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Stichproben – Einführung

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Die Autor*innen
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Thekla Haemmerling
Stichproben – Einführung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Stichproben – Einführung

Etwa 2 % der Menschen auf der Welt besitzen einen IQ über 130 Punkten. Aber wie hat man das herausgefunden. 7 Millarden Menschen befragt? Da hilft nur eine Stichprobe! In diesem Video lernst du, was eine Stichprobe ist, wo Stichproben im Alltag vorkommen und welche nützlichen Informationen du aus ihnen ziehen kannst. Außerdem lernst du, wie du das Maximum, Minimum, die Spannweite und den Median bzw. Zentralwert aus einer geordneten Liste von Daten bestimmen kannst. Am Ende bist du bestens gerüstet um eigene Prognosen treffen zu können. Viel Spaß beim "Erheben".

Transkript Stichproben – Einführung

Hallo. Mein Name ist Thekla.

Bestimmt kennst du Aussagen der Art “95 Prozent der Deutschen verstehen unter einer Familie ein Ehepaar und Kinder“ oder etwa “Zwei Prozent der deutschen Schüler haben einen IQ von über 130”.

Braucht man nicht viel zu lange, um alle Deutschen nach ihrer Meinung zu befragen oder den IQ jeden Schülers zu ermitteln??? Ja, ganz bestimmt. Wie kann man solche Daten also anders ermitteln?

Ganz einfach: Durch Stichproben nehmen

Aber...

Was sind Stichproben eigentlich? Wozu braucht man Stichproben? Welche grundlegenden Informationen kann man aus einer Stichprobe ziehen?

Das möchte ich dir im Folgenden erklären.

Was sind Stichproben?

Häufig wird die Frage gestellt: “Was denken die Deutschen?”

Um das zu beantworten oder um genauere Informationen über Gewohnheiten, Eigenschaften und Meinungen einer großen Anzahl von Personen, wie zum Beispiel über die 85 Millionen Deutschen, zu erhalten, werden statistische Erhebungen wie Umfragen oder Verkehrskontrollen durchgeführt.

Die Menge aller Personen oder Dinge, über die man etwas wissen möchte, nennt man Gesamtheit. Hier sind das alle Einwohner Deutschlands.

Die Menge der ausgewählten Personen, die man in statistischen Erhebungen befragt oder untersucht, nennt man Stichprobe.

Eine Stichprobe ist eine ausgewählte Teilgruppe einer großen Menge - der Gesamtheit. Sie muss representativ, also aussagekräftig genug sein, damit man von der Stichprobe auf die Gesamtheit schließen darf. Dementsprechend reicht es nicht aus, zum Beispiel nur deine Eltern zu befragen. Das Ergebnis habe ich in einer Tabelle zusammengestellt. Du kannst jetzt ablesen, wie viele SMS die Schüler der 9 a) und 9 b) prozentual in der Woche verschicken. Dieses Ergebnis kannst du auf die Schülerinnen und Schüler aller neunten Klassen Deutschlands übertragen und somit zum Beispiel die allgemeine Aussage formulieren: 38 Prozent der deutschen Schüler, die in die neunte Klasse gehen, versenden in der Woche zwischen 0 und 8 SMS.

Welche weiteren Informationen kann man aus einer Stichprobe ziehen?

Fridtjof trainiert für ein 50 Meter Wettrennen. Heute macht er sieben Durchläufe und schreibt die Ergebnisse in eineTabelle. Dann ordnet er die Werte nach ihrer Größe.

Fridtjofs schnellste Zeit war 8,4 Sekunden. Da dies der kleinste Wert von allen gemessenen ist, nennt man ihn Minimum. Den größten Wert, also 8,9 Sekunden, nennt man Maximum. Der Wert, der in der Mitte oder im Zentrum der geordneten Liste liegt, heißt Zentralwert. In unserem Beispiel ist der Zentralwert 8,6 Sekunden. Der Zentralwert wird auch Median genannt. Der Abstand zwischen dem größten und dem kleinsten Wert heißt Spannweite. Hier wäre das also s=8,9 - 8,4 gleich 0,5 Sekunden. Fridtjof hat noch ein achtes Mal seine Zeit gestoppt. Diesmal hat er wieder 8,8 Sekunden geschafft. Der maximale und minimale Wert bleiben gleich. Doch was ist mit dem Zentralwert? Da nun zwei Werte in der Mitte liegen, nämlich 8,6 und 8,7 Sekunden, musst du den Zentralwert folgendermaßen berechnen. Du addierst die zwei Werte und teilst das Ergebnis durch 2. Hier ist das 8,6 + 8,7 /2 = 17,3 / 2 = 8,65 Sekunden.

Fridtjof fühlt sich jetzt optimal vorbereitet und kann gut einschätzen, wie schnell er bei dem Wettrennen laufen wird. Lass und das Gelernte nochmals zusammenfassen:

Möchtest du etwas über eine große Menge, die Gesamtheit, wissen, wählst du dir am besten eine repräsentative Teilgruppe, die Stichprobe, aus. Die Informationen, die dir diese Stichprobe liefert, kannst du dann auf die Gesamtheit übertragen.

In einer geordneten Liste von, zum Beispiel, Messdaten kannst du den größten Wert, das Maximum, und den kleinsten Wert, das Minimum, angeben. Der Abstand zwischen Maximum und Minimum heißt Spannweite. Außerdem kannst du den Zentralwert ablesen, wenn die Liste aus einer ungeraden Anzahl von Daten besteht. Dann nimmst du den Wert, der in der Mitte liegt. Besteht die Liste aus einer geraden Anzahl von Daten, addierst du die beiden Werte, die in der Mitte liegen und teilst das Ergebnis durch 2. Und denk daran: Der Zentralwert heißt auch Median. So, und nun bist du dran: Führe doch auch mal eine Umfrage in deiner Schule durch, wie gern zum Beispiel die deutschen Schüler Mathe mögen! Das nötige Werkzeug hast du jetzt!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Hallo Tim Suskov,
    es freut uns zu hören, dass dir das Video so gut gefällt. Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Diem Thanh Hoang, vor etwa einem Jahr
  2. Sehr gut erklärt.
    Danke

    Von Tim Suskov, vor etwa einem Jahr

Stichproben – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Stichproben – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie viel Prozent der Schüler zwischen $0$ und $8$ SMS pro Woche verschicken.

    Tipps

    Die Gesamtheit ist die Menge aller Personen, für die eine statistische Erhebung durchgeführt werden soll.

    Die Stichprobe ist eine repräsentative Teilmenge der Gesamtheit.

    Wenn $23$ von $60$ Schülern betrachtet werden, so entspricht dies $\frac{23}{60}=0,38\bar3\approx 38~\%$.

    Lösung

    Wozu braucht man Stichproben?

    Es wird die Gesamtheit aller Schüler der neunten Klassen in Deutschland betrachtet. Es werden als Stichprobe die Klassen 9a und 9b, insgesamt 60 Schüler, betrachtet.

    Die Frage lautete: Wie viele SMS versendet ein Schüler pro Woche?

    Das Ergebnis ist in der nebenstehenden Tabelle zu erkennen.

    Daraus kann man ablesen, dass $38~\%$ der Schüler, die in Deutschland in die neunte Klasse gehen, pro Woche zwischen $0$ und $8$ SMS versenden. Man schließt hierbei von einer Stichprobe auf die Gesamtheit.

  • Beschreibe, welche Informationen man noch aus einer Stichprobe erhalten kann.

    Tipps

    Subtrahiere für die Spannweite von dem Maximalwert den Minimalwert.

    Der Minimalwert ist in diesem Fall die schnellste Zeit.

    Der Median ist die Mitte der Liste:

    • Bei einer ungeraden Anzahl der Daten liegen ebenso viele Daten darüber wie darunter.
    • Bei einer geraden Anzahl der Daten werden zwei Werte addiert und durch $2$ dividiert.

    Lösung

    Welche weiteren Informationen kann man aus einer Stichprobe ziehen?

    Fridtjof trainiert für ein $50$-Meter-Wettrennen. Die Werte des heutigen Tages sind der nebenstehenden Tabelle zu entnehmen.

    • Der kleinste Wert, $8,4~s$, ist das Minimum.
    • Der größte Wert, $8,9~s$, ist das Maximum.
    • Der Wert, der in der Mitte oder dem Zentrum der geordneten Liste liegt, ist der Median. Hier ist dies $8,6~s$.
    • Die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert, $8,9~s-8,4~s=0,5~s$, ist die Spannweite.

  • Untersuche den Datensatz auf Minimum, Maximum, Median und Spannweite.

    Tipps

    Der Datensatz ist geordnet: Er beginnt mit dem kleinsten Wert und endet mit dem größten.

    Der Median heißt auch Zentralwert.

    Die Spannweite gib an, wie weit sich der Datensatz erstreckt. Dies ist ein positiver Wert.

    Lösung

    Wenn ein Datensatz geordnet ist, können diesem weitere Informationen entnommen werden:

    • Das Minimum ist hier $2$.
    • Das Maximum ist hier $22$.
    • Die Spannweite ist die Differenz aus Maximum und Minimum, also $22-2=20$.
    • Der Median ist der mittlere Wert des geordneten Datensatzes $8$.

  • Bestimme Maximum, Minimum sowie Median der Stichprobe.

    Tipps

    Sortiere zunächst die Daten.

    Die kleinste (größte) Zahl ist das Minimum (Maximum).

    Der Median ist der Wert genau in der Mitte der sortierten Daten.

    Lösung

    Um weitere Informationen aus Daten zu erhalten, müssen diese erst einmal der Größe nach geordnet werden: Den geordneten Datensatz kann man hier sehen:

    • Das Minimum ist $4$.
    • Das Maximum $30$.
    • Der Median, also der Wert in der Mitte der geordneten Liste, ist $14$.

  • Ergänze die Erklärung zu Stichproben.

    Tipps

    Wenn man zum Beispiel wissen will, wie viele Personen in Berlin Vegetarier sind, würde man nicht alle Menschen in Berlin befragen. Dies wäre zu aufwändig.

    Die Gesamtzahl der Menschen in Berlin beträgt $3,5$ Millionen; eine Stichprobe könnte zum Beispiel aus $1000$ von diesen Menschen bestehen.

    Es ist nur sinnvoll, eine solche Stichprobe zu erheben, wenn die Ergebnisse der Befragung auch das wiedergeben, was in ganz Berlin zu erwarten sein wird.

    So ist es zum Beispiel nicht sinnvoll, ausschließlich Menschen zwischen vierzehn und zwanzig Jahren zu befragen.

    Lösung

    Was sind Stichproben?

    Wenn es zum Beispiel um die Frage geht, was die Deutschen über ein bestimmtes Thema denken, werden statistische Erhebungen erhoben.

    Die Menge aller Personen, hier der Einwohner von Deutschland, nennt man Gesamtheit.

    Da es zu aufwändig wäre, alle zu befragen, wird nur ein Teil ausgewählt, welcher befragt wird. Diese Menge nennt man Stichprobe.

    Eine Stichprobe ist eine ausgewählte Teilmenge der Gesamtheit.

    Eine Stichprobe muss repräsentativ sein, das heißt, sie muss die Gesamtheit gut widerspiegeln, damit man von Stichprobe auch wieder auf die Gesamtheit schließen kann.

  • Berechne den Median des Datensatzes.

    Tipps

    Oberhalb und unterhalb des Medians befinden sich gleich viele Elemente des Datensatzes.

    Bei einer geraden Anzahl an Elementen liegt der Median genau zwischen zwei gegebenen Daten.

    Der Median ist hier eine natürliche Zahl.

    Lösung

    Der Median, auch Zentralwert, eines geordneten Datensatzes ist der mittlere Wert dieses Datensatzes.

    Bei einer ungeraden Anzahl an Elementen ist dies der Wert genau in der Mitte; darüber befinden sich ebenso viele Elemente wie darunter.

    Doch wie kann bei einem Datensatz mit gerader Anzahl an Elementen der Median berechnet werden?

    Am Beispiel des oben zu sehenden Datensatzes geht man wie folgt vor: Die Mitte dieses Datensatzes liegt genau zwischen der Anzahl der Bücher, die Viktoria liest, $6$, und der, die Hans liest, $8$. Die beiden Werte werden addiert und die Summe durch $2$ dividiert.

    $\frac{6+8}2=\frac{14}2=7$.

    $7$ ist der gesuchte Median.

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