Stichproben – Einführung
Eine Stichprobe ist eine kleinere Gruppe, die stellvertretend für eine größere Grundgesamtheit untersucht wird. Du lernst, wie man Minimum, Maximum, Spannweite und Median berechnet. Interessiert? Du findest all das und mehr im folgenden Text!
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Lerntext zum Thema Stichproben – Einführung
Stichproben – Definition
Die Stichprobe ist ein Begriff aus der Statistik. Wenn eine bestimmte Fragestellung untersucht werden soll, zum Beispiel zu den Bewohnerinnen und Bewohnern einer Stadt, ist es oft nicht möglich oder zu aufwendig, alle betreffenden Menschen zu befragen.
Die Menschen dieser größeren Gruppe bilden die Grundgesamtheit, also die Gesamtheit aller Menschen, über die in einer Untersuchung etwas herausgefunden werden soll.
Eine Stichprobe ist dann eine nach bestimmten Kriterien ausgewählte kleinere Gruppe an Menschen, die stellvertretend für die Grundgesamtheit befragt wird.
Eine Stichprobe ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit, die im Hinblick auf die Fragestellung untersucht werden soll.
Eine Stichprobe kann beispielsweise aus
- einer Gruppe von Menschen,
- einer Anzahl an Gegenständen,
- einer Anzahl an Orten oder
- einer Anzahl an Ereignissen
bestehen, je nachdem wie sich die Grundgesamtheit zusammensetzt.
Aus den in einer statistischen Erhebung gewonnenen Werten kannst du das Minimum, das Maximum, die Spannweite und den Median ermitteln.
Wichtige Begriffe zum Thema Stichproben
Begriff zum Thema Stichproben | Erklärung des Begriffs |
---|---|
Statistik | Unter dem Begriff Statistik werden die Sammlung, Analyse, Zusammenfassung und Darstellung von Daten sowie die Methoden der Datenerfassung und -auswertung verstanden. |
statistische Erhebung | Eine statistische Erhebung ist eine Erfassung von Daten, mit der eine bestimmte Fragestellung untersucht werden soll. |
Grundgesamtheit | Die Grundgesamtheit besteht z. B. aus allen Menschen oder Objekten, über die in einer Untersuchung etwas herausgefunden werden soll. |
Minimum | Das Minimum ist der niedrigste Wert, der erhoben wurde. |
Maximum | Das Maximum ist der höchste Wert, der erhoben wurde. |
Spannweite | Die Spannweite ist der Abstand zwischen dem Minimum und dem Maximum. |
Median (Zentralwert) | Der Median ist der mittlere Wert in einer nach der Größe geordneten Datenreihe. |
Das Minimum und Maximum sowie die Spannweite und der Median lassen sich nur ermitteln, wenn die erhobenen Daten in Zahlenwerten gemessen werden können.
Repräsentative Stichproben
In einer repräsentativen Stichprobe sind die relevanten Merkmale der Grundgesamtheit abgebildet. Dafür muss die Stichprobe groß genug sein. Der erforderliche Umfang hängt von der Größe der Grundgesamtheit ab.
Wenn z. B. untersucht werden soll, wie häufig Kinder im Alter von $8$ bis $10$ Jahren in einem Stadtteil in Berlin die lokale Stadtbibliothek nutzen, müssen in einer repräsentativen Stichprobe ausreichend Kinder befragt werden und alle für diese Grundgesamtheit relevanten Merkmale enthalten sein.
Das könnten beispielsweise folgende Merkmale sein:
- das Alter der Kinder innerhalb der Altersgruppe,
- das Geschlecht der Kinder,
- der sozioökonomische Status der Eltern oder
- die Entfernung zwischen dem Wohnort der Kinder und der Bibliothek.
Darüber hinaus ist wichtig, wie diese Merkmale in der Grundgesamtheit verteilt sind. Wenn es in der Grundgesamtheit z. B. nur wenige Kinder gibt, die weiter als $3$ $km$ von der Bibliothek entfernt wohnen, sollten in einer repräsentativen Stichprobe entsprechend auch weniger Kinder mit einem weiten Weg zur Bibliothek enthalten sein.
Nur aus einer repräsentativen Stichprobe lassen sich allgemeingültige Aussagen über die Grundgesamtheit ableiten.
Ist die Stichprobe nicht repräsentativ, werden die Ergebnisse verzerrt und lassen sich nicht auf die Grundgesamtheit übertragen.
Repräsentative Stichpunkte werden meist zufällig ausgewählt. Dazu gibt es verschiedene Verfahren, bei denen z. B. zunächst Untergruppen anhand der Merkmale gebildet werden.
Wenn die Grundgesamtheit klein ist, ist es schwierig, repräsentative Stichproben zu ziehen.
Beispiel für eine Stichprobe
Einige Lehrkräfte der $9.$ Klassen haben mit ihrem Mathematikkursen in den jüngeren Klassen eine Befragung zur Bibliotheksnutzung durchgeführt, um den Kindern die Funktionsweise der Untersuchung näherzubringen. Die Kinder wurden dabei gefragt, wie häufig sie die Bibliothek in einem Monat nutzen.
Folgende Werte wurden in der Klasse $4a$ erfasst:
1 | 3 | 4 | 6 | 8 | 11 | 13 |
Die Grundgesamtheit besteht aus allen Kindern der $4a$.
Die Stichprobe besteht aus den $7$ Kindern, die befragt wurden.
Das Minimum liegt bei $1$, da alle Kinder der Stichprobe zur Bibliothekseinführung in der Bibliothek waren.
Das Maximum liegt bei $13$, da ein Kind $13$-mal in der Bibliothek war.
Der Spannweite liegt bei $12$, da das der Unterschied zwischen dem höchsten erfassten Wert $13$ und dem niedrigsten erfassten Wert $1$ ist.
Der Median liegt bei $6$, da das der mittlere erfasste Wert ist. Da eine ungerade Anzahl an Kindern befragt wurde, ist der Median hier direkt abzulesen.
Beachte: Der Median entspricht nicht dem Durchschnitt (arithmetischem Mittel) der Stichprobe.
Berechnung des Medians bei gerader Anzahl an Messwerten:
Bei einer geraden Anzahl an Messwerten ist der Median nicht direkt abzulesen. Deshalb werden zuerst die beiden mittleren Werte addiert und das Ergebnis dann durch zwei geteilt:
Die Klasse $4b$ hat eine gerade Anzahl an Messwerten ermittelt.
Messwerte:
1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 11 | 12 |
Berechnung des Medians:
$\dfrac{6 + 8}{2} = 7$
Stichproben – Zusammenfassung
Eine Stichprobe ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit, die in Bezug auf eine bestimmte Fragestellung untersucht werden soll.
Die Grundgesamtheit ist die Gesamtheit z. B. aller Menschen, Objekte oder Ereignisse, über die in einer Untersuchung etwas herausgefunden werden soll.
Das Minimum ist der niedrigste Wert, der erhoben wurde, das Maximum ist der höchste erhobene Wert. Die Spannweite ist der Abstand zwischen diesen beiden Werten.
Der mittlere Wert in einer nach der Größe geordneten Datenreihe wird Median oder Zentralwert genannt.
Allgemeingültige Aussagen über die Grundgesamtheit lassen sich nur aus einer repräsentativen Stichprobe ableiten, die groß genug ist, zufällig ausgewählt wurde und alle relevanten Merkmale der Grundgesamtheit widerspiegelt.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Stichproben
Stichproben – Einführung Übung
-
Gib an, wie viel Prozent der Schüler zwischen $0$ und $8$ SMS pro Woche verschicken.
TippsDie Gesamtheit ist die Menge aller Personen, für die eine statistische Erhebung durchgeführt werden soll.
Die Stichprobe ist eine repräsentative Teilmenge der Gesamtheit.
Wenn $23$ von $60$ Schülern betrachtet werden, so entspricht dies $\frac{23}{60}=0,38\bar3\approx 38~\%$.
LösungWozu braucht man Stichproben?
Es wird die Gesamtheit aller Schüler der neunten Klassen in Deutschland betrachtet. Es werden als Stichprobe die Klassen 9a und 9b, insgesamt 60 Schüler, betrachtet.
Die Frage lautete: Wie viele SMS versendet ein Schüler pro Woche?
Das Ergebnis ist in der nebenstehenden Tabelle zu erkennen.
Daraus kann man ablesen, dass $38~\%$ der Schüler, die in Deutschland in die neunte Klasse gehen, pro Woche zwischen $0$ und $8$ SMS versenden. Man schließt hierbei von einer Stichprobe auf die Gesamtheit.
-
Beschreibe, welche Informationen man noch aus einer Stichprobe erhalten kann.
TippsSubtrahiere für die Spannweite von dem Maximalwert den Minimalwert.
Der Minimalwert ist in diesem Fall die schnellste Zeit.
Der Median ist die Mitte der Liste:
- Bei einer ungeraden Anzahl der Daten liegen ebenso viele Daten darüber wie darunter.
- Bei einer geraden Anzahl der Daten werden zwei Werte addiert und durch $2$ dividiert.
LösungWelche weiteren Informationen kann man aus einer Stichprobe ziehen?
Fridtjof trainiert für ein $50$-Meter-Wettrennen. Die Werte des heutigen Tages sind der nebenstehenden Tabelle zu entnehmen.
- Der kleinste Wert, $8,4~s$, ist das Minimum.
- Der größte Wert, $8,9~s$, ist das Maximum.
- Der Wert, der in der Mitte oder dem Zentrum der geordneten Liste liegt, ist der Median. Hier ist dies $8,6~s$.
- Die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert, $8,9~s-8,4~s=0,5~s$, ist die Spannweite.
-
Untersuche den Datensatz auf Minimum, Maximum, Median und Spannweite.
TippsDer Datensatz ist geordnet: Er beginnt mit dem kleinsten Wert und endet mit dem größten.
Der Median heißt auch Zentralwert.
Die Spannweite gib an, wie weit sich der Datensatz erstreckt. Dies ist ein positiver Wert.
LösungWenn ein Datensatz geordnet ist, können diesem weitere Informationen entnommen werden:
- Das Minimum ist hier $2$.
- Das Maximum ist hier $22$.
- Die Spannweite ist die Differenz aus Maximum und Minimum, also $22-2=20$.
- Der Median ist der mittlere Wert des geordneten Datensatzes $8$.
-
Bestimme Maximum, Minimum sowie Median der Stichprobe.
TippsSortiere zunächst die Daten.
Die kleinste (größte) Zahl ist das Minimum (Maximum).
Der Median ist der Wert genau in der Mitte der sortierten Daten.
LösungUm weitere Informationen aus Daten zu erhalten, müssen diese erst einmal der Größe nach geordnet werden: Den geordneten Datensatz kann man hier sehen:
- Das Minimum ist $4$.
- Das Maximum $30$.
- Der Median, also der Wert in der Mitte der geordneten Liste, ist $14$.
-
Ergänze die Erklärung zu Stichproben.
TippsWenn man zum Beispiel wissen will, wie viele Personen in Berlin Vegetarier sind, würde man nicht alle Menschen in Berlin befragen. Dies wäre zu aufwändig.
Die Gesamtzahl der Menschen in Berlin beträgt $3,5$ Millionen; eine Stichprobe könnte zum Beispiel aus $1000$ von diesen Menschen bestehen.
Es ist nur sinnvoll, eine solche Stichprobe zu erheben, wenn die Ergebnisse der Befragung auch das wiedergeben, was in ganz Berlin zu erwarten sein wird.
So ist es zum Beispiel nicht sinnvoll, ausschließlich Menschen zwischen vierzehn und zwanzig Jahren zu befragen.
LösungWas sind Stichproben?
Wenn es zum Beispiel um die Frage geht, was die Deutschen über ein bestimmtes Thema denken, werden statistische Erhebungen erhoben.
Die Menge aller Personen, hier der Einwohner von Deutschland, nennt man Gesamtheit.
Da es zu aufwändig wäre, alle zu befragen, wird nur ein Teil ausgewählt, welcher befragt wird. Diese Menge nennt man Stichprobe.
Eine Stichprobe ist eine ausgewählte Teilmenge der Gesamtheit.
Eine Stichprobe muss repräsentativ sein, das heißt, sie muss die Gesamtheit gut widerspiegeln, damit man von Stichprobe auch wieder auf die Gesamtheit schließen kann.
-
Berechne den Median des Datensatzes.
TippsOberhalb und unterhalb des Medians befinden sich gleich viele Elemente des Datensatzes.
Bei einer geraden Anzahl an Elementen liegt der Median genau zwischen zwei gegebenen Daten.
Der Median ist hier eine natürliche Zahl.
LösungDer Median, auch Zentralwert, eines geordneten Datensatzes ist der mittlere Wert dieses Datensatzes.
Bei einer ungeraden Anzahl an Elementen ist dies der Wert genau in der Mitte; darüber befinden sich ebenso viele Elemente wie darunter.
Doch wie kann bei einem Datensatz mit gerader Anzahl an Elementen der Median berechnet werden?
Am Beispiel des oben zu sehenden Datensatzes geht man wie folgt vor: Die Mitte dieses Datensatzes liegt genau zwischen der Anzahl der Bücher, die Viktoria liest, $6$, und der, die Hans liest, $8$. Die beiden Werte werden addiert und die Summe durch $2$ dividiert.
$\frac{6+8}2=\frac{14}2=7$.
$7$ ist der gesuchte Median.
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