Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße
- Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße – Einführung
- Zufallsexperiment – das Produkt der Augenzahlen beim zweifachen Tetraederwurf
- Wahrscheinlichkeitsfunktion
- Verteilungsfunktion – Definition
- Verteilungsfunktion – grafische Darstellung
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Lerntext zum Thema Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße
Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße – Einführung
Für diesen Lerntext über die Verteilungsfunktion solltest du bereits Vorkenntnisse im Thema Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung haben.
Wir werden uns anhand von Beispielen anschauen, wie man für ein Zufallsexperiment mit einer diskreten Zufallsgröße die Verteilungsfunktion aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion (Wahrscheinlichkeitsverteilung) bestimmt, wie man die Verteilungsfunktion grafisch darstellt und mit der Verteilungsfunktion bestimmte Wahrscheinlichkeiten berechnet. Das beschriebene Verfahren kannst du auf alle Zufallsexperimente mit diskreten Zufallsgrößen übertragen.
Diskrete und stetige Zufallsgrößen
Diskrete Zufallsgrößen können nur endlich viele, abzählbare Werte annehmen – beispielsweise die Ergebnisse bei einem Würfelwurf oder die Anzahl an Personen, die mit einem bestimmten Verkehrsmittel fahren.
Im Gegensatz dazu gibt es auch Zufallsexperimente mit stetigen Zufallsgrößen, die beliebig viele, nicht abzählbare Werte innerhalb eines Intervalls annehmen können – beispielsweise die Zeit, um die sich ein Verkehrsmittel verspätet.
Zufallsexperiment – das Produkt der Augenzahlen beim zweifachen Tetraederwurf
Wir betrachten als Zufallsexperiment den zweifachen Wurf eines regelmäßigen Tetraeders mit den Augenzahlen $1$ bis $4$. Die Zufallsgröße $X$ ist das Produkt der beiden gewürfelten Augenzahlen.
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Als Erstes bestimmen wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion, die auch Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt wird.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jedem Wert, den die Zufallsgröße $X$ annehmen kann, seine Wahrscheinlichkeit zu:
$x_i\mapsto P(X=x_i)$
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion kann in Form einer Wertetabelle dargestellt werden:
| $x_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 9 | 12 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{2}{16}$ | $\frac{2}{16}$ | $\frac{3}{16}$ | $\frac{2}{16}$ | $\frac{2}{16}$ | $\frac{1}{16}$ | $\frac{2}{16}$ | $\frac{1}{16}$ |
Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten wurden mithilfe von Baumdiagrammen und Pfadregeln bestimmt. Rechne für vier Wahrscheinlichkeiten nach!
Bei jeder Wahrscheinlichkeitsfunktion muss die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten $1$ ergeben – verwende diese Tatsache, um eine Probe durchzuführen.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion kann mithilfe von Säulendiagrammen oder Histogrammen auch grafisch dargestellt werden.
Verteilungsfunktion – Definition
Mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion betrachtet man das Eintreten eines Ergebnisses: In unserem Beispiel ist $P(X=4)$ die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Wert $4$ annimmt. Oftmals betrachtet man auch die Zusammenfassung mehrerer Ergebnisse: Beispielsweise entspricht $P(X\leq 4)$ hier der Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt der Augenzahlen höchstens den Wert $4$ annimmt. Um diese Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, muss man mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten aufaddieren:
$\begin{array}{cl}P(X\leq 4)&=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)\\ \\ & =\dfrac{1}{16}+\dfrac{2}{16}+\dfrac{2}{16}+\dfrac{3}{16} \\ \\ & =\dfrac{8}{16}\end{array}$
Da es sich um eine Summe von Wahrscheinlichkeiten handelt, spricht man auch von der kumulierten Wahrscheinlichkeit (kumulieren bedeutet „anhäufen“ oder „ansammeln“). Betrachtet man die kumulierte Wahrscheinlichkeit für jeden Wert, den die Zufallsgröße annehmen kann, erhält man die kumulierte Wahrscheinlichkeitsfunktion oder auch Verteilungsfunktion.
Die Verteilungsfunktion bzw. kumulierte Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jedem Wert, den die Zufallsgröße $X$ annehmen kann, seine kumulierte Wahrscheinlichkeit zu:
$x_i\mapsto P(X\leq x_i)$
Mithilfe der Wertetabelle für die Wahrscheinlichkeitsfunktion können wir die Verteilungsfunktion bestimmen. Wir fangen links bei dem kleinsten Wert an, hier bleibt die Wahrscheinlichkeit unverändert: $P(X\leq 1)=P(X=1)=\dfrac{1}{16}$. Anschließend gehen wir eine Spalte weiter und berechnen: $P(X\leq 2)=P(X\leq 1)+P(X=2)=\dfrac{1}{16}+\dfrac{2}{16}=\dfrac{3}{16}$. So kannst du mit wenig Rechenaufwand die gesamte Tabelle für die Verteilungsfunktion angeben, indem du von links nach rechts vorgehst und zum vorherigen Wert jeweils die Einzelwahrscheinlichkeit addierst. Der ganz rechte Eintrag muss entsprechend den Wert $1$ annehmen, was du wieder als Probe verwenden kannst.
| $x_i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 9 | 12 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\dfrac{1}{16}$ | $\dfrac{2}{16}$ | $\dfrac{2}{16}$ | $\dfrac{3}{16}$ | $\dfrac{2}{16}$ | $\dfrac{2}{16}$ | $\dfrac{1}{16}$ | $\dfrac{2}{16}$ | $\dfrac{1}{16}$ |
| $P(X\leq x_i)$ | $\dfrac{1}{16}$ | $\dfrac{3}{16}$ | $\dfrac{5}{16}$ | $\dfrac{8}{16}$ | $\dfrac{10}{16}$ | $\dfrac{12}{16}$ | $\dfrac{13}{16}$ | $\dfrac{15}{16}$ | $\dfrac{16}{16}=1$ |
Mit einer gegebenen Verteilungsfunktion kann man Wahrscheinlichkeiten berechnen. Beantworte die folgenden Fragen zum Zufallsexperiment mit zwei Tetraedern mithilfe der obigen Tabelle.
Verteilungsfunktion – grafische Darstellung
Für die grafische Darstellung einer Verteilungsfunktion wird an der waagerechten Achse die Zufallsvariable $x_i$ und an der senkrechten Achse die Wahrscheinlichkeit $P(X\leq x_i)$ aufgetragen. In unserem Beispiel ist der $x$-Wert ist das Produkt der Augenzahlen und der $y$-Wert die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens diese Augenzahl gewürfelt wird. Um den Graphen zu zeichnen, übertragen wir einfach die Punkte aus der Wertetabelle.
Die horizontalen Linien geben an, dass die Wahrscheinlichkeit hier gleichbleibend ist für die Werte, die wir in der Wertetabelle gar nicht angegeben haben, da sie keine möglichen Ergebnisse des betrachteten Zufallsexperiments sind. So ist beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt der Augenzahlen höchstens $10$ beträgt, genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt der Augenzahlen höchstens $9$ beträgt, nämlich $\dfrac{13}{16}$.
An der Sprungstellen der Funktion zählt der Wert, an dem ein Punkt eingezeichnet ist. Senkrechte Linien zwischen den Sprüngen können, aber müssen nicht eingezeichnet werden.
Die grafische Darstellung einer diskreten Zufallsvariable ist eine sogenannte Treppenfunktion. Der Graph einer Verteilungsfunktion beginnt immer bei null, ist monoton steigend und endet bei $1$.
Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße – Zusammenfassung und Ausblick
Bei der Betrachtung einer diskreten Zufallsgröße lässt sich sowohl eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (Wahrscheinlichkeitsverteilung) als auch eine Verteilungsfunktion (kumulierte Wahrscheinlichkeitsfunktion) aufstellen.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jedem möglichen Wert der Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeit zu, dass dieser Wert angenommen wird:
$x_i\mapsto P(X=x_i)$
Die Verteilungsfunktion ordnet hingegen jedem möglichen Wert der Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeit zu, dass höchstens dieser Wert angenommen wird. Dafür werden alle Wahrscheinlichkeiten für Werte, die kleiner gleich dem betrachteten Wert sind, aufsummiert:
$x_i\mapsto P(X\leq x_i)=P(X=x_1)+P(X=x_2)+...+P(X=x_i)$
Ein sehr bekanntes Beispiel für eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist die Binomialverteilung, deren Verteilungsfunktion kumulierte Binomialverteilung genannt wird. Die Binomialverteilung kann allerdings nur für Bernoulli-Experimente angewendet werden, während der Begriff der Verteilungsfunktion allgemeiner ist und für alle Zufallsexperimente mit diskreten Zufallsgrößen gilt.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße
Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Übung
-
Ergänze die Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion.
TippsDie Wahrscheinlichkeiten für $P(X=x_i)$ kannst du mit einem Baumdiagramm und den Pfadregeln berechnen.
Die Wahrscheinlichkeiten für $P(X\leq x_i)$ kannst du durch Aufsummieren der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten von $P(X=x_i)$ berechnen.
Lösung- $P(X=1)$
- $P(X=2)$
- $P(X\leq 1)$
- $P(X\leq 2)$
-
Beurteile Aussagen zur Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion.
TippsDie Verteilungsfunktion wird auch die kumulierte Wahrscheinlichkeitsfunktion genannt.
Es ist nur eine Antwortmöglichkeit richtig.
LösungFür eine Zufallsgröße $x_i$ ist der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle $x_i$ ist immer mindestens so groß wie der Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion bei $x_i$.
Für den kleinsten Wert von $x_i$ gilt $P(X\leq x_i)=P(X=x_i)$. Für den nächstgrößeren Wert von $x_j$ wird dessen Wahrscheinlichkeit zur vorherigen dazu addiert und so gilt $P(X\leq x_j)=P(X=x_i)+P(x_j) > P(x_j)$.
-
Bestimme die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Verteilungsfunktion.
TippsGesucht ist die Wahrscheinlichkeit von dem Ereignis „Die gewürfelte Augenzahl ist kleiner als $5$, aber größer als $2$“.
Das Ereignis „kleiner als $5$“ ist hier gleichbedeutend mit „höchstens $4$“.
Lösung$P(2 < X < 5)= P(X=3)+P(X=4)=P(X\leq 4)-P(X\leq 2)$
-
Berechne die Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Verteilungsfunktion.
TippsVersuche, die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Ausdrücken der Form $P(X \leq x_i)$ darzustellen.
Nutze dafür wenn nötig die Gegenwahrscheinlichkeit:
$P(A)=1-P(\overline{A})$.
Lösung- $P(X\leq 5)=\frac{10}{16}$
- $P(4\leq X\leq 7)=P(X\leq 7) - P(X\leq 3)=\frac{15}{16}-\frac{3}{16}=\frac{12}{16}$
- $P(X< 7) = P(X\leq 6)=\frac{13}{16}$
- $P(X\geq 6)=1-P(X\leq 5)= 1 -\frac{10}{16}=\frac{6}{16}$.
-
Benenne die Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion.
TippsKumulieren bedeutet „anhäufen” oder „ansammeln”.
LösungDie Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet jedem Wert, den die Zufallsgröße $X$ annehmen kann, seine Wahrscheinlichkeit zu:
$x_i\mapsto P(X=x_i)$
Die Verteilungsfunktion ordnet jedem Wert, den die Zufallsgröße $X$ annehmen kann, seine kumulierte Wahrscheinlichkeit zu:
$x_i\mapsto P(X\leq x_i)$
-
Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
TippsBei einem doppelten Tetraederwurf gibt es $16$ verschiedene Ergebnisse.
Lösung$P(X=2)=\frac{1}{16}$
Die Summe $2$ erhält man, wenn man eine $1$ und nochmal eine $1$ würfelt, also $1$ von $16$ Möglichkeiten oder mit der Pfadregel $\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16}$.
$P(X\leq 3)=\frac{3}{16}$
Die Summe $3$ erhält man bei den Würfelergebnissen $(2,1)$ und $(1,2)$. Damit ist die Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{16}$. Für höchstens die Summe $3$ addieren wir die vorherige Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{16}+\frac{2}{16}=\frac{3}{16}$.
$P(X\geq 4)=\frac{13}{16}$
Mit mindestens $4$ als Gegenereignis von höchstens $3$ rechnen wir mit der Gegenwahrscheinlichkeit: $1-\frac{3}{16}=\frac{13}{16}$.
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