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Mittelwert, Median und Boxplot

In der Mathematik spielen der Mittelwert und der Median eine wichtige Rolle bei der Auswertung von Daten. Der Mittelwert wird berechnet, indem man den Durchschnitt aller Werte bildet, während der Median den Wert in der Mitte einer sortierten Liste darstellt. Finde heraus, warum der Median häufig aussagekräftiger ist als der Mittelwert! Neugierig geworden? Dann lies weiter und erfahre mehr dazu!

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Team Entdeckungsreise
Mittelwert, Median und Boxplot
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Mittelwert, Median und Boxplot Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mittelwert, Median und Boxplot kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe dein Vorgehen bei einem Ausreißerproblem.

    Tipps

    Betrachte die Werte:

    $1, 4, 5, 8, 8, 8, 9, 11, 230$.

    Das arithmetische Mittel beträgt: $(1+ 4+ 5+ 8+ 8+ 8+ 9+ 11+ 230):9=284:9\approx 31,56$.

    Betrachte die Werte:

    $1, 4, 5, 8, 8, 8, 9, 11, 230$.

    Der Median beträgt $8$.

    Der Median repräsentiert beim Ausreißerproblem das durchschnittliche Taschengeld der Kinder viel besser als das arithmetische Mittel. Das liegt daran, dass ein Median weniger anfällig für Ausreißer ist.

    Lösung

    Schauen wir uns die Werte doch einmal genau an. Wir stellen fest, dass $8$ der insgesamt $9$ Werte niedriger als $31,11~€$ sind. Ein Wert ist mit $150~€$ aber deutlich höher.

    Für das arithmetische Mittel teilen wir die Summe aller Werte durch die Anzahl der Werte. Also:

    • $280~€:9= 31,11~€$
    Am Diagramm siehst du noch deutlicher, dass es sich hier um ein Ausreißerproblem handelt. Wir können nicht sagen, ob einer der Schüler vielleicht etwas übertrieben hat, aber ein Wert passt eindeutig nicht zu den anderen. Wir dürfen ihn aber nicht weglassen, da wir sonst die Statistik fälschen würden. Wir betrachten also eine andere Kennzahl für das durchschnittliche Taschengeld.

    Wir suchen den Wert, sodass genauso viele Kinder mehr und weniger als diesen Betrag an Taschengeld bekommen. Dazu betrachten wir die Tabelle und streichen Schritt für Schritt den niedrigsten und den höchsten Wert. Übrig bleibt der Median. Er beträgt in diesem Fall $15~€$. Dieser Wert repräsentiert das durchschnittliche Taschengeld der Kinder viel besser. Das liegt daran, dass ein Median weniger anfällig für Ausreißer ist.

    Haben wir eine gerade Anzahl an Werten, streichen wir zunächst erneut Schritt für Schritt den niedrigsten und den höchsten Wert bis noch zwei Werte übrig sind. Der Median ist dann das arithmetische Mittel dieser beiden Werte. In diesem Fall $(400+300):2=350$.

  • Beschrifte den Boxplot.

    Tipps

    Mit einem Boxplot kannst du anhand des Abstands zwischen den beiden Quartilen Rückschlüsse auf die Streuung der Daten ziehen.

    Während du für das arithmetische Mittel die Summe aller Werte durch die Anzahl aller Werte teilst, suchst du beim Median den Wert, bei dem es gleich viele niedrigere und höhere Werte gibt.

    Die Antennen markieren die kleinsten und größten Werte der Datenmenge.

    Lösung

    Bei einem Ausreißerproblem, also einer Datenmenge, bei der zum Beispiel ein Wert deutlich höher ist als alle anderen, kann es sein, dass das arithmetische Mittel nicht repräsentativ für den Durchschnittswert ist. Dann bildet man zum Vergleich den Median.

    Dafür werden zunächst alle Werte aufsteigend sortiert. Dann streicht man Schritt für Schritt immer den kleinsten und den größten Wert bis am Ende nur noch ein Wert übrig ist. Dieser ist dann unser Median. Ist die Anzahl der betrachteten Werte gerade, bleiben am Ende zwei Werte übrig. Der Median ist dann das arithmetische Mittel dieser beiden.

    Der Median teilt die Datenmenge in zwei Hälften. In diesen können wir jeweils erneut den Median bestimmen. Den der linken nennen wir unteres Quartil und den der rechten oberes Quartil. Der Abstand dieser beiden Werte wird als Interquartilsabstand bezeichnet und gibt Aufschluss über die Verteilung der Daten.

    Die Antennen markieren den Abstand von den Quartilen bis zum größten und kleinsten Wert.

  • Bestimme die Werte, die du für ein Boxplot brauchst.

    Tipps

    Um den Median zu ermitteln, streichst du abwechselnd den höchsten und niedrigsten Wert. Der Median ist der letzte Wert, der übrig bleibt. Bleiben zwei Werte übrig, ist der Median das arithmetische Mittel der beiden übrigen Werte.

    $0~€, 0~€, 2~€, 3~€, 5~€, 5~€, 13~€$

    Für diese Daten lautet die Sortierung der Werte:

    Unteres Quartil: $0~€$; Median: $3~€$; arithmetisches Mittel: $4~€$; oberes Quartil: $5~€$.

    Lösung

    Werte der Klasse A:

    • $0~€$
    • $1~€$
    • $5~€$
    • $6~€$
    • $7~€$
    • $10~€$
    • $25~€$
    Streichen wir nun Schritt für Schritt immer den niedrigsten und den höchsten Wert, erhalten wir den Median $6~€$.

    Betrachten wir nun die untere Hälfte:

    • $0~€$
    • $1~€$
    • $5~€$
    Der Median und somit das untere Quartil ist hier $1~€$.

    Die obere Hälfte ist gegeben durch:

    • $7~€$
    • $10~€$
    • $25~€$
    Hier erhalten wir $10~€$ als oberes Quartil.

    Das arithmetische Mittel ist die Summe der Daten geteilt durch die Anzahl an Daten.

    $(0~€+1~€+5~€+6~€+7~€+10~€+25~€):7=54~€:7\approx7,71~€ $

    So erhalten wir folgende Sortierung:

    • Unteres Quartil: $1~€$
    • Median: $6~€$
    • Arithmetisches Mittel: $\approx7,71~€$
    • Oberes Quartil: $10~€$
    Nun das gleiche für Klasse B:

    • $1~€$
    • $2~€$
    • $6~€$
    • $10~€$
    • $15~€$
    • $50~€$
    Da die Anzahl der Daten gerade ist, müssen wir das arithmetische Mittel von $6~€$ und $10~€$ bestimmen. Somit ist der Median: $(6~€+10~€):2=16~€:2=8~€$.

    Das untere Quartil ist der Median von:

    • $1~€$
    • $2~€$
    • $6~€$
    Wir erhalten also das untere Quartil $2~€$.

    Und das obere Quartil erhalten wir aus:

    • $10~€$
    • $15~€$
    • $50~€$
    Dieses beträgt $15~€$.

    Das arithmetische Mittel ist die Summe der Daten geteilt durch die Anzahl an Daten.

    $(1~€+2~€+6~€+10~€+15~€+50~€):6=84~€:6=14~€ $

    Somit erhalten wir:

    • unteres Quartil: $2~€$
    • Median: $8~€$
    • arithmetisches Mittel: $14~€$
    • oberes Quartil: $15~€$
  • Ordne den Daten den passenden Boxplot zu.

    Tipps

    Zeichne dir die Boxplots anhand der gegebenen Werte und vergleiche sie mit den gegebenen Boxplots.

    Die Box eines Boxplots markiert den Interquartilsabstand, also den Abstand von dem unteren zum oberen Quartil.

    Lösung

    Auf dem Bild siehst du exemplarisch einen Boxplot. Das untere Quartil ist das linke Ende der Box und das obere Quartil das rechte Ende. Die Box markiert den Interquartilsabstand.

    In der Box wird der Median markiert. Er zeigt an, wie stark die Streuung der Daten ist. Damit gilt für diesen Boxplot:

    • unteres Quartil: $2$
    • Median: $5$
    • oberes Quartil: $6$
  • Nenne die Eigenschaften des Medians.

    Tipps

    $1, 1, 1, 1, 1001$

    Bei diesen Werten liegt der Median bei $1$ und das arithmetische Mittel bei $201$.

    $2, 4, 6, 10$

    Hier ist der Median $5$.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    • Der Median hat gegenüber dem arithmetischen Mittel den Vorteil, nicht so anfällig gegen Ausreißer zu sein.
    • Man kann für jede der beiden Hälften, in die der Median die Daten teilt, wiederum den Median ermitteln. Diese Mediane der Hälften werden als Quartile bezeichnet.
    • Für den Median sortieren wir die Werte der Größe nach und streichen Schritt für Schritt immer den niedrigsten und den höchsten Wert.
    Diese Aussagen sind falsch:

    • Bei einer geraden Anzahl an Werten haben wir immer zwei Mediane.
    Bei einer geraden Anzahl an Werten gehen wir zunächst wie gewohnt vor und streichen Schritt für Schritt den niedrigsten und den höchsten Wert bis noch zwei Werte übrig bleiben. Wir berechnen nun das arithmetische Mittel dieser beiden Werte, um den Median zu erhalten. Der Median muss also nicht immer in unseren Daten vorkommen.

    • Den Median berechnen wir, indem wir die Summe der Werte durch die Anzahl der Werte teilen.
    Mit dieser Berechnung erhalten wir das arithmetische Mittel.

  • Ermittle die Werte anhand des Boxplots.

    Tipps

    Die geringste Spannweite hat das Reiten mit $9$.

    Der Quartilsabstand beim Singen beträgt $5$.

    Lösung

    Reiten

    Die Antennen des Boxplots vom Reiten reichen von Min. $4$ bis Max. $13$. Die Spannweite beträgt also $13-4=9$ Punkte.

    Das untere Quartil liegt bei $6$ Punkten und das obere bei $11$. Damit beträgt der (Inter-)quartilsabstand $11-6=5$ Punkte.

    Der Median und damit die durchschnittliche Punktzahl liegt bei $8$.

    Singen

    Die Antennen des Boxplots vom Singen reichen von Min. $-3$ bis Max. $17$. Die Spannweite beträgt also $20$ Punkte.

    Das untere Quartil liegt bei $2$ Punkten und das obere bei $7$. Damit beträgt der (Inter-)quartilsabstand $5$ Punkte. Ist also gleich dem des Reitens.

    Der Median und damit die durchschnittliche Punktzahl liegt bei $4$.

    Bodenturnen

    Die Antennen des Boxplots vom Bodenturnen reichen von Min. $6$ bis Max. $15,5$. Die Spannweite beträgt also $9,5$ Punkte.

    Das untere Quartil liegt bei $8$ Punkten und das obere bei $11$. Damit beträgt der (Inter-)quartilsabstand $3$ Punkte.

    Der Median und damit die durchschnittliche Punktzahl liegt bei $9,5$.

    Die größte Punktedifferenz gab es also beim Singen. Beim Bodenturnen lagen die Punkte am nächsten zusammen und auch die Durchschnittspunktzahl war am höchsten.