiagramms, dessen Daten in keiner Korrelation stehen, erhält man ein Streudiagramm mit hoher Korrelation.“

    • Auch durch das Vertauschen der Achsen erhält man für Daten, die in keiner Korrelation stehen, kein Streudiagramm mit hoher Korrelation.
    „Würde man auf der $x$-Achse eines Streudiagramms die „Tageszeit“ und auf der $y$-Achse die "Niederschlagsmenge an einem Ort" auftragen, so würde man für jeden Tag eine negative Korrelation erhalten.“