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Definition einer Wahrscheinlichkeit

Betrachte hierfür als Zufallsexperiment das Werfen eines Spielwürfels. Das zugehörige Netz siehst du hier:

1224_Würfelnetz.jpg

Die Ergebnismenge ist bei der beobachteten Größe „Augenzahl“ gegeben durch $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$. Ein Ereignis ist eine beliebige Teilmenge der Ergebnismenge.

Eine Wahrscheinlichkeitszuordnung ist eine Zuordnung, die jedem Ereignis $A\subseteq \Omega$ eine reelle Zahl zuordnet. Dabei müssen die folgenden Bedingungen, die Kolmogorov-Axiome erfüllt sein:

  • $P(A)\ge 0$ für jedes Ereignis $A$.
  • $P(\Omega)=1$, das sichere Ereignis. Dies wird als Normiertheit bezeichnet.
  • $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$, sofern $A\cap B=\emptyset$. Dies ist der Additionssatz.

Es gelten die folgenden Eigenschaften:

  • $P(A)\le 1$
  • $P(\emptyset)=0$, das unmögliche Ereignis,
  • $P(\bar A)=1-P(A)$, das Gegenereignis,
  • $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
  • $A\subseteq B$ dann gilt $P(A)\le P(B)$
  • $P(A)=P(e_1)+...+P(e_n)$, wobei $A=\{e_1;...;e_n\}$ ist.

Was ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion?

Sei $X$ eine Zufallsgröße, dann kann man mit Hilfe dieser eine Wahrscheinlichkeitsfunktion $f(X=x_{i})$ für diese Zufallsgröße definieren. Diese Funktion ordnet jedem Wert, den die Zufallsgröße annehmen kann, die entsprechende Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieses Wertes zu. Es wird also eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für das Werfen des obigen Würfels ist wie folgt gegeben:

$\quad~~~f(x)= \begin{cases} \frac16 & \text{, wenn }x\in \{1;...;6\} \\ 0 & \text{, sonst } \end{cases}$

Hier siehst du den Graphen dieser Funktion

1224_Wahrscheinlichkeitsfunktion.jpg

Da die Wahrscheinlichkeiten nur für endlich viele Ausprägungen $x\in\{1;...;6\}$ der Zufallsgröße ungleich $0$ ist, spricht man von einer diskreten Wahrscheinlichkeitsfunktion. Andernfalls liegt eine stetige Wahrscheinlichkeitsfunktion vor.

Was ist eine Verteilungsfunktion?

Zu dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion ist eine Verteilungsfunktion $F(x)=P(X\le x)$ als Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Ausprägungen kleiner oder gleich $x$ gegeben. Diese Wahrscheinlichkeit wird auch als kumulierte oder summierte Wahrscheinlichkeit bezeichnet.

Für das obige Beispiel des Wurfes eines regulären Würfels ist beispielsweise der Wert der Verteilungsfunktion für $F(5)$ mit $F(x)=P(X\le x)$ gegeben durch:

$F(5)=P(X\le 5)=P(X=1)+...+P(X=5)=\frac56$

Den Verlauf der Verteilungsfunktion zu dem obigen Beispiel kannst du hier sehen:

1224_Verteilungsfunktion.jpg

Der Wert für $F(1)=P(X \le 1)$ ist $\frac{1}{6}$. Bis zur nächsten möglichen Ausprägung ($X=2$) bleibt die Wahrscheinlichkeit bei $\frac{1}{6}$, da es zwischen den Ausprägungen $X=1$ und $X=2$ keine Werte gibt, denn es liegt eine diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion zugrunde. Ab der Ausprägung $X=2$ beträgt der Wert der Verteilungsfunktion $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, denn es gilt:

$F(2)=P(X \le 2) = P(X=1) + P(X=2) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} =\frac{2}{6} =\frac{1}{3}$

Ein weiteres Beispiel für eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung.

Dichtefunktion und Verteilungsfunktion am Beispiel einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wenn die Wahrscheinlichkeiten von unendlich vielen Ausprägungen der Zufallsgröße $X$ ungleich $0$ sind, liegt eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung vor.

Was ist eine Dichtefunktion?

Bei Verteilungen kann eine Dichtefunktion angegeben werden. Diese Dichtefunktion wird mit $f(x)$ bezeichnet. Sie entspricht bei einer stetigen Verteilung der Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Allerdings kann die Dichtefunktion auch Funktionswerte größer als $1$ haben. Dies ist bei einer Wahrscheinlichkeit nicht möglich. Das bedeutet, dass die Funktionswerte einer Dichtefunktion nicht gleichzusetzen sind mit einer Wahrscheinlichkeit.

Es gilt

$\quad~~~\int\limits_{-\infty}^{+\infty}~f(t)~dt=1$

Dies entspricht der Eigenschaft, dass $P(\Omega)=1$ ist.

Die Verteilungsfunktion einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung

Im Falle einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung erhältst du die zugehörige Verteilungsfunktion durch Integration der Dichtefunktion

$\quad~~~F(x)=\int\limits_{-\infty}^x~f(t)~dt$

Beispiel

Paul möchte morgens immer um 7:30 Uhr an der Bushaltestelle sein. Manchmal ist er früher und manchmal später an der Bushaltestelle. Die Dichtefunktion für seine Ankunftszeit sei gegeben durch

Die Dichtefunktion sei gegeben durch

$\quad~~~f(x)= \begin{cases} \frac1{10} \text{, für }-5\le x\le 5 \\ 0\text{, sonst } \end{cases}$

Dabei ist $x$ die Anzahl der Minuten, die Paul zu früh (negatives $x$) oder zu spät (positives $x$) kommt. Hier kannst du die Dichtefunktion sehen:

1224_Dichtefunktion_2.jpg

Die Verteilungsfunktion ist wie folgt gegeben

$\quad~~~F(x)= \begin{cases} 0 & \text{, für } -\infty \leq x \leq -5\\ \frac{1}{10}(5+x) & \text{, für } -5 \le x \leq 5 \\ 1 & \text{, für } x>5 \end{cases}$

Wenn Paul's Bus nun um 7:32 abfährt, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Paul den Bus erreicht gegeben durch $P(x\le 2)=F(2)=0,1\cdot (5+2)=0,7$. Dies kannst du anschaulich hier sehen.

1224_Verteilungsfunktion_2.jpg

Ein Beispiel für eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Normalverteilung. Die zugehörige Dichtefunktion entspricht der (Gauß'sche) Glockenkurve.